Aula 2

Derivadas e retas tangentes. Novas
regras de deriva»~o
                ca

2.1      A derivada como inclina»~o de ...
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      Assim, a reta t, tangente ...
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Calculo1 aula02

  1. 1. Aula 2 Derivadas e retas tangentes. Novas regras de deriva»~o ca 2.1 A derivada como inclina»~o de uma reta tangente ca ao gr¶¯co da fun»~o a ca Na aula anterior, o conceito de derivada foi apresentado atrav¶s do conceito de velocidade e instant^nea. Veremos agora uma interpreta»~o geom¶trica da derivada, em rela»~o ao a ca e ca gr¶¯co da fun»~o y = f (x). Esta ¶ uma id¶ia de Fermat. a ca e e y y = f(x) r P f( x 0 + ∆ x) ∆y t P0 f( x 0) 0 α β x0 x0 + ∆ x x ∆x Figura 2.1. A derivada da fun»~o f , em x0 , ¶ a inclina»~o da reta t, tangente ao gr¶¯co ca e ca a de f em P0 . Fixado um valor x0 , sendo de¯nido f (x0 ), seja ¢x 60 um acr¶scimo (ou de- = e 11
  2. 2. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 12 cr¶scimo) dado a x0 . Sendo x1 = x0 + ¢x, temos que a raz~o e a ¢y f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ) f(x1 ) ¡ f (x0 ) = = ¢x ¢x x1 ¡ x0 ¶ o coe¯ciente angular da reta r, secante ao gr¶¯co da curva y = f (x), passando pelos e a pontos P0 = (x0 ; f(x0 )) e P = (x1 ; f(x1 )). Observando os elementos geom¶tricos da ¯gura 2.1, temos que quando ¢x tende e a 0, o ponto P tem como posi»~o limite o ponto P0 , e a reta secante P0 P ter¶ como ca a posi»~o limite a reta t, tangente ao gr¶¯co de f no ponto P0 . ca a Na ¯gura, temos ainda, da geometria anal¶ ³tica elementar, tg ¯ = tangente do ^ngulo ¯ a = coe¯ciente angular (ou inclina»~o) da reta secante P0 P ca ¢y = : ¢x tg ® = tangente do ^ngulo ® a = coe¯ciente angular da reta t, tangente ao gr¶¯co de f , no ponto P0 : a Note aqui diferentes empregos (com diferentes signi¯cados) da palavra tangente: a tan- gente (trigonom¶trica) do ^ngulo ®, nos d¶ a inclina»~o, ou declividade, ou coe¯ciente e a a ca angular, da reta t, que ¶ (geometricamente) tangente ao gr¶¯co de f (ou que tangencia e a o gr¶¯co de f) no ponto P0 . a ¢y Quando ¢x tende a 0, ¯ tende a ®, e ent~o a ¢x = tg ¯ tende a tg ®. ¢y Da¶ lim ³, = tg ®. ¢x!0 ¢x Assim, com este argumento geom¶trico e intuitivo, interpretamos f 0 (x0 ) = tg ® como e sendo o coe¯ciente angular (ou a inclina»~o) da reta t, tangente ao gr¶¯co de f (ou ca a seja, tangente µ curva y = f (x)) no ponto P0 = (x0 ; f (x0 )). a Sabemos que a equa»~o de uma reta, de coe¯ciente angular m, passando por um ca ponto P0 = (x0 ; y0 ), ¶ dada por e y ¡ y0 = m(x ¡ x0 ): Assim sendo, temos que a equa»~o da reta t, tangente µ curva y = f (x) no ponto ca a P0 = (x0 ; y0 ) = (x0 ; f (x0 )) ¶ dada por e y ¡ y0 = f 0 (x0 ) ¢ (x ¡ x0 ) Em geral, se queremos aproximar a fun»~o f (x), nas proximidades de x0 , por uma ca fun»~o da forma g(x) = ax + b, tomamos g(x) = f(x0 ) + f 0 (x0 ) ¢ (x ¡ x0 ). O gr¶¯co ca a
  3. 3. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 13 de g ser¶ ent~o a reta tangente ao gr¶¯co de f no ponto P0 . Dizemos que g(x) ¶ uma a a a e lineariza»~o de f (x) nas proximidades de x0 . ca A reta normal µ curva y = f(x), no ponto P0 dessa curva, ¶ a reta que passa por a e P0 perpendicularmente µ curva. Isto, ¶, r ¶ normal µ curva y = f (x), no ponto P0 , a e e a quando r ¶ perpendicular µ reta tangente µ curva nesse ponto. e a a Lembre-se que se duas retas s~o perpendiculares, tendo coe¯cientes angulares m a 0 0 e m , ent~o m = ¡1=m. a Assim, se f 0 (x0 ) 6 0, a equa»~o da reta r, normal µ curva y = f (x) no ponto = ca a P0 = (x0 ; y0 ) ¶ e 1 y ¡ y0 = ¡ 0 (x ¡ x0 ) f (x0 ) Exemplo 2.1 Qual ¶ a equa»~o da reta t, que tangencia a par¶bola y = x2 , no ponto e ca a P = (¡1; 1)? Qual ¶ a equa»~o da reta r, normal µ par¶bola nesse ponto? e ca a a y t r P 1 -1 1 x -1 Figura 2.2. Representa»~o gr¶¯ca da curva y = x2 e das retas t e r, tangente e normal ca a µ curva no ponto P = (¡1; 1). a dy Solu»~o. Sendo y = x2 , temos ca = 2x. Em P , temos x0 = ¡1. O coe¯ciente dx angular da reta t ¶ dado por e ¯ dy ¯ ¯ = 2 ¢ (¡1) = ¡2: dx ¯x=¡1
  4. 4. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 14 Assim, a reta t, tangente µ curva y = x2 no ponto P , tem equa»~o a ca y ¡ 1 = (¡2)(x ¡ (¡1)) ou seja, y = ¡2x ¡ 1. Para escrever a equa»~o da reta r, normal µ curva no ponto P , fazemos uso do ca a fato de que a declividade da reta r ¶ mr = ¡ mt = 1 . e 1 2 Portanto, r tem equa»~o y ¡ 1 = 1 (x + 1), ou ainda y = 1 x + 3 . ca 2 2 2 Na ¯gura 2.2 temos a representa»~o da curva y = x2 e das retas t e r, respecti- ca vamente tangente e normal µ curva no ponto P = (¡1; 1). a Exemplo 2.2 Determine o coe¯ciente angular da reta tangente ao gr¶¯co de y = a 2 f (x) = x ¡ 4x, no ponto de abscissa (primeira coordenada) p. Em qual ponto a reta tangente ao gr¶¯co ¶ horizontal? a e Solu»~o. O coe¯ciente angular da reta tangente µ curva y = x2 ¡ 4x, no ponto ca a 0 0 de abscissa p, ¶ m = f (p). Como f (x) = 2x ¡ 4, temos m = 2p ¡ 4. e No ponto (p; f(p)) em que a reta tangente ¶ horizontal, temos m = 0, ou seja, e f 0 (p) = 0. Logo, p = 2. Assim, o ponto procurado ¶ (2; ¡4). e 2.2 Novas regras de deriva»~o ca Regra 2.1 (Derivada de um produto) (f g)0 = f 0 g + f g 0 Demonstra»~o. Temos ca ¢f = f(x + ¢x) ¡ f (x), ¢g = g(x + ¢x) ¡ g(x). Portanto f (x + ¢x) = f (x) + ¢f , g(x + ¢x) = g(x) + ¢g. Assim sendo ¢(f g) = f(x + ¢x)g(x + ¢x) ¡ f(x)g(x) = (f(x) + ¢f )(g(x) + ¢g) ¡ f(x)g(x) = f(x)g(x) + f (x)(¢g) + (¢f )g(x) + (¢f )(¢g) ¡ f(x)g(x) = f(x)(¢g) + (¢f )g(x) + (¢f )(¢g) Portanto
  5. 5. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 15 ¢(f g) ¢g ¢f ¢f = f(x) + g(x) + (¢g) ¢x ¢x ¢x ¢x ¢g ¢f ¢f ¢g = f(x) + g(x) + ¢x ¢x ¢x ¢x ¢x E assim, µ ¶ ¢(fg) ¢g ¢f ¢f ¢g lim = lim f (x) + g(x) + ¢x ¢x!0 ¢x ¢x!0 ¢x ¢x ¢x ¢x = f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x) + f 0 (x)g 0 (x) ¢ 0 = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x) Portanto, (f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f(x)g 0 (x). ³¯co de x, digamos x = x0 , temos Observa»~o 2.1 Para um valor espec¶ ca ¢f = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ). Embora n~o tenhamos ainda mencionado, ¶ fato que se podemos calcular o limite a e lim ¢f 0 = f (x0 ), ent~o temos lim ¢f = 0. a ¢x!0 ¢x ¢x!0 De fato, ¢f lim ¢f = lim ¢ ¢x = f 0 (x0 ) ¢ 0 = 0: ¢x!0 ¢x!0 ¢x Exemplo 2.3 Daremos um exemplo para ilustrar a regra da derivada de um produto, que acabamos de deduzir. Considere p(x) = (x2 + x + 2)(3x ¡ 1) Expandindo p(x), obtemos p(x) = 3x3 + 2x2 + 5x ¡ 2, de onde obtemos p0 (x) = 2 9x + 4x + 5. Por outro lado, se aplicarmos a f¶rmula da derivada de um produto, obtemos o p0 (x) = (x2 + x + 2)0 (3x ¡ 1) + (x2 + x + 2)(3x ¡ 1)0 = (2x + 1)(3x ¡ 1) + (x2 + x + 2) ¢ 3 = 9x2 + 4x + 5 Regra 2.2 Sendo g uma fun»~o deriv¶vel, quando g 60 temos ca a = µ ¶0 1 g0 = ¡ 2: g g Demonstra»~o. Como na dedu»~o da propriedade 2.1, temos g(x + ¢x) = g(x) + ¢g. ca ca
  6. 6. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 16 Sendo y = 1=g(x), temos 1 1 ¢y = ¡ g(x + ¢x) g(x) 1 1 = ¡ g(x) + ¢g g(x) g(x) ¡ (g(x) + ¢g) = (g(x) + ¢g) ¢ g(x) ¡¢g = (g(x) + ¢g) ¢ g(x) Logo, ¢y ¡¢g 1 = ¢ ¢x ¢x (g(x) + ¢g)g(x) e portanto dy ¢y = lim dx ¢x!0 ¢x ¡¢g 1 = lim ¢ ¢x!0 ¢x (g(x) + ¢g)g(x) 1 g 0 (x) = ¡g 0 (x) ¢ =¡ (g(x))2 (g(x))2 Aqui, ¯zemos uso da observa»~o 2.1: sendo g deriv¶vel, temos lim ¢g = 0. ca a ¢x!0 Exemplo 2.4 Veri¯que que, sendo n um inteiro positivo, (x¡n )0 = ¡nx¡n¡1 . Solu»~o. Aplicando o resultado da propriedade 2.2, temos ca µ ¶0 ¡n 0 1 (xn )0 nxn¡1 (x ) = = ¡ n 2 = ¡ 2n = ¡nx¡n¡1 xn (x ) x Regra 2.3 (Derivada de um quociente) µ ¶0 f f 0g ¡ f g0 = g g2 Demonstra»~o. ca Deixamos a dedu»~o desta regra para o leitor. Para deduzi-la, basta ca f 1 escrever = f ¢ e ent~o combinar as regras (propriedades) 2.1 e 2.2. a g g x3 ¡ 1 Exemplo 2.5 Calcular y 0 , sendo y = x3 + 1
  7. 7. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 17 Solu»~o. Aplicando a f¶rmula para a derivada de um quociente, temos ca o µ 3 ¶0 0 x ¡1 (x3 ¡ 1)0 (x3 + 1) ¡ (x3 + 1)0 (x3 ¡ 1) y = = x3 + 1 (x3 + 1)2 3x2 (x3 + 1) ¡ 3x2 (x3 ¡ 1) = (x3 + 1)2 6x2 = 3 (x + 1)2 2.3 Problemas 1. Utilizando regras de deriva»~o previamente estabelecidas, calcule as derivadas das ca seguintes fun»~es. co 4x ¡ 5 (a) f(x) = 3x + 2 8 ¡ z + 3z 2 (b) f(z) = 2 ¡ 9z 2w (c) f(w) = 3 w ¡7 1 (d) s(t) = t2 + 2 t 1 (e) f(x) = 1 + x + x2 + x3 x2 + 9x + 2 (f) f(x) = 7 2. Deduza a seguinte f¶rmula de deriva»~o: o ca (f gh)0 = f 0 gh + f g 0 h + f gh0 D^ um bom palpite (chute) sobre como seria a f¶rmula para (f1 f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1 fn )0 . e o 5 3. Ache as equa»~es das retas tangentes ao gr¶¯co de y = co a , nos pontos 1 + x2 P = (0; 5), Q = (1; 5=2) e R = (¡2; 1). Esboce (caprichadamente) o gr¶¯co a dessa curva, plotando pontos com os seguintes valores de x: ¡3, ¡2, ¡1, 0, 1, 2 e 3. No mesmo sistema cartesiano, esboce tamb¶m as retas tangentes µ curva e a nos pontos P , Q e R. 4. Escreva as equa»~es das retas tangente e normal µ curva y = x3 ¡ 3x2 ¡ x + 5 co a no ponto de abcissa x = 3. 5. Determine as equa»~es das retas t e n, respectivamente tangente e normal µ curva co a 2 y = x , no ponto de abcissa p.
  8. 8. »~ Derivadas e retas tangentes. Novas regras de derivacao 18 6. (Teste sua sensibilidade sobre derivadas) Esboce o gr¶¯co de y = x2 ¡ 4, plotando a os pontos de abcissas (valores de x) ¡2, ¡1, 0, 1, 2 e 3. Em cada um desses pontos, esboce a reta tangente ao gr¶¯co, e tente adivinhar o seu coe¯ciente a angular. Marque seu chute ao lado do ponto. Em seguida, calcule cada coe¯ciente angular usando a derivada y 0 . Compare seu chute com a resposta exata. 2.3.1 Respostas e sugest~es o 23 1. (a) f 0 (x) = (3x + 2)2 ¡27z 2 + 12z + 70 (b) f 0 (z) = (2 ¡ 9z)2 ¡4w3 ¡ 14 (c) f 0 (w) = (w3 ¡ 7)2 2 (d) s0 (t) = 2t ¡ 3 t 1 + 2x + 3x2 (e) f 0 (x) = ¡ (1 + x + x2 + x3 )2 2x + 9 ³ ´0 f0 (f) f 0 (x) = (Quando c ¶ uma constante, temos a regra f = e c c) 7 2. (f1 f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1 fn )0 = f1 f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1 fn + f1 f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1 fn + ¢ ¢ ¢ + f1 f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1 fn + 0 0 0 0. f1 f2 ¢ ¢ ¢ fn¡1 fn 3. As equa»~es das tr^s retas s~o, respectivamente, y = 5, 5x+2y¡10 = 0, e 4x¡5y+13 = co e a 0. 4. Reta tangente: y = 8x ¡ 22. Reta normal: x + 8y ¡ 19 = 0. 5. t : y = 2px ¡ p2 ; x 1 n : y = ¡ + + p2 (se p 60); n : x = 0 (se p = 0). = 2p 2

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