ETS para previsão de consumo

2501.000145-5 TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
C.H.: 68 horas – Turma 2020.1 – sala 2 bloco X
Terça-feira 13h15m a 15h15m e Quinta-feira - 15h25m a 17h25m
Prof. Dr. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo
(UFMS – ESAN – Economia)
E-mail: adriano.figueiredo@ufms.br ou
amrofi@gmail.com
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**As ideias e opiniões aqui expostas são de responsabilidade do autor e não representam a
opinião da instituição a que pertence.
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This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Referência básicas
• HYNDMAN, R.J.; KOEHLER, A.B.; ORD,
J.K.; SNYDER, R.D. Forecasting with
Exponential Smoothing: the State
Space Approach. 2008. 360p. ISBN:
978-3-540-71916-8.
• HYNDMAN, Rob J.;
ATHANASOPOULOS, George .
Forecasting: principles and practice.
2nd ed. Otexts, 2018. Disponível em:
<https://otexts.org/fpp2/>.
2Prof. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo

ETS (Error-Trend-Seasonal or
Exponential Smoothing)
• Aperfeiçoamento dos modelos Holt e Holt-
Winters
• Referência útil:
– Eviews User Guide, p.442
• Base teórica de Holt e Winters
• Usa métodos de verossimilhança e estado-
espaço para os cálculos e dá suporte para a
previsão e tomada de decisão

State Space models
• Cada modelo consiste de uma equação que
descreverá os dados observados quanto ao nível,
a tendência e a sazonalidade,
e ainda
algumas equações que descrevem componentes
não observados ou Estados que se modificam
com o tempo.
• Portanto, esses são chamados de modelos
Estado-Espaço (State-Space) (Hyndman e
Athanosopoulos, 2018).

Modelos state-space
• Apresentam a equação da previsão yt em
função de um vetor de “estado” x, o qual por
sua vez terá uma equação de “transição” que
descreve a evolução dos “estados” no tempo
(HYNDMAN et al, 2008, p.6)
5
1
1
t t t
t t t
y x
x Fx g
 



 
 
Prof. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo

Modelos state-space
• Nível, tendência e sazonalidade são expressos
explicitamente nos modelos
• Como os componentes t estão explícitos nas
duas equações, são inovações no modelo
estado-espaço
• Permite formulação não linear

Decomposição da ETS
• 3 componentes: trend (T - tendência), seasonal
(S - sazonalidade), e error (E - irregularidades)
• Aditivo e multiplicativo
• Modelo aditivo puro: Y=T+S+E
• Modelo multiplicativo puro: Y=T*S*E
• Modelos mistos: Y=T*S+E; Y=(T+S)(1+E)

Formulação – componentes individuais
• E{A, M} – 2 tipos estados-espaço (erro Aditivo x Multiplicativo)
• T{N, A, M, AD, MD}
• S {N, A, M}
• Em que
• N = nenhuma,
A = aditivo,
M = multiplicativo,
AD = aditivo dampened (aditivo amortecido), e
MD = multiplicativo dampened (o damping usa um parâmetro extra para
reduzir o impacto da tendência no tempo)
• Existem um total de 30 modelos ETS possíveis = 30=2*5*3

Suavização exponencial:
15 modelos possíveis inicialmente
• Mais 2 tipos de modelos state-space em cada
caso: Error Aditive x Error Multiplicative

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nível
tendência
Sazonalidade

Especificação da Tendência T
• A tendência pode ser separada em:
– level term (nível) (l)
– growth term (crescimento) ( b)
• Para previsões de h períodos à frente e um
parâmetro de damping (amortecimento)
0<f<1

Especificação da Tendência T
Hyndman et al (2008, p.11)
• 5 possibilidades:

Damped trend – tendência amortecida
• O método da tendência amortecida é apropriado quando existe
uma tendência na série temporal, mas acredita-se que a taxa de
crescimento ao final dos dados históricos é improvável que
continue mais que um curto tempo no futuro. As equações para a
tendência amortecida fazem o que o nome indica: amortece a
tendência à medida que o horizonte de previsão aumente. Isto
normalmente aperfeiçoa a acurácia da previsão, particularmente
com longos períodos à frente.

Recordando: Holt Linear (A,N)
• Duas equações: nível (parâmetro α) e
tendência (parâmetro β)

Recordando: Damped Trend:
amortecido (Ad,A)
• Duas equações como no Holt, mas agora
• insere o parâmetro f de amortecimento
Prof. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo 15

Recordando:
Holt-Winters Multiplicativo (A,M)
• Sazonalidade multiplicativa
• 03 equações

Recordando:
Holt-Winters Aditivo (A,A)
• Sazonalidade aditiva
• 03 equações: nível, tendência e sazonalidade

Cálculos
• Fórmulas recursivas
– Dá um ponto inicial e no próximo período usam-se
os valores anteriores para o cálculo

Modelos State-Space
• A previsão pontual é a mesma
• O intervalo de previsão muda
• State-space – pensar distribuição de probabilidade
do nível
• ETS – (E,T,S) – error, trend, seasonality
• ETS(A,A,N) – Error Aditivo, Trend Aditivo,
Sazonalidade Nenhuma – equivalente ao Holt com
erro aditivo
• ETS(M,Md,M) – Error Multiplicativo, Trend
Multiplicativo amortecido ou damped,
Sazonalidade Multiplicativa

Holt Simples – state space

Holt Multiplicativo – State Space
ETS(M,A,N)

State-space para todos os métodos de
Suavização exponencial
(Hyndman et al, 2008, p.20)
• 30 modelos – um vetor de estados
• equações de estado-espaço
• εt é normal, ruído branco
 1 1, , , ,...,t t t t t t mx l b s s s  


Hyndman et al (2008, p.21) - Equações de estado-espaço
para o modelo de erro aditivo

Hyndman et al (2008, p.22) - Equações de estado-espaço
para o modelo de erro multiplicativo

Representação do ETS
notação do Eviews
• Funções não-lineares de estado-espaço dos
componentes de nível (lt), crescimento (bt),
sazonalidade (st), irregularidade (et) e valores
passados em t-1

Algumas restrições
Algumas combinações de tendência, sazonalidade e erro podem
ocasionalmente levar a dificuldades numéricas;
especificamente, qualquer equação do modelo que requeira
divisão por um componente de estado pode envolver uma
divisão por zero. Isto é um problema para modelos com erros
aditivos bem como tendência multiplicativa ou sazonalidade
multiplicativa, bem como o modelo com erros multiplicativos,
tendência multiplicativa e sazonalidade aditiva. Estes modelos
devem ser usados com cautela.

Algumas restrições
• Quando a série não for estritamente positiva,
apenas os 6 modelos aditivos são
aplicáveis!!!

Procedimentos
1. Fazer a média móvel para períodos iniciais da
amostra
2. Detrend (tirar tendência) fazendo diferença da
média móvel (aditivo) ou razão da média móvel
(multiplicativo)
3. Calcular índices sazonais e normalizar Indices
4. Fazer regressão linear para achar a tendência linear
5. Achar a inclinação inicial da tendência
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SÃO OS “ESTADOS” INICIAIS!!!

Procedimentos
6. Calcular a verossimilhança das inovações,
conforme a distribuição de probabilidade
escolhida (geralmente a normal)
Condicional ao vetor de parâmetros
e vetor de estados

Procedimentos alternativos
• Maximizar LogVerossimilhança
• Minimizar Erro Quadrático Médio (MSE)
• Minimizar variância residual
• Minimizar erro de previsão
• Início de

Escolha do modelo
• Acurácia
– Ajuste dos dados – log verossimilhança (Log L)
– Acerto da previsão - AMSE
• Critérios de informação: Akaike (AIC), Schwarz
(BIC) e Hannan-Quinn (HQ)

Prática varejo Morettin e Toloi
Projeto <suavizacao exponencial.Rproj>
• Uma alternativa para estimar os parâmetros minimizando a soma dos quadrados dos
resíduos é maximizar a “Verossimilhança". A verossimilhança é a probabilidade de os
dados resultarem do modelo especificado. Assim, uma grande verossimilhança está
associada a um bom modelo. Para um modelo de erro aditivo, maximizar a verossimilhança
dá os mesmos resultados que minimizando a soma dos quadrados dos resíduos. No
entanto, serão obtidos resultados diferentes para modelos de erros multiplicativos. Nesta
seção serão estimados parâmetros de suavização α, β, γ e φ e os estados iniciais l0, b0, s0,
s-1, ..., s-m+1 pela máxima verossimilhança.

ets{forecast} Por default ele estima o melhor
modelo (ZZZ)

# ETS (error trend seasonal) de Hyndman - pacote forecast
# serie consumots - consumo morettin e toloi
cons.ets<-ets(consumo.ts, model = "ZZZ")
# N=none, A=additive, M=multiplicative e Z=automatic
summary(cons.ets)
cons.ets.forecasts<-forecast.ets(cons.ets,h=12)
plot(cons.ets.forecasts,col=2)

autoplot(cons.ets)

Comparando entre modelos de
suavização
• A comparação do ETS com outros modelos de suavização não
faz muito sentido uma vez que no automático o programa já
escolheu entre as várias opções aquele de melhor Akaike e
Log Likelihood
• Os modelos de suavização tipo Holt, Holt-Winters, já foram
considerados no automático, por serem casos particulares do
ETS
• Cabe a comparação com ARIMA, VAR etc – PRÓXIMOS PASSOS

Tabela resumo
Consumo Morettin e Toloi

Alternativas
• Adicionar variáveis explicativas
• Ajustar período de training?
• Volatilidade?
• Outliers?

Exemplo
Ver aplicação de Holt-Winters, ETS e acurácia em:
• FIGUEIREDO, Adriano Marcos Rodrigues. Séries
Temporais: previsão de ações com ETS. Campo
Grande-MS,Brasil: RStudio/Rpubs, 2019. Disponível
em http://rpubs.com/amrofi/stocks_ETS.
Prof. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo 39

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