O documento descreve o método simplex para resolver problemas de programação linear. Ele apresenta as etapas do método, como identificar uma solução ótima, melhorar soluções subótimas e realizar pivotamento para encontrar novas soluções viáveis. É demonstrado passo a passo como aplicar o método simplex para resolver um problema de programação linear específico.

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3. Objetivo
Resolver problemas de Programação Linear com 3 ou mais
variáveis de decisão.
Método interativo (algoritmo) utilizado para
encontrar, algebricamente, a Solução Ótima de
um problema de Programação Linear.
O processo termina quando não é mais possível
seguir melhorando uma determinada solução.

4. Etapa A: Identificação de uma Solução Ótima.
Verifica se a Solução Básica Viável atual satisfaz o critério de
otimalidade.
 Se o critério for satisfeito, termina aplicação do método;
 Caso contrário, aplica-se a etapa B.
Etapa B: Melhoria da Solução Básica Viável:
Procura obter uma Solução Básica melhor que a atual:
 Determinar a variável não-básica que deve entrar;
 Determinar a variável básica que deve ser substituída;
 Obtenção da nova solução através do processo de pivotamento.

5. Transformar o sistema de M desigualdades lineares em
um sistema de M equações lineares ( Padrão ).
Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma
variável não negativa chamada “Variável de Folga”.
Forma Canônica
Forma Padrão

6. Resolver o modelo abaixo através do Método Simplex.
Max Z = 3x1 + 5x2
s.a.
x1 < 4
2x2 < 12
3x1 + 2x2 < 18
X1, x2 > 0

7. Para restrições do tipo < a variável de folga será do tipo fi > 0.
Para restrições do tipo > a variável de folga será do tipo fi < 0.
Max Z = 3x1 + 5x2
s.a.
x1 < 4
2x2 < 12
3x1 + 2x2 < 18
X1, x2 > 0
Max Z = 3x1 + 5x2
s.a.
x1 + f1 = 4
2x2 + f2 = 12
3x1 + 2x2 + f3 = 18
x1, x2, f1, f2, f3 > 0
Variáveis Não Básicas - x1 e x2
Variáveis Básicas - f1 , f2 , f3

8. Inclusive os valores da Função Objetivo
Max Z = 3x1 + 5x2  Max Z - 3x1 - 5x2 = 0
s.a.
x1 + f1 = 4
2x2 + f2 = 12
3x1 + 2x2 + f3 = 18
x1, x2, f1, f2, f3 > 0
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0

9. Examinar os valores dos coeficientes da linha correspondente à
Função Objetivo e concluir:
 Se todos os valores forem positivos, a solução é ótima e
única;
 Se aparecerem alguns valores positivos e alguns nulos a
solução é ótima mas não única;
 Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima.
Deve-se então executar o 5º passo.

10. Das variáveis básicas da Função Objetivo, qual deve-se
tornar positiva ?
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0

11. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
É a variável que mais contribui para o lucro.
x2 pois deve ser a variável que mais contribui para o lucro.
Das variáveis básicas da Função Objetivo, qual deve-se
tornar positiva ?

12. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Das 3 variáveis básicas qual será anulada ?

13. Das 3 variáveis não básicas quem será anulada ?
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4 4 / 0 = 
f2 0 2 0 1 0 12 12/2=6
f3 3 2 0 0 1 18 18/2=9
Z -3 -5 0 0 0 0
Será a variável associada a linha que tiver o menor quociente entre os Valores
da Solução e o elemento correspondente da coluna de entrada.
PIVÔ

14. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Equação Pivô
Duas operações serão realizadas na busca por outra solução:
PIVÔ
Equação do Pivô
Nova Equação do Pivô =
Pivô
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
1º Na equação do Pivô:
2º Nas demais equações, incluindo Z:

15. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Equação Pivô
PIVÔ
f2 0 2 0 1 0 12
f2 0 1 0 1/2 0 6
Equação do Pivô
Nova Equação do Pivô =
Pivô

16. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3
Z
Nova equação do PIVO ( N. E. P. )
Anterior 0 2 0 1 0 12
Nova 0 1 0 1/2 0 6

17. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3
Z
Equação para f1
Anterior 1 0 1 0 0 4
- ( 0 x N. E. P. ) 0 0 0 0 0 0
Nova 1 0 1 0 0 4

18. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z
Equação para f3
Anterior 3 2 0 0 1 18
- ( 2 x N. E. P. ) 0 2 0 1 0 12
Nova 3 0 0 -1 1 6

19. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
f2 0 2 0 1 0 12
f3 3 2 0 0 1 18
Z -3 -5 0 0 0 0
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30
Equação para Z
Anterior -3 -5 0 0 0 0
- ( 5 x N. E. P. ) 0 5 0 5/2 0 30
Nova -3 0 0 5/2 0 30

20. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30
Como nos elementos da ÚLTIMA LINHA
(Equação Z) ainda existe um NÚMERO
NEGATIVO, significa que ainda NÃO
CHEGAMOS A UMA SOLUÇÃO ÓTIMA do
PPL.
É necessário REPETIR o processo.

21. Das variáveis básicas da Função Objetivo, qual deve-se
tornar positiva ?
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30

22. x1 pois é a única variável negativa remanescente.
Das variáveis básicas da Função Objetivo, qual deve-se
tornar positiva ?
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30

23. Das 2 variáveis básicas qual será anulada ?
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4 4 / 1 = 4
x2 0 1 0 1/2 0 6 6 / 0 = 
f3 3 0 0 -1 1 6 6 / 3 = 2
Z -3 0 0 5/2 0 30
PIVÔ

24. Equação Pivô
Duas operações serão realizadas na busca por outra solução:
Equação do Pivô
Nova Equação do Pivô =
Pivô
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   
1º Na equação do Pivô:
2º Nas demais equações, incluindo Z:
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30
PIVÔ

25. Equação Pivô
f3 3 0 0 -1 1 6
f3 1 0 0 -1/3 1/3 2
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30
PIVÔ
Equação do Pivô
Nova Equação do Pivô =
Pivô

26. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1
x2 0 1 0 5/2 0 6
x1 1 0 0 -1/3 1/3 2
Z
Nova equação do PIVO ( N. E. P. )
Anterior 3 0 0 -1 1 6
Nova 1 0 0 -1/3 1/3 2
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 1/2 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30

27. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 0 0 1 1/3 -1/3 2
x2 0 1 0 1/2 0 6
x1 1 0 0 -1/3 1/3 2
Z
Equação para f1
Anterior 1 0 1 0 0 4
- ( 1 x N. E. P. ) 1 0 0 1/3 1/3 2
Nova 0 0 1 1/3 - 1/3 2
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 ½ 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30

28. Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 0 0 1 1/3 -1/3 2
x2 0 1 0 1/2 0 6
x1 1 0 0 -1/3 1/3 2
Z 0 0 0 3/2 1 36
Equação para Z
Anterior -3 0 0 5/2 0 30
- ( 3 x N. E. P. ) 3 0 0 1 1 18
Nova 0 0 0 3/2 1 36
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 4
x2 0 1 0 ½ 0 6
f3 3 0 0 -1 1 6
Z -3 0 0 5/2 0 30

29. Como todas as VARIÁVEIS NA ÚLTIMA LINHA possuem
COEFICIENTE S POSITIVOS temos a SOLUÇÃO ÓTIMA.
Solução Ótima :
x1 = 2 x2 = 6 Z = 36
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 0 0 1 1/3 -1/3 2
x2 0 1 0 1/2 0 6
x1 1 0 0 -1/3 1/3 2
Z 0 0 0 3/2 1 36