1) O documento discute estratégias para resolver problemas matemáticos, incluindo compreender o problema, estabelecer um plano de solução, e executar e verificar o plano. 2) Várias heurísticas são apresentadas, como desenhar diagramas, examinar casos particulares, e considerar problemas relacionados ou modificações do problema original. 3) Diferentes tipos de problemas são definidos, como exercícios de reconhecimento, problemas algorítmicos, e situações-problema.

1. R esolvendo P roblemas

2. Professora: Jacqueline Oliveira da Cunha R esolvendo P roblemas

3. R esolvendo P roblemas “ A arte de resolver problemas”

4. R esolvendo P roblemas Primeiro É preciso compreender o problema COMPREENSÃO DO PROBLEMA Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória? Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?

5. R esolvendo P roblemas Segundo Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar em um problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.

6. R esolvendo P roblemas Segundo Encontre a conexão entre os dados e a incógnita. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar em um problema conhecido que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.

7. R esolvendo P roblemas Segundo É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar uma conexão imediata. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Eis um problema correlato e já antes resolvido. É possível utilizá-lo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização? É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições.

8. R esolvendo P roblemas Segundo É preciso chegar afinal a um plano para a resolução. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até eu ponto fica assim determinada a incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?

9. R esolvendo P roblemas Terceiro Execute o seu plano EXECUÇÃO DO PLANO Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto?

10. R esolvendo P roblemas Quarto Examine a solução obtida RETROSPECTO É possível verificar o resultado ? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto em um relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

11. R esolvendo P roblemas “ Heurísticas na sala de aula” Alan H. Schoenfeld Heurística : sugestão ou estratégia geral, independente de algum tópico particular ou do assunto em questão, que ajude os resolvedores de problemas a abordar e entender um problema e a dirigir eficientemente seus recursos para resolvê-lo

12. R esolvendo P roblemas Algumas heurísticas importantes na resolução de problemas Analisando e entendendo um problema: 1. Desenhe um diagrama , se for possível. 2. Examine casos particulares para: a) exemplificar o problema; b) explorar as várias possibilidades, através de casos com limitações; e c) encontrar padrões de indução fazendo os parâmetros inteiros iguais sucessivamente a 1, 2, 3, ... 3. Tente simplificar, usando simetrias ou “sem prejuízo da generalidade”.

13. Delineando e planejando uma solução: R esolvendo P roblemas Planeje as soluções hierarquicamente. Seja capaz de explicar, em qualquer momento da resolução, o que você está fazendo e por quê; o que você fará com o resultado dessa operação

14. R esolvendo P roblemas Explorando soluções para problemas difíceis: Considere uma variedade de problemas equivalentes: a) substitua a condicionante por outras equivalentes; b) recombine elementos do problema por outras equivalentes; c) introduza elementos auxiliares; d) reformule o problema: com uma mudança de perspectiva ou notação; argumentando por contradição ou contrapositivamente; Assumindo uma solução e determinando as propriedades que ela precisa ter.

15. R esolvendo P roblemas Explorando soluções para problemas difíceis: 2. Considere ligeiras modificações do problema original: a) escolha metas secundárias e tente alcançá-las; b) desconsidere uma condicionante e, depois, tente impô-la novamente; c) decomponha o problema e trabalhe nele, parte por parte.

16. R esolvendo P roblemas Explorando soluções para problemas difíceis: 3. Considere modificações amplas do problema original: a) examine problemas análogos com menor complexidade (menos variáveis); b) explore o papel de uma única variável ou condicionante deixando o resto fixo; c) explore algum problema de forma, dados ou conclusões similares; tente explorar o resultado e o método.

17. R esolvendo P roblemas Verificando uma solução: Use estes testes específicos: A solução usa todos os dados? É adequada a estimativas razoáveis? Resiste a testes de simetria, análise de dimensões, escala? 2. Use testes gerais: Pode ser obtida de forma diferente? Pode ser comprovada em casos particulares? Reduzida a resultados conhecidos? Pode gerar alguma coisa que você conhece?

18. R esolvendo P roblemas “ Formulando problemas adequadamente” Thomas Butts Tipos de Problemas Exercícios de reconhecimento; Exercícios algorítmicos; Problemas de aplicação; Problemas de pesquisa aberta; Situações-problema .

19. R esolvendo P roblemas Exercícios de reconhecimento; Exercícios deste tipo normalmente pedem aos resolvedores para reconhecer ou recordar um fato específico, uma definição ou enunciado de um teorema. São geralmente propostos em forma de verdadeiro ou falso , múltipla escolha , preencha os espaços ou comparação .

20. 2. Exercícios algorítmicos; Trata-se de exercícios que podem ser resolvidos com um procedimento passo-a-passo, freqüentemente um algoritmo numérico. A habilidade para fazer cálculos, em seu sentido mais amplo, requer exercício e prática; o desafio é torná-la interessante . Dê uma seqüência de exercícios algorítmicos com um propósito; Faça a inversão de um problema conhecido.

21. Os problemas de aplicação envolvem algoritmos aplicativos. Os problemas tradicionais caem nesta categoria, exigindo sua resolução: formulação do problema simbolicamente e depois... manipulação dos símbolos mediante algoritmos diversos. 3. Problemas de aplicação;

22. Alguns critérios para um “bom exemplo” de problema de aplicação (segundo o Sourcebook on Applications da MAA - NCTM) 3. Problemas de aplicação; 1. Os dados deverão ser realistas, tanto nas informações do que é conhecido como nos valores numéricos usados 2. Deverá ser razoável esperar que a “incógnita” do problema seja efetivamente desconhecida 3. A resposta do problema deverá ser uma quantidade para cuja procura possivelmente se pudesse encontrar uma razão

23. 4. Problemas de pesquisa aberta; São problemas de pesquisa aberta aqueles em cujo enunciado não há uma estratégia para resolvê-los. A função mais importante dos problemas de pesquisa aberta é incentivar a conjectura. Jogos matemáticos e quebra-cabeças são também outra rica fonte de problemas de pesquisa aberta.

24. Situações nas quais uma das etapas decisivas é identificar o problema inerente à situação, cuja solução irá melhorá-la. 5. Situações-problema;

25. “ Estratégias de resolução de problemas na matemática escolar” Gary L. Musser J. Michael Shaughnessy 1. Tentativa e erro 2. Padrões 3. Resolver um problema mais simples 4. Trabalhar em sentido inverso 5. Simulação

26. 1. Tentativa e erro 2. Padrões Envolve simplesmente a aplicação das operações pertinentes às informações dadas. Esta estratégia considera casos particulares do problema. Generalizando-se a partir desses casos, chega-se à solução. 3. Resolver um problema mais simples Esta estratégia pode envolver a resolução de um “caso particular” de um problema, ou um recuo temporário de um problema complicado para uma versão resumida.

27. 4. Trabalhar em sentido inverso 5. Simulação Esta estratégia parte do objetivo, ou do deve ser provado, e não dos dados. Freqüentemente, a solução de um problema compreende preparar e realizar um experimento, coletar dados e tomar uma decisão baseada em uma análise de dados.

28. R esolvendo P roblemas “ A solução de problemas em matemática” María del Puy Pérez Echeverría Os problemas matemáticos têm uma e somente uma resposta correta. Existe somente uma forma correta de resolver um problema matemático e, normalmente, o correto é seguir a última regra demonstrada em aula pelo professor. Os estudantes “normais” não são capazes de entender Matemática; somente podem esperar memorizá-la e aplicar mecanicamente aquilo que aprenderam sem entender. Os estudantes que entenderam Matemática devem ser capazes de resolver qualquer problema em cinco minutos ou menos. A Matemática ensinada na escola não tem nada a ver com o mundo real. As regras formais da Matemática são irrelevantes para os processos de descobrimento e de invenção.

29. R esolvendo P roblemas Alguns fatores não matemáticos que influenciam na dificuldade de tradução de problemas matemáticos Diferenças no significado de uma mesma expressão na linguagem cotidiana (mais ambígua e contextual) e na linguagem matemática (mais precisa). Diferentes significados matemáticos de uma mesma expressão ou palavra (por exemplo, “é”). Ordem e forma de apresentação dos dados. Presença de dados irrelevantes para a solução do problema. Caráter hipotético dos problemas matemáticos (“dados matemáticos” diante de “dados reais”). Diferença ente as teorias pessoais e as teorias matemáticas.

30. Bibliografia Guzmán,Miguel de. Aventuras matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1986. Krulik, Stephen e Reys, Robert E. A resolução de problemas na matemática escolar . São Paulo: Atual, 1997. Polya, George. A arte de resolver problemas . Rio de Janeiro: Interciência, 1995. Pozo, Juan Ignacio (org.). A solução de problemas – Aprender a resolver, resolver para aprender . Porto Alegre: ArtMed, 1998.