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Aula 16 - Anuidade Contínua Danilo Machado Pires danilo.pires@unifal-mg.edu.br Leonardo Henrique Costa leonardo.costa@unifal-mg.edu.br https://atuaria.github.io/portalhalley 11/2023
Exemplo 1: Qual o valor de uma anuidade de 6 termos iguais a $500,00 caso fosse fracionada em: 12, 365, 8760 ou 525600 partes? Considere o fluxo de caixa antecipado e a taxa de juros de 2% ao ano. Solução ሷ 𝑎ഥ 𝒏| 𝑚 = 1 𝑚 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣 1 𝑚
Exemplo 1: Qual o valor de uma anuidade de 6 termos iguais a $500,00, caso fosse fracionada em: 12, 365, 8760 ou 525600 partes? Considere o fluxo de caixa antecipado e a taxa de juros de 2% ao ano. Solução Pagamento por: 𝑚 500𝑎ሷ6 ഥ| 𝑚 Ano 1 $ 2856,7297 Mês 12 $ 2830,9647 Dia 365 $ 2828,7069 hora 8760 $ 2828,6334 minuto 525600 $ 2828,6302
 A medida que se aumenta o número de partes ao qual a anuidade foi fracionada, o seu valor converge. Caso a anuidade fosse fracionada em infinitas partes, os pagamentos seriam feitos continuamente ao longo do ano. Na prática, serve como uma abstração sobre comportamento de pagamentos contínuos. Anuidade Contínua
Seja ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 com 𝑚 → ∞, então: 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ 1 𝑚 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣 1 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ 1 𝑚 1 − 𝑣 1 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ 1 𝑚 1 − 𝑒 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 Usando a regra de L’ Hopital 𝑓 𝑚 = 1 𝑚 ⟼ 𝑓′ 𝑚 = − 1 𝑚2 𝑔 𝑚 = 1 − 𝑒 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 ⟼ 𝑔′ 𝑚 = −𝑒 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 − 𝑙𝑛 𝑣 𝑚2 = 𝑣 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 𝑚2 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ − 1 𝑣 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑣 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ − 1 𝑣 1 𝑚 Anuidade Contínua
Seja ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 com 𝑚 → ∞, então: ... 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑣 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ − 1 𝑣 1 𝑚 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = − 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑣 = − 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑒−𝛿 ത 𝑎ത 𝑛| = 1 − 𝑣𝑛 𝛿 Anuidade Contínua
Outra forma de encontrar a anuidade contínua pode ser vista a seguir: ത 𝑎ത 𝑛| = න 0 𝑛 𝑣𝑡 𝑑𝑡 = න 0 𝑛 𝑒−𝛿𝑡𝑑𝑡 , ത 𝑎ത 𝑛| = อ − 𝑒−𝛿𝑡 𝛿 𝑡=0 𝑡=𝑛 = −𝑒−𝛿𝑛 + 1 𝛿 = 1 − 𝑣𝑛 𝛿 Anuidade Contínua
Exemplo 2: Quanto custaria uma anuidade unitária anual ( $500 ) pagável continuamente por 6 anos, considerando a taxa de juros anual de 2%? Solução
Exemplo 2: Quanto custaria uma anuidade unitária anual ( $500 ) pagável continuamente por 6 anos, considerando a taxa de juros anual de 2%? Solução ത 𝑎ഥ 6| = 1 − 𝑣6 𝛿 = 1 − 1 1,02 6 𝑙𝑛 1,02 ≈ 5,6572 500ത 𝑎ഥ 6| ≈ 2828,6
 Assim para um 𝑇𝑥 aleatório: ത 𝑎𝑇𝑥| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 𝐸 ത 𝑎𝑇𝑥| = න 0 ∞ ത 𝑎𝑇𝑥|𝑓𝑇 𝑡 𝑑𝑡  O valor presente atuarial de anuidade contínua vitalícia pode ser calculada por: ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ 1 − 𝑒−𝛿𝑡 𝛿 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡𝑝𝑥𝑑𝑡 Anuidade Vitalícia Contínua
Importante notar que: ሷ 𝑎𝑥 𝑚 = 1 𝑚 + 𝑎𝑥 𝑚 lim 𝑚→∞ ሷ 𝑎𝑥 𝑚 = lim 𝑚→∞ 1 𝑚 + 𝑎𝑥 𝑚 തሷ 𝑎𝑥 = ത 𝑎𝑥 Anuidade Vitalícia Contínua ሷ 𝑎𝑥 ≥ ሷ 𝑎𝑥 𝑚 ≥ ത 𝑎𝑥 ≥ 𝑎𝑥 𝑚 ≥ 𝑎𝑥
A variância do valor presente de um fluxo contínuo de pagamentos em [0, 𝑡] à taxa de 1 real por ano, com juros 𝛿 . 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 𝑣𝑎𝑟 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 = 𝑣𝑎𝑟 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿2 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 𝑣𝑎𝑟 𝑒−𝛿𝑇 𝛿2 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 2 ഥ 𝐴𝑥 − ҧ 𝐴𝑥 2 𝛿2 2 ഥ 𝐴𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿2𝑡 𝑓𝑇𝑥 𝑡 𝑑𝑡 ҧ 𝐴𝑥 2 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑓𝑇𝑥 𝑡 𝑑𝑡 2 Anuidade Vitalícia Contínua
EXEMPLO 3: Suponha que: 𝑆𝑇0 𝑡 = 1 − 1 − 𝑒−𝛼𝑡 Usando a taxa de juros 𝛿, calcule a esperança e variância de ത 𝑎𝑇𝑥| considerando uma pessoa de idade 𝑥. ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 2 ҧ 𝐴𝑥 − ҧ 𝐴𝑥 2 𝛿2 = ‫׬‬ 0 ∞ 𝑒−2𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 − ‫׬‬ 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 2 𝛿2
EXEMPLO 3  𝑖 ത 𝑎𝑇𝑥| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿  𝑖𝑖 𝑆𝑇0 𝑡 = 1 − 1 − 𝑒−𝛼𝑡 𝑆𝑇𝑥 𝑡 = 𝑃 𝑇0 > 𝑡 + 𝑥 𝑇0 > 𝑥 = 1 − 1 − 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 1 − 1 − 𝑒−𝛼𝑥 = 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 𝑒−𝛼𝑥 𝑃 𝑇0 > 𝑡 + 𝑥 𝑇0 > 𝑥 = 𝑡 𝑝𝑥 = ቊ 𝑒−𝛼𝑡, 𝑡 > 0 1, 𝑐. 𝑐
EXEMPLO 3  𝑖 ത 𝑎𝑇𝑥| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿  𝑖𝑖 𝑃 𝑇0 > 𝑡 + 𝑥 𝑇0 > 𝑥 = 𝑡 𝑝𝑥 = ቊ 𝑒−𝛼𝑡, 𝑡 > 0 1, 𝑐. 𝑐  𝑖𝑖𝑖 𝜇 𝑥 + 𝑡 = − 𝑠′ 𝑥 + 𝑡 𝑠 𝑥 + 𝑡 = 𝛼𝑒−𝛼 𝑡+𝑥 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 𝜇 𝑥 + 𝑡 = 𝛼𝑒−𝛼 𝑡+𝑥 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 = 𝛼
EXEMPLO 3 ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 1 − 𝑒−𝛿𝑡 𝑒−𝛼𝑡𝛼 𝛿 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = 𝛼 𝛿 න 0 ∞ 𝑒−𝛼𝑡 − 𝑒−𝑡 𝛿+𝛼 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = 𝛼 𝛿 − 1 𝛼𝑒𝛼𝑡 + 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ ത 𝑎𝑥 = 𝛼 𝛿 − 1 𝛼𝑒𝛼𝑡 + 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ = 𝛼 𝛿 − 1 𝛿 + 𝛼 + 1 𝛼 ഥ 𝒂𝒙 = 𝟏 𝜹 + 𝜶
 *Observação 𝑡𝑝𝑥 = ቊ 𝑒−𝛼𝑡 , 𝑡 > 0 1, caso contrário ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑒−𝛼𝑡 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝑡 𝛿+𝛼 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = − 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ ത 𝑎𝑥 = 1 𝛿 + 𝛼
EXEMPLO 3 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎𝑇𝑥| = 𝑣𝑎𝑟 𝑒−𝛿𝑡 𝛿2 = 2 ҧ 𝐴𝑥 − ҧ 𝐴𝑥 2 𝛿2 ҧ 𝐴𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝑡𝛿𝑒−𝛼𝑡𝛼 𝑑𝑡 ҧ 𝐴𝑥 = 𝛼 − 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ = 𝛼 𝛿 + 𝛼 2 ҧ 𝐴𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−2𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝑡2𝛿𝑒−𝛼𝑡𝛼 𝑑𝑡 2 ҧ 𝐴𝑥 = 𝛼 − 1 2𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 2𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ = 𝛼 2𝛿 + 𝛼 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇𝑥| = 1 𝛿2 𝛼 2𝛿 + 𝛼 − 𝛼 𝛿 + 𝛼 2
 Qual a probabilidade de que o valor presente de uma anuidade seja menor que um dado valor Π𝑥? 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 ≤ Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 1 − 𝑒−𝛿𝑇 ≤ 𝛿Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 −𝑒−𝛿𝑇 ≤ 𝛿Π𝑥 − 1 = 𝑃 𝑒−𝛿𝑇 ≥ 1 − 𝛿Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 −𝛿𝑇 ≥ ln 1 − 𝛿Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 −𝑇 ≥ ln 1 − 𝛿Π𝑥 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 𝑇 ≤ − 𝑙𝑛 1 − 𝛿Π𝑥 𝛿 = 𝐹𝑇𝑥 − 𝑙𝑛 1 − 𝛿Π𝑥 𝛿 Anuidade Vitalícia Contínua
EXEMPLO 4: Considerando que o tempo de vida adicional de uma pessoa de idade 𝑥 seja modelado por uma função de densidade exponencial, 𝑇𝑥 ∼ 𝐸𝑥𝑝 0,016 , dado que 𝛿 = 0,10 , calcule 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 . 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 𝑃 𝑇𝑥 ≤ − 𝑙𝑛 1 − 𝛿 ത 𝑎𝑥 𝛿 = 𝑃 𝑇𝑥 ≤ − 𝑙𝑛 1 − 𝛿 𝛿 + 𝛼 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 𝑃 𝑇𝑥 ≤ − 𝑙𝑛 𝛼 𝛿 + 𝛼 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 1 − 𝑒 −𝛼 − 1 𝛿 𝑙𝑛 𝛼 𝛿+𝛼 = 1 − 𝛼 𝛼 + 𝛿 𝛼 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 1 − 0,016 0,016 + 0,10 0,016 0,1 ≈ 0,27164
𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ 𝑦 = 𝐹𝑇𝑥 − 𝑙𝑛 1 − 𝛿𝑦 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ 𝑦 = 1 − 𝑆𝑇0 𝑥 + − 𝑙𝑛 1 − 𝛿𝑦 𝛿 𝑆𝑇0 𝑥 , 0 < 𝑦 ≤ 1 − 𝑒−𝛿 𝜔−𝑥 𝛿 . Anuidade Vitalícia Contínua
EXEMPLO 5 : Considere a função de sobrevivência dada por: 𝑆𝑇0 t = 115− 1 3 115 − t 1 3; 0 ≤ t ≤ 115. Dado 𝑥 = 40 e 𝑖 = 4% determine 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ y .
EXEMPLO 5 : 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 𝑆𝑇0 40 − 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 0,04 𝑆𝑇0 40 , 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 115− 1 3 115 − 40 − 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 0,04 1 3 115− 1 3 115 − 40 1 3 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 75 + 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 0,04 1 3 75 1 3 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 3 + 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 3 1 3 , 0 < 𝑦 ≤ 1 − 𝑒−3 0,04
y 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ y
Prêmio puro único para anuidades contínuas em um período de cobertura 𝑛. 𝑌 = ൝ ത 𝑎𝑇𝑥| se 0 ≤ 𝑇 < 𝑛 ത 𝑎ത 𝑛| se 𝑇 ≥ 𝑛 𝑬 𝒀 = ഥ 𝒂𝒙:ഥ 𝒏| ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 0 𝑛 ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 + න 𝑛 ∞ ത 𝑎ത 𝑛| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 0 𝑛 ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 + ത 𝑎ത 𝑛| 𝑛𝑝𝑥 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 0 𝑛 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 Anuidades Temporária contínua
Prêmio puro único para anuidades contínuas em um período de cobertura 𝑛. 𝑌 = ൝ ത 𝑎𝑇𝑥| se 0 ≤ 𝑇 < 𝑛 ത 𝑎ത 𝑛| se 𝑇 ≥ 𝑛 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎𝑇𝑥| = 2 ഥ 𝐴𝑥:𝑛 − ҧ 𝐴𝑥:𝑛 2 𝛿2 Anuidades Temporária contínua
𝑚| ത 𝑎𝑥 = න 𝑚 ∞ 𝑣𝑚 ത 𝑎𝑡−𝑚| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝑚 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 𝑚| ത 𝑎𝑥 = 𝑚 𝐸𝑥 ത 𝑎𝑥+𝑚 = ത 𝑎𝑥 − ത 𝑎𝑥: ഥ 𝑚| 𝑚| ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 𝑚 𝑚+𝑛 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 𝑚| ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = 𝑚 𝐸𝑥 ത 𝑎𝑥+𝑚: ത 𝑛| = ത 𝑎𝑥:𝑚+𝑛| − ത 𝑎𝑥: ഥ 𝑚| Anuidade contínua, Diferida
Dado que: ത 𝑎ത 𝑇| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 𝛿 ത 𝑎𝑇𝑥| + 𝑒−𝛿𝑇 = 1 Caso queiramos obter a Esperança Matemática, tem-se: 𝐸 1 = 𝐸 𝛿 ത 𝑎𝑇𝑥| + 𝑒−𝛿𝑇 1 = 𝐸 𝛿 ത 𝑎𝑇𝑥| + 𝐸 𝑒−𝛿𝑇 1 = 𝛿 ത 𝑎𝑥 + ҧ 𝐴𝑥 Relação entre anuidade e seguro pago no momento da morte.
1 = 𝛿 ത 𝑎𝑥 + ҧ 𝐴𝑥 1 = 𝛿 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| + ҧ 𝐴𝑥: ത 𝑛| Relação entre anuidade e seguro pago no momento da morte.
Fracionadas Contínuas Imediata Vitalícia Antecipada ሷ 𝑎𝑥 ሷ 𝑎𝑥 𝑚 ത 𝑎𝑥 Postecipada 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑚 Temporária Antecipada ሷ 𝑎𝑥:𝑛| ሷ 𝑎𝑥∶ ത 𝑛| 𝑚 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| Postecipada 𝑎𝑥:𝑛| 𝑎𝑥∶ ത 𝑛| 𝑚 Diferida Vitalícia Antecipada 𝑚| ሷ 𝑎𝑥 𝑘| ሷ 𝑎𝑥 𝑚 𝑚| ത 𝑎𝑥 Postecipada 𝑚|𝑎𝑥 𝑘|𝑎𝑥 𝑚 Temporária Antecipada 𝑚| ሷ 𝑎𝑥:𝑛| 𝑘| ሷ 𝑎𝑥:𝑛| 𝑚 𝑚| ത 𝑎𝑥:𝑛| Postecipada 𝑚|𝑎𝑥:𝑛| 𝑘|𝑎𝑥:𝑛| 𝑚
• Bowers et al. Actuarial Mathematics, 2ª edição. SOA, 1997. • D. C. M. Dickson, M. R. Hardy and H. R. Waters. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press, 2019. • CORDEIRO FILHO, Antônio. Cálculo Atuarial Aplicado: teoria e aplicações, exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 2009. • PIRES,M.D.;COSTA,L.H.;FERREIRA,L.;MARQUES, R. Fundamentos da matemática atuarial: vida e pensões. Curitiba :CRV,2022. • Portal Halley : https://atuaria.github.io/portalhalley/

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  • 1. Aula 16 - Anuidade Contínua Danilo Machado Pires danilo.pires@unifal-mg.edu.br Leonardo Henrique Costa leonardo.costa@unifal-mg.edu.br https://atuaria.github.io/portalhalley 11/2023
  • 2. Exemplo 1: Qual o valor de uma anuidade de 6 termos iguais a $500,00 caso fosse fracionada em: 12, 365, 8760 ou 525600 partes? Considere o fluxo de caixa antecipado e a taxa de juros de 2% ao ano. Solução ሷ 𝑎ഥ 𝒏| 𝑚 = 1 𝑚 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣 1 𝑚
  • 3. Exemplo 1: Qual o valor de uma anuidade de 6 termos iguais a $500,00, caso fosse fracionada em: 12, 365, 8760 ou 525600 partes? Considere o fluxo de caixa antecipado e a taxa de juros de 2% ao ano. Solução Pagamento por: 𝑚 500𝑎ሷ6 ഥ| 𝑚 Ano 1 $ 2856,7297 Mês 12 $ 2830,9647 Dia 365 $ 2828,7069 hora 8760 $ 2828,6334 minuto 525600 $ 2828,6302
  • 4.  A medida que se aumenta o número de partes ao qual a anuidade foi fracionada, o seu valor converge. Caso a anuidade fosse fracionada em infinitas partes, os pagamentos seriam feitos continuamente ao longo do ano. Na prática, serve como uma abstração sobre comportamento de pagamentos contínuos. Anuidade Contínua
  • 5. Seja ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 com 𝑚 → ∞, então: 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ 1 𝑚 1 − 𝑣𝑛 1 − 𝑣 1 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ 1 𝑚 1 − 𝑣 1 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ 1 𝑚 1 − 𝑒 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 Usando a regra de L’ Hopital 𝑓 𝑚 = 1 𝑚 ⟼ 𝑓′ 𝑚 = − 1 𝑚2 𝑔 𝑚 = 1 − 𝑒 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 ⟼ 𝑔′ 𝑚 = −𝑒 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 − 𝑙𝑛 𝑣 𝑚2 = 𝑣 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 𝑚2 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ − 1 𝑣 1 𝑚 𝑙𝑛 𝑣 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑣 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ − 1 𝑣 1 𝑚 Anuidade Contínua
  • 6. Seja ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 com 𝑚 → ∞, então: ... 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑣 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ − 1 𝑣 1 𝑚 𝑙𝑖𝑚 𝑚→∞ ሷ 𝑎ത 𝑛| 𝑚 = − 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑣 = − 1 − 𝑣𝑛 𝑙𝑛 𝑒−𝛿 ത 𝑎ത 𝑛| = 1 − 𝑣𝑛 𝛿 Anuidade Contínua
  • 7. Outra forma de encontrar a anuidade contínua pode ser vista a seguir: ത 𝑎ത 𝑛| = න 0 𝑛 𝑣𝑡 𝑑𝑡 = න 0 𝑛 𝑒−𝛿𝑡𝑑𝑡 , ത 𝑎ത 𝑛| = อ − 𝑒−𝛿𝑡 𝛿 𝑡=0 𝑡=𝑛 = −𝑒−𝛿𝑛 + 1 𝛿 = 1 − 𝑣𝑛 𝛿 Anuidade Contínua
  • 8. Exemplo 2: Quanto custaria uma anuidade unitária anual ( $500 ) pagável continuamente por 6 anos, considerando a taxa de juros anual de 2%? Solução
  • 9. Exemplo 2: Quanto custaria uma anuidade unitária anual ( $500 ) pagável continuamente por 6 anos, considerando a taxa de juros anual de 2%? Solução ത 𝑎ഥ 6| = 1 − 𝑣6 𝛿 = 1 − 1 1,02 6 𝑙𝑛 1,02 ≈ 5,6572 500ത 𝑎ഥ 6| ≈ 2828,6
  • 10.  Assim para um 𝑇𝑥 aleatório: ത 𝑎𝑇𝑥| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 𝐸 ത 𝑎𝑇𝑥| = න 0 ∞ ത 𝑎𝑇𝑥|𝑓𝑇 𝑡 𝑑𝑡  O valor presente atuarial de anuidade contínua vitalícia pode ser calculada por: ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ 1 − 𝑒−𝛿𝑡 𝛿 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡𝑝𝑥𝑑𝑡 Anuidade Vitalícia Contínua
  • 11. Importante notar que: ሷ 𝑎𝑥 𝑚 = 1 𝑚 + 𝑎𝑥 𝑚 lim 𝑚→∞ ሷ 𝑎𝑥 𝑚 = lim 𝑚→∞ 1 𝑚 + 𝑎𝑥 𝑚 തሷ 𝑎𝑥 = ത 𝑎𝑥 Anuidade Vitalícia Contínua ሷ 𝑎𝑥 ≥ ሷ 𝑎𝑥 𝑚 ≥ ത 𝑎𝑥 ≥ 𝑎𝑥 𝑚 ≥ 𝑎𝑥
  • 12. A variância do valor presente de um fluxo contínuo de pagamentos em [0, 𝑡] à taxa de 1 real por ano, com juros 𝛿 . 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 𝑣𝑎𝑟 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 = 𝑣𝑎𝑟 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿2 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 𝑣𝑎𝑟 𝑒−𝛿𝑇 𝛿2 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 2 ഥ 𝐴𝑥 − ҧ 𝐴𝑥 2 𝛿2 2 ഥ 𝐴𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿2𝑡 𝑓𝑇𝑥 𝑡 𝑑𝑡 ҧ 𝐴𝑥 2 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑓𝑇𝑥 𝑡 𝑑𝑡 2 Anuidade Vitalícia Contínua
  • 13. EXEMPLO 3: Suponha que: 𝑆𝑇0 𝑡 = 1 − 1 − 𝑒−𝛼𝑡 Usando a taxa de juros 𝛿, calcule a esperança e variância de ത 𝑎𝑇𝑥| considerando uma pessoa de idade 𝑥. ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇| = 2 ҧ 𝐴𝑥 − ҧ 𝐴𝑥 2 𝛿2 = ‫׬‬ 0 ∞ 𝑒−2𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 − ‫׬‬ 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 2 𝛿2
  • 14. EXEMPLO 3  𝑖 ത 𝑎𝑇𝑥| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿  𝑖𝑖 𝑆𝑇0 𝑡 = 1 − 1 − 𝑒−𝛼𝑡 𝑆𝑇𝑥 𝑡 = 𝑃 𝑇0 > 𝑡 + 𝑥 𝑇0 > 𝑥 = 1 − 1 − 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 1 − 1 − 𝑒−𝛼𝑥 = 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 𝑒−𝛼𝑥 𝑃 𝑇0 > 𝑡 + 𝑥 𝑇0 > 𝑥 = 𝑡 𝑝𝑥 = ቊ 𝑒−𝛼𝑡, 𝑡 > 0 1, 𝑐. 𝑐
  • 15. EXEMPLO 3  𝑖 ത 𝑎𝑇𝑥| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿  𝑖𝑖 𝑃 𝑇0 > 𝑡 + 𝑥 𝑇0 > 𝑥 = 𝑡 𝑝𝑥 = ቊ 𝑒−𝛼𝑡, 𝑡 > 0 1, 𝑐. 𝑐  𝑖𝑖𝑖 𝜇 𝑥 + 𝑡 = − 𝑠′ 𝑥 + 𝑡 𝑠 𝑥 + 𝑡 = 𝛼𝑒−𝛼 𝑡+𝑥 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 𝜇 𝑥 + 𝑡 = 𝛼𝑒−𝛼 𝑡+𝑥 𝑒−𝛼 𝑥+𝑡 = 𝛼
  • 16. EXEMPLO 3 ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 1 − 𝑒−𝛿𝑡 𝑒−𝛼𝑡𝛼 𝛿 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = 𝛼 𝛿 න 0 ∞ 𝑒−𝛼𝑡 − 𝑒−𝑡 𝛿+𝛼 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = 𝛼 𝛿 − 1 𝛼𝑒𝛼𝑡 + 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ ത 𝑎𝑥 = 𝛼 𝛿 − 1 𝛼𝑒𝛼𝑡 + 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ = 𝛼 𝛿 − 1 𝛿 + 𝛼 + 1 𝛼 ഥ 𝒂𝒙 = 𝟏 𝜹 + 𝜶
  • 17.  *Observação 𝑡𝑝𝑥 = ቊ 𝑒−𝛼𝑡 , 𝑡 > 0 1, caso contrário ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑒−𝛼𝑡 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝑡 𝛿+𝛼 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥 = − 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ ത 𝑎𝑥 = 1 𝛿 + 𝛼
  • 18. EXEMPLO 3 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎𝑇𝑥| = 𝑣𝑎𝑟 𝑒−𝛿𝑡 𝛿2 = 2 ҧ 𝐴𝑥 − ҧ 𝐴𝑥 2 𝛿2 ҧ 𝐴𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝑡𝛿𝑒−𝛼𝑡𝛼 𝑑𝑡 ҧ 𝐴𝑥 = 𝛼 − 1 𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ = 𝛼 𝛿 + 𝛼 2 ҧ 𝐴𝑥 = න 0 ∞ 𝑒−2𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 0 ∞ 𝑒−𝑡2𝛿𝑒−𝛼𝑡𝛼 𝑑𝑡 2 ҧ 𝐴𝑥 = 𝛼 − 1 2𝛿 + 𝛼 𝑒𝑡 2𝛿+𝛼 𝑡=0 𝑡→∞ = 𝛼 2𝛿 + 𝛼 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎ത 𝑇𝑥| = 1 𝛿2 𝛼 2𝛿 + 𝛼 − 𝛼 𝛿 + 𝛼 2
  • 19.  Qual a probabilidade de que o valor presente de uma anuidade seja menor que um dado valor Π𝑥? 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 ≤ Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 1 − 𝑒−𝛿𝑇 ≤ 𝛿Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 −𝑒−𝛿𝑇 ≤ 𝛿Π𝑥 − 1 = 𝑃 𝑒−𝛿𝑇 ≥ 1 − 𝛿Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 −𝛿𝑇 ≥ ln 1 − 𝛿Π𝑥 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 −𝑇 ≥ ln 1 − 𝛿Π𝑥 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ Π𝑥 = 𝑃 𝑇 ≤ − 𝑙𝑛 1 − 𝛿Π𝑥 𝛿 = 𝐹𝑇𝑥 − 𝑙𝑛 1 − 𝛿Π𝑥 𝛿 Anuidade Vitalícia Contínua
  • 20. EXEMPLO 4: Considerando que o tempo de vida adicional de uma pessoa de idade 𝑥 seja modelado por uma função de densidade exponencial, 𝑇𝑥 ∼ 𝐸𝑥𝑝 0,016 , dado que 𝛿 = 0,10 , calcule 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 . 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 𝑃 𝑇𝑥 ≤ − 𝑙𝑛 1 − 𝛿 ത 𝑎𝑥 𝛿 = 𝑃 𝑇𝑥 ≤ − 𝑙𝑛 1 − 𝛿 𝛿 + 𝛼 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 𝑃 𝑇𝑥 ≤ − 𝑙𝑛 𝛼 𝛿 + 𝛼 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 1 − 𝑒 −𝛼 − 1 𝛿 𝑙𝑛 𝛼 𝛿+𝛼 = 1 − 𝛼 𝛼 + 𝛿 𝛼 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ ത 𝑎𝑥 = 1 − 0,016 0,016 + 0,10 0,016 0,1 ≈ 0,27164
  • 21. 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ 𝑦 = 𝐹𝑇𝑥 − 𝑙𝑛 1 − 𝛿𝑦 𝛿 𝑃 ത 𝑎𝑇𝑥| ≤ 𝑦 = 1 − 𝑆𝑇0 𝑥 + − 𝑙𝑛 1 − 𝛿𝑦 𝛿 𝑆𝑇0 𝑥 , 0 < 𝑦 ≤ 1 − 𝑒−𝛿 𝜔−𝑥 𝛿 . Anuidade Vitalícia Contínua
  • 22. EXEMPLO 5 : Considere a função de sobrevivência dada por: 𝑆𝑇0 t = 115− 1 3 115 − t 1 3; 0 ≤ t ≤ 115. Dado 𝑥 = 40 e 𝑖 = 4% determine 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ y .
  • 23. EXEMPLO 5 : 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 𝑆𝑇0 40 − 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 0,04 𝑆𝑇0 40 , 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 115− 1 3 115 − 40 − 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 0,04 1 3 115− 1 3 115 − 40 1 3 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 75 + 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 0,04 1 3 75 1 3 𝑃 ത 𝑎𝑇40| ≤ 𝑦 = 1 − 3 + 𝑙𝑛 1 − 0,04𝑦 3 1 3 , 0 < 𝑦 ≤ 1 − 𝑒−3 0,04
  • 25. Prêmio puro único para anuidades contínuas em um período de cobertura 𝑛. 𝑌 = ൝ ത 𝑎𝑇𝑥| se 0 ≤ 𝑇 < 𝑛 ത 𝑎ത 𝑛| se 𝑇 ≥ 𝑛 𝑬 𝒀 = ഥ 𝒂𝒙:ഥ 𝒏| ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 0 𝑛 ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 + න 𝑛 ∞ ത 𝑎ത 𝑛| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 0 𝑛 ത 𝑎 ҧ 𝑡| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 + ത 𝑎ത 𝑛| 𝑛𝑝𝑥 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 0 𝑛 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 Anuidades Temporária contínua
  • 26. Prêmio puro único para anuidades contínuas em um período de cobertura 𝑛. 𝑌 = ൝ ത 𝑎𝑇𝑥| se 0 ≤ 𝑇 < 𝑛 ത 𝑎ത 𝑛| se 𝑇 ≥ 𝑛 𝑣𝑎𝑟 ത 𝑎𝑇𝑥| = 2 ഥ 𝐴𝑥:𝑛 − ҧ 𝐴𝑥:𝑛 2 𝛿2 Anuidades Temporária contínua
  • 27. 𝑚| ത 𝑎𝑥 = න 𝑚 ∞ 𝑣𝑚 ത 𝑎𝑡−𝑚| 𝑡 𝑝𝑥𝜇 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 = න 𝑚 ∞ 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 𝑚| ത 𝑎𝑥 = 𝑚 𝐸𝑥 ത 𝑎𝑥+𝑚 = ത 𝑎𝑥 − ത 𝑎𝑥: ഥ 𝑚| 𝑚| ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = න 𝑚 𝑚+𝑛 𝑒−𝛿𝑡 𝑡 𝑝𝑥𝑑𝑡 𝑚| ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| = 𝑚 𝐸𝑥 ത 𝑎𝑥+𝑚: ത 𝑛| = ത 𝑎𝑥:𝑚+𝑛| − ത 𝑎𝑥: ഥ 𝑚| Anuidade contínua, Diferida
  • 28. Dado que: ത 𝑎ത 𝑇| = 1 − 𝑒−𝛿𝑇 𝛿 𝛿 ത 𝑎𝑇𝑥| + 𝑒−𝛿𝑇 = 1 Caso queiramos obter a Esperança Matemática, tem-se: 𝐸 1 = 𝐸 𝛿 ത 𝑎𝑇𝑥| + 𝑒−𝛿𝑇 1 = 𝐸 𝛿 ത 𝑎𝑇𝑥| + 𝐸 𝑒−𝛿𝑇 1 = 𝛿 ത 𝑎𝑥 + ҧ 𝐴𝑥 Relação entre anuidade e seguro pago no momento da morte.
  • 29. 1 = 𝛿 ത 𝑎𝑥 + ҧ 𝐴𝑥 1 = 𝛿 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| + ҧ 𝐴𝑥: ത 𝑛| Relação entre anuidade e seguro pago no momento da morte.
  • 30. Fracionadas Contínuas Imediata Vitalícia Antecipada ሷ 𝑎𝑥 ሷ 𝑎𝑥 𝑚 ത 𝑎𝑥 Postecipada 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑚 Temporária Antecipada ሷ 𝑎𝑥:𝑛| ሷ 𝑎𝑥∶ ത 𝑛| 𝑚 ത 𝑎𝑥: ത 𝑛| Postecipada 𝑎𝑥:𝑛| 𝑎𝑥∶ ത 𝑛| 𝑚 Diferida Vitalícia Antecipada 𝑚| ሷ 𝑎𝑥 𝑘| ሷ 𝑎𝑥 𝑚 𝑚| ത 𝑎𝑥 Postecipada 𝑚|𝑎𝑥 𝑘|𝑎𝑥 𝑚 Temporária Antecipada 𝑚| ሷ 𝑎𝑥:𝑛| 𝑘| ሷ 𝑎𝑥:𝑛| 𝑚 𝑚| ത 𝑎𝑥:𝑛| Postecipada 𝑚|𝑎𝑥:𝑛| 𝑘|𝑎𝑥:𝑛| 𝑚
  • 31. • Bowers et al. Actuarial Mathematics, 2ª edição. SOA, 1997. • D. C. M. Dickson, M. R. Hardy and H. R. Waters. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks. Cambridge University Press, 2019. • CORDEIRO FILHO, Antônio. Cálculo Atuarial Aplicado: teoria e aplicações, exercícios resolvidos e propostos. São Paulo: Atlas, 2009. • PIRES,M.D.;COSTA,L.H.;FERREIRA,L.;MARQUES, R. Fundamentos da matemática atuarial: vida e pensões. Curitiba :CRV,2022. • Portal Halley : https://atuaria.github.io/portalhalley/