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Aula03 - Princípios de Contagem.ppsxpppppp
- 1. Princípios de Contagem, Números Binomiais e Binômio de Newton
- 2. 2. Princípio da Adição 3. Princípio da Multiplicação 1. Princípio da Casa dos Pombos 1. Princípio da Casa dos Pombos Mostre que há, no máximo, 6 algarismos na dízima periódica de 1/7. 7 1 0, 0 0 8 56 4 0 0 2 14 6 4 0 0 28 2 0 1 7 3 5 0 0 35 5 7 0 0 49 1 1/13 = 0,076923 ... 1/9 = 0,1 ... 1/17 = 0,0588235294117647… 0 Princípios de Contagem
- 3. 2. Princípio da Adição n( A B ) Em uma urna há 20 fichas numeradas de 1 a 20. Ao retirarmos apenas uma ficha, qual a chance de obtermos uma ficha cujo número é múltiplo de 3 ou múltiplo de 5? A B X interseção n(A) + n(B) – n( A B ) n( A B ) n(A) + n(B) A B = A B A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 } n(A) = 6 B = { 5, 10, 15, 20 } n(B) = 4 A B = { 15 } n(A B) = 1 n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) = 6 + 4 - 1 = 9 chances em 20 Princípios de Contagem
- 4. 3. Princípio da Multiplicação O número de possibilidades de se realizar várias ações distintas e independentes pode ser obtido pelo produto dos números de possibilidades de cada uma das ações, individualmente. Exemplo infantil clássico! Um palhaço possui 4 calças (K) e 3 camisas (C). Considerando exclusivamente as possíveis esco- lhas de uma calça e de uma camisa, de quantas formas diferentes ele pode se vestir?” 𝟒 𝟑 = 𝟏𝟐 formas Princípios de Contagem 4 K K1 K2 K3 K3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 3 3 3 3
- 5. Arranjos, Permutações e Combinações Comissões, subconjuntos... Combinações A ordem é relevante? Dados n objetos selecionar p objetos S N Filas, Senhas, Anagramas... Arranjos e Permutações Agrupamentos 𝑨𝒑 𝒏 = (𝒏 − 𝟎). 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … [𝒏 − 𝒑 − 𝟏 ] = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝑷𝒏 = 𝑨𝒏 𝒏 = 𝒏. 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … 𝟏 = 𝒏! 𝑪𝒑 𝒏 ← 𝑨𝒑 𝒏 Como obter combinações a partir dos arranjos? 𝑪𝒑 𝒏 = 𝑨𝒑 𝒏 𝒑! = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝒑!
- 6. Quantidade de subconjuntos com 𝒑 elementos extraídos de um conjunto com 𝒏 elementos. parâmetros 𝒏 e 𝒑 Número binomial de 𝒏 𝒑 𝒏 elementos 𝒑 elementos 𝒏 pega 𝒑 = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝒑! = 𝑪 𝒏 𝒑 𝒏 𝒑 Números Binomiais
- 7. Dos 20 funcionários de uma empresa, 13 são homens e 7 são mulheres. Desejamos formar uma comissão constituída por 3 homens e 5 mulheres. Quantas são as possíveis comissões? → 𝑪𝟑 𝟏𝟑 . 𝑪𝟓 𝟕 𝐶𝟑 𝟏𝟑 𝐶𝟓 𝟕 → 13.12.11 3! ∙ 𝐶2 7 → 13.12.11 3! ∙ 7.5 2! = ⋯
- 8. Use algum produto do tipo planilha e digite nas células A1 a A6 os valores indicados de 1 a 6; e na célula B1 digite a expressão = 𝑪𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏(𝟏𝟐; 𝑨𝟏). A seguir, selecione a célula B1 e arrase-a até a célula B6 (pergunte a um colega como se faz isso e pratique), pois é inaceitável, hoje, que você não possua pelo menos noções do uso de um produto do tipo planilha! Qual o valor gerado na célula B5? A B C 1 2 3 4 5 6 A B C 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A B C 1 1 =COMBIN(12;A1) 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A B C 1 1 =COMBIN(12;A1) 2 2 =COMBIN(12;A2) 3 3 =COMBIN(12;A3) 4 4 =COMBIN(12;A4) 5 5 =COMBIN(12;A5) 6 6 =COMBIN(12;A6) A B C 1 1 12 2 2 66 3 3 220 4 4 495 5 5 792 6 6 924
- 9. 𝑎 + 𝑏 𝟏 = 𝟏𝑎 + 𝟏𝑏 𝑎 + 𝑏 𝟐 = 𝟏𝒂 + 𝟏𝒃 𝟏𝑎 + 𝟏𝑏 𝑎 + 𝑏 𝟑 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 2 𝑎 + 𝑏 𝟑 = 𝟏𝒂 + 𝟏𝒃 𝟏𝑎2 + 𝟐𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2 = 𝟏𝑎3 +𝟐𝑎2𝑏 + 𝟏𝑎1𝑏2 = 𝟏𝑎2 + 𝟏𝑎1𝑏 + 𝟏𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2 = 𝟏𝑎2 + 𝟐𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2 + + 𝟏𝑎2𝑏 + 𝟐𝑎𝑏2 + 𝟏𝑏3 = 𝟏𝑎3 + 𝟑𝑎2 𝑏 + 𝟑𝑎𝑏2 + 𝟏𝑏3 𝑎 + 𝑏 𝟒 = ? 1 3 3 1 1 3 3 1 𝟏 𝟒 𝟔 𝟒 1 𝑎 + 𝑏 𝟒 = 𝟏𝑎4𝑏0 + 𝟒𝑎3𝑏1 + 𝟔𝑎2𝑏2 + 𝟒𝑎3𝑏1 + 𝟏𝑎0𝑏4 𝑎 + 𝑏 𝟓 = 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 𝟏 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟏 𝑎 + 𝑏 𝟓 = 𝟏𝑎5 + 𝟓𝑎4𝑏 + 𝟏𝟎𝑎3𝑏2 + 𝟏𝟎𝑎2𝑏3 + 𝟓𝑎𝑏4 + 𝟏𝑏5 Binômio de Newton 𝒂 + 𝒃 𝒏
- 10. 𝒏 𝒑 = 𝑪𝒑 𝒏 = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝒑! Desenvolvimento 𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 . . . (𝒂 + 𝒃) Binômio de Newton Selecionar p termos 𝒂 nas 𝒏 parcelas (𝒂 + 𝒃) = 𝑪𝒏 𝒏. 𝒂𝒏−𝟎𝒃𝟎 + 𝑪𝒏−𝟏 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟏𝒃𝟏 + 𝑪𝒏−𝟐 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟐𝒃𝟐 + ⋯ = 𝑪𝟎 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟎 𝒃𝟎 + 𝑪𝟏 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟏 𝒃𝟏 + 𝑪𝟐 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟐 𝒃𝟐 + ⋯ 𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝑪𝟎 𝟒 . 𝒂𝟒 𝒃𝟎 + 𝑪𝟏 𝟒 . 𝒂𝟑 𝒃𝟏 + 𝑪𝟐 𝟒 . 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + 𝑪𝟑 𝟒 . 𝒂𝟏 𝒃𝟑 + 𝑪𝟒 𝟒 . 𝒂𝟎 𝒃𝟒 … 𝒂 + 𝒃 𝟒
- 11. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Primeiro e último termos de cada linha. 𝒏 𝟎 . . . . . . 𝒏 𝒏
- 12. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Elementos simétricos em cada linha... 𝒏 𝒌 = 𝒏 𝒏 − 𝐤
- 13. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Relação de Stifel 𝒏 𝒌 = 𝒏 − 1 𝒌 − 1 + 𝒏 − 1 𝒌
- 14. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Soma de Linha 𝒏 𝟎 + 𝒏 𝟏 + ⋯ + 𝒏 𝒏 = 𝟐𝒏
- 15. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Soma de Coluna da linha (da linha 𝑘 até a linha 𝑛) 𝒌 𝒌 + 𝒌 + 1 𝒌 + ⋯ + 𝒏 𝒌 = 𝒏 + 1 𝒌 + 1
- 16. Dupla Contagem 𝒏 − 1 𝒑 − 1 + 𝒏 − 1 𝒑 = 𝒏 𝒑 𝟐𝒏 𝒏 𝟎 + 𝒏 𝟏 + ⋯ + 𝒏 𝒌 + ⋯ + 𝒏 𝒏 = 𝒏. 2𝒏−1 𝟏 𝒏 𝟏 + 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝟑 𝒏 𝟑 + ⋯ + 𝒏 𝒏 𝒏 = Relações combinatórias Estratégia Inventar um problema e resolvê-lo de duas maneiras diferentes Exemplos
- 17. 𝒉 + 𝒎 𝒄 = 𝒌=𝟎 𝒌=𝒄 𝒉 𝒌 𝒎 𝒄 − 𝒌 Dupla Contagem Relações combinatórias Relação de Vandermonde 𝟔 + 𝟓 𝟒 = 𝟔 𝟎 𝟓 𝟒 − 𝟎 + 𝟔 𝟏 𝟓 𝟒 − 𝟏 + 𝟔 𝟐 𝟓 𝟒 − 𝟐 + ⋯ + 𝟔 𝒌 𝟓 𝟒 − 𝒌 + ⋯ + 𝟔 𝟒 𝟓 𝟒 − 𝟒 𝟔 + 𝟓 𝟒 = 𝟔 𝟎 𝟓 𝟒 + 𝟔 𝟏 𝟓 𝟑 + 𝟔 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝟔 𝟑 𝟓 𝟏 + 𝟔 𝟒 𝟓 𝟎 𝒉 = 𝟔 𝒎 = 𝟓 𝒄 = 𝟒 Quantas comissões com 𝐜 = 𝟒 participantes podem ser formadas se dispomos de 𝐡 = 𝟔 homens e 𝐦 = 𝟓 mulheres?
- 18. Solução Mostre a igualdade 𝟖 𝟎 𝟐 + 𝟖 𝟏 𝟐 + 𝟖 𝟐 𝟐 + … + 𝟖 𝟕 𝟐 + 𝟖 𝟖 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟖 Dica Imagine o problema de calcular o número de comissões com 8 pessoas, sendo disponíveis 8 homens e 8 mulheres. Lembre-se que 𝟖 𝒌 = 𝟖 𝒏 − 𝒌 , para 𝒌 entre 𝟎 e 𝟖. p1 p2 p4 p3 p16 ... 𝟏𝟔 𝟖 𝟖 𝟐 𝟖 𝟎 𝟖 𝟖 + 𝟖 𝟏 𝟖 𝟕 + ⋯ + + 𝟖 𝟕 𝟖 𝟏 + 𝟖 𝟖 𝟖 𝟎 8 pessoas h1 h2 h8 h3 m1 m2 m8 m3 ... ... 𝟖 𝟔 h1 h6 h3 m3 h2 m5 h7 h8 𝟖 𝟔 𝟖 𝟐 𝟎 𝟏 𝟔 𝟕 𝟖 𝟖 𝟔 𝟖 𝟐 6 homens 2 mulheres
- 19. Na igualdade 𝟐𝒏 𝟐 = 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝒏𝟐, onde 𝑛 ≥ 1, o lado es- querdo pode ser facilmente justificado imaginando-se a quantidade de duplas que podem ser formadas a partir de 𝟐𝒏 pessoas disponíveis. Quanto ao lado direito, uma forma de interpretá-lo, é separando as 𝟐𝒏 pessoas em dois grupos de 𝒏 pessoas cada (por exemplo, 𝒏 homens e 𝒏 mulheres) e interpretar as parcelas 𝒏 𝟐 , 𝒏 𝟐 e 𝒏𝟐 como uma contagem “marota”. Dê uma interpretação para a parcela 𝒏𝟐...