O documento discute derivadas direcionais, que representam a taxa de variação de uma função em determinado ponto na direção de um vetor unitário. A derivada direcional depende do ponto e da direção do vetor e generaliza as derivadas parciais. O vetor gradiente fornece a direção de maior taxa de crescimento da função.

1. Derivadas Direcionais
Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de
z = f(x), x = (x1, x2, . . . , xn), no ponto a = (a1, a2, . . . , an) na
direção de um vetor unitário u = (u1, . . . , un).
Lembre-se que um vetor u é unitário se ǁuǁ = 1.
Exemplo 1
Suponha que f (a) é a temperatura no ponto a numa sala com
ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na
direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se
movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá
diminuir.
A taxa de variação de z = f(x) em a na direção de u é a
derivada direcional. Note que derivada direcional de depende
tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.

2. Definição 2
h→0 h
Derivada Direcional Seja f : D → R uma função de n variáveis,
isto é, D ⊆ Rn. Considere um ponto a no interior de D e u ∈Rn
um vetor com ǁuǁ = 1. A derivada direcional de f em a na
direção u é
Duf(a) = lim
f(a + hu) − f(a)
,
se esse limite existir.
Observação
A distância entre a e a + hu é |h|. Logo, o quociente
f(a + hu) − f(a)
h
representa a taxa média de variação de f por unidade de
distância sobre o segmento de reta de a à a + hu.

3. Derivada Direcional e as Derivadas Parciais
A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no
seguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção da
i-ésima componente da base canônica, ou seja,
ei = (0, . . . , 0, 1 , 0, . . . , 0)
i-ésima c
`
o
˛¸
m
x
ponente
é a derivada parcial de f em a com respeito à xi, ou seja,
i
∂f
∂xi
e xi
D f(a) = (a) = f (a i
) = D f(a).

4. Derivadas Parciais e a Derivada Direcional
h→0 h h→0 h
Considere a função g : R → R dada por
g(h) = f(a + hu).
Por um lado, note que
gJ(0) = lim
g(h) − g(0)
= lim
f(a + hu) − f(a)
= Duf(a).
Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que
gJ(h) =
∂f dx1
+
∂f dx2
+ . . . +
∂f dxn
.
∂x1 dh ∂x2 dh ∂xn dh
Agora, x(h) = a+hu = (a1 +hu1, a2 +hu2, . . . , an +hun). Logo,
dx1
= u1,
dx2
= u2, . . . ,
dxn
= un.
dh dh dh
Portanto, tem-se
gJ
(0) =
∂x1
∂f
.
1
u +
∂x
∂f
.
2
u + . . . +
∂x
2 n
∂f
.
a a a
n
u =
n
Σ
j=1
∂xj
∂f
.
. . . .
a
j
u .

5. Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em
termos do seguinte produto escalar
n
Σ
j=1
∂f ∂f ∂f ∂f
` ˛¸ x
vetor gradiente
Duf(x) = uj = , , . . . , ·u.
∂xj ∂x1 ∂x2 ∂xn
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f, denotado por ∇f ou gradf, é a
∇f =
∂f ∂f
∂x1 ∂x2
, , . . . ,
∂f
∂xn
função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,
ou seja,
.

6. Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em
termos do seguinte produto escalar
n
Σ
j=1
∂f ∂f ∂f ∂f
` ˛¸ x
vetor gradiente
Duf(x) = uj = , , . . . , ·
u = ∇f ·u.
∂xj ∂x1 ∂x2 ∂xn
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f, denotado por ∇f ou gradf, é a
∇f =
∂f ∂f
∂x1 ∂x2
, , . . . ,
∂f
∂xn
função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais,
ou seja,
.

7. Interpretação do Vetor Gradiente
Sabemos que o produto escalar de dois vetores a e b satisfaz:
a ·b = ǁaǁǁbǁ cosθ,
em que θé o angulo entre a e b. Assim, podemos escrever
`˛¸x
Duf = ∇f ·u = ǁ∇fǁ ǁuǁ cosθ = ǁ∇fǁ cosθ.
=1
O valor máximo de cosθ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo,
Teorema 5
O valor máximo da derivada direcional Duf de uma função
diferenciável é ǁ∇fǁ e ocorre quando u tem a mesma direção e
sentido que ∇f.
Em outras palavras, a maior taxa de variação de f(x) ocorre na
direção e sentido do vetor gradiente.

8. Em R2...
Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curva
de nível dada pelo conjunto dos pontos
{ r(t) = (x(t), y(t)) : f(x(t), y(t)) = k} .
Se P = (x(t0), y(t0)), então pela regra da cadeia, temos que
∂x dt ∂y dt
∂f dx ∂f dy
+ = 0 ⇐⇒ ∇f(x0, y0) ·rJ(t0) = 0,
em que x0 = x(t0), y0 = y(t0) e rJ(t0) = (xJ(t0), yJ(t0)) é o vetor
tangente a curva de nível em P.
Conclusão:
O vetor gradiente ∇f (x0, y0), além de fornecer a direção e
sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente
à curva de nível de f(x, y) = k que passa por P = (x0, y0).

9. Em R3...
O vetor gradiente ∇F (x0, y0, z0), além de fornecer a direção e
sentido de maior crescimento, é perpendicular ao plano
tangente à superfície de nível de F(x, y, z) = k que passa por
P = (x0, y0, z0).

10. O plano tangente à superfície F(x, y, z) = k em P = (x0, y0, z0)
é dado por todos os vetores que partem de (x0, y0, z0) e são
ortogonais ao gradiente ∇F (x0, y0, z0), ou seja, a equação do
plano tangente é:
∇f(x0, y0, z0) ·(x − x0, y − y0, z − z0) = 0.
A reta normal a superfície F(x, y, z) = k em P = (x0, y0, z0) é
dada pelo gradiente ∇F(x0, y0, z0), ou seja,
(x − x0, y − y0, z − z0) = λ∇f(x0, y0, z0), λ ∈R.
Alternativamente, suas equações simétricas são
x − x0
=
y − y0
=
z − z0
.
Fx (x0, y0, z0) Fy (x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0)

11. Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf(x, y) se
f(x, y) = x3 − 3xy + 4y2,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ= π/6.
Qual será Duf(1, 2)?

12. Exemplo 6
Determine a derivada direcional Duf(x, y) se
f(x, y) = x3 − 3xy + 4y2,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ= π/6.
Qual será Duf(1, 2)?
Resposta:
u
1
2
2
√ √
D f(x, y) = 3 3x − 3x + (8 − 3 3)y)
e
Duf(1, 2) =
13 − 3
√
3
2
.

13. Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f(x, y) = x2y3 − 4y,
no ponto P = (2, −1) na direção do vetor v = 2i + 5j.

14. Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f(x, y) = x2y3 − 4y,
no ponto P = (2, −1) na direção do vetor v = 2i + 5j.
Resposta:
32
Duf(2, −1) = √
29
.