SlideShare uma empresa Scribd logo
Princípios de Contagem,
Números Binomiais e
Binômio de Newton
2. Princípio da Adição
3. Princípio da Multiplicação
1. Princípio da Casa dos Pombos
1. Princípio da Casa dos Pombos
Mostre que há, no máximo,
6 algarismos na dízima
periódica de 1/7.
7
1
0,
0
0
8
56
4
0
0
2
14
6
4
0
0
28
2
0
1
7
3
5
0
0
35
5
7
0
0
49
1
1/13 = 0,076923 ...
1/9 = 0,1 ...
1/17 = 0,0588235294117647…
0
Princípios de Contagem
2. Princípio da Adição
n( A  B )
Em uma urna há 20 fichas numeradas de 1 a 20.
Ao retirarmos apenas uma ficha, qual a chance
de obtermos uma ficha cujo número é múltiplo
de 3 ou múltiplo de 5?
A
B
X
interseção
 n(A) + n(B) – n( A  B )
n( A  B )  n(A) + n(B)
A  B = 
A B
A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 }  n(A) = 6
B = { 5, 10, 15, 20 }  n(B) = 4
A  B = { 15 }  n(A  B) = 1
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) = 6 + 4 - 1 = 9 chances em 20
Princípios de Contagem
3. Princípio da Multiplicação
O número de possibilidades de se realizar várias
ações distintas e independentes pode ser obtido
pelo produto dos números de possibilidades de
cada uma das ações, individualmente.
Exemplo infantil clássico!
Um palhaço possui 4 calças (K) e 3 camisas (C).
Considerando exclusivamente as possíveis esco-
lhas de uma calça e de uma camisa, de quantas
formas diferentes ele pode se vestir?”
𝟒 𝟑 =
𝟏𝟐 formas
Princípios de Contagem
4 K
K1
K2
K3
K3
C1
C2
C3

C1
C2
C3

C1
C2
C3

C1
C2
C3

 3
 3
 3
 3
Arranjos, Permutações e Combinações
Comissões, subconjuntos...
Combinações
A ordem é
relevante?
Dados n objetos
selecionar p
objetos
S
N
Filas, Senhas, Anagramas...
Arranjos e Permutações
Agrupamentos
𝑨𝒑
𝒏
= (𝒏 − 𝟎). 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … [𝒏 − 𝒑 − 𝟏 ] =
𝒏!
𝒏 − 𝒑 !
𝑷𝒏 = 𝑨𝒏
𝒏 = 𝒏. 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … 𝟏 = 𝒏!
𝑪𝒑
𝒏 ← 𝑨𝒑
𝒏
Como obter combinações
a partir dos arranjos?
𝑪𝒑
𝒏 =
𝑨𝒑
𝒏
𝒑!
=
𝒏!
𝒏 − 𝒑 ! 𝒑!
Quantidade de subconjuntos
com 𝒑 elementos extraídos de
um conjunto com 𝒏 elementos.
parâmetros 𝒏 e 𝒑
Número binomial de
𝒏
𝒑
𝒏 elementos
𝒑 elementos
𝒏 pega 𝒑
=
𝒏!
𝒏 − 𝒑 ! 𝒑!
= 𝑪
𝒏
𝒑
𝒏
𝒑
Números Binomiais
Dos 20 funcionários de uma empresa, 13 são homens
e 7 são mulheres. Desejamos formar uma comissão
constituída por 3 homens e 5 mulheres. Quantas são
as possíveis comissões?
→ 𝑪𝟑
𝟏𝟑
. 𝑪𝟓
𝟕
𝐶𝟑
𝟏𝟑
𝐶𝟓
𝟕
→
13.12.11
3!
∙ 𝐶2
7
→
13.12.11
3!
∙
7.5
2!
= ⋯
Use algum produto do tipo planilha e digite nas
células A1 a A6 os valores indicados de 1 a 6; e na
célula B1 digite a expressão = 𝑪𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏(𝟏𝟐; 𝑨𝟏).
A seguir, selecione a célula B1 e arrase-a até a
célula B6 (pergunte a um colega como se faz isso e
pratique), pois é inaceitável, hoje, que você não
possua pelo menos noções do uso de um produto
do tipo planilha!
Qual o valor gerado na célula B5?
A B C
1
2
3
4
5
6
A B C
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
A B C
1 1 =COMBIN(12;A1)
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
A B C
1 1 =COMBIN(12;A1)
2 2 =COMBIN(12;A2)
3 3 =COMBIN(12;A3)
4 4 =COMBIN(12;A4)
5 5 =COMBIN(12;A5)
6 6 =COMBIN(12;A6)
A B C
1 1 12
2 2 66
3 3 220
4 4 495
5 5 792
6 6 924
𝑎 + 𝑏 𝟏 = 𝟏𝑎 + 𝟏𝑏
𝑎 + 𝑏 𝟐 = 𝟏𝒂 + 𝟏𝒃 𝟏𝑎 + 𝟏𝑏
𝑎 + 𝑏 𝟑
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 2
𝑎 + 𝑏 𝟑 = 𝟏𝒂 + 𝟏𝒃 𝟏𝑎2 + 𝟐𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2
= 𝟏𝑎3 +𝟐𝑎2𝑏 + 𝟏𝑎1𝑏2
= 𝟏𝑎2 + 𝟏𝑎1𝑏
+ 𝟏𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2
= 𝟏𝑎2 + 𝟐𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2
+ + 𝟏𝑎2𝑏 + 𝟐𝑎𝑏2 + 𝟏𝑏3
= 𝟏𝑎3
+ 𝟑𝑎2
𝑏 + 𝟑𝑎𝑏2
+ 𝟏𝑏3
𝑎 + 𝑏 𝟒
= ? 1  3  3  1
1 3 3 1
𝟏 𝟒 𝟔 𝟒 1
𝑎 + 𝑏 𝟒 = 𝟏𝑎4𝑏0 + 𝟒𝑎3𝑏1 + 𝟔𝑎2𝑏2 + 𝟒𝑎3𝑏1 + 𝟏𝑎0𝑏4
𝑎 + 𝑏 𝟓 = 1  4  6  4  1
1 4 6 4 1
𝟏 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟏
𝑎 + 𝑏 𝟓 = 𝟏𝑎5 + 𝟓𝑎4𝑏 + 𝟏𝟎𝑎3𝑏2 + 𝟏𝟎𝑎2𝑏3 + 𝟓𝑎𝑏4 + 𝟏𝑏5
Binômio de Newton
𝒂 + 𝒃 𝒏
𝒏
𝒑 = 𝑪𝒑
𝒏
=
𝒏!
𝒏 − 𝒑 ! 𝒑!
Desenvolvimento
𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 . . . (𝒂 + 𝒃)
Binômio de Newton
Selecionar p termos 𝒂
nas 𝒏 parcelas (𝒂 + 𝒃)
= 𝑪𝒏
𝒏. 𝒂𝒏−𝟎𝒃𝟎 + 𝑪𝒏−𝟏
𝒏
. 𝒂𝒏−𝟏𝒃𝟏 + 𝑪𝒏−𝟐
𝒏
. 𝒂𝒏−𝟐𝒃𝟐 + ⋯
= 𝑪𝟎
𝒏
. 𝒂𝒏−𝟎
𝒃𝟎
+ 𝑪𝟏
𝒏
. 𝒂𝒏−𝟏
𝒃𝟏
+ 𝑪𝟐
𝒏
. 𝒂𝒏−𝟐
𝒃𝟐
+ ⋯
𝒂 + 𝒃 𝒏
= 𝑪𝟎
𝟒
. 𝒂𝟒
𝒃𝟎
+ 𝑪𝟏
𝟒
. 𝒂𝟑
𝒃𝟏
+ 𝑪𝟐
𝟒
. 𝒂𝟐
𝒃𝟐
+ 𝑪𝟑
𝟒
. 𝒂𝟏
𝒃𝟑
+ 𝑪𝟒
𝟒
. 𝒂𝟎
𝒃𝟒
…
𝒂 + 𝒃 𝟒
Relações Combinatórias no
Triângulo de Pascal
Primeiro e último termos de cada linha.
𝒏
𝟎
. . . . . .
𝒏
𝒏
Relações Combinatórias no
Triângulo de Pascal
Elementos simétricos em cada linha...
𝒏
𝒌
=
𝒏
𝒏 − 𝐤
Relações Combinatórias no
Triângulo de Pascal
Relação de Stifel
𝒏
𝒌
=
𝒏 − 1
𝒌 − 1
+
𝒏 − 1
𝒌
Relações Combinatórias no
Triângulo de Pascal
Soma de Linha
𝒏
𝟎
+
𝒏
𝟏
+ ⋯ +
𝒏
𝒏
= 𝟐𝒏
Relações Combinatórias no
Triângulo de Pascal
Soma de Coluna da linha (da linha 𝑘 até a linha 𝑛)
𝒌
𝒌
+
𝒌 + 1
𝒌
+ ⋯ +
𝒏
𝒌
=
𝒏 + 1
𝒌 + 1
Dupla Contagem
𝒏 − 1
𝒑 − 1
+
𝒏 − 1
𝒑
=
𝒏
𝒑
𝟐𝒏
𝒏
𝟎
+
𝒏
𝟏
+ ⋯ +
𝒏
𝒌
+ ⋯ +
𝒏
𝒏
=
𝒏. 2𝒏−1
𝟏
𝒏
𝟏
+ 𝟐
𝒏
𝟐
+ 𝟑
𝒏
𝟑
+ ⋯ + 𝒏
𝒏
𝒏
=
Relações combinatórias
Estratégia
Inventar um problema e resolvê-lo de duas maneiras diferentes
Exemplos
𝒉 + 𝒎
𝒄
=
𝒌=𝟎
𝒌=𝒄
𝒉
𝒌
𝒎
𝒄 − 𝒌
Dupla Contagem
Relações combinatórias
Relação de Vandermonde
𝟔 + 𝟓
𝟒
=
𝟔
𝟎
𝟓
𝟒 − 𝟎
+
𝟔
𝟏
𝟓
𝟒 − 𝟏
+
𝟔
𝟐
𝟓
𝟒 − 𝟐
+ ⋯ +
𝟔
𝒌
𝟓
𝟒 − 𝒌
+ ⋯ +
𝟔
𝟒
𝟓
𝟒 − 𝟒
𝟔 + 𝟓
𝟒
=
𝟔
𝟎
𝟓
𝟒
+
𝟔
𝟏
𝟓
𝟑
+
𝟔
𝟐
𝟓
𝟐
+
𝟔
𝟑
𝟓
𝟏
+
𝟔
𝟒
𝟓
𝟎
𝒉 = 𝟔
𝒎 = 𝟓
𝒄 = 𝟒
Quantas comissões com 𝐜 = 𝟒 participantes
podem ser formadas se dispomos de 𝐡 = 𝟔
homens e 𝐦 = 𝟓 mulheres?
Solução
Mostre a igualdade
𝟖
𝟎
𝟐
+
𝟖
𝟏
𝟐
+
𝟖
𝟐
𝟐
+ … +
𝟖
𝟕
𝟐
+
𝟖
𝟖
𝟐
=
𝟏𝟔
𝟖
Dica
Imagine o problema de calcular o número de comissões
com 8 pessoas, sendo disponíveis 8 homens e 8 mulheres.
Lembre-se que
𝟖
𝒌
=
𝟖
𝒏 − 𝒌
, para 𝒌 entre 𝟎 e 𝟖.
p1
p2
p4
p3
p16
...
𝟏𝟔
𝟖
𝟖
𝟐
𝟖
𝟎
𝟖
𝟖
+
𝟖
𝟏
𝟖
𝟕
+ ⋯ + +
𝟖
𝟕
𝟖
𝟏
+
𝟖
𝟖
𝟖
𝟎
8
pessoas
h1 h2
h8
h3
m1
m2
m8
m3
...
...
𝟖
𝟔
h1
h6
h3
m3
h2
m5
h7
h8
𝟖
𝟔
𝟖
𝟐
𝟎 𝟏 𝟔 𝟕 𝟖
𝟖
𝟔
𝟖
𝟐
6 homens
2 mulheres
Na igualdade
𝟐𝒏
𝟐
= 𝟐
𝒏
𝟐
+ 𝒏𝟐, onde 𝑛 ≥ 1, o lado es-
querdo pode ser facilmente justificado imaginando-se a
quantidade de duplas que podem ser formadas a partir
de 𝟐𝒏 pessoas disponíveis.
Quanto ao lado direito, uma forma de interpretá-lo, é
separando as 𝟐𝒏 pessoas em dois grupos de 𝒏 pessoas
cada (por exemplo, 𝒏 homens e 𝒏 mulheres) e interpretar
as parcelas
𝒏
𝟐
,
𝒏
𝟐
e 𝒏𝟐
como uma contagem “marota”.
Dê uma interpretação para a parcela 𝒏𝟐...

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Aula03 - Princípios de Contagem.ppsxpppppp

Exrecícior de estruturas algébricas
Exrecícior de estruturas algébricasExrecícior de estruturas algébricas
Exrecícior de estruturas algébricas
wilkerfilipel
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
andreilson18
 
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
8ºano mat correcao teste5  8ano_v18ºano mat correcao teste5  8ano_v1
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
silvia_lfr
 
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivaçãoCalculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Maths Tutoring
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini
Luciano Pessanha
 
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...
Samer Atef Serhan
 
Aula 1 mat em
Aula 1   mat emAula 1   mat em
Aula 1 mat em
Walney M.F
 
Questões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptx
Questões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptxQuestões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptx
Questões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptx
PauloHenrique32987
 
Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03
Ricardo Bruno - Universidade Federal do Pará
 
Resumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º CicloResumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º Ciclo
Alexandra Rodrigues
 
Analise combinatoria.docx
Analise combinatoria.docxAnalise combinatoria.docx
Analise combinatoria.docx
mafakina Malolo JRr
 
1657631627830.pdf
1657631627830.pdf1657631627830.pdf
1657631627830.pdf
LarissaCaye1
 
MATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completo
MATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completoMATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completo
MATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completo
zezinhaa6
 
aulas_9º-Ano.ppt
aulas_9º-Ano.pptaulas_9º-Ano.ppt
aulas_9º-Ano.ppt
MoreiraMonteiro
 
Lista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º anoLista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º ano
Andréia Rodrigues
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10Questão de aula 3 miniteste + critérios 10
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10
Pedro Teixeira
 
Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_
Marcia Roberto
 
9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf
9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf
9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf
karfrio
 

Semelhante a Aula03 - Princípios de Contagem.ppsxpppppp (20)

Exrecícior de estruturas algébricas
Exrecícior de estruturas algébricasExrecícior de estruturas algébricas
Exrecícior de estruturas algébricas
 
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
8ºano mat correcao teste5  8ano_v18ºano mat correcao teste5  8ano_v1
8ºano mat correcao teste5 8ano_v1
 
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivaçãoCalculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
Calculo Integral - Conceito de primitiva e técnicas de primitivação
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini
 
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...
ABORDAGENS ALGEBRICAS SOBRE A IMPORTANCIA DOS NUMEROS IMAGINÁRIOS E O CONJUN...
 
Aula 1 mat em
Aula 1   mat emAula 1   mat em
Aula 1 mat em
 
Questões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptx
Questões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptxQuestões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptx
Questões Divoaakndddndeijfiijifrjfilssmdmdmddmmvnnnvvnvnvnvnvnnnvversas 5.pptx
 
Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03Matemática I - Tópico 02 e 03
Matemática I - Tópico 02 e 03
 
Resumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º CicloResumo Matemática 3º Ciclo
Resumo Matemática 3º Ciclo
 
Analise combinatoria.docx
Analise combinatoria.docxAnalise combinatoria.docx
Analise combinatoria.docx
 
1657631627830.pdf
1657631627830.pdf1657631627830.pdf
1657631627830.pdf
 
MATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completo
MATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completoMATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completo
MATEMÁTICA - Slides -6º ano.pdf completo
 
aulas_9º-Ano.ppt
aulas_9º-Ano.pptaulas_9º-Ano.ppt
aulas_9º-Ano.ppt
 
Lista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º anoLista resolvida 9º ano
Lista resolvida 9º ano
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10Questão de aula 3 miniteste + critérios 10
Questão de aula 3 miniteste + critérios 10
 
Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_
 
9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf
9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf
9 Explicação e Revisão Equações Incompletas do 2º Grau.pdf
 

Mais de alessandraoliveira324

Ecologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologia
Ecologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologiaEcologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologia
Ecologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologia
alessandraoliveira324
 
MISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS
MISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS
MISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS
alessandraoliveira324
 
reproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimais
reproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimaisreproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimais
reproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimais
alessandraoliveira324
 
9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx
9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx
9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx
alessandraoliveira324
 
operaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptx
operaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptxoperaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptx
operaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptx
alessandraoliveira324
 
2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx
2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx
2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx
alessandraoliveira324
 
eletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptx
eletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptxeletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptx
eletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptx
alessandraoliveira324
 
12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...
12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...
12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...
alessandraoliveira324
 
01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf
01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf
01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf
alessandraoliveira324
 
05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf
05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf
05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf
alessandraoliveira324
 
regra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simple
regra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simpleregra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simple
regra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simple
alessandraoliveira324
 
PolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonos
PolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonosPolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonos
PolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonos
alessandraoliveira324
 
introduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoati
introduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoatiintroduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoati
introduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoati
alessandraoliveira324
 
_PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.
_PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO._PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.
_PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.
alessandraoliveira324
 
anlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatria
anlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatriaanlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatria
anlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatria
alessandraoliveira324
 
princpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtrica
princpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtricaprincpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtrica
princpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtrica
alessandraoliveira324
 
Grandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas Proporcionaispptx
Grandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas ProporcionaispptxGrandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas Proporcionaispptx
Grandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas Proporcionaispptx
alessandraoliveira324
 
anlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptx
anlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptxanlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptx
anlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptx
alessandraoliveira324
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
alessandraoliveira324
 
Aula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula
Aula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula
Aula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula
alessandraoliveira324
 

Mais de alessandraoliveira324 (20)

Ecologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologia
Ecologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologiaEcologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologia
Ecologia.pdfEcologiaEcologiaEcologiaEcologia
 
MISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS
MISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS
MISTURAS.pdfMISTURASMISTURASMISTURASMISTURAS
 
reproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimais
reproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimaisreproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimais
reproduoanimais c.n 8º ano.pdfreproduoanimais
 
9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx
9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx
9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx 9-ano-ondas.pptx
 
operaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptx
operaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptxoperaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptx
operaescomnmerospositivosenegativos- 7º ano).pptx
 
2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx
2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx
2-classificaodamatria- quimica 1ª série.pptx
 
eletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptx
eletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptxeletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptx
eletricidade-160923012658-220818134913-677763c7.pptx
 
12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...
12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...
12-ciencias-7o-ano-fenomenos-naturais-tsunamis-terremotos-e-vulcoes-2023-11-2...
 
01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf
01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf
01-ciencias-7o-ano-formas-de-transmissao-de-calor-2023-11-16-15-52-52.pdf
 
05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf
05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf
05-ciencias-8o-ano-reproducao-2023-11-16-15-56-27.pdf
 
regra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simple
regra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simpleregra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simple
regra de tres simples.pptx regra de tres simple regra de tres simple
 
PolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonos
PolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonosPolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonos
PolígonosPolígonos-.pptxPolígonosPolígonos
 
introduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoati
introduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoatiintroduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoati
introduoati.pptxintroduoatiintroduoatiintroduoati
 
_PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.
_PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO._PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.
_PERMUTACAO.pptxPERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.PERMUTACAO.
 
anlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatria
anlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatriaanlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatria
anlisecombinatria.pptxanlisecombinatriaanlisecombinatria
 
princpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtrica
princpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtricaprincpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtrica
princpiosdapticageomtrica-.pptxprincpiosdapticageomtrica
 
Grandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas Proporcionaispptx
Grandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas ProporcionaispptxGrandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas Proporcionaispptx
Grandezas Proporcionais –1ª SÉRIE.Grandezas Proporcionaispptx
 
anlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptx
anlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptxanlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptx
anlisecombinatria-ebep2015-151028024443-lva1-app6891.pptx
 
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptxangulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
angulos-notaveis-v1-121025165118-phpapp02 1.pptx
 
Aula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula
Aula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula
Aula09.pptAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAulaAula
 

Último

CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdfCADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
NatySousa3
 
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptx
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxSlides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptx
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
apresentação sobre Clarice Lispector .pptx
apresentação sobre Clarice Lispector .pptxapresentação sobre Clarice Lispector .pptx
apresentação sobre Clarice Lispector .pptx
JuliaMachado73
 
Funções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prismaFunções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prisma
djincognito
 
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdfPowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
1000a
 
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdfEspecialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
DanielCastro80471
 
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números RacionaisPotenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
wagnermorais28
 
Pintura Romana .pptx
Pintura Romana                     .pptxPintura Romana                     .pptx
Pintura Romana .pptx
TomasSousa7
 
UFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdf
UFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdfUFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdf
UFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdf
Manuais Formação
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
LucianaCristina58
 
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.pptEstrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
livrosjovert
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
DECIOMAURINARAMOS
 
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdfEgito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
sthefanydesr
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
AurelianoFerreirades2
 
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
AdrianoMontagna1
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
OS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdf
OS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdfOS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdf
OS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdf
AmiltonAparecido1
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
fernandacosta37763
 
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
Centro Jacques Delors
 
QUIZ - HISTÓRIA 9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptx
QUIZ - HISTÓRIA  9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptxQUIZ - HISTÓRIA  9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptx
QUIZ - HISTÓRIA 9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptx
AntonioVieira539017
 

Último (20)

CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdfCADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
CADERNO DE CONCEITOS E ORIENTAÇÕES DO CENSO ESCOLAR 2024.pdf
 
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptx
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxSlides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptx
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptx
 
apresentação sobre Clarice Lispector .pptx
apresentação sobre Clarice Lispector .pptxapresentação sobre Clarice Lispector .pptx
apresentação sobre Clarice Lispector .pptx
 
Funções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prismaFunções e Progressões - Livro completo prisma
Funções e Progressões - Livro completo prisma
 
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdfPowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
PowerPoint Newton gostava de Ler - Saber em Gel.pdf
 
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdfEspecialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
Especialidade - Animais Ameaçados de Extinção(1).pdf
 
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números RacionaisPotenciação e Radiciação de Números Racionais
Potenciação e Radiciação de Números Racionais
 
Pintura Romana .pptx
Pintura Romana                     .pptxPintura Romana                     .pptx
Pintura Romana .pptx
 
UFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdf
UFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdfUFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdf
UFCD_10949_Lojas e-commerce no-code_índice.pdf
 
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
- TEMPLATE DA PRATICA - Psicomotricidade.pptx
 
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.pptEstrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
 
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptxRedação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
Redação e Leitura_7º ano_58_Produção de cordel .pptx
 
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdfEgito antigo resumo - aula de história.pdf
Egito antigo resumo - aula de história.pdf
 
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdfA QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
 
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...“A classe operária vai ao paraíso  os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
“A classe operária vai ao paraíso os modos de produzir e trabalhar ao longo ...
 
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxSlides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptx
 
OS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdf
OS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdfOS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdf
OS elementos de uma boa Redação para o ENEM.pdf
 
Atividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º anoAtividade de reforço de matemática 2º ano
Atividade de reforço de matemática 2º ano
 
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)
 
QUIZ - HISTÓRIA 9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptx
QUIZ - HISTÓRIA  9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptxQUIZ - HISTÓRIA  9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptx
QUIZ - HISTÓRIA 9º ANO - PRIMEIRA REPÚBLICA_ERA VARGAS.pptx
 

Aula03 - Princípios de Contagem.ppsxpppppp

  • 1. Princípios de Contagem, Números Binomiais e Binômio de Newton
  • 2. 2. Princípio da Adição 3. Princípio da Multiplicação 1. Princípio da Casa dos Pombos 1. Princípio da Casa dos Pombos Mostre que há, no máximo, 6 algarismos na dízima periódica de 1/7. 7 1 0, 0 0 8 56 4 0 0 2 14 6 4 0 0 28 2 0 1 7 3 5 0 0 35 5 7 0 0 49 1 1/13 = 0,076923 ... 1/9 = 0,1 ... 1/17 = 0,0588235294117647… 0 Princípios de Contagem
  • 3. 2. Princípio da Adição n( A  B ) Em uma urna há 20 fichas numeradas de 1 a 20. Ao retirarmos apenas uma ficha, qual a chance de obtermos uma ficha cujo número é múltiplo de 3 ou múltiplo de 5? A B X interseção  n(A) + n(B) – n( A  B ) n( A  B )  n(A) + n(B) A  B =  A B A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 }  n(A) = 6 B = { 5, 10, 15, 20 }  n(B) = 4 A  B = { 15 }  n(A  B) = 1 n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) = 6 + 4 - 1 = 9 chances em 20 Princípios de Contagem
  • 4. 3. Princípio da Multiplicação O número de possibilidades de se realizar várias ações distintas e independentes pode ser obtido pelo produto dos números de possibilidades de cada uma das ações, individualmente. Exemplo infantil clássico! Um palhaço possui 4 calças (K) e 3 camisas (C). Considerando exclusivamente as possíveis esco- lhas de uma calça e de uma camisa, de quantas formas diferentes ele pode se vestir?” 𝟒 𝟑 = 𝟏𝟐 formas Princípios de Contagem 4 K K1 K2 K3 K3 C1 C2 C3  C1 C2 C3  C1 C2 C3  C1 C2 C3   3  3  3  3
  • 5. Arranjos, Permutações e Combinações Comissões, subconjuntos... Combinações A ordem é relevante? Dados n objetos selecionar p objetos S N Filas, Senhas, Anagramas... Arranjos e Permutações Agrupamentos 𝑨𝒑 𝒏 = (𝒏 − 𝟎). 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … [𝒏 − 𝒑 − 𝟏 ] = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝑷𝒏 = 𝑨𝒏 𝒏 = 𝒏. 𝒏 − 𝟏 𝒏 − 𝟐 … 𝟏 = 𝒏! 𝑪𝒑 𝒏 ← 𝑨𝒑 𝒏 Como obter combinações a partir dos arranjos? 𝑪𝒑 𝒏 = 𝑨𝒑 𝒏 𝒑! = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝒑!
  • 6. Quantidade de subconjuntos com 𝒑 elementos extraídos de um conjunto com 𝒏 elementos. parâmetros 𝒏 e 𝒑 Número binomial de 𝒏 𝒑 𝒏 elementos 𝒑 elementos 𝒏 pega 𝒑 = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝒑! = 𝑪 𝒏 𝒑 𝒏 𝒑 Números Binomiais
  • 7. Dos 20 funcionários de uma empresa, 13 são homens e 7 são mulheres. Desejamos formar uma comissão constituída por 3 homens e 5 mulheres. Quantas são as possíveis comissões? → 𝑪𝟑 𝟏𝟑 . 𝑪𝟓 𝟕 𝐶𝟑 𝟏𝟑 𝐶𝟓 𝟕 → 13.12.11 3! ∙ 𝐶2 7 → 13.12.11 3! ∙ 7.5 2! = ⋯
  • 8. Use algum produto do tipo planilha e digite nas células A1 a A6 os valores indicados de 1 a 6; e na célula B1 digite a expressão = 𝑪𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏(𝟏𝟐; 𝑨𝟏). A seguir, selecione a célula B1 e arrase-a até a célula B6 (pergunte a um colega como se faz isso e pratique), pois é inaceitável, hoje, que você não possua pelo menos noções do uso de um produto do tipo planilha! Qual o valor gerado na célula B5? A B C 1 2 3 4 5 6 A B C 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A B C 1 1 =COMBIN(12;A1) 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 A B C 1 1 =COMBIN(12;A1) 2 2 =COMBIN(12;A2) 3 3 =COMBIN(12;A3) 4 4 =COMBIN(12;A4) 5 5 =COMBIN(12;A5) 6 6 =COMBIN(12;A6) A B C 1 1 12 2 2 66 3 3 220 4 4 495 5 5 792 6 6 924
  • 9. 𝑎 + 𝑏 𝟏 = 𝟏𝑎 + 𝟏𝑏 𝑎 + 𝑏 𝟐 = 𝟏𝒂 + 𝟏𝒃 𝟏𝑎 + 𝟏𝑏 𝑎 + 𝑏 𝟑 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 2 𝑎 + 𝑏 𝟑 = 𝟏𝒂 + 𝟏𝒃 𝟏𝑎2 + 𝟐𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2 = 𝟏𝑎3 +𝟐𝑎2𝑏 + 𝟏𝑎1𝑏2 = 𝟏𝑎2 + 𝟏𝑎1𝑏 + 𝟏𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2 = 𝟏𝑎2 + 𝟐𝑎1𝑏 + 𝟏𝑏2 + + 𝟏𝑎2𝑏 + 𝟐𝑎𝑏2 + 𝟏𝑏3 = 𝟏𝑎3 + 𝟑𝑎2 𝑏 + 𝟑𝑎𝑏2 + 𝟏𝑏3 𝑎 + 𝑏 𝟒 = ? 1  3  3  1 1 3 3 1 𝟏 𝟒 𝟔 𝟒 1 𝑎 + 𝑏 𝟒 = 𝟏𝑎4𝑏0 + 𝟒𝑎3𝑏1 + 𝟔𝑎2𝑏2 + 𝟒𝑎3𝑏1 + 𝟏𝑎0𝑏4 𝑎 + 𝑏 𝟓 = 1  4  6  4  1 1 4 6 4 1 𝟏 𝟓 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟏 𝑎 + 𝑏 𝟓 = 𝟏𝑎5 + 𝟓𝑎4𝑏 + 𝟏𝟎𝑎3𝑏2 + 𝟏𝟎𝑎2𝑏3 + 𝟓𝑎𝑏4 + 𝟏𝑏5 Binômio de Newton 𝒂 + 𝒃 𝒏
  • 10. 𝒏 𝒑 = 𝑪𝒑 𝒏 = 𝒏! 𝒏 − 𝒑 ! 𝒑! Desenvolvimento 𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 . . . (𝒂 + 𝒃) Binômio de Newton Selecionar p termos 𝒂 nas 𝒏 parcelas (𝒂 + 𝒃) = 𝑪𝒏 𝒏. 𝒂𝒏−𝟎𝒃𝟎 + 𝑪𝒏−𝟏 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟏𝒃𝟏 + 𝑪𝒏−𝟐 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟐𝒃𝟐 + ⋯ = 𝑪𝟎 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟎 𝒃𝟎 + 𝑪𝟏 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟏 𝒃𝟏 + 𝑪𝟐 𝒏 . 𝒂𝒏−𝟐 𝒃𝟐 + ⋯ 𝒂 + 𝒃 𝒏 = 𝑪𝟎 𝟒 . 𝒂𝟒 𝒃𝟎 + 𝑪𝟏 𝟒 . 𝒂𝟑 𝒃𝟏 + 𝑪𝟐 𝟒 . 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + 𝑪𝟑 𝟒 . 𝒂𝟏 𝒃𝟑 + 𝑪𝟒 𝟒 . 𝒂𝟎 𝒃𝟒 … 𝒂 + 𝒃 𝟒
  • 11. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Primeiro e último termos de cada linha. 𝒏 𝟎 . . . . . . 𝒏 𝒏
  • 12. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Elementos simétricos em cada linha... 𝒏 𝒌 = 𝒏 𝒏 − 𝐤
  • 13. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Relação de Stifel 𝒏 𝒌 = 𝒏 − 1 𝒌 − 1 + 𝒏 − 1 𝒌
  • 14. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Soma de Linha 𝒏 𝟎 + 𝒏 𝟏 + ⋯ + 𝒏 𝒏 = 𝟐𝒏
  • 15. Relações Combinatórias no Triângulo de Pascal Soma de Coluna da linha (da linha 𝑘 até a linha 𝑛) 𝒌 𝒌 + 𝒌 + 1 𝒌 + ⋯ + 𝒏 𝒌 = 𝒏 + 1 𝒌 + 1
  • 16. Dupla Contagem 𝒏 − 1 𝒑 − 1 + 𝒏 − 1 𝒑 = 𝒏 𝒑 𝟐𝒏 𝒏 𝟎 + 𝒏 𝟏 + ⋯ + 𝒏 𝒌 + ⋯ + 𝒏 𝒏 = 𝒏. 2𝒏−1 𝟏 𝒏 𝟏 + 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝟑 𝒏 𝟑 + ⋯ + 𝒏 𝒏 𝒏 = Relações combinatórias Estratégia Inventar um problema e resolvê-lo de duas maneiras diferentes Exemplos
  • 17. 𝒉 + 𝒎 𝒄 = 𝒌=𝟎 𝒌=𝒄 𝒉 𝒌 𝒎 𝒄 − 𝒌 Dupla Contagem Relações combinatórias Relação de Vandermonde 𝟔 + 𝟓 𝟒 = 𝟔 𝟎 𝟓 𝟒 − 𝟎 + 𝟔 𝟏 𝟓 𝟒 − 𝟏 + 𝟔 𝟐 𝟓 𝟒 − 𝟐 + ⋯ + 𝟔 𝒌 𝟓 𝟒 − 𝒌 + ⋯ + 𝟔 𝟒 𝟓 𝟒 − 𝟒 𝟔 + 𝟓 𝟒 = 𝟔 𝟎 𝟓 𝟒 + 𝟔 𝟏 𝟓 𝟑 + 𝟔 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝟔 𝟑 𝟓 𝟏 + 𝟔 𝟒 𝟓 𝟎 𝒉 = 𝟔 𝒎 = 𝟓 𝒄 = 𝟒 Quantas comissões com 𝐜 = 𝟒 participantes podem ser formadas se dispomos de 𝐡 = 𝟔 homens e 𝐦 = 𝟓 mulheres?
  • 18. Solução Mostre a igualdade 𝟖 𝟎 𝟐 + 𝟖 𝟏 𝟐 + 𝟖 𝟐 𝟐 + … + 𝟖 𝟕 𝟐 + 𝟖 𝟖 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟖 Dica Imagine o problema de calcular o número de comissões com 8 pessoas, sendo disponíveis 8 homens e 8 mulheres. Lembre-se que 𝟖 𝒌 = 𝟖 𝒏 − 𝒌 , para 𝒌 entre 𝟎 e 𝟖. p1 p2 p4 p3 p16 ... 𝟏𝟔 𝟖 𝟖 𝟐 𝟖 𝟎 𝟖 𝟖 + 𝟖 𝟏 𝟖 𝟕 + ⋯ + + 𝟖 𝟕 𝟖 𝟏 + 𝟖 𝟖 𝟖 𝟎 8 pessoas h1 h2 h8 h3 m1 m2 m8 m3 ... ... 𝟖 𝟔 h1 h6 h3 m3 h2 m5 h7 h8 𝟖 𝟔 𝟖 𝟐 𝟎 𝟏 𝟔 𝟕 𝟖 𝟖 𝟔 𝟖 𝟐 6 homens 2 mulheres
  • 19. Na igualdade 𝟐𝒏 𝟐 = 𝟐 𝒏 𝟐 + 𝒏𝟐, onde 𝑛 ≥ 1, o lado es- querdo pode ser facilmente justificado imaginando-se a quantidade de duplas que podem ser formadas a partir de 𝟐𝒏 pessoas disponíveis. Quanto ao lado direito, uma forma de interpretá-lo, é separando as 𝟐𝒏 pessoas em dois grupos de 𝒏 pessoas cada (por exemplo, 𝒏 homens e 𝒏 mulheres) e interpretar as parcelas 𝒏 𝟐 , 𝒏 𝟐 e 𝒏𝟐 como uma contagem “marota”. Dê uma interpretação para a parcela 𝒏𝟐...