1) Uma progressão aritmética é uma sequência numérica onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. 2) Progressões aritméticas podem ser crescentes, decrescentes ou constantes, dependendo do valor da razão. 3) Fórmulas para calcular termos gerais e soma dos termos de uma progressão aritmética finita são apresentadas.

1. Progressão Aritmética

2. Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante . Essa constante é chamada de razão e representada por r . Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

3. P.A crescente: r > 0 , então os elementos estarão em ordem crescente. PA (2,5,8,11,...) P.A constate: r = 0 , então os elementos serão todos iguais. PA (2,2,2,2,...) P.A decrescente: r < 0 , então os elementos estarão em ordem decrescente. PA (18, 16, 14, 12, ...)

4. a 1 : 1 o termo a n : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo) r : razão n : número de termos S n : soma dos termos TM : termo médio

5. Considere uma P.A finita qualquer (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... , a n ) de razão igual a r : a 2 – a 1 = r -> a 2 = a 1 + r a 3 – a 2 = r -> a 3 – a 1 – r = r -> a 3 = a 1 + 2r a 4 – a 3 = r -> a 4 – a 1 – 2r = r -> a 4 = a 1 + 3r … a n = a 1 + (n – 1) . r

6. Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula Sn = (a1 + an) . n 2

7. Termo Médio de uma P.A. Representação de 3 termos na P.A. {(x-r) ; x ; (x+r)}

8. Considerando a função f:  ->  e x 1, x 2, ... , x 3 ...x n. ... elementos de uma PA, f será uma função afim, definida por f(x) = ax+b, se, e somente se, f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),..., f(x n ),... for uma PA de razão a.r , sendo a o coeficiente angular da f e r razão da PA inicial.

9. Exemplo: Sejam a função afim f(x)=4x-2 e a PA (-6, -1, 4, 9, 14, 19, ...) de razão 5. A sequência (f(-6), f(-1), f(4), f(9), f(14), f(19), ... ), dada por (-26, -6, 14, 34, 54, 74, ...) é uma PA de razão 20 (4 . 5).

10. A função f:  ->  será uma função quadrática, definida por f(x) = ax 2 +bx+c, se, e somente se, para toda PA (x 1, x 2, x 3 ...x n. ...) as diferenças f(x 2 )- f(x 1 ), f(x 3 )- f(x 2 ), f(x 4 )- f(x 3 ),...,f(x n )- f(x n-1 ) formarem uma nova PA. A razão dessa nova PA será 2ar 2 , sendo a o coeficiente de f e r razão da PA inicial.

11. Exemplo: Sejam a função quadrática f(x)=-x 2 +2x-2 e a PA(3,5,7,9,11,...) de razão 2. A sequência (f(5)- f(3), f(7)- f(5), f(9)- f(7),f(11)- f(9),...), dada por (-12, -20, -28, -36, ...), é uma PA de razão -8 (2.(-1).2 2 )

12. Progressão Geométrica

13. Sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q , chamada razão . Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si dois termos consecutivos.

14. 1. Crescente: 2. Decrescente : 3. Alternante ou Oscilante : quando q < 0. 4. Constante: quando q = 1 5. Estacionária ou Singular: quando q = 0

15. Numa progressão geométrica de razão q , os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: a 1 = a 1 a 2 = a 1 xq a 3 = a 1 xq 2 ... a n = a 1 x q n-1

16. SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

17. a 1 : 1 o termo a n : termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo) q : razão n : número de termos S n : soma dos termos P : produto dos termos

18. Em toda P.G. qualquer termo em módulo, excetuando-se os extremos, é média geométrica entre o seu antecedente e o seu conseqüente. Ex.: (3,6,12,...) -> 6 2 = 3.12 Em toda P.G. limitada o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos Ex.: (1,2,4,8,16,32) -> 2.16 = 1.32

19. Dados a função do tipo exponencial f:  ->  definida por f(x) = b.a x e x 1, x 2, ... , x 3 ...x n. ... elementos de uma PA, a sequência (f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),..., f(x n ),...) é uma progressão geométrica de razão a r .

20. Exemplo: Sejam a função do tipo exponencial f(x)=3.(½) x e a PA (-3, -1, 1, 3, 5, 7, ...), de razão 2, a sequência (f(-3), f(-1), f(1), f(3), f(5), f(7), ...), dada por (24, 6, 3 / 2 , 3 / 8 , 3 / 32 , 3 / 128 , ...), é uma PG de razão ¼ = (½) 2 .

21. {( x / q , x, x.q )} FIM