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Geometria da Programa¸˜o Linear
                     ca

         Alexandre Salles da Cunha


    DCC-UFMG, Mar¸o 2012 - v.02
                 c




  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                   ca
Poliedros


Defini¸˜o
     ca
Um poliedro ´ um conjunto que pode ser representado da seguinte forma:
            e
P = {x ∈ R n : Ax ≥ b}, onde A ´ uma matriz m × n e b ∈ Rm .
                               e

Poliedro na forma padr˜o
                      a
Um poliedro ´ dito ser escrito na forma padr˜o se ´ representado da
             e                               a    e
seguinte forma: P = {x ∈ R   n : Ax = b, x ≥ 0}



Defini¸˜o
     ca
Um poliedro limitado ´ chamado politopo.
                     e




                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Semiespa¸os e hiperplanos
        c


Defini¸˜o
     ca
Seja a um vetor n˜o nulo em Rn e b um escalar.
                 a
  1   O conjunto {x ∈ Rn : a′ x = b ´ chamado hiperplano.
                                    e
  2   Os conjuntos {x ∈ Rn : a′ x ≥ b e {x ∈ Rn : a′ x ≤ b s˜o chamados
                                                            a
      semiespa¸os.
              c


Observa¸˜es:
       co
      O hiperplano ´ a fronteira dos dois semiespa¸os associados.
                   e                              c
      O vetor a ´ ortogonal a qualquer hiperplano que defina (que depende
                e
      tamb´m de b).
          e



                    Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                     ca
Poliedros, semiespa¸os, hiperplanos
                   c
O poliedro pode ser escrito como a interse¸˜o de um n´mero finito de
                                            ca       u
restri¸˜es lineares (hiperplanos e semiespa¸os).
      co                                   c




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Hiperplanos e conjuntos convexos




Proposi¸˜o
       ca
 1   Todo poliedro ´ um conjunto convexo.
                   e
 2   A interse¸˜o de conjuntos convexos (poliedros em particular) ´
              ca                                                  e
     convexa.
 3   A combina¸˜o convexa de um conjunto finito de elementos de um
               ca
     conjunto pertence ao conjunto.




                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Pontos extremos, v´rtices e solu¸˜es b´sicas
                  e             co    a



    Verificamos atrav´s do m´todo gr´fico de resolu¸˜o que uma solu¸˜o
                       e      e     a            ca              ca
    o
    ´tima de um PL tende a ocorrer em um canto do poliedro que define
    a regi˜o de viabilidade do PL.
          a

    Vamos apresentar trˆs formas alternativas de definir o que venha a ser
                       e
    um canto do poliedro.
      ◮   Argumentos geom´tricos: pontos extremos e v´rtices de um poliedro.
                          e                             e
      ◮   Argumentos alg´bricos: solu¸oes b´sicas (e b´sicas vi´veis) de um
                        e            c˜    a          a        a
          poliedro.

    Mostraremos que estas alternativas s˜o equivalentes.
                                        a




                    Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                     ca
Ponto extremo
Defini¸˜o
     ca
Seja P um poliedro. Um vetor x ∈ P ´ um ponto extremo de P se n˜o for
                                       e                            a
poss´ escrever x como uma combina¸˜o linear convexa de dois pontos
     ıvel                               ca
z, y ∈ P (distintos de x). Isto ´, n˜o existem z, y ∈ P, z, y = x e
                                e a
λ ∈ [0, 1] tal que x = λz + (1 − λ)y .




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
V´rtice do poliedro
 e

Defini¸˜o
     ca
Seja P um poliedro. Um vetor x ∈ P ´ um v´rtice de P se existe algum
                                         e      e
vetor c ∈ R tal que c ′ x < c ′ y para qualquer y ∈ P, y = x.

Isto ´, x ´ um v´rtice do poliedro se
     e    e     e

                        {y : c ′ y = c ′ x} ∩ P = {x}.




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Desvantagens das descri¸˜es geom´tricas dadas
                       co       e


     Estas descri¸˜es n˜o s˜o f´ceis de serem tratadas em um algoritmo.
                 co    a a a
     Seria desej´vel dispor de uma descri¸˜o de canto que dependesse da
                a                        ca
     representa¸˜o do poliedro em termos de restri¸˜es lineares, que
               ca                                 co
     pudesse ser resumido a um ”simples”teste alg´brico.
                                                  e
Para este prop´sito, vamos considerar a seguinte defini¸ao:
              o                                       c˜
Restri¸˜es ativas
      co
Assuma que P seja caracterizado por restri¸˜es lineares de igualdade e
                                                  co
desigualdade: ai′ x ≥ bi , ∀i ∈ M1 , ai′ x ≤ bi , ∀i ∈ M2 , ai′ x = bi , ∀i ∈ M3 .
Ent˜o se um vetor x ∗ satisfaz ai′ x ∗ = bi para algum i ∈ M1 ∪ M2 ∪ M3
    a
dizemos que a restri¸˜o i ´ ativa. Se x ∗ ´ vi´vel, toda restri¸˜o cujo ´
                     ca      e                e a                     ca        ındice
i ∈ M3 ´ ativa.
       e



                      Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                       ca
Observa¸˜es
       co


      Se existem n restri¸˜es ativas em x ∗ , ent˜o x ∗ satisfaz um sistema
                          co                     a
      linear de n restri¸˜es em n vari´veis. Este sistema linear admite
                        co            a
      solu¸˜o unica se estas n restri¸˜es s˜o linearmente independentes (em
          ca ´                       co    a
      um abuso de linguagem).

Proposi¸˜o
       ca
Dado x ∗ ∈ Rn e I = {i : ai′ x ∗ = bi } o conjunto dos ´
                                                       ındices das restri¸˜es
                                                                         co
ativas em x ∗ . Ent˜o, s˜o equivalentes as afirmativas:
                   a a
  1   Existem n vetores no conjunto {ai : i ∈ I } que s˜o l.i.
                                                       a
  2   span({ai : i ∈ I }) = Rn
  3   O sistema linear ai′ x = bi , ∀i ∈ I possui solu¸˜o unica.
                                                      ca ´



                     Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                      ca
Prova


Prova
(1) ⇔ (2)
    (1) ← (2):
    Suponha que os vetores ai : i ∈ I gerem Rn . Ent˜o a
    dim(span({ai : i ∈ I })) = n e {ai : i ∈ I } formam uma base de Rn ,
    sendo linearmente independente.
    (1) → (2):
    Suponha que os vetores ai : i ∈ I sejam l.i. Ent˜o o subespa¸o gerado
                                                    a              c
    por estes n vetores ´ n dimensional e necessita ser R
                        e                                 n . Assim

    qualquer vetor em Rn pode ser escrito como uma combina¸˜o linear
                                                                 ca
    de ai : i ∈ I



                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Prova



(2) ⇔ (3) :
    (2) ← (3) : (por contradi¸˜o)
                               ca
    Assuma que o sistema ai′ x = bi : i ∈ I admita duas solu¸˜es distintas
                                                                co
    x 1 e x 2 . Ent˜o o vetor d = x 1 − x 2 = 0 satisfaz ai d = 0, ∀i ∈ I e n˜o
                   a                                                         a
    pode ser escrito como combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I e
                                      ca
    portanto span({ai : i ∈ I } = Rn (absurdo !). Logo x 1 = x 2 .
    (2) → (3) : Se os vetores ai : i ∈ I n˜o geram Rn , existe d = 0 tal
                                             a
    que ai′d = 0 : i ∈ I .

    Ent˜o se x satisfaz ai′ x = bi : i ∈ I , temos que ai′ (x + d) = bi : i ∈ I e
        a
    temos m´ltiplas solu¸˜es para o sistema linear.
             u             co




                    Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                     ca
Defini¸˜o alg´brica de canto
     ca     e

Defini¸˜o
     ca
Considere um poliedro P definido por m
restri¸˜es lineares e x ∗ um elemento do Rn
      co
(m ≥ n).
  1 O vetor x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica se:
                  e          ca a
        1   Todas as restri¸oes de igualdade que
                           c˜
            definem P s˜o ativas (satisfeitas)
                        a
        2   Dentre todas as restri¸oes que s˜o
                                  c˜         a
            ativas em x ∗ (de igualdade inclusas)
            existem n delas que s˜o l.i.
                                  a
  2   Se x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica e todas as
             e           ca a
      restri¸˜es que definem P s˜o
            co                    a
      satisfeitas, ent˜o x ∗ ´ uma solu¸˜o
                      a      e         ca
      b´sica vi´vel.
       a        a

                       Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                        ca
Caso em que n > m




   Se o n´mero m de restri¸˜es lineares empregadas para representar um
          u                  co
   poliedro ´ inferior a n, o n´mero de restri¸˜es ativas ´ sempre inferior
            e                  u              co          e
   a n.
   Consequentemente, n˜o existem solu¸˜es b´sicas ou b´sicas vi´veis.
                      a              co    a          a        a




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Observa¸˜es
       co



   Note na figura anterior que os pontos A, B, C s˜o solu¸˜es b´sicas
                                                 a      co    a
   vi´veis.
     a
   O ponto D n˜o ´ b´sica porque n˜o sastisfaz a restri¸˜o de igualdade
                a e a             a                    ca
   x1 + x2 + x3 = 1.
   Entretanto, se a restri¸˜o x1 + x2 + x3 = 1 for reescrita como
                          ca
   x1 + x2 + x3 ≤ 1 e x1 + x2 + x3 ≥ 1, o ponto D passa a ser solu¸˜o
                                                                  ca
   b´sica da nova forma empregada para representar o poliedro P.
    a
   Isto ´, o modo como o poliedro ´ representado em termos de
        e                            e
   restri¸˜es lineares influencia o conjunto de solu¸oes b´sicas.
         co                                        c˜    a




                 Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                  ca
Mais um exemplo




             Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                              ca
As trˆs formas de representa¸˜o s˜o equivalentes
     e                      ca a




Teorema
Seja P um poliedro n˜o vazio e x ∗ ∈ P. Ent˜o as seguintes afirmativas
                    a                      a
s˜o equivalentes:
 a
  1   x ∗ ´ um ponto extremo;
          e
  2   x ∗ ´ um v´rtice;
          e     e
  3   x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel.
          e         ca a         a




                     Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                      ca
Prova: v´rtice → ponto extremo
        e


Sem perda de generalidade, vamos assumir que P seja escrito em termos
de restri¸˜es de igualdade ai′ x = bi e desigualdade na forma ai′ x ≥ bi .
         co

Prova
    Suponha que x ∗ seja um v´rtice de P. Ent˜o, por defini¸˜o, existe
                                   e              a            ca
    c ∈ Rn tal que c ′ x ∗ < c ′ y para qualquer y ∈ P, y = x.
    Ent˜o tome y , z ∈ P distintos de x ∗ e λ ∈ [0, 1].
        a
    Temos que c ′ x ∗ < c ′ (λy + (1 − λ)z) e consequentemente
    x ∗ = λy + (1 − λ)z.
    Logo o v´rtice x n˜o pode ser escrito como combina¸˜o convexa de
             e        a                                 ca
    dois outros pontos quaisquer de P e, portanto, o v´rtice ´ tamb´m
                                                      e      e     e
    um ponto extremo.



                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Ponto extremo → solu¸˜o b´sica vi´vel
                    ca a         a

Prova
   Vamos supor que x ∗ ´ ponto extremo e n˜o ´ solu¸˜o b´sica vi´vel.
                       e                  a e      ca a         a
   Seja I = {i : ai′ x ∗ = bi }. Ent˜o como x ∗ n˜o ´ solu¸˜o b´sica vi´vel,
                                    a            a e      ca a         a
   n˜o existem, dentre as restri¸˜es em I , n linearmente independentes.
    a                              co
   Portanto, os vetores ai : i ∈ I geram um subespa¸o pr´prio de Rn .
                                                       c    o
   Ent˜o deve haver d ∈ Rn tal que ai′ d = 0, ∀i ∈ I . Dado um ǫ > 0
      a
   suficientemente pequeno, consideremos os vetores y = x ∗ + ǫd e
   z = x ∗ − ǫd. Observe que ai′ y = ai′ z = ai′ x ∗ = bi , ∀i ∈ I . Al´m disto,
                                                                       e
   para i ∈ I temos que ai′ x ∗ > bi .
   Se escolhermos ǫ convenientemente (tal que
   ǫ|ai′ d| < ai′ x ∗ − bi , ∀i ∈ I ), temos que y ∈ P. Por argumento similar,
   mostramos que z ∈ P. Ent˜o, x ∗ = z+y e x ∗ n˜o pode ser ponto
                                       a        2        a
   extremo (contradi¸˜o !).ca


                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Solu¸˜o b´sica vi´vel → v´rtice
    ca a         a       e

Prova
    Considere que x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel e I = {i : ai′ x ∗ = bi }.
                      e         ca a         a
    Seja c = i ∈I ai . Ent˜o temos c
                          a          ′x ∗ =        ′ ∗
                                             i ∈I ai x =        i ∈I bi . Por
    outro lado, para qualquer x ∈ P temos c ′x =           ai′ x ≥ i ∈I bi .
                                                      i ∈I
    Consequentemente, mostramos que x ∗ resolve o PL cuja fun¸˜o
                                                             ca
    objetivo ´ (min) c e regi˜o de viabilidade ´ P.
             e               a                 e
    O m´ ınimo de c ′ x ∗ =       i ∈I   ai′ x ∗ =      i ∈I   bi ocorre quando
     ′ x = b , ∀i ∈ I .
    ai      i
    Como x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel, existem n restri¸˜es l.i. ativas
              e         ca a        a                     co
    em x ∗ (dentre aquelas que definem I ) e x ∗ ´ a solu¸˜o unica deste
                                                e       ca ´
    sistema linear.
    Portanto, x ∗ ´ o unico minimizador de c ′ x sobre P e, portanto, ´ um
                  e ´                                                 e
    v´rtice de P.
     e

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                                                                          ca
Observa¸˜es
       co




Corol´rio
     a
Dado um n´mero finito de restri¸˜es de desigualdades que definem um
            u                 co
poliedro, s´ pode haver um n´mero finito de solu¸˜es b´sicas ou b´sicas
           o                u                  co    a          a
vi´veis associadas a P.
  a




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                                                                   ca
Solu¸˜es b´sicas adjacentes
    co    a

    Duas solu¸˜es b´sicas para um conjunto de restri¸˜es lineares em Rn
             co     a                               co
    s˜o adjacantes se podemos encontrar n − 1 restri¸˜es linearmente
     a                                              co
    independentes ativas que s˜o comuns `s duas solu¸˜es.
                              a         a            co
    Se duas solu¸˜es b´sicas adjacentes s˜o tamb´m vi´veis, o segmento
                co    a                  a      e    a
    de reta que as une ´ chamado aresta do conjunto de viabilidade.
                       e

Na figura abaixo, D e E s˜o adjacentes a B. A e C s˜o adjacentes a D.
                        a                         a




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                                                                   ca
Poliedros na forma padr˜o
                       a



   At´ o momento, a defini¸˜o de solu¸˜o b´sica foi dada para um
     e                      ca       ca a
   poliedro descrito de forma geral.

   Vamos especializar esta defini¸˜o para a forma padr˜o, do tipo
                                ca                   a
   P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}.

   A especializa¸˜o ser´ fundamental para o desenvolvimento do M´todo
                ca     a                                        e
   Simplex.




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                                                                  ca
Hip´teses iniciais
   o



Consideremos P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, onde a matriz A possui m
linhas.
    Vamos assumir que as m linhas de A s˜o linearmente independentes.
                                        a

    Futuramente, mostraremos que se houver alguma linha linearmente
    dependente, esta pode ser eliminada, sem descaracteriza¸˜o da regi˜o
                                                           ca         a
    de viabilidade (isto ´, a linha ´ redundante).
                         e          e

    Como as linhas de A s˜o n dimensionais, isto implica que m ≤ n.
                         a




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                                                                   ca
Solu¸˜es b´sicas
    co    a



Pela defini¸˜o dada anteriormente, uma solu¸˜o b´sica para
          ca                               ca a
P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} deve ser tal que:


    As m linhas que definem Ax = b s˜o ativas (satisfeitas).
                                   a

    Como estas m linhas s˜o l.i., ´ necess´rio escolher dentre as demais
                           a      e       a
    restri¸˜s xi ≥ 0, n − m para serem ativas.
          ce

    Estas restri¸˜es de n˜o negatividade n˜o podem ser quaisquer.
                co       a                a




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                                                                   ca
Solu¸˜es b´sicas na forma padr˜o
    co    a                   a



Teorema
Considere as restri¸˜es Ax = b e x ≥ 0 e assuma que a matriz A, m × n,
                   co
possua m linhas linearmente independentes.
Um vetor x ∈ Rn ´ uma solu¸˜o b´sica se e somente se Ax = b e existirem
                      e        ca a
´
ındices B(1), . . . , B(m) de colunas de A tais que:
  1   As colunas AB(1) , AB(2) , . . . , AB(m) s˜o linearmente independentes;
                                                a
  2   Se i ∈ {B(1), . . . , B(m)} ent˜o xi = 0.
                                     a




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                                                                      ca
Prova: Se (1) e (2) → ´ sol. b´sica
                      e       a


Prova
    Considere x ∈ Rn e assuma que existam ´
                                          ındices B(1), . . . , B(m)
    satisfazendo (1) e (2) acima.
    As restri¸˜es ativas xi = 0 para os ´
             co                           ındices i ∈ {B(1), . . . , B(m)}, em
    conjunto com Ax = b, garante que
      m                    n
      i =1 AB(i ) xB(i ) = i =1 Ai xi = Ax = b.
    Como as colunas B(1), . . . , B(m) s˜o l.i., o sistema linear formado
                                         a
    pelas restri¸˜es ativas possui solu¸˜o unica.
                co                     ca ´
    Ou seja, existem n restri¸˜es ativas linearmente independentes, e
                             co
    ent˜o x ´ uma solu¸˜o b´sica (segundo a equivalˆncia das defini¸˜es
       a     e         ca a                           e              co
    anteriores).



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                                                                    ca
Prova: Se ´ sol. b´sica → (1) e (2)
          e       a


Parte 1
Prova
    Assuma que x ´ uma sol. b´sica. Vamos mostrar que (1) e (2) s˜o
                    e        a                                   a
    ent˜o satisfeitas.
       a
    Seja xB(1) , . . . , xB(k) as componentes de x que s˜o n˜o nulas.
                                                        a a
    Uma vez que x ´ b´sica, o sistema de restri¸˜es ativas formado por
                   e a                           co
    Ax = b e xi = 0, i ∈ {B(1), . . . , B(k)} admite sol. unica.
                                                          ´
    Equivalentemente o sistema k=1 AB(i ) xB(i ) = b admite solu¸˜o
                                     i                           ca
    unica.
    ´
    Ou seja, as colunas B(1), . . . , B(k) s˜o li e ent˜o k ≤ m.
                                            a          a




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                                                                    ca
Prova: Se ´ sol. b´sica → (1) e (2)
          e       a



Mostramos at´ agora que B(1), . . . , B(k) s˜o li e k ≤ m.
            e                               a
Parte 2
Prova
    Uma vez que o posto de A ´ m, A possui m linhas e colunas li.
                             e
    Ent˜o ´ poss´ escolher outras m − k colunas B(k + 1), . . . , B(m)
       a e      ıvel
    de A, de forma que as colunas B(1), . . . , B(m) sejam li.
    Observe ent˜o que se i ∈ {B(1), . . . , B(m)} ent˜o xi = 0,
               a                                     a
    completando a prova.




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                                                                    ca
Um procedimento para obten¸˜o de solu¸˜es b´sicas
                          ca         co    a



  1   Escolha m colunas AB(1) , . . . , AB(m) linearmente independentes de A.

  2   Fa¸a xi = 0, ∀i ∈ {B(1), B(2), . . . , B(m)}.
        c

  3   Resolva o sistema linear de m restri¸˜es Ax = b para as vari´veis
                                          co                      a
      xB(1) , xB(2) , . . . , xB(m) .


Se as solu¸˜es geradas atrav´s do procedimento acima satisfizerem
           co                  e
xi ≥ 0, ∀i ∈ {B(1), . . . , B(m)}, a solu¸˜o ´ chamada b´sica vi´vel.
                                         ca e           a       a




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                                                                      ca
Nomenclatura


   As colunas B(1), . . . , B(m) s˜o denominadas b´sicas, assim como as
                                  a               a
   vari´veis de decis˜o a elas associadas.
       a             a

   As demais colunas (e vari´veis) s˜o denominadas n˜o b´sicas.
                            a       a               a a

   A matriz B (m × m) formada pelas colunas b´sicas,
                                               a
   B = [AB(1) AB(2) · · · AB(m) ], ´ chamada base.
                                   e

   As vari´veis b´sicas xB s˜o obtidas resolvendo-se o sistema linear:
          a      a          a
   xB = B −1 b.

   Se xB ≥ 0, x ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel.
                e         ca a         a




                 Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                  ca
Exemplo

                                                
  1    1   2   1   0   0    0         8
 0    1   6   0   1   0    0 
                                   12            

 1                             x =               
       0   0   0   0   1    0      4             
  0    1   0   0   0   0    1         6


      Se escolhermos A4 , A5 , A6 , A7 como colunas b´sicas, temos que B
                                                     a
      corresponde ` uma matriz n˜o singular e xB = (0, 0, 0, 8, 12, 4, 6) ≥ 0
                   a                 a
      ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel.
      e          ca a          a

      Outra base pode ser obtida escolhendo-se como b´sicas as colunas
                                                           a
      A3 , A5 , A6 , A7 . A matriz B resultante ´ claramente n˜o singular e a
                                                e             a
      solu¸˜o b´sica xB = (0, 0, 4, 0, −12, 4, 6) ≥ 0 ´ n˜o vi´vel.
           ca a                                        e a     a



                       Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                        ca
Interpreta¸˜o econˆmica das solu¸˜es b´sicas
          ca      o             co    a

    Uma solu¸˜o b´sica permite sintetizar b ∈ Rm usando-se apeans m
              ca a
    recursos, isto ´, b = m AB(i ) xB(i ) .
                   e      i =1
    Em uma solu¸˜o b´sica vi´vel, a s´
                ca a         a       ıntese ocorrer por meio de pesos
    n˜o negativos das colunas b´sicas (xB ≥ 0).
     a                         a




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Correspondˆncia entre bases e solu¸˜es b´sicas
          e                       co    a




    Diferentes solu¸˜es b´sicas precisam corresponder a diferentes bases,
                   co    a
    uma vez que uma base determina unicamente uma solu¸˜o b´sica.
                                                            ca a

    Entretanto, duas bases diferentes podem levar ` mesma solu¸˜o
                                                  a           ca
    b´sica.
     a

    Este fenˆmeno possui consequˆncias muito importantes do ponto de
             o                  e
    vista algoritmico.




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Bases adjacentes e solu¸˜es b´sicas adjacentes
                       co    a

Da mesma forma que definimos solu¸˜es b´sicas adjacentes como aquelas
                                    co     a
que compartilham n − 1 restri¸˜es l.i. justas, definimos bases adjacentes
                             co
matrizes que compartilham m − 1 colunas (isto ´, que diferem apenas por
                                                 e
uma coluna).
                                                                
                            1       1    2      1    0    0    0
                           0       1    6      0    1    0    0 
                                                                
                           1       0    0      0    0    1    0 
                            0       1    0      0    0    0    1

    {A4 , A5 , A6 , A7 } e {A3 , A5 , A6 , A7 } s˜o bases adjacentes.
                                                 a
    As correspondentes solu¸˜es b´sicas (0, 0, 0, 8, 12, 4, 6) e
                               co    a
    (0, 0, 4, 0, −12, 4, 6) s˜o adjacentes uma vez que n = 7 e temos que
                             a
    as restri¸˜es x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 em conjunto com as restri¸˜es de
              co                                             co
    igualdade formam um sistema de 6 restri¸˜es justas l.i.
                                               co
                    Alexandre Salles da Cunha       Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                         ca
A hip´tese de posto completo de A
     o


Teorema
Seja P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} um poliedro n˜o vazio, onde
                                               a
A∈R   m×n possui linhas a′ , a′ , . . . , a′ .
                         1 2               m

Assuma que o posto de A seja k < m e que as primeiras k linhas de A,
 ′    ′            ′
a1 , a2 , . . . , ak , sejam l.i.
Ent˜o o poliedro
   a

              Q = {x ∈ Rn : ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . , k, ≥ 0}

e P s˜o idˆnticos (P = Q) e n˜o h´ perda de generalidade na hip´tese de
     a    e                  a a                               o
posto completo de A.



                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Prova

Prova
   Observe que se as primeiras k linhas n˜o forem l.i. podemos
                                         a
   rearranjar a ordem das linhas de forma que isto aconte¸a.
                                                         c
   Claramente P ⊂ Q.
   Vamos mostrar que Q ⊂ P e ent˜o P = Q.
                                a
   Se o posto de A ´ k, ent˜o o espa¸o linha de A possui dimens˜o k e
                       e     a         c                       a
   qualquer linha de A pode ser escrita como combina¸˜o linear destas k
                                                        ca
   linhas, isto ´, ai′ = k λij aj′ para escalares λij .
                e        j=1
   Considere x ∈ P. Observe que ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . , m. Logo
   bi = ai′ x = k λij aj′ x = k λij bj , ∀i = 1, . . . , m
                j=1           j=1
                                                k                      k
   Tome agora y ∈ Q. Ent˜o ai′ y =
                        a                                ′
                                                j=1 λij aj y   =       j=1 λij bj   = bi .
   Logo y ∈ P e Q ⊂ P.


                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Degenera¸˜o
        ca



    De acordo com a nossa defini¸˜o, em uma solu¸ao b´sica, dispomos
                                  ca               c˜ a
    de n restri¸˜es ativas linearmente independentes.
               co
    Obviamente, o m´ximo n´mero de restri¸˜es linearmente
                      a     u            co
    independentes ´ n, mas podemos ter em uma solu¸˜o b´sica mais de
                    e                              ca a
    n restri¸˜es ativas.
            co

Defini¸˜o
     ca
Uma solu¸˜o b´sica x ∈ Rn ´ chamada degenerada se mais de n restri¸˜es
          ca a            e                                       co
s˜o ativas em x.
 a




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Degenera¸˜o - Exemplo
        ca

Considere o politopo P dado pelas restri¸˜es:
                                        co

                           x1 + x2 + 2x3 ≤ 8
                                 x2 + 6x3 ≤ 12
                                               x1 ≤ 4
                                               x2 ≤ 6
                                  x1 , x2 , x3 ≥ 0.


    (2, 6, 0) n˜o degenerada, uma vez que h´ exatamente trˆs restri¸˜es
               a                            a              e       co
    ativas no ponto (s˜o justas: x3 = 0, x2 ≤ 6, x1 + x2 + 2x3 ≤ 8)
                       a
    (4, 0, 2) ´ uma solu¸˜o degenerada (s˜o justas:
              e         ca               a
    x1 + x2 + 2x3 ≤ 8, x2 + 6x3 ≤ 12, x1 ≤ 4, x2 ≥ 0).


                   Alexandre Salles da Cunha     Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                      ca
Degenera¸˜o
        ca




              Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                               ca
Degenera¸˜o no formato padr˜o
        ca                 a



    Em uma solu¸˜o b´sica de um poliedro na forma padr˜o, as m
                  ca a                                a
    restri¸˜es de igualdade s˜o ativas.
          co                 a
    Assim sendo, ter mais que n desigualdades ativas em um ponto,
    equivale a ter mais de n − m vari´veis no n´ zero.
                                     a         ıvel

Defini¸˜o
     ca
Considere o poliedro na forma padr˜o P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}.
                                  a
Assuma que x seja uma solu¸˜o b´sica ´ uma solu¸˜o b´sica e que m seja
                            ca a      e        ca a
o n´mero de linhas de A. O vetor x ´ chamado degenerado se mais de
   u                                e
n − m componentes do vetor x s˜o nulas.
                                a




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Exemplo

Consideremos o poliedro    do exemplo anterior, ap´s introdu¸˜o de vari´veis
                                                  o         ca         a
de folga.                                                                   
                     1       1    2    1       0   0    0        8
                    0       1    6    0       1   0    0      12            
              A=   1
                                                          b =                
                             0    0    0       0   1    0      4             
                     0       1    0    0       0   0    1        6

    Vamos considerar a solu¸˜o b´sica associada `s colunas
                           ca a                 a
    A1 , A2 , A3 , A7.
    Fixando x4 = x5 = x6 = 0 e resolvendo linear BxB = b, temos que
    x = (4, 0, 2, 0, 0, 0, 6) que ´ uma solu¸˜o b´sica (vi´vel) degenerada,
                                  e         ca a          a
    uma vez que x2 = 0 ´ uma vari´vel b´sica em 0.
                             e        a     a
    Consequentemente, temos 4 vari´veis no n´ zero e n˜o
                                  a         ıvel      a
    n − m = 7 − 4 = 3 apenas.

                   Alexandre Salles da Cunha       Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                        ca
Interpretando a degenera¸˜o
                        ca
   Escolhemos uma solu¸˜o b´sica selecionando n restri¸˜es linearmente
                        ca a                            co
   independentes para serem satisfeitas na igualdade. Percebemos em
   seguida que outras restri¸˜es, al´m das n que selecionamos, s˜o
                            co      e                           a
   tamb´m justas naquela solu¸˜o b´sica.
        e                      ca a
   Se as entradas de A e b forem escolhidas aleatoriamente, a chance
   das solu¸˜es b´sicas decorrentes serem degeneradas ´ muito pequena.
           co    a                                      e
   Em muitas aplica¸˜es (onde A e b possui estrutura n˜o aleat´ria), a
                    co                                   a      o
   degenera¸˜o ´ bastante comum.
            ca e
   A figura abaixo procura ilustrar que pequenas perturba¸˜es nos dados
                                                           co
   do Programa Linear permitem eliminar a degenera¸˜o.
                                                     ca




                 Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                  ca
Visualizando a degenera¸˜o na forma padr˜o
                       ca               a
Neste exemplo temos n = 6, m = 4, n − m = 2.




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
A degenera¸˜o n˜o ´ uma propriedade puramente
           ca a e
geom´trica
     e

A degenera¸˜o n˜o ´ independente do modo como representamos o
           ca a e
poliedro. Considere o poliedro P representado de duas formas:
    P = {x ∈ R3 : x1 − x2 =
    0, x1 + x2 + 2x3 = 2, x1 ≥
    0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 e
    P = {x ∈ R3 : x1 − x2 =
    0, x1 + x2 + 2x3 = 2, x1 ≥
    0, x3 ≥ 0.
O ponto x = (0, 0, 1) ´
                      e
degenerado diante da primeira
representa¸˜o, e n˜o degenerado
          ca      a
diante da segunda.


                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Outro exemplo

   Considere uma solu¸˜o x ∗ b´sica vi´vel n˜o degenerada para um
                      ca      a       a     a
   poliedro na forma padr˜o P = {x ∈ R
                         a              n : Ax = b, x ≥ 0}, onde

   A ∈ Rm×n . Temos ent˜o exatamente n − m vari´veis satisfazendo
                         a                        a
    ∗ = 0.
   xi
   Se reescrevermos o poliedro da seguinte forma
   P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, −Ax ≥ −b, x ≥ 0} temos exatamente as
   mesmas n − m vari´veis satisfazendo xi∗ = 0 e mais 2m restri¸˜es
                       a                                         co
   justas em x ∗ (totalizando n + m justas). Portanto, para esta nova
   representa¸˜o, x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel degenerada.
             ca       e          ca a        a
   Mostramos casos onde uma solu¸˜o ´ degenerada diante de uma
                                   ca e
   representa¸˜o e n˜o ´ diante de outra.
               ca    a e
   ´ poss˜ mostrar que se uma solu¸˜o b´sica ´ degenerada diante de
   E      ivel                        ca a      e
   uma forma padr˜o particular, ent˜o ser´ degenerada diante de
                   a                a     a
   qualquer outra forma padr˜o do mesmo poliedro.
                             a

                 Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                  ca
Existˆncia de pontos extremos
     e
   Vamos obter uma condi¸˜o suficiente para um poliedro possuir um
                         ca
   ponto extremo.
   Nem todo poliedro possui um ponto extremo. Exemplo: um
   semiespa¸o em Rn (n > 1) n˜o possui ponto extremo.
           c                   a
   O poliedro P = {x ∈ R n : Ax ≥ b} onde A ∈ Rm×n e m < n n˜oa
   possui ponto extremo.




                Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                 ca
Existˆncia de pontos extremos
     e


Defini¸˜o
     ca
Um poliedro P ⊂ Rn possui uma linha se existir um vetor x ∈ P e uma
dire¸˜o d ∈ Rn n˜o nula tal que x + λd ∈ P para todo λ.
    ca          a

Teorema
Suponha que o poliedro P = {x ∈ Rn : ai′ x ≥ bi , i = 1, . . . , m} ´ n˜o
                                                                    e a
vazio. Ent˜o, as seguintes afirmativas s˜o equivalentes:
          a                            a
  1   O poliedro P possui pelo menos um ponto extremo.
  2   O poliedro P n˜o possui uma linha.
                    a
  3   Dentre os vetores ai : i = 1, . . . , m, existem n linearmente
      independentes.



                     Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                      ca
Prova

Prova
(2) → (1)
    Seja x ∈ P e I = {i : ai′ x = bi }. Se n dos vetores em I s˜o l.i. nada
                                                               a
    temos a provar (x seria, por defini¸˜o uma solu¸` b´sica). Ent˜o
                                         ca           c.ao a            a
    assumimos n˜o ser este o caso.
                a
    Ent˜o os vetores em I formam um subespa¸o pr´prio de Rn , existindo
       a                                       c o
    portanto d ∈ Rn tal que ai′ d = 0, i ∈ I .
    Consideremos os pontos da forma y = x + λd. Para todo i ∈ I ,
    temos ai′ y = ai′ x + λai′ d = ai′ x = bi .
    Como n˜o h´ uma linha e como ao longo de d todas as restri¸˜es em
               a a                                              co
    I permanecem ativas, h´ um valor para λ, digamos λ∗ , para o qual
                                a
    uma nova restri¸˜o se torna justa. Isto ´, existe
                      ca                    e
    λ∗ : aj′ (x + λ∗ d) = bj , j ∈ I .


                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Prova

Prova
(2) → (1) - Continua¸˜o
                    ca
    Afirmamos que aj n˜o ´ uma combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I .
                        a e               ca
                 ′ x = b e a′ (x + λd) = b . Logo a′ d = 0.
    Isto porque aj      j   j             j        j
    Recorde que d ⊥ span({ai : i ∈ I }), logo ai′ d = 0.
    Uma vez que aj n˜o ´ ortogonal a d e ai : i ∈ I s˜o ortogonais a d, aj
                    a e                              a
    n˜o pode ser uma combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I .
     a                       ca
    Logo, o n´mero de restri¸˜es l.i. aumentou em uma unidade ao
             u              co
    movermos de x para x + λ∗ d.
    Repetindo o processo quantas vezes forem necess´rias, terminamos
                                                   a
    em um ponto em que o n´mero de restri¸˜es l.i. ´ n e, por defini¸˜o,
                            u              co      e               ca
    este ponto ´ uma solu¸˜o b´sica.
               e         ca a


                   Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                    ca
Prova




Prova
(1) → (3)
    Se P possui um ponto extremo x, ent˜o x ´ uma solu¸˜o b´sica
                                       a    e         ca a
    vi´vel.
      a
    Por defini¸˜o, existem para x, n restri¸˜es ativas em x cujos vetores
                ca                        co
    ai s˜o l.i.
        a




                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca
Prova


Prova
(3) → (2)
    Assuma que n dos vetores ai , digamos, a1 , . . . , an , sejam l.i.
    Suponha que P contenha uma linha x + λd, onde d ´ um vetor n˜o
                                                    e           a
    nulo.
    Ent˜o temos ai′ (x + λd) ≥ bi , ∀i , ∀λ ∈ R. Para que isto ocorra,
         a
    ai′ d = 0 (se ai′ d < 0, tomar´
                                  ıamos λ suficientemente grande e
    violariamos a restri¸˜o. Racioc´ an´logo vale se ai′ d > 0.)
                          ca         ınio a
    Entretanto, como os vetores a1 , . . . , an s˜o l.i., temos que d = 0.
                                                 a
    Logo, temos uma contradi¸˜o e P n˜o pode conter uma linha.
                            ca       a




                    Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                     ca
Otimalidade de pontos extremos

    Na medida em que um Programa Linear possui uma solu¸˜o ´tima e
                                                         ca o
    na medida em que o conjunto de pontos vi´veis de um PL inclui pelo
                                             a
    menos um ponto extremo, ent˜o podemos sempre encontrar uma
                                 a
    solu¸˜o ´tima no conjunto de pontos extremos.
        ca o

Teorema
Considere o Programa Linear que consiste em minimizar c ′ x em um
poliedro P. Assuma que P possui pelo menos um ponto extremo e que
exista uma solu¸˜o ´tima para o Programa Linear. Ent˜o, existe uma
               ca o                                 a
solu¸˜o ´tima que ´ um ponto extremo de P.
    ca o          e

Teorema
Considere o Programa Linear que consiste em minimizar c ′ x em um
poliedro P. Assuma que P possui pelo menos um ponto extremo. Ent˜o,
                                                                  a
ou o custo ´timo ´ −∞ ou existe um ponto extremo de P que ´ ´timo.
           o     e                                            eo
                  Alexandre Salles da Cunha   Geometria da Programa¸˜o Linear
                                                                   ca

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Geometria da Programação Linear - Pontos extremos e vírtices

  • 1. Geometria da Programa¸˜o Linear ca Alexandre Salles da Cunha DCC-UFMG, Mar¸o 2012 - v.02 c Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 2. Poliedros Defini¸˜o ca Um poliedro ´ um conjunto que pode ser representado da seguinte forma: e P = {x ∈ R n : Ax ≥ b}, onde A ´ uma matriz m × n e b ∈ Rm . e Poliedro na forma padr˜o a Um poliedro ´ dito ser escrito na forma padr˜o se ´ representado da e a e seguinte forma: P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} Defini¸˜o ca Um poliedro limitado ´ chamado politopo. e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 3. Semiespa¸os e hiperplanos c Defini¸˜o ca Seja a um vetor n˜o nulo em Rn e b um escalar. a 1 O conjunto {x ∈ Rn : a′ x = b ´ chamado hiperplano. e 2 Os conjuntos {x ∈ Rn : a′ x ≥ b e {x ∈ Rn : a′ x ≤ b s˜o chamados a semiespa¸os. c Observa¸˜es: co O hiperplano ´ a fronteira dos dois semiespa¸os associados. e c O vetor a ´ ortogonal a qualquer hiperplano que defina (que depende e tamb´m de b). e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 4. Poliedros, semiespa¸os, hiperplanos c O poliedro pode ser escrito como a interse¸˜o de um n´mero finito de ca u restri¸˜es lineares (hiperplanos e semiespa¸os). co c Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 5. Hiperplanos e conjuntos convexos Proposi¸˜o ca 1 Todo poliedro ´ um conjunto convexo. e 2 A interse¸˜o de conjuntos convexos (poliedros em particular) ´ ca e convexa. 3 A combina¸˜o convexa de um conjunto finito de elementos de um ca conjunto pertence ao conjunto. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 6. Pontos extremos, v´rtices e solu¸˜es b´sicas e co a Verificamos atrav´s do m´todo gr´fico de resolu¸˜o que uma solu¸˜o e e a ca ca o ´tima de um PL tende a ocorrer em um canto do poliedro que define a regi˜o de viabilidade do PL. a Vamos apresentar trˆs formas alternativas de definir o que venha a ser e um canto do poliedro. ◮ Argumentos geom´tricos: pontos extremos e v´rtices de um poliedro. e e ◮ Argumentos alg´bricos: solu¸oes b´sicas (e b´sicas vi´veis) de um e c˜ a a a poliedro. Mostraremos que estas alternativas s˜o equivalentes. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 7. Ponto extremo Defini¸˜o ca Seja P um poliedro. Um vetor x ∈ P ´ um ponto extremo de P se n˜o for e a poss´ escrever x como uma combina¸˜o linear convexa de dois pontos ıvel ca z, y ∈ P (distintos de x). Isto ´, n˜o existem z, y ∈ P, z, y = x e e a λ ∈ [0, 1] tal que x = λz + (1 − λ)y . Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 8. V´rtice do poliedro e Defini¸˜o ca Seja P um poliedro. Um vetor x ∈ P ´ um v´rtice de P se existe algum e e vetor c ∈ R tal que c ′ x < c ′ y para qualquer y ∈ P, y = x. Isto ´, x ´ um v´rtice do poliedro se e e e {y : c ′ y = c ′ x} ∩ P = {x}. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 9. Desvantagens das descri¸˜es geom´tricas dadas co e Estas descri¸˜es n˜o s˜o f´ceis de serem tratadas em um algoritmo. co a a a Seria desej´vel dispor de uma descri¸˜o de canto que dependesse da a ca representa¸˜o do poliedro em termos de restri¸˜es lineares, que ca co pudesse ser resumido a um ”simples”teste alg´brico. e Para este prop´sito, vamos considerar a seguinte defini¸ao: o c˜ Restri¸˜es ativas co Assuma que P seja caracterizado por restri¸˜es lineares de igualdade e co desigualdade: ai′ x ≥ bi , ∀i ∈ M1 , ai′ x ≤ bi , ∀i ∈ M2 , ai′ x = bi , ∀i ∈ M3 . Ent˜o se um vetor x ∗ satisfaz ai′ x ∗ = bi para algum i ∈ M1 ∪ M2 ∪ M3 a dizemos que a restri¸˜o i ´ ativa. Se x ∗ ´ vi´vel, toda restri¸˜o cujo ´ ca e e a ca ındice i ∈ M3 ´ ativa. e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 10. Observa¸˜es co Se existem n restri¸˜es ativas em x ∗ , ent˜o x ∗ satisfaz um sistema co a linear de n restri¸˜es em n vari´veis. Este sistema linear admite co a solu¸˜o unica se estas n restri¸˜es s˜o linearmente independentes (em ca ´ co a um abuso de linguagem). Proposi¸˜o ca Dado x ∗ ∈ Rn e I = {i : ai′ x ∗ = bi } o conjunto dos ´ ındices das restri¸˜es co ativas em x ∗ . Ent˜o, s˜o equivalentes as afirmativas: a a 1 Existem n vetores no conjunto {ai : i ∈ I } que s˜o l.i. a 2 span({ai : i ∈ I }) = Rn 3 O sistema linear ai′ x = bi , ∀i ∈ I possui solu¸˜o unica. ca ´ Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 11. Prova Prova (1) ⇔ (2) (1) ← (2): Suponha que os vetores ai : i ∈ I gerem Rn . Ent˜o a dim(span({ai : i ∈ I })) = n e {ai : i ∈ I } formam uma base de Rn , sendo linearmente independente. (1) → (2): Suponha que os vetores ai : i ∈ I sejam l.i. Ent˜o o subespa¸o gerado a c por estes n vetores ´ n dimensional e necessita ser R e n . Assim qualquer vetor em Rn pode ser escrito como uma combina¸˜o linear ca de ai : i ∈ I Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 12. Prova (2) ⇔ (3) : (2) ← (3) : (por contradi¸˜o) ca Assuma que o sistema ai′ x = bi : i ∈ I admita duas solu¸˜es distintas co x 1 e x 2 . Ent˜o o vetor d = x 1 − x 2 = 0 satisfaz ai d = 0, ∀i ∈ I e n˜o a a pode ser escrito como combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I e ca portanto span({ai : i ∈ I } = Rn (absurdo !). Logo x 1 = x 2 . (2) → (3) : Se os vetores ai : i ∈ I n˜o geram Rn , existe d = 0 tal a que ai′d = 0 : i ∈ I . Ent˜o se x satisfaz ai′ x = bi : i ∈ I , temos que ai′ (x + d) = bi : i ∈ I e a temos m´ltiplas solu¸˜es para o sistema linear. u co Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 13. Defini¸˜o alg´brica de canto ca e Defini¸˜o ca Considere um poliedro P definido por m restri¸˜es lineares e x ∗ um elemento do Rn co (m ≥ n). 1 O vetor x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica se: e ca a 1 Todas as restri¸oes de igualdade que c˜ definem P s˜o ativas (satisfeitas) a 2 Dentre todas as restri¸oes que s˜o c˜ a ativas em x ∗ (de igualdade inclusas) existem n delas que s˜o l.i. a 2 Se x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica e todas as e ca a restri¸˜es que definem P s˜o co a satisfeitas, ent˜o x ∗ ´ uma solu¸˜o a e ca b´sica vi´vel. a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 14. Caso em que n > m Se o n´mero m de restri¸˜es lineares empregadas para representar um u co poliedro ´ inferior a n, o n´mero de restri¸˜es ativas ´ sempre inferior e u co e a n. Consequentemente, n˜o existem solu¸˜es b´sicas ou b´sicas vi´veis. a co a a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 15. Observa¸˜es co Note na figura anterior que os pontos A, B, C s˜o solu¸˜es b´sicas a co a vi´veis. a O ponto D n˜o ´ b´sica porque n˜o sastisfaz a restri¸˜o de igualdade a e a a ca x1 + x2 + x3 = 1. Entretanto, se a restri¸˜o x1 + x2 + x3 = 1 for reescrita como ca x1 + x2 + x3 ≤ 1 e x1 + x2 + x3 ≥ 1, o ponto D passa a ser solu¸˜o ca b´sica da nova forma empregada para representar o poliedro P. a Isto ´, o modo como o poliedro ´ representado em termos de e e restri¸˜es lineares influencia o conjunto de solu¸oes b´sicas. co c˜ a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 16. Mais um exemplo Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 17. As trˆs formas de representa¸˜o s˜o equivalentes e ca a Teorema Seja P um poliedro n˜o vazio e x ∗ ∈ P. Ent˜o as seguintes afirmativas a a s˜o equivalentes: a 1 x ∗ ´ um ponto extremo; e 2 x ∗ ´ um v´rtice; e e 3 x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 18. Prova: v´rtice → ponto extremo e Sem perda de generalidade, vamos assumir que P seja escrito em termos de restri¸˜es de igualdade ai′ x = bi e desigualdade na forma ai′ x ≥ bi . co Prova Suponha que x ∗ seja um v´rtice de P. Ent˜o, por defini¸˜o, existe e a ca c ∈ Rn tal que c ′ x ∗ < c ′ y para qualquer y ∈ P, y = x. Ent˜o tome y , z ∈ P distintos de x ∗ e λ ∈ [0, 1]. a Temos que c ′ x ∗ < c ′ (λy + (1 − λ)z) e consequentemente x ∗ = λy + (1 − λ)z. Logo o v´rtice x n˜o pode ser escrito como combina¸˜o convexa de e a ca dois outros pontos quaisquer de P e, portanto, o v´rtice ´ tamb´m e e e um ponto extremo. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 19. Ponto extremo → solu¸˜o b´sica vi´vel ca a a Prova Vamos supor que x ∗ ´ ponto extremo e n˜o ´ solu¸˜o b´sica vi´vel. e a e ca a a Seja I = {i : ai′ x ∗ = bi }. Ent˜o como x ∗ n˜o ´ solu¸˜o b´sica vi´vel, a a e ca a a n˜o existem, dentre as restri¸˜es em I , n linearmente independentes. a co Portanto, os vetores ai : i ∈ I geram um subespa¸o pr´prio de Rn . c o Ent˜o deve haver d ∈ Rn tal que ai′ d = 0, ∀i ∈ I . Dado um ǫ > 0 a suficientemente pequeno, consideremos os vetores y = x ∗ + ǫd e z = x ∗ − ǫd. Observe que ai′ y = ai′ z = ai′ x ∗ = bi , ∀i ∈ I . Al´m disto, e para i ∈ I temos que ai′ x ∗ > bi . Se escolhermos ǫ convenientemente (tal que ǫ|ai′ d| < ai′ x ∗ − bi , ∀i ∈ I ), temos que y ∈ P. Por argumento similar, mostramos que z ∈ P. Ent˜o, x ∗ = z+y e x ∗ n˜o pode ser ponto a 2 a extremo (contradi¸˜o !).ca Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 20. Solu¸˜o b´sica vi´vel → v´rtice ca a a e Prova Considere que x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel e I = {i : ai′ x ∗ = bi }. e ca a a Seja c = i ∈I ai . Ent˜o temos c a ′x ∗ = ′ ∗ i ∈I ai x = i ∈I bi . Por outro lado, para qualquer x ∈ P temos c ′x = ai′ x ≥ i ∈I bi . i ∈I Consequentemente, mostramos que x ∗ resolve o PL cuja fun¸˜o ca objetivo ´ (min) c e regi˜o de viabilidade ´ P. e a e O m´ ınimo de c ′ x ∗ = i ∈I ai′ x ∗ = i ∈I bi ocorre quando ′ x = b , ∀i ∈ I . ai i Como x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel, existem n restri¸˜es l.i. ativas e ca a a co em x ∗ (dentre aquelas que definem I ) e x ∗ ´ a solu¸˜o unica deste e ca ´ sistema linear. Portanto, x ∗ ´ o unico minimizador de c ′ x sobre P e, portanto, ´ um e ´ e v´rtice de P. e Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 21. Observa¸˜es co Corol´rio a Dado um n´mero finito de restri¸˜es de desigualdades que definem um u co poliedro, s´ pode haver um n´mero finito de solu¸˜es b´sicas ou b´sicas o u co a a vi´veis associadas a P. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 22. Solu¸˜es b´sicas adjacentes co a Duas solu¸˜es b´sicas para um conjunto de restri¸˜es lineares em Rn co a co s˜o adjacantes se podemos encontrar n − 1 restri¸˜es linearmente a co independentes ativas que s˜o comuns `s duas solu¸˜es. a a co Se duas solu¸˜es b´sicas adjacentes s˜o tamb´m vi´veis, o segmento co a a e a de reta que as une ´ chamado aresta do conjunto de viabilidade. e Na figura abaixo, D e E s˜o adjacentes a B. A e C s˜o adjacentes a D. a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 23. Poliedros na forma padr˜o a At´ o momento, a defini¸˜o de solu¸˜o b´sica foi dada para um e ca ca a poliedro descrito de forma geral. Vamos especializar esta defini¸˜o para a forma padr˜o, do tipo ca a P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}. A especializa¸˜o ser´ fundamental para o desenvolvimento do M´todo ca a e Simplex. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 24. Hip´teses iniciais o Consideremos P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, onde a matriz A possui m linhas. Vamos assumir que as m linhas de A s˜o linearmente independentes. a Futuramente, mostraremos que se houver alguma linha linearmente dependente, esta pode ser eliminada, sem descaracteriza¸˜o da regi˜o ca a de viabilidade (isto ´, a linha ´ redundante). e e Como as linhas de A s˜o n dimensionais, isto implica que m ≤ n. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 25. Solu¸˜es b´sicas co a Pela defini¸˜o dada anteriormente, uma solu¸˜o b´sica para ca ca a P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} deve ser tal que: As m linhas que definem Ax = b s˜o ativas (satisfeitas). a Como estas m linhas s˜o l.i., ´ necess´rio escolher dentre as demais a e a restri¸˜s xi ≥ 0, n − m para serem ativas. ce Estas restri¸˜es de n˜o negatividade n˜o podem ser quaisquer. co a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 26. Solu¸˜es b´sicas na forma padr˜o co a a Teorema Considere as restri¸˜es Ax = b e x ≥ 0 e assuma que a matriz A, m × n, co possua m linhas linearmente independentes. Um vetor x ∈ Rn ´ uma solu¸˜o b´sica se e somente se Ax = b e existirem e ca a ´ ındices B(1), . . . , B(m) de colunas de A tais que: 1 As colunas AB(1) , AB(2) , . . . , AB(m) s˜o linearmente independentes; a 2 Se i ∈ {B(1), . . . , B(m)} ent˜o xi = 0. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 27. Prova: Se (1) e (2) → ´ sol. b´sica e a Prova Considere x ∈ Rn e assuma que existam ´ ındices B(1), . . . , B(m) satisfazendo (1) e (2) acima. As restri¸˜es ativas xi = 0 para os ´ co ındices i ∈ {B(1), . . . , B(m)}, em conjunto com Ax = b, garante que m n i =1 AB(i ) xB(i ) = i =1 Ai xi = Ax = b. Como as colunas B(1), . . . , B(m) s˜o l.i., o sistema linear formado a pelas restri¸˜es ativas possui solu¸˜o unica. co ca ´ Ou seja, existem n restri¸˜es ativas linearmente independentes, e co ent˜o x ´ uma solu¸˜o b´sica (segundo a equivalˆncia das defini¸˜es a e ca a e co anteriores). Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 28. Prova: Se ´ sol. b´sica → (1) e (2) e a Parte 1 Prova Assuma que x ´ uma sol. b´sica. Vamos mostrar que (1) e (2) s˜o e a a ent˜o satisfeitas. a Seja xB(1) , . . . , xB(k) as componentes de x que s˜o n˜o nulas. a a Uma vez que x ´ b´sica, o sistema de restri¸˜es ativas formado por e a co Ax = b e xi = 0, i ∈ {B(1), . . . , B(k)} admite sol. unica. ´ Equivalentemente o sistema k=1 AB(i ) xB(i ) = b admite solu¸˜o i ca unica. ´ Ou seja, as colunas B(1), . . . , B(k) s˜o li e ent˜o k ≤ m. a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 29. Prova: Se ´ sol. b´sica → (1) e (2) e a Mostramos at´ agora que B(1), . . . , B(k) s˜o li e k ≤ m. e a Parte 2 Prova Uma vez que o posto de A ´ m, A possui m linhas e colunas li. e Ent˜o ´ poss´ escolher outras m − k colunas B(k + 1), . . . , B(m) a e ıvel de A, de forma que as colunas B(1), . . . , B(m) sejam li. Observe ent˜o que se i ∈ {B(1), . . . , B(m)} ent˜o xi = 0, a a completando a prova. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 30. Um procedimento para obten¸˜o de solu¸˜es b´sicas ca co a 1 Escolha m colunas AB(1) , . . . , AB(m) linearmente independentes de A. 2 Fa¸a xi = 0, ∀i ∈ {B(1), B(2), . . . , B(m)}. c 3 Resolva o sistema linear de m restri¸˜es Ax = b para as vari´veis co a xB(1) , xB(2) , . . . , xB(m) . Se as solu¸˜es geradas atrav´s do procedimento acima satisfizerem co e xi ≥ 0, ∀i ∈ {B(1), . . . , B(m)}, a solu¸˜o ´ chamada b´sica vi´vel. ca e a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 31. Nomenclatura As colunas B(1), . . . , B(m) s˜o denominadas b´sicas, assim como as a a vari´veis de decis˜o a elas associadas. a a As demais colunas (e vari´veis) s˜o denominadas n˜o b´sicas. a a a a A matriz B (m × m) formada pelas colunas b´sicas, a B = [AB(1) AB(2) · · · AB(m) ], ´ chamada base. e As vari´veis b´sicas xB s˜o obtidas resolvendo-se o sistema linear: a a a xB = B −1 b. Se xB ≥ 0, x ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 32. Exemplo     1 1 2 1 0 0 0 8  0 1 6 0 1 0 0    12    1 x =  0 0 0 0 1 0   4  0 1 0 0 0 0 1 6 Se escolhermos A4 , A5 , A6 , A7 como colunas b´sicas, temos que B a corresponde ` uma matriz n˜o singular e xB = (0, 0, 0, 8, 12, 4, 6) ≥ 0 a a ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel. e ca a a Outra base pode ser obtida escolhendo-se como b´sicas as colunas a A3 , A5 , A6 , A7 . A matriz B resultante ´ claramente n˜o singular e a e a solu¸˜o b´sica xB = (0, 0, 4, 0, −12, 4, 6) ≥ 0 ´ n˜o vi´vel. ca a e a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 33. Interpreta¸˜o econˆmica das solu¸˜es b´sicas ca o co a Uma solu¸˜o b´sica permite sintetizar b ∈ Rm usando-se apeans m ca a recursos, isto ´, b = m AB(i ) xB(i ) . e i =1 Em uma solu¸˜o b´sica vi´vel, a s´ ca a a ıntese ocorrer por meio de pesos n˜o negativos das colunas b´sicas (xB ≥ 0). a a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 34. Correspondˆncia entre bases e solu¸˜es b´sicas e co a Diferentes solu¸˜es b´sicas precisam corresponder a diferentes bases, co a uma vez que uma base determina unicamente uma solu¸˜o b´sica. ca a Entretanto, duas bases diferentes podem levar ` mesma solu¸˜o a ca b´sica. a Este fenˆmeno possui consequˆncias muito importantes do ponto de o e vista algoritmico. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 35. Bases adjacentes e solu¸˜es b´sicas adjacentes co a Da mesma forma que definimos solu¸˜es b´sicas adjacentes como aquelas co a que compartilham n − 1 restri¸˜es l.i. justas, definimos bases adjacentes co matrizes que compartilham m − 1 colunas (isto ´, que diferem apenas por e uma coluna).   1 1 2 1 0 0 0  0 1 6 0 1 0 0     1 0 0 0 0 1 0  0 1 0 0 0 0 1 {A4 , A5 , A6 , A7 } e {A3 , A5 , A6 , A7 } s˜o bases adjacentes. a As correspondentes solu¸˜es b´sicas (0, 0, 0, 8, 12, 4, 6) e co a (0, 0, 4, 0, −12, 4, 6) s˜o adjacentes uma vez que n = 7 e temos que a as restri¸˜es x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 em conjunto com as restri¸˜es de co co igualdade formam um sistema de 6 restri¸˜es justas l.i. co Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 36. A hip´tese de posto completo de A o Teorema Seja P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} um poliedro n˜o vazio, onde a A∈R m×n possui linhas a′ , a′ , . . . , a′ . 1 2 m Assuma que o posto de A seja k < m e que as primeiras k linhas de A, ′ ′ ′ a1 , a2 , . . . , ak , sejam l.i. Ent˜o o poliedro a Q = {x ∈ Rn : ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . , k, ≥ 0} e P s˜o idˆnticos (P = Q) e n˜o h´ perda de generalidade na hip´tese de a e a a o posto completo de A. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 37. Prova Prova Observe que se as primeiras k linhas n˜o forem l.i. podemos a rearranjar a ordem das linhas de forma que isto aconte¸a. c Claramente P ⊂ Q. Vamos mostrar que Q ⊂ P e ent˜o P = Q. a Se o posto de A ´ k, ent˜o o espa¸o linha de A possui dimens˜o k e e a c a qualquer linha de A pode ser escrita como combina¸˜o linear destas k ca linhas, isto ´, ai′ = k λij aj′ para escalares λij . e j=1 Considere x ∈ P. Observe que ai′ x = bi , ∀i = 1, . . . , m. Logo bi = ai′ x = k λij aj′ x = k λij bj , ∀i = 1, . . . , m j=1 j=1 k k Tome agora y ∈ Q. Ent˜o ai′ y = a ′ j=1 λij aj y = j=1 λij bj = bi . Logo y ∈ P e Q ⊂ P. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 38. Degenera¸˜o ca De acordo com a nossa defini¸˜o, em uma solu¸ao b´sica, dispomos ca c˜ a de n restri¸˜es ativas linearmente independentes. co Obviamente, o m´ximo n´mero de restri¸˜es linearmente a u co independentes ´ n, mas podemos ter em uma solu¸˜o b´sica mais de e ca a n restri¸˜es ativas. co Defini¸˜o ca Uma solu¸˜o b´sica x ∈ Rn ´ chamada degenerada se mais de n restri¸˜es ca a e co s˜o ativas em x. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 39. Degenera¸˜o - Exemplo ca Considere o politopo P dado pelas restri¸˜es: co x1 + x2 + 2x3 ≤ 8 x2 + 6x3 ≤ 12 x1 ≤ 4 x2 ≤ 6 x1 , x2 , x3 ≥ 0. (2, 6, 0) n˜o degenerada, uma vez que h´ exatamente trˆs restri¸˜es a a e co ativas no ponto (s˜o justas: x3 = 0, x2 ≤ 6, x1 + x2 + 2x3 ≤ 8) a (4, 0, 2) ´ uma solu¸˜o degenerada (s˜o justas: e ca a x1 + x2 + 2x3 ≤ 8, x2 + 6x3 ≤ 12, x1 ≤ 4, x2 ≥ 0). Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 40. Degenera¸˜o ca Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 41. Degenera¸˜o no formato padr˜o ca a Em uma solu¸˜o b´sica de um poliedro na forma padr˜o, as m ca a a restri¸˜es de igualdade s˜o ativas. co a Assim sendo, ter mais que n desigualdades ativas em um ponto, equivale a ter mais de n − m vari´veis no n´ zero. a ıvel Defini¸˜o ca Considere o poliedro na forma padr˜o P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}. a Assuma que x seja uma solu¸˜o b´sica ´ uma solu¸˜o b´sica e que m seja ca a e ca a o n´mero de linhas de A. O vetor x ´ chamado degenerado se mais de u e n − m componentes do vetor x s˜o nulas. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 42. Exemplo Consideremos o poliedro do exemplo anterior, ap´s introdu¸˜o de vari´veis o ca a de folga.     1 1 2 1 0 0 0 8  0 1 6 0 1 0 0   12  A=  1 b =   0 0 0 0 1 0   4  0 1 0 0 0 0 1 6 Vamos considerar a solu¸˜o b´sica associada `s colunas ca a a A1 , A2 , A3 , A7. Fixando x4 = x5 = x6 = 0 e resolvendo linear BxB = b, temos que x = (4, 0, 2, 0, 0, 0, 6) que ´ uma solu¸˜o b´sica (vi´vel) degenerada, e ca a a uma vez que x2 = 0 ´ uma vari´vel b´sica em 0. e a a Consequentemente, temos 4 vari´veis no n´ zero e n˜o a ıvel a n − m = 7 − 4 = 3 apenas. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 43. Interpretando a degenera¸˜o ca Escolhemos uma solu¸˜o b´sica selecionando n restri¸˜es linearmente ca a co independentes para serem satisfeitas na igualdade. Percebemos em seguida que outras restri¸˜es, al´m das n que selecionamos, s˜o co e a tamb´m justas naquela solu¸˜o b´sica. e ca a Se as entradas de A e b forem escolhidas aleatoriamente, a chance das solu¸˜es b´sicas decorrentes serem degeneradas ´ muito pequena. co a e Em muitas aplica¸˜es (onde A e b possui estrutura n˜o aleat´ria), a co a o degenera¸˜o ´ bastante comum. ca e A figura abaixo procura ilustrar que pequenas perturba¸˜es nos dados co do Programa Linear permitem eliminar a degenera¸˜o. ca Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 44. Visualizando a degenera¸˜o na forma padr˜o ca a Neste exemplo temos n = 6, m = 4, n − m = 2. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 45. A degenera¸˜o n˜o ´ uma propriedade puramente ca a e geom´trica e A degenera¸˜o n˜o ´ independente do modo como representamos o ca a e poliedro. Considere o poliedro P representado de duas formas: P = {x ∈ R3 : x1 − x2 = 0, x1 + x2 + 2x3 = 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 e P = {x ∈ R3 : x1 − x2 = 0, x1 + x2 + 2x3 = 2, x1 ≥ 0, x3 ≥ 0. O ponto x = (0, 0, 1) ´ e degenerado diante da primeira representa¸˜o, e n˜o degenerado ca a diante da segunda. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 46. Outro exemplo Considere uma solu¸˜o x ∗ b´sica vi´vel n˜o degenerada para um ca a a a poliedro na forma padr˜o P = {x ∈ R a n : Ax = b, x ≥ 0}, onde A ∈ Rm×n . Temos ent˜o exatamente n − m vari´veis satisfazendo a a ∗ = 0. xi Se reescrevermos o poliedro da seguinte forma P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, −Ax ≥ −b, x ≥ 0} temos exatamente as mesmas n − m vari´veis satisfazendo xi∗ = 0 e mais 2m restri¸˜es a co justas em x ∗ (totalizando n + m justas). Portanto, para esta nova representa¸˜o, x ∗ ´ uma solu¸˜o b´sica vi´vel degenerada. ca e ca a a Mostramos casos onde uma solu¸˜o ´ degenerada diante de uma ca e representa¸˜o e n˜o ´ diante de outra. ca a e ´ poss˜ mostrar que se uma solu¸˜o b´sica ´ degenerada diante de E ivel ca a e uma forma padr˜o particular, ent˜o ser´ degenerada diante de a a a qualquer outra forma padr˜o do mesmo poliedro. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 47. Existˆncia de pontos extremos e Vamos obter uma condi¸˜o suficiente para um poliedro possuir um ca ponto extremo. Nem todo poliedro possui um ponto extremo. Exemplo: um semiespa¸o em Rn (n > 1) n˜o possui ponto extremo. c a O poliedro P = {x ∈ R n : Ax ≥ b} onde A ∈ Rm×n e m < n n˜oa possui ponto extremo. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 48. Existˆncia de pontos extremos e Defini¸˜o ca Um poliedro P ⊂ Rn possui uma linha se existir um vetor x ∈ P e uma dire¸˜o d ∈ Rn n˜o nula tal que x + λd ∈ P para todo λ. ca a Teorema Suponha que o poliedro P = {x ∈ Rn : ai′ x ≥ bi , i = 1, . . . , m} ´ n˜o e a vazio. Ent˜o, as seguintes afirmativas s˜o equivalentes: a a 1 O poliedro P possui pelo menos um ponto extremo. 2 O poliedro P n˜o possui uma linha. a 3 Dentre os vetores ai : i = 1, . . . , m, existem n linearmente independentes. Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 49. Prova Prova (2) → (1) Seja x ∈ P e I = {i : ai′ x = bi }. Se n dos vetores em I s˜o l.i. nada a temos a provar (x seria, por defini¸˜o uma solu¸` b´sica). Ent˜o ca c.ao a a assumimos n˜o ser este o caso. a Ent˜o os vetores em I formam um subespa¸o pr´prio de Rn , existindo a c o portanto d ∈ Rn tal que ai′ d = 0, i ∈ I . Consideremos os pontos da forma y = x + λd. Para todo i ∈ I , temos ai′ y = ai′ x + λai′ d = ai′ x = bi . Como n˜o h´ uma linha e como ao longo de d todas as restri¸˜es em a a co I permanecem ativas, h´ um valor para λ, digamos λ∗ , para o qual a uma nova restri¸˜o se torna justa. Isto ´, existe ca e λ∗ : aj′ (x + λ∗ d) = bj , j ∈ I . Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 50. Prova Prova (2) → (1) - Continua¸˜o ca Afirmamos que aj n˜o ´ uma combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I . a e ca ′ x = b e a′ (x + λd) = b . Logo a′ d = 0. Isto porque aj j j j j Recorde que d ⊥ span({ai : i ∈ I }), logo ai′ d = 0. Uma vez que aj n˜o ´ ortogonal a d e ai : i ∈ I s˜o ortogonais a d, aj a e a n˜o pode ser uma combina¸˜o linear dos vetores ai : i ∈ I . a ca Logo, o n´mero de restri¸˜es l.i. aumentou em uma unidade ao u co movermos de x para x + λ∗ d. Repetindo o processo quantas vezes forem necess´rias, terminamos a em um ponto em que o n´mero de restri¸˜es l.i. ´ n e, por defini¸˜o, u co e ca este ponto ´ uma solu¸˜o b´sica. e ca a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 51. Prova Prova (1) → (3) Se P possui um ponto extremo x, ent˜o x ´ uma solu¸˜o b´sica a e ca a vi´vel. a Por defini¸˜o, existem para x, n restri¸˜es ativas em x cujos vetores ca co ai s˜o l.i. a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 52. Prova Prova (3) → (2) Assuma que n dos vetores ai , digamos, a1 , . . . , an , sejam l.i. Suponha que P contenha uma linha x + λd, onde d ´ um vetor n˜o e a nulo. Ent˜o temos ai′ (x + λd) ≥ bi , ∀i , ∀λ ∈ R. Para que isto ocorra, a ai′ d = 0 (se ai′ d < 0, tomar´ ıamos λ suficientemente grande e violariamos a restri¸˜o. Racioc´ an´logo vale se ai′ d > 0.) ca ınio a Entretanto, como os vetores a1 , . . . , an s˜o l.i., temos que d = 0. a Logo, temos uma contradi¸˜o e P n˜o pode conter uma linha. ca a Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca
  • 53. Otimalidade de pontos extremos Na medida em que um Programa Linear possui uma solu¸˜o ´tima e ca o na medida em que o conjunto de pontos vi´veis de um PL inclui pelo a menos um ponto extremo, ent˜o podemos sempre encontrar uma a solu¸˜o ´tima no conjunto de pontos extremos. ca o Teorema Considere o Programa Linear que consiste em minimizar c ′ x em um poliedro P. Assuma que P possui pelo menos um ponto extremo e que exista uma solu¸˜o ´tima para o Programa Linear. Ent˜o, existe uma ca o a solu¸˜o ´tima que ´ um ponto extremo de P. ca o e Teorema Considere o Programa Linear que consiste em minimizar c ′ x em um poliedro P. Assuma que P possui pelo menos um ponto extremo. Ent˜o, a ou o custo ´timo ´ −∞ ou existe um ponto extremo de P que ´ ´timo. o e eo Alexandre Salles da Cunha Geometria da Programa¸˜o Linear ca