Exercício viga gerber

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Exercício viga gerber

  1. 1. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 1 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1800 kgf/m C D 1200 kgf/m 1800 kgf/m A B C D E F 14400 x 4,0 10,0 5400 x (2,0 + 10,0) 10,0 V = 4680 kgfA V = 15120 kgfB 5760 kgf= 6480 kgf= 14400 x 6,0 10,0 8640 kgf= 10800 x 3,0 6,0 5400 kgf= 6,0 x 1800 = 10800 kgf resultante 10800 x 3,0 6,0 5400 kgf= 3,0 m 12,0 x 1200 = 14400 kgf resultante Primeiro calcula-se esta viga CD, pois ela está apoiada nas outras duas vigas ABC e DEF. 12,0 x 1800 = 21600 kgf resultante 5400 x 2,0 10,0 1080 kgf= 6,0 m 4,0 m 2,0 m 2,0 m 4,0 m 6,0 m 6,0 m 2,0 m 10,0 m V = 19440 kgfE V = 7560 kgfF 21600 x 6,0 10,0 5400 x 2,0 10,0 12960 kgf= 1080 kgf= 21600 x 4,0 10,0 8640 kgf= 5400 x (2,0 + 10,0) 10,0 6480 kgf= 1200 kgf/m 1800 kgf/m1800 kgf/m A B C D E F 3,0 m Como um dos apoios da viga CD é o ponto C da viga ABC, aplica-se esta reação como carga concentrada nesse ponto C da viga ABC x1 x2 x3 x4 5400 kgf 5400 kgf Como um dos apoios da viga CD é o ponto D da viga DEF, aplica-se esta reação como carga concentrada nesse ponto D da viga DEF 10 m 2,0 m 1. Exercício 01 – Vigas Gerber 1.1 Reações de apoio
  2. 2. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 2 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.2 Diagrama de Esforço cortante - DEC Legenda: ܳ௜,௝ → ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋ܥ‬ ݊‫݋‬ ݅݊íܿ݅‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆ ܳ௙,௝ → ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋ܥ‬ ݊‫݋‬ ݂݅݉ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆ Convenção: ‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋‬ ‫.݋ݒ݅ݐ݅ݏ݋݌‬ ‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ܽ݊‫݅ݐ‬ − ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ܿ‫݁ݐ݊ܽݐݎ݋‬ ݊݁݃ܽ‫.݋ݒ݅ݐ‬ 1.2.1 Trecho 1 ܳ௜,ଵ = ܸ஺ = 4680 ݂݇݃ (Positivo, pois gira no sentido horário para “dentro da viga”) ܳ௙,ଵ = ܳ௜,ଵ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ଵ = 4680 − ሺ1200 ∙ 10ሻ = − 7320 ݂݇݃ 1.2.2 Trecho 2 ܳ௜,ଶ = ܳ௙,ଵ + ܸ஻ = − 7320 + 15120 = 7800 ݂݇݃ ܳ௙,ଶ = ܳ௜,ଶ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ଶ = 7800 − ሺ1200 ∙ 2ሻ = 5400 ݂݇݃
  3. 3. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 3 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.2.3 Trecho 3 ܳ௜,ଷ = ܳ௙,ଶ = 5400 ݂݇݃ ܳ௙,ଷ = ܳ௜,ଷ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ଷ = 5400 − ሺ1800 ∙ 8ሻ = − 9000 ݂݇݃ 1.2.4 Trecho 4 ܳ௜,ସ = ܳ௙,ଷ + ܸா = − 9000 + 19440 = 10440 ݂݇݃ ܳ௙,ସ = ܳ௜,ସ − ܴ݁‫ݐ݈ݑݏ‬୲୰ୣୡ୦୭ ସ = 10440 − ሺ1800 ∙ 10ሻ = − 7560 ݂݇݃ 1.2.5 Posição onde o cortante é nulo (࢞૙) O gráfico de esforço cortante tem o valor nulo (zero) exatamente onde ele corta o eixo da viga, e isso ocorre nos trechos 1, 3 e 4 porque todos esses três trechos tem um cortante inicial positivo e um cortante final negativo, ou seja, isso indica que o gráfico corta o eixo da viga passando pela posição onde ele é zero, pois para sair de um número positivo e chegar em um negativo, obrigatoriamente temos que passar pelo zero. Em resumo, quando o cortante inicial de um trecho for positivo e o final negativo, quer dizer, que é nesse trecho que o gráfico do cortante passa pela posição onde é zero. E é a equação desse trecho que devemos utilizar para encontrar o valor de ‫ݔ‬଴. Geralmente o cortante se anula em trechos entre dois apoios, veja que no primeiro trecho onde ele se anula, está entre os apoios A e B, no segundo trecho, está entre os apoios B e E, e no terceiro trecho está entre os apoios E e F. Sabendo disso, basta utilizarmos a equação de cortante dos trechos 1, 3 e 4 e igualarmos a zero cada uma delas, com isso encontraremos a posição onde ele é nulo a partir do início de cada um desses trechos.
  4. 4. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 4 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 A equação do trecho 1 é: ܳଵሺ‫ݔ‬ଵሻ = ܳ௜,ଵ − ܿܽ‫݃݁ݎݎ‬ௗ௜௦௧௥௜௕ ܳଵሺ‫ݔ‬ଵሻ = 4680 − 1200‫ݔ‬ଵ 0 = 4680 − 1200‫ݔ‬଴,ଵ 1200‫ݔ‬଴,ଵ = 4680 ‫ݔ‬଴,ଵ = 4680 1200 ࢞૙,૚ = ૜, ૢ૙ ࢓ (a partir do início do trecho 1, ou seja, a partir do apoio em A) A equação do trecho 3 é: ܳଷሺ‫ݔ‬ଷሻ = ܳ௜,ଷ − ܿܽ‫݃݁ݎݎ‬ௗ௜௦௧௥௜௕ ܳଷሺ‫ݔ‬ଷሻ = 5400 − 1800‫ݔ‬ଷ 0 = 5400 − 1800‫ݔ‬଴,ଷ 1800‫ݔ‬଴,ଷ = 5400 ‫ݔ‬଴,ଷ = 5400 1800 ࢞૙,૜ = ૜, ૙૙ ࢓ (a partir do início do trecho 3, ou seja, a partir da rótula em C. Lembrar que rótula não separa trecho, a separação neste caso, foi devido a diferença de cargas distribuídas)
  5. 5. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 5 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 A equação do trecho 4 é: ܳସሺ‫ݔ‬ସሻ = ܳ௜,ସ − ܿܽ‫݃݁ݎݎ‬ௗ௜௦௧௥௜௕ ܳସሺ‫ݔ‬ସሻ = 10440 − 1800‫ݔ‬ସ 0 = 10440 − 1800‫ݔ‬଴,ସ 1800‫ݔ‬଴,ସ = 10440 ‫ݔ‬଴,ସ = 10440 1800 ࢞૙,૝ = ૞, ૡ૙ ࢓ (a partir do início do trecho 4, ou seja, a partir do apoio em E)
  6. 6. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 6 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 x1 x2 x3 x4 A B C D E F DEC [kgf] 4680 = 2,34 cm 7800 = 3,90 cm 7320 = 3,66 cm 10440 = 5,22 cm 9000 = 4,50 cm 7560 = 3,78 cm 5400 = 2,70 cm 5400 = 2,70 cm x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m0,1 0,3 0,4 Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 1,0 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 1,0 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala vertical (esforço cortante): 1 cm = 2000 kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo esforço cortante deverá ser dividido por 2000 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") 1.2.6 Traçado do diagrama de esforço cortante - DEC
  7. 7. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 7 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3 Diagrama de Momento fletor - DMF Legenda: ‫ܯ‬௜,௝ → ‫݋ݐ݊݁݉݋ܯ‬ ݊‫݋‬ ݅݊íܿ݅‫݋‬ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆ ‫ܯ‬௙,௝ → ‫݋ݐ݊݁݉݋ܯ‬ ݊‫݋‬ ݂݅݉ ݀‫݋‬ ‫ܿ݁ݎݐ‬ℎ‫݋‬ ݆ → Reação de apoio → Resultante de um carregamento distribuído → Força concentrada → Distância, lembrar que momento é o produto de uma força pela distância. → Momento Convenção, percorrendo a viga da esquerda para a direita: ‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ݉‫݋ݐ݊݁݉݋‬ ‫.݋ݒ݅ݐ݅ݏ݋݌‬ ‫݋ݎ݅ܩ‬ ݊‫݋‬ ‫݋݀݅ݐ݊݁ݏ‬ ܽ݊‫݅ݐ‬ − ℎ‫ݎ݋‬á‫,݋݅ݎ‬ ݉‫݋ݐ݊݁݉݋‬ ݊݁݃ܽ‫.݋ݒ݅ݐ‬ 1.3.1 Trecho 1 1.3.1.1 Momento no início do trecho 1 ‫ܯ‬௜,ଵ = 0 (pois não existe engaste e nem momento aplicado)
  8. 8. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 8 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3.1.2 Momento no fim do trecho 1 ‫ܯ‬௙,ଵ = ܸ஺ ∙ 10 − 1200 ∙ 10 ∙ 10 2 ‫ܯ‬௙,ଵ = 4680 ∙ 10 − 12000 ∙ 5 ‫ܯ‬௙,ଵ = −13200 ݉. ݂݇݃ 1.3.2 Trecho 2 1.3.2.1 Momento no início do trecho 2 ‫ܯ‬௜,ଶ = ‫ܯ‬௙,ଵ (pois não existe momento aplicado) ‫ܯ‬௜,ଶ = −13200 ݉. ݂݇݃ 1.3.2.2 Momento no fim do trecho 2 ‫ܯ‬௙,ଶ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2ሻ − ሺ1200 ∙ 12ሻ ∙ 12 2 + ܸ஻ ∙ 2 ‫ܯ‬௙,ଶ = 4680 ∙ 12 − 14400 ∙ 6 + 15120 ∙ 2 ‫ܯ‬௙,ଶ = 56160 − 86400 + 30240 ‫ܯ‬௙,ଶ = 0 (deveria ser zero mesmo, pois é uma rótula, e nela sempre o momento é zero)
  9. 9. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 9 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3.3 Trecho 3 1.3.3.1 Momento no início do trecho 3 ‫ܯ‬௜,ଷ = ‫ܯ‬௙,ଶ (pois não existe momento aplicado) ‫ܯ‬௜,ଷ = 0 1.3.3.2 Momento no fim do trecho 3 ‫ܯ‬௙,ଷ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ ሺ10 + 2ሻ 2 + 6 + 2቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 6 + 2ሻ − 1800 ∙ ሺ6 + 2ሻ ∙ ሺ6 + 2ሻ 2 ‫ܯ‬௙,ଷ = 4680 ∙ 20 − 14400 ∙ 14 + 15120 ∙ 10 − 14400 ∙ 4 ‫ܯ‬௙,ଷ = −14400 ݉. ݂݇݃ 1.3.4 Trecho 4 1.3.4.1 Momento no início do trecho 4 ‫ܯ‬௜,ସ = ‫ܯ‬௙,ଷ (pois não existe momento aplicado) ‫ܯ‬௜,ସ = −14400 ݉. ݂݇݃
  10. 10. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 10 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 1.3.4.2 Momento no fim do trecho 4 ‫ܯ‬௙,ସ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2 + 10ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ ሺ10 + 2ሻ 2 + 6 + 2 + 10቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 6 + 2 + 10ሻ − 1800 ∙ ሺ6 + 2 + 10ሻ ∙ ሺ6 + 2 + 10ሻ 2 + ܸா ∙ 10 ‫ܯ‬௙,ସ = 4680 ∙ 30 − 14400 ∙ 24 + 15120 ∙ 20 − 32400 ∙ 9 + 19440 ∙ 10 ‫ܯ‬௙,ସ = 0 (deveria ser zero mesmo, pois no fim do trecho 4 não existe momento aplicado e é um apoio do 1º gênero) 1.3.5 Cálculo dos momentos máximos 1.3.5.1 Trecho 1 Da esquerda pra direita, + ↻ : ‫ܯ‬௠á௫,ଵ = ܸ஺ ∙ 3,9 − 1200 ∙ 3,9 ∙ 3,9 2 ‫ܯ‬௠á௫,ଵ = 4680 ∙ 3,9 − 4680 ∙ 1,95 ࡹ࢓á࢞,૚ = ૢ૚૛૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ
  11. 11. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 11 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Da direita pra esquerda, + ↺ : Sabemos que ‫ݔ‬଴,ଵ = 3,90 a partir de A, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do cortante nulo para o apoio B, essa distância é 10,0 − 3,90 = 6,10 ݉. Dessa maneira, tem-se: ‫ܯ‬௠á௫,ଵ = ܸி ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2 + 6,1ሻ − 1800 ∙ ሺ10 + 2 + 6ሻ ∙ ቈ ሺ10 + 2 + 6ሻ 2 + 2 + 6,1቉ + ܸா ∙ ሺ2 + 6 + 2 + 6,1ሻ − 1200 ∙ ሺ2 + 6,1ሻ ∙ ሺ2 + 6,1ሻ 2 + ܸ஻ ∙ 6,1 ‫ܯ‬௠á௫,ଵ = 7560 ∙ 26,1 − 32400 ∙ 17,1 + 19440 ∙ 16,1 − 9720 ∙ 4,05 + 15120 ∙ 6,1 ‫ܯ‬௠á௫,ଵ = 197316 − 554040 + 312984 − 39366 + 92232 ࡹ࢓á࢞,૚ = ૢ૚૛૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ 1.3.5.2 Trecho 3 Da esquerda pra direita, + ↻ : ‫ܯ‬௠á௫,ଷ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 3ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ ሺ10 + 2ሻ 2 + 3቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 3ሻ − 1800 ∙ 3 ∙ 3 2 ‫ܯ‬௠á௫,ଷ = 4680 ∙ 15 − 14400 ∙ 9 + 15120 ∙ 5 − 5400 ∙ 1,5 ࡹ࢓á࢞,૜ = ૡ૚૙૙ ࢓. ࢑ࢍࢌ
  12. 12. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 12 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Da direita pra esquerda, + ↺ : Sabemos que ‫ݔ‬଴,ଷ = 3,0 a partir de C, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do cortante nulo para a rótula D, essa distância é 6,0 − 3,0 = 3,0 ݉. Dessa maneira, tem-se: ‫ܯ‬௠á௫,ଷ = ܸி ∙ ሺ10 + 2 + 3ሻ − 1800 ∙ ሺ10 + 2 + 3ሻ ∙ ቈ ሺ10 + 2 + 3ሻ 2 ቉ + ܸா ∙ ሺ2 + 3ሻ ‫ܯ‬௠á௫,ଷ = 7560 ∙ 15 − 27000 ∙ 7,5 + 19440 ∙ 5 ‫ܯ‬௠á௫,ଷ = 113400 − 202500 + 97200 ࡹ࢓á࢞,૜ = ૡ૚૙૙ ࢓. ࢑ࢍࢌ 1.3.5.3 Trecho 4 Da esquerda pra direita, + ↻ : ‫ܯ‬௠á௫,ସ = ܸ஺ ∙ ሺ10 + 2 + 6 + 2 + 5,8ሻ − 1200 ∙ ሺ10 + 2ሻ ∙ ቈ ሺ10 + 2ሻ 2 + 6 + 2 + 5,8቉ + ܸ஻ ∙ ሺ2 + 6 + 2 + 5,8ሻ − 1800 ∙ ሺ6 + 2 + 5,8ሻ ∙ ሺ6 + 2 + 5,8ሻ 2 + ܸா ∙ 5,8 ‫ܯ‬௠á௫,ସ = 4680 ∙ 25,8 − 14400 ∙ 19,8 + 15120 ∙ 15,8 − 24840 ∙ 6,9 + 19440 ∙ 5,8 ‫ܯ‬௠á௫,ସ = 120744 − 285120 + 238896 − 171396 + 112752 ࡹ࢓á࢞,૝ = ૚૞ૡૠ૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ
  13. 13. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 13 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Da direita pra esquerda, + ↺ : Sabemos que ‫ݔ‬଴,ସ = 5,8 a partir de E, como a análise será da direita para a esquerda, precisamos saber qual a distância do cortante nulo para o apoio F, essa distância é 10,0 − 5,8 = 4,2 ݉. Dessa maneira, tem-se: ‫ܯ‬௠á௫,ସ = ܸி ∙ 4,2 − 1800 ∙ 4,2 ∙ 4,2 2 ‫ܯ‬௠á௫,ସ = 7560 ∙ 4,2 − 7560 ∙ 2,1 ‫ܯ‬௠á௫,ସ = 31752 − 15876 ࡹ࢓á࢞,૝ = ૚૞ૡૠ૟ ࢓. ࢑ࢍࢌ
  14. 14. Isostática - 2º/2012 Universidade Nilton Lins 14 Prof. Winston Zumaeta 14/10/2012 Escala horizontal (eixo da viga): 1 cm = 1,0 m (Dica: Com esta escala escolhida, todo comprimento de viga deverá ser divido por 1,0 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") Escala vertical (momento fletor): 1 cm = 3000 m.kgf (Dica: Com esta escala escolhida, todo momento fletor deverá ser dividido por 3000 para ser transformado para cm na "escala do papel milimetrado") DMF [m.kgf] x1 x2 x3 x4 A B C D E F 13200 = 4,40 cm 9126 = 3,04 cm 15876 = 5,29 cm 14400 = 4,80 cm x = 3,90 m x = 3,00 m x = 5,80 m 0,1 0,3 0,4 8100 = 2,70 cm q.L 2 8 = 1200 x 10,0 2 8 = 15000 m.kgf = 5,0 cm q.L 2 8 = 1800 x 8,0 2 8 = 14400 m.kgf = 4,80 cm Mmáx Mmáx Mmáx q.L 2 8 = 1800 x 10,0 2 8 = 22500 m.kgf = 7,50 cm Mmáx Mmáx Mmáx Parábola trecho 1 Parábola trecho 3 q.L 2 8 = 1200 x 2,0 2 8 = 600 m.kgf = 0,20 cm Parábola trecho 2 Parábola trecho 4 Parábola do 2º Grau Parábola do 2º Grau Parábola do 2º Grau Parábola do 2º Grau 1.3.6 Traçado do diagrama de momento fletor - DMF

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