Apostila9

Trigonometria Plana e Esférica

APÊNDICE AO CAPÍTULO 17

TRIGONOMETRIA PLANA E ESFÉRICA

1 INTRODUÇÃO
A Trigonometria Esférica é essencial para compreensão dos conceitos e resolução
dos problemas de Navegação Astronômica e Navegação Ortodrômica. É, ainda, impor-
tante para entendimento dos princípios fundamentais de alguns sistemas de Navegação
Eletrônica.
A Trigonometria Plana é indispensável para entendimento dos conceitos e resolu-
ção dos problemas de derrotas loxodrômicas, além de ser usada em outros tipos e métodos
de navegação.
Assim, antes de prosseguir, é necessário recordar as noções e as fórmulas da
Trigonometria Plana e da Trigonometria Esférica, o que possibilitará melhor compre-
ensão dos assuntos abordados nos Capítulos seguintes.

2 TRIGONOMETRIA PLANA

I CONCEITOS E SINAIS DAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS
a) Primeiro Quadrante: 0º a 90º (figura 17.A.1)

Figura 17.A.1 – Primeiro Quadrante

sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)

cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)
sen a
tg a = cos a = AT ; sinal positivo (+)
1
sec a = = OT ; sinal positivo (+)
cos a
1
cosec a = = OS ; sinal positivo (+)
sen a
1
cotg a = = BS ; sinal positivo (+)
tg a

Navegação astronômica e derrotas 589


b) Segundo Quadrante: 90º a 180º (figura 17.A.2)
Figura 17.A.2 – Segundo Quadrante

sen a = PM = OQ ; sinal positivo (+)

cos a = OP = QM ; sinal negativo (–)
sen a
tg a = cos a = AT ; sinal negativo (–)
1
sec a = = OT ; sinal negativo (–)
cos a
1
cosec a = = OS ; sinal positivo (+)
sen a
1
cotg a = = BS ; sinal negativo (–)
tg a

c) Terceiro Quadrante: 180º a 270º (figura 17.A.3.)

Figura 17.A.3 – Terceiro Quadrante

sen a = PM = OQ ; sinal negativo (–)

cos a = OP = QM ; sinal negativo (–)
sen a
tg a = cos a = AT ; sinal positivo (+)
1
sec a = = OT ; sinal negativo (–)
cos a
1
cosec a = = OS ; sinal negativo (–)
sen a
1
cotg a = = BS ; sinal positivo (+)
tg a

590 Navegação astronômica e derrotas


d) Quarto quadrante: 270º a 360º (figura 17.A.4)
Figura 17.A.4 – Quarto Quadrante

sen a = PM = OQ ; sinal negativo (–)

cos a = OP = QM ; sinal positivo (+)
sen a
tg a = = AT ; sinal negativo (–)
cos a
1
sec a = = OT ; sinal positivo (+)
cos a
1
cosec a = = OS ; sinal negativo (–)
sen a
1
cotg a = = BS ; sinal negativo (–)
tg a

II RESUMO DOS SINAIS DAS LINHAS
TRIGONOMÉTRICAS

QUADRANTE

LINHA PRIMEIRO SEGUNDO TERCEIRO QUARTO

0º £ a £ 90º 90º£ a £ 180º 180º £ a £ 270º 270º£ a £ 360º
SENO + + – –
COSSENO + – – +
TANGENTE + – + –
SECANTE + – – +
COSSECANTE + + – –
COTANGENTE + – + –

III VARIAÇÕES DAS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS

QUADRANTE SENO COSSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSSECANTE

1o 0 a +1 +1 a 0 0a+¥ +¥ a0 +1 a + ¥ + ¥ a +1

2o +1 a 0 0 a –1 –¥ a0 0a–¥ – ¥ a –1 +1 a + ¥

3o 0 a –1 –1 a 0 0a+¥ +¥ a0 –1 a – ¥ – ¥ a –1

4o –1 a 0 0 a +1 –¥ a0 0a–¥ + ¥ a +1 –1 a – ¥



IV PRIMEIRAS RELAÇÕES ENTRE AS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS

sen (– a) = – sen a tg (– a) = – tg a sec (– a) = sec a

cos (– a) = cos a cotg (– a) = – cotg a cosec (– a) = – cosec a

sen (180º – a) = sen a tg (180º – a) = – tg a

cos (180º – a) = – cos a cotg (180º – a) = – cotg a

sen (180º + a) = – sen a tg (180º + a) = tg a

cos (180º + a) = – cos a cotg (180º + a) = cotg a

sen (90º + a) = cos a tg (90º + a) = – cotg a

cos (90º + a) = – sen a cotg (90º + a) = – tg a

V IDENTIDADES DA TRIGONOMETRIA PLANA

Em um círculo de raio unitário (r = 1), teremos:

sen2 a + cos2 a= 1
sen a 1 sen a
tg a = cos a tg a = tg a =
cotg a + 1 – sen2 a

cos a 1 + 1 – sen2 a
cotg a = cotg a = cotg a =
sen a tg a sen a

1
sec2 a = 1 + tg2 a sec a = cos a

1
cosec2 a = 1 + cotg2 a cosec a = sen a



VI SOMA, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
DE ARCOS
sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b

sen (a – b) = sen a . cos b – cos a . sen b

cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b

tg a + tg b tg a – tg b
tg (a + b) = tg (a – b) =
1 – tg a . tg b 1 + tg a . tg b
sen 2a = 2 sen a . cos a a a
sen a = 2 sen . cos
2 2
cos 2a = cos2 a – sen2 a
a a
2 tg a cos a = cos2 – sen2
tg 2a = 2 2
1 – tg2 a a
2 tg
2
a 1 – cos a tg a =
sen = + a
2 2 1 – tg2
2
a 1 + cos a a
cos = + 1 + cos a = 2 cos2
2 2 2

a 1 – cos a a
tg = + 1 – cos a = 2 sen2
2 1 + cos a 2

VII FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM
TRIÂNGULO RETÂNGULO
No triângulo retângulo ABC (figura 17.A.5) temos:

Figura 17.A.5 – Triângulo Retângulo

b cateto oposto
sen B = =
a hipotenusa

c cateto adjacente
cos B = a =
hipotenusa

b cateto oposto
tg B = c = cateto adjacente
a 1
sec B = =
c cos B
a 1
cosec B = =
b sen B
c 1
cotg B = =
b tg B



^ ^
Ainda no triângulo retângulo ABC, B e C são ângulos complementares, isto é:
^ ^
B + C = 90º.
Então:
b
sen B = a = cos C = cos (90º – B)

c
cos B = a = sen C = sen (90º – B)

b
tg B = c = cotg C = cotg (90º – B)

a
sec B = c = cosec C = cosec (90º – B)

a
cosec B = = sec C = sec (90º – B)
b
c
cotg B = = tg C = tg (90º – B)
b

VIII RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Consideram-se 4 casos na resolução dos triângulos retângulos:

1o CASO: Dados a hipotenusa e um ângulo agudo (a e B, respectivamente)

Lados: b = a . sen B Ângulo: C = 90º – B

1 2
c = a . cos B Área: S = a . sen 2 B
4

2o CASO: Dados um cateto e um ângulo agudo (b e B, respectivamente)

b
Lados: a = Ângulo: C = 90º – B
sen B
1 2
c = b . cotg B Área: S = b . cotg B
2
3o CASO: Dados os dois catetos (b e c)

b b
Ângulos: tg B = Hipotenusa: a =
c sen B
1
C = 90º – B Área: S =
bc
2
4o CASO: Dados a hipotenusa e um cateto (a e b, respectivamente)

b (a + b) (a – b)
Ângulos: sen B = Lado: c =
a

1 b (a + b) (a – b)
C = 90º – B Área: S= bc =
2 2



IX TRIÂNGULO PLANO OBLIQUÂNGULO
Seja o triângulo obliquângulo ABC da figura 17.A.6. As seguintes Leis são úteis para
resolução desse tipo de triângulo:
Figura 17.A.6 – Triângulo Plano Obliquângulo

A
a b c
Lei dos Senos: = = b
sen A sen B sen C
c
Lei dos Cossenos: a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
B C
a

X RESOLUÇÃO DO TRIÂNGULO OBLIQUÂNGULO
Conforme os dados do problema, distinguiremos os 4 casos possíveis (figura 17.A.6).

1o CASO: Dados um lado e dois ângulos quaisquer (a, A e B)

a . sen B
Lados: b = Ângulo: C = 180º – (A + B)
sen A
a . sen C a2 . sen B . sen (A + B)
c = Área: S =
sen A 2 sen A

2o CASO: Dados dois lados e o ângulo que eles formam (a, b e C)

A+B C a . sen C
Ângulos: tg = cotg Lado: c =
2 2 sen A

A–B a–b C ab . sen C
tg = . cotg Área: S =
2 a+b 2 2

a . sen C
ou: tg A =
b – a . cos C

e: B = 180º – (A + C)

3o CASO: Dados os três lados (a, b e c)

Perímetro : a + b + c = 2p Área : S = p (p – a)(p – b)(p – c)

A (p – b) (p – c) c 2 + b2 – a 2
Ângulos : sen = ; ou : cos A =
2 bc 2bc
B (p – a) (p – c) a + c 2 – b2
2

sen = ; ou : cos B =
2 ac 2ac
C (p – a) (p – b)
sen = ; ou : C = 180º – (A + B)
2 ab



4o CASO: Dados dois lados e o ângulo oposto a um deles (a, b e A)

b . sen A a . sen C
Ângulos: sen B = Lado: c =
a sen A
1
C = 180º – (A + B) Área: S = ab . sen C
2

3 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

I FINALIDADE DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
O navegante admite que a Terra tem forma esférica, com o propósito de simplificar a
solução dos problemas de Navegação Astronômica. Por outro lado, os astros são supostos
estar projetados sobre a superfície interna de uma imensa esfera, denominada Esfera Celes-
te, de raio infinito e concêntrica com a Terra.

Eis porque, quando um navegante efetua Navegação Astronômica, o seguinte procedi-
mento se impõe:

1o. Observar astros que lhe parecem estar na superfície interna da Esfera Celeste; e

2o. resolver triângulos esféricos pertencentes à superfície interna dessa esfera (fi-
gura 17.A.7).

Figura 17.A.7 – Triângulo Esférico na Esfera Celeste

A RESOLUÇÃO DESTES TRIÂNGULOS ESFÉRICOS CONSTITUI, PARA
O NAVEGANTE, O FIM PRINCIPAL DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA.



As Tábuas para Navegação Astronômica (PUB. 229, PUB. 249, RADLER, NORIE, etc.)
constituem, na realidade, uma série de soluções pré-computadas de triângulos esféricos, para
todas as combinações possíveis de Latitude, Declinação e Ângulo Horário (ou ângulo no pólo),
a fim de facilitar ao navegante a resolução do triângulo de posição e a determinação rápida e
precisa do ponto no mar.

II PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS
ESFÉRICOS
TRIÂNGULO ESFÉRICO é a porção da superfície esférica compreendida entre três
arcos de circunferências máximas, cada um deles inferior a 180º.

Os ângulos do triângulo esférico ABC (figura 17.A.8) são simbolizados com as letras A,
B, C e os lados opostos, com as minúsculas respectivas: a, b, c. A cada triângulo esférico ABC,
de lados menores que 180º, corresponde um ângulo triédrico convexo, 0–ABC, cujo vértice
está no centro O da esfera. Os lados do triângulo esférico têm por medida as faces respectivas
do ângulo triédrico correspondente. Realmente, a medida de cada lado é igual à medida do
respectivo ângulo central:

lado a = ângulo central BOC
lado b = ângulo central AOC
lado c = ângulo central AOB

Figura 17.A.8 – Triângulo Esférico A B C

Os ângulos do triângulo esférico têm por medida os diedros do ângulo triédrico cor-
respondente:
A = diedro OCAB
B = diedro OABC
C = diedro OACB



Propriedades dos triângulos esféricos:
1a. A soma dos 3 lados de um triângulo esférico é maior que 0º e menor que 360º.

0º < a + b + c < 360º

2a. A soma dos 3 ângulos de um triângulo esférico é maior que 2 retos e menor que 6 retos.

180º < A + B + C < 540º

3a. Cada lado de um triângulo esférico é menor que a soma e maior que a diferença dos
outros dois.
|b–c|<a<b+c
|c–a|<b<c+a
|a–b|<c<a+b
4a. Se 2 lados de um triângulo esférico são iguais, os ângulos opostos também são
iguais. A recíproca é verdadeira.

Se a = b, então A = B (e reciprocamente)

5a. Ao maior lado se opõe o maior ângulo e vice-versa.

6a. A soma de dois ângulos é menor que o terceiro acrescido de 180º e a diferença é
menor que o suplemento do terceiro.

A + B < C + 180º
A – B < 180º– C

III FÓRMULAS GERAIS DA TRIGONOMETRIA ESFÉRICA
A Trigonometria Esférica estabelece relações convenientes entre os 6 elementos de um
triângulo esférico (3 lados e 3 ângulos), tornando possível o cálculo de 3 desses elementos,
quando forem conhecidos os outros 3.

Assim, cada elemento desconhecido é calculado em função de outros 3, proporcionan-
do, em cada caso, uma combinação de 4 elementos. Como são 6 os elementos de um triângulo,
temos que ver quantas combinações poderemos fazer com esses 6 elementos 4 a 4.

4
An A6 6x5x4x3
C ==
n
m
m
= = = 15
15
Pn P4 1x2x3x4

Deste modo, com 15 fórmulas teremos abrangido todos os casos de resolução a seguir
expostos.

1o CASO: COMBINAÇÃO DE 3 LADOS A CADA UM DOS ÂNGULOS

Da figura 17.A.9, obtém-se: tg b = AL sec b = OL
tg c = AK sec c = OK



Figura 17.A.9

Os triângulos planos retilíneos KOL e KAL permitem-nos escrever:

KL2 = OL2 + OK2 – 2 x OL x OK x cos a
KL2 = AL2 + AK2 – 2 x AL x AK x cos A

Igualando e substituindo:

sec2 b + sec2 c – 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b + tg2 c – 2 . tg b . tg c . cos A
ou seja:
– 2 . sec b . sec c . cos a = tg2 b – sec2 b + tg2 c – sec2 – 2 tg b . tg c . cos A

Dividindo por (–2) ambos os membros da igualdade acima, teremos:

sec b . sec c . cos a = 1 + tg b . tg c . cos A

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por cos b . cos c, virá:

1 . 1 . cos a . cos b . cos c = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A . cos b . cos c
cos b cos c cos b cos c

Donde cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A

Por dedução semelhante, chegaríamos às outras duas combinações, completando
assim o grupo das chamadas FÓRMULAS FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMÉTRICA
ESFÉRICA:

cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A
cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B
cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C

2o CASO: COMBINAÇÃO DE 3 ÂNGULOS A CADA UM DOS LADOS

Por simples aplicação da propriedade do triângulo polar ou suplementar, chega-
ríamos ao seguinte conjunto de fórmulas:



cos A = – cos B . cos C + sen B . sen C . cos a
cos B = – cos A . cos C + sen A . sen C . cos b
cos C = – cos A . cos B + sen A . sen B . cos c

3o CASO: COMBINAÇÃO DE 2 ÂNGULOS A 2 LADOS OPOSTOS (ANALOGIA DOS
SENOS OU LEI DOS SENOS)

Partindo das fórmulas fundamentais, por fáceis substituições algébricas, deduzirí-
amos:

sen a sen b sen c
= =
sen A sen B sen C

4o CASO: COMBINAÇÃO DE 4 ELEMENTOS CONSECUTIVOS (FÓRMULA DAS
COTANGENTES), NOS SENTIDOS MOSTRADOS NA FIGURA 17.A.10

Figura 17.A.10

B

a
c

C

A
b

Com origem nas fórmulas fundamentais, chegaríamos às últimas 6 fórmulas, atin-
gindo o total das 15 combinações procuradas:

cotg a . sen c = cotg A. sen B + cos c . cos B
cotg a . sen b = cotg A. sen C + cos b . cos C
cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C
cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A
cotg c . sen a = cotg C . sen B + cos a . cos B
cotg c . sen b = cotg C . sen A + cos b . cos A

Todo o trabalho restante da Trigonometria Esférica se resume, praticamente, na
simplificação destas fórmulas gerais, que são suficientes para resolver qualquer caso clás-
sico que se apresente.



IV SIMPLIFICAÇÃO DAS FÓRMULAS GERAIS NOS
CASOS DOS TRIÂNGULOS ESFÉRICOS
RETÂNGULOS E RETILÁTEROS
TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO é aquele que tem um ângulo igual a 90º.

TRIÂNGULO ESFÉRICO RETILÁTERO é aquele que tem um lado igual a 90º.

Fazendo parte dos 3 elementos dados de um triângulo esférico um ângulo igual a 90º
(triângulo esférico retângulo), ou um lado igual a 90º (triângulo esférico retilátero), é evidente
que este elemento irá simplificar a combinação escolhida, como se verifica no quadro a seguir,
no qual são apresentadas as fórmulas gerais e as fórmulas simplificadas que atendem à reso-
lução de qualquer caso dos triângulos esféricos retângulos e retiláteros.

FÓRMULAS SIMPLIFICADAS
FÓRMULAS GERAIS
A = 90º a = 90º
cos a = cos b . cos c + sen b . sen c . cos A cos a = cos b . cos c cos A = – cotg b . cotg c

cos b = cos a . cos c + sen a . sen c . cos B cos b = sen c . cos B

cos c = cos a . cos b + sen a . sen b . cos C cos c = sen b . cos C

cos A = – cos B . cos C + sen B . sen C . cos a cos a = cotg B . cotg C cos A = – cos B . cos C

cos B = – cos A . cos C + sen A . sen C . cos b cos B = sen C . cos b

cos C = – cos A . cos B + sen A . sen B . cos c cos C = sen B . cos c

sen a sen b sen b = sen a . sen B sen B = sen b . sen A
=
sen A sen B

sen a sen c sen c = sen a . sen C sen C = sen c . sen A
=
sen A sen C

sen b sen c
=
sen B sen C

cotg a . sen c = cotg A . sen B + cos c . cos B cotg a = cotg c . cos B cotg A = – cos c . cotg B

cotg a . sen b = cotg A . sen C + cos b . cos C cotg a = cotg b . cos C cotg A = – cos b . cotg C

cotg b . sen a = cotg B . sen C + cos a . cos C cotg b = cotg B . sen C

cotg b . sen c = cotg B . sen A + cos c . cos A cotg B = cotg b . sen c

cotg c . sen a = cotg C . sen B + cos a . cos B cotg c = cotg C . sen B

cotg c . sen b = cotg C . sen A + cos b . cos A cotg C = cotg c . sen b



V FÓRMULAS EMPREGADAS NA RESOLUÇÃO DOS
TRIÂNGULOS ESFÉRICOS OBLIQUÂNGULOS
1o CASO: DADOS OS TRÊS LADOS (a, b, c)

A sen (p – b) . sen (p – c) a+b+c
tg =+ ; sendo p =
2 sen p . sen (p – a) 2

B sen (p – a) . sen (p – c)
tg =+
2 sen p . sen (p – b)

C sen (p – a) . sen (p – b)
tg =+
2 sen p . sen (p – c)

2o CASO: DADOS OS TRÊS ÂNGULOS (A, B, C)

a – cos S . cos (S – A) A + B+C
tg =+ ; sendo S =
2 cos (S – B) . cos (S – C) 2

b – cos S . cos (S – B)
tg =+
2 cos (S – A) . cos (S – C)

c – cos S . cos (S – C)
tg =+
2 cos (S – A) . cos (S – B)

3o CASO: DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO COMPREENDIDO (A, b, c) – FIGURA
17.A.11
Figura 17.A.11

C

b
a

B
A

c



Para o cálculo do lado a podemos empregar a fórmula:

cos (c ~ m)
cos a = cos b .
cos m

Em que o argumento auxiliar m é dado por tg m = tg b. cos A ou, então, lançar mão da
fórmula do SEMI-SENO-VERSO:

ssv a = ssv (b ~ c) + sen b. sen c. ssv A

É oportuno recordar que se denomina semi-seno-verso (ssv) de um ângulo A à expres-
são:
1 A
ssv A = (1– cos A) = sen 2
-
2 2

É fácil demonstrar a igualdade acima, desde que nos lembremos das seguintes iden-
tidades:

sen 2 A + cos2 A = 1

A A
cos A = cos2 – sen 2
2 2

· multiplicando a segunda fórmula por (– 1), teremos:

A A
– cos A = – cos 2 + sen 2
2 2

· somando 1 a cada um dos membros, ficará:

A A
1 - cos A = 1 – cos 2 + sen 2
2 2
· como:

2 A 2 A
sen + cos = 1, teremos:
2 2

2 A 2 A 2 A 2 A
1– cos A = sen + cos – cos + sen
2 2 2
2 2

· ou, então:

A 1 A
1 – cos A = 2 sen 2 ; e (1 – cos A) = sen 2
2 2 2



O semi-seno-verso (ssv) é empregado na solução do triângulo de posição em várias
Tábuas para Navegação Astronômica. Em inglês, é denominado haversine (hav). É esta a
notação empregada na Tábua Norie.

Quanto aos ângulos B e C, podem ser obtidos por meio das ANALOGIAS DE NEPER:

b–c
cos
B+C 2 . cotg A
tg =
2 b+c 2
cos
2

b–c
sen
B–C 2 . cotg A
tg =
2 b+c 2
sen
2
O lado a também pode ser obtido, após o cálculo dos ângulos B e C, utilizando a ANA-
LOGIA DE NEPER:

B+C
cos
a 2 b+c
tg = . tg
2 B–C 2
cos
2

4o CASO: DADOS DOIS ÂNGULOS E O LADO COMPREENDIDO (LADO COMUM)

Dados: A, b, C

Utiliza-se a resolução pela decomposição em triângulos retângulos.
sen ä . cos A
Na figura 17.A.12, o ângulo B pode ser calculado pela fórmula cos B =
sen Ø
Figura 17.A.12

C

d
Y a
b

B
A
c



Em que o argumento auxiliar Y é dado por cotg Y = tg A . cos b, e o ângulo d = C – Y.
Ou, então, lançando mão da fórmula do SEMI-SENO-VERSO:

ssv (180º – B) = ssv (A + C) – sen A. sen C . ssv b

Os lados a e c podem ser calculados por meio das ANALOGIAS DE NEPER:

A–C
a+c cos b
tg = 2 . tg
2 A +C 2
cos
2

A –C
a–c sen b
tg = 2 . tg
2 A +C 2
sen
2

Calculados os lados a e c, pode-se utilizar a fórmula seguinte, para calcular o ângulo
B, obtida da ANALOGIA DE NEPER:

a+c
cos
cotg
B
= 2 . tg A + C
2 a– c 2
cos
2

5o CASO: DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO OPOSTO DE UM DELES (a, b, A)

Figura 17.A.13

C

Y d

b a

B
A d
m

c

Na figura 17.A.13, temos:



sen A . sen b
sen B =
sen a

cos m . cos a
c = m+d tg m = cos A . tg b cos d =
cos b

cos Y . tg b
C = Y+d cotg Y = cos b . tg A cos d =
tg a

Sinais de d e d:

– As grandezas m e Y serão sempre positivas.

– As grandezas d e d serão positivas quando A e B forem do mesmo quadrante; quando
A e B não forem do mesmo quadrante, os valores de d e d serão precedidos do sinal –
(menos). Os sinais de d e d saem diretamente das fórmulas acima, para cos d e cos d.

6o CASO: DADOS DOIS ÂNGULOS E O LADO OPOSTO A UM DELES (A, B, b)

Figura 17.A.14

C

Y d
b a

B
A
m d
c
Na figura 17.A.14, temos:

sen A . sen b
sen a =
sen B

cotg B . cos m
c = m+d cotg m = – cos A . tg b cos d = –
cotg A

cos Y . cos B
C = Y+d tg Y = – cos b . tg A cos d = –
cos A



Sinais de d e d:

– Os sinais de Y e m são sempre positivos.

– Os sinais de d e d são sempre iguais, pois estes são sempre do mesmo quadrante
(o que acontece, igualmente, com m e Y). Os sinais de d e d saem diretamente
das fórmulas acima, para cos d e cos d.


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