Computação Gráfica: Transformadas Geométricas 2

TRANSFORMAÇÕES
GEOMÉTRICAS Parte 2
Prof.ª M.ª Elaine Cecília Gatto
10/03/2018Prof.ªM.ªElaineCecíliaGatto1

Cooordenadas Homogêneas e
Matrizes de Transformação
• A translação é tratada como uma soma de
vetores, a escala e a rotação são tratadas como
uma multiplicação de um vetor por uma matriz.
• Para que se possa combinar facilmente essas
transformações, devemos poder tratar do mesmo
modo todas as 3 transformações de uma forma
consistente.
• A solução é representar os pontos P do espaço
através de três coordenadas (coordenadas
homogêneas).

• A fim de possibilitar múltiplas transformações
no ponto, utilizando composição de matrizes,
temos que fazer com que as operações das
matrizes de transformação com os pontos
sejam consistentes – todas devem ser
multiplicativas em relação à matriz ponto.
• Para que as operações possam ser
multiplicativas, estas devem ser convertidas de
cartesianas para HOMOGENEAS

• Dois pontos em coordenadas homogêneas
(x, y, W) e (x’, y’, W’)
• Representam o mesmo ponto SE E SOMENTE SE
um é múltiplo do outro e pelo menos uma das
coordenadas homogêneas deve ser diferente
de zero
• A coordenada (0,0,0) não é permitida

• Em suma, um ponto 2D passa a ter três
coordenadas ao invés de apenas duas.
• Isto permite que cada ponto tenha muitas
representações
• W é a coordenada homogênea.
• HOMEGEIZAR significa dividir por W por x e
y.
• Se W é a coordenada não zero, podemos
dividir (x, y, W) por ela, obtendo o mesmo
ponto ( x/W, y/W, 1).

• x/W e y/W são as coordenadas cartesianas
do ponto homogêneo
• EXEMPLO: P(2,3,5) pode ser representado por
P(2/5, 35/, 1)

TRANSLAÇÃO
• TRANSLAÇÃO: P’ = T * P
𝑥′
𝑦′
1
=
1 0 𝑑𝑥
0 1 𝑑𝑦
0 0 1
∙
𝑥
𝑦
1
• Fazendo a multiplicação da matriz temos:
𝑥′
𝑦′
1
=
1 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦 + (𝑑𝑥 + 1 )
0 ∗ 𝑥 + 1 ∗ 𝑦 + (𝑑𝑦 ∗ 1 )
0 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦 + ( 1 ∗ 1 )
Equação 1

TRANSLAÇÃO
• Logo:
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑥 + 0 + 𝑑𝑥
0 + 𝑦 + 𝑑𝑦
0 + 0 + 1
• Portanto:
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑥 + 𝑑𝑥
𝑦 + 𝑑𝑦
1

TRANSLAÇÃO
• Isto é:
𝑥′ = 𝑥 + 𝑑𝑥
y′
= y + dy
w′ = w
• Logo:
𝑥′
𝑤
=
𝑥
𝑤
+
𝑤𝑑𝑥
𝑤
=
𝑥
𝑤
+ 𝑑𝑥
𝑦′
𝑤
=
𝑦
𝑤
+
𝑤𝑑𝑦
𝑤
=
𝑦
𝑤
+ 𝑑𝑦

TRANSLAÇÃO
• A equação 1 pode ser representada da seguinte
forma:
𝑃′
= 𝑇 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 ∙ 𝑃
• Onde:
𝑇(𝑑𝑥, 𝑑𝑦) =
1 0 𝑑𝑥
0 1 𝑑𝑦
0 0 1

TRANSLAÇÃO
• A TRANSLAÇÃO é ADITIVA: transladar um objeto em
(dx1, dy1) unidades, e depois em (dx2, dy2)
unidades.
• Para tal, multiplicar o ponto P pela matriz de
translação T1 e depois pela matriz de translação T2
𝑇 = 𝑑𝑥1 + 𝑑𝑥2, 𝑑𝑦1 + 𝑑𝑦2
𝑃′ = 𝑇1 𝑑𝑥1, 𝑑𝑦1 ∙ 𝑃
𝑃′′ = 𝑇2 𝑑𝑥2, 𝑑𝑦2 ∙ 𝑃′
(a)
(b)
(c)

TRANSLAÇÃO
• Substituindo P’ em P’’:
𝑃′′ = 𝑇2 𝑑𝑥2, 𝑑𝑦2 ∙ 𝑃′
𝑃′′
= 𝑇2 𝑑𝑥2, 𝑑𝑦2 ∙ 𝑇1 𝑑𝑥1, 𝑑𝑦1 ∙ 𝑃
𝑃′′ = 𝑇2 𝑑𝑥2, 𝑑𝑦2 ∙ 𝑇1 𝑑𝑥1, 𝑑𝑦1 ∙ 𝑃
• As matrizes correspondentes são:
𝑇1 𝑑𝑥1, 𝑑𝑦1 =
1 0 𝑑𝑥1
0 1 𝑑𝑦1
0 0 1

TRANSLAÇÃO
𝑇2 𝑑𝑥2 𝑑𝑦2 =
1 0 𝑑𝑥2
0 1 𝑑𝑦2
0 0 1
𝑇1 ∗ 𝑇2 =
1 0 𝑑𝑥1
0 1 𝑑𝑦1
0 0 1
∙
1 0 𝑑𝑥2
0 1 𝑑𝑦2
0 0 1
𝑇1 ∗ 𝑇2 =
1 ∗ 1 + 0 ∗ 0 + (𝑑𝑥1 ∗ 0) 1 ∗ 0 + 0 ∗ 1 + (0 ∗ 0) 1 ∗ 𝑑𝑥2 + 0 ∗ 𝑑𝑦2 + (𝑑𝑥1 ∗ 1)
0 ∗ 1 + 1 ∗ 0 + 𝑑𝑦1 ∗ 0 0 ∗ 0 + 1 ∗ 1 + 𝑑𝑦1 ∗ 0 0 ∗ 𝑑𝑥2 + 1 ∗ 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑦1 ∗ 1
0 ∗ 1 + 0 ∗ 0 + (1 ∗ 0) 0 ∗ 0 + 0 ∗ 1 + 1 ∗ 0 0 ∗ 𝑑𝑥2 + 0 ∗ 𝑑𝑦2 + 1 ∗ 1

TRANSLAÇÃO
𝑇1 ∗ 𝑇2 =
1 + 0 + (0) 0 + 0 + (0) 𝑑𝑥2 + 0 + (𝑑𝑥1)
0 + 0 + 0 0 + 1 + 0 0 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑦1
1 + 0 + (0) 0 + 0 + 0 0 + 0 + 1
𝑻𝟏 ∗ 𝑻𝟐 =
𝟏 𝟎 𝒅𝒙𝟐 + 𝒅𝒙𝟏
𝟎 𝟏 𝒅𝒚𝟐 + 𝒅𝒚𝟏
𝟏 𝟎 𝟏
Isto é o que chamados de TRANSFORMAÇÃO DE COMPOSIÇÃO!

ESCALA
𝑆 =
𝑠𝑥 0 0
0 𝑠𝑦 0
0 0 1
𝑃′
= 𝑆 ∗ 𝑃
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑠𝑥 0 0
0 𝑠𝑦 0
0 0 1
∗
𝑥
𝑦
1

ESCALA
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑠𝑥 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦 + (0 ∗ 1)
0 ∗ 𝑥 + 𝑠𝑦 ∗ 𝑦 + 0 ∗ 1
0 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦 + 1 ∗ 1
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑠𝑥 ∗ 𝑥 + 0 + (0)
0 + 𝑠𝑦 ∗ 𝑦 + 0
0 + 0 + 1
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑠𝑥 ∗ 𝑥
𝑠𝑦 ∗ 𝑦
1

ESCALA
𝑥′
= 𝑠𝑥 ∗ 𝑥
𝑦′ = 𝑠𝑦 ∗ 𝑦
𝑤′ = 𝑤
FAZENDO UMA COMPOSIÇÃO DE ESCALA:
𝑃′
= 𝑆 𝑠𝑥1, 𝑠𝑦1 ∙ 𝑃
𝑃′′
= 𝑆 𝑠𝑥2, 𝑠𝑦2 ∙ 𝑃′
𝑃′′ = 𝑆 𝑠𝑥2, 𝑠𝑦2 ∙ [𝑆 𝑠𝑥1, 𝑠𝑦1 ∙ 𝑃]′
𝑃′′
= [𝑆(𝑠𝑥2, 𝑠𝑦2) ∙ 𝑆(𝑠𝑥1, 𝑠𝑦1)] ∙ 𝑃

ESCALA
EM TERMOS MATRICIAIS:
𝑠𝑥2 0 0
0 𝑠𝑦2 0
0 0 1
∙
𝑠𝑥1 0 0
0 𝑠𝑦1 0
0 0 1
=
[ 𝑠𝑥2 ∗ 𝑠𝑥1 + 0 ∗ 0 + 0 ∗ 0 ] [ 𝑠𝑥2 + 0 + 0 ∗ 𝑠𝑦1 + 0 ∗ 0 ] [ 𝑠𝑥2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 + 0 ∗ 1 ]
[ 0 ∗ 𝑠𝑥1 + 𝑠𝑦2 ∗ 0 + 0 ∗ 0 ] [ 0 ∗ 0 + 𝑠𝑦2 ∗ 𝑠𝑦1 + 0 ∗ 0 ] [ 0 ∗ 0 + 𝑠𝑦2 ∗ 0 + 0 ∗ 1 ]
[ 0 ∗ 𝑠𝑦1 + 0 ∗ 0 + 1 ∗ 0 ] [ 0 ∗ 0 + 0 ∗ 𝑠𝑦1 + 1 ∗ 0 ] [ 1 ∗ 0 + 1 ∗ 0 + 1 ∗ 1 ]
=
[ 𝑠𝑥2 ∗ 𝑠𝑥1 + 0 + 0] [0 + 0 + 0] [0 + 0 + 0]
[0 + 0 + 0] [0 + 𝑠𝑦2 ∗ 𝑠𝑦1 + 0] [0 + 0 + 0]
[0 + 0 + 0] [0 + 0 + 0] [0 + 0 + 1]
=
𝒔𝒙𝟐 ∗ 𝒔𝒙𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝒔𝒚𝟐 ∗ 𝒔𝒚𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏

ROTAÇÃO
𝑃′
= 𝑅. 𝑃
𝑥′
𝑦′
1
=
cos 𝜃 −sin 𝜃 0
sin 𝜃 cos 𝜃 0
0 0 1
∙
𝑥
𝑦
1
=
𝑥′
𝑦′
1
=
cos 𝜃 ∗ 𝑥 + − sin 𝜃 ∗ 𝑦 + 0 ∗ 1
sin 𝜃 ∗ 𝑥 + cos 𝜃 ∗ 𝑦 + 0 ∗ 1
0 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦 + 1 ∗ 1
=

ROTAÇÃO
𝑥′
𝑦′
1
=
cos 𝜃 ∗ 𝑥 + − sin 𝜃 ∗ 𝑦 + 0
sin 𝜃 ∗ 𝑥 + cos 𝜃 ∗ 𝑦 + 0
0 + 0 + 1
=
𝑥′
𝑦′
1
=
cos 𝜃 ∗ 𝑥 − sin 𝜃 ∗ 𝑦
sin 𝜃 ∗ 𝑥 + cos 𝜃 ∗ 𝑦
1

ROTAÇÃO
PORTANTO:
𝑥′
= cos 𝜃𝑥 − sin 𝜃𝑦
𝑦′
= sin 𝜃𝑥 + cos 𝜃𝑦
𝑤′
= 𝑤
𝑥′
= cos 𝜃
𝑥
𝑤
− sin 𝜃
𝑦
𝑤
𝑦′
= sin 𝜃
𝑥
𝑤
+ cos 𝜃
𝑦
𝑤

CISALHAMENTO
𝑃′
= 𝑆𝐻 ∗ 𝑃
𝑥′
𝑦′
1
=
1 𝑠ℎ𝑥 0
𝑠ℎ𝑦 1 0
0 0 1
∗
𝑥
𝑦
1
=
𝑥′
𝑦′
1
=
1 ∗ 𝑥 + 𝑠ℎ𝑥 ∗ 𝑦 + 0 ∗ 1
𝑠ℎ𝑦 ∗ 𝑥 + 1 ∗ 𝑦 + 0 ∗ 1
0 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦 + 1 ∗ 1
=

CISALHAMENTO
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑥 + 𝑠ℎ𝑦 + 0
𝑠ℎ𝑥 + 𝑦 + 0
0 + 0 + 1
=
𝑥′
𝑦′
1
=
𝑥 + 𝑠ℎ𝑦
𝑠ℎ𝑥 + 𝑦
1
𝑥′
= 𝑥 + 𝑠ℎ ∗ 𝑦
𝑦′
= 𝑠ℎ ∗ 𝑥 + 𝑦
𝑤𝑥′
= 𝑤

ESPELHAMENTO

OBSERVAÇÕES
• Uma sequencia arbitrária de rotações,
translações e escalas, são chamadas de
transformações afins.
• As Transformações Afins preservam
paralelismo de linhas, mas não comprimentos e
ângulos.
• Multiplicação de Matrizes não é comutativa
• Ordem das operações influencia diretamente
• Rotação seguida de translação é muito
diferente de translação seguida de rotação.

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