1. Matemática
Princípios
Capítulo 1 Para x – y = 4, temos: 8 – y = 4 s y = 4
y
Números Assim: =2
2
Para x – y = 2, temos: 8 – y = 2 s y = 6
Conexões
= 3 (Não convém, pois: 3 # B)
y
Assim,
Podemos imaginar um campo de futebol no qual desejamos 2
ir de uma trave à outra. Pode-se seguir este raciocínio: Na ∴ x = 8 e y = 4
caminhada, em determinado momento, estaremos na metade
do campo; depois, chegaremos até a metade do que falta para 1
6. Construímos a seguinte tabela em função das informações
chegar à outra trave; em seguida, estaremos na metade do que do enunciado. Os dados destacados(*) foram extraídos do
ainda falta etc. Dessa forma, nunca chegaremos até a outra enunciado ou por suposição inicial.
trave. Segundo esse raciocínio, não é possível ir de um ponto
A para um ponto B, distinto de A. Homens Mulheres Total
O paradoxo surge ao se supor intuitivamente que a soma de Menores 12% (*) 3% 15%
infinitos intervalos de espaço é infinita. No entanto, os infinitos Maiores 60% 25% 85% (*)
intervalos descritos formam uma sequência cuja soma converge Total 72% (*) 28% (*) 100% (*)
para um valor finito.
No caso do paradoxo de Aquiles, além de se estabelecer a
Menores de idade: 15%
tartaruga como referencial, é um erro separar a dupla espaço-
Mulheres menores de idade: 3%
tempo. Não se deve separar o espaço do tempo.
3 1
Considerando que velocidade é uma razão entre espaço e Percentual: = = 20%
15 5
tempo, temos:
Entre os menores de idade, o percentual de mulheres é de 20%.
s − 10
• Tartaruga: velocidade v = (subtraímos 10, pois ela
t 2
9. c
começou 10 m à frente).
I. (F) O símbolo 3 não é usado para relacionar dois conjuntos.
s
• Aquiles: velocidade 10v =
. II. (V)
t
III. (V)
Para sabermos se Aquiles alcança a tartaruga, precisamos
IV. (F) A intersecção entre dois conjuntos deve ser um conjunto, e
encontrar o ponto em que s1 = s2. Isolando o espaço nas duas
5 não é representação de conjunto.
equações e igualando-as, temos:
10 3
0. c
vt + 10 = 10vt s vt =  1, 1
9 Distância numérica do intervalo: 84 – 32 = 52 unidades
Aquiles encontra a tartaruga, após ela andar, aproximada- Como o intervalo foi dividido em 16 partes iguais:
mente, 1,1 m. 52 : 16 = 3,25 unidades
De 32 até X existem 11 unidades de 3,25. Assim, temos:
Exercícios complementares 3,25 · 11 = 35,75
Daí: 32 + 35,75 = 67,75
3. {1; 2; 3} = {1; 2; x} s x = 3
1
{1; 2} = {1; 2; y} s y = 1 ou y = 2 3
1. d
Podemos ter x + y = 4 ou x + y = 5. Sendo x = 2, 777..., temos:
4. A = {1; 2}, pois {1; 2} 1 A (todo conjunto é subconjunto dele
1  10 x = 27, 777...
 −
mesmo) ou A = {1; 2; 3}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou  x = 2, 777...
A = {1; 2; 4}, pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ou A = {1; 2; 3; 4}, 9 x = 25
pois {1; 2} 1 A 1 {1; 2; 3; 4} ∴ x = 25
∴ A = {1; 2} ou A = {1; 2; 3} ou {1; 2; 4} ou A = {1; 2; 3; 4} 9
Assim, teremos:
1
5. Como A = B, devemos ter x = 8, pois este é o único elemento
de B que não foi explicitado em A. 25 5
2, 777... = = = 1, 666...
Ainda deveremos ter: x – y = 4 ou x – y = 2 9 3
1

2. 3
2. a a) (F) A soma é ímpar.
P = {6; 7; 8; 9; 10; 11; …; 20} b) (F) O produto ab é par, portanto seu sucessor é ímpar.
A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} c) (F) a + b é ímpar, que, somado com 2 (que é par), resulta
B = {6; 8; 12; 16} em número ímpar.
C = {10; 15; 20} d) (F) Nada podemos afirmar, pois não sabemos que é par, a ou b.
A – B = {10; 14; 18; 20} e) (V) a + b é ímpar, portanto seu sucessor é par.
(A – B) % C = {10; 20}
6. c
n[(A – B) % C] = 2
Como x e y são números positivos e consecutivos, podemos
concluir que um deles é par e o outro é ímpar.
Tarefa proposta
a) (F) Se x for ímpar, 2 x será par. Se y for par, 3y será par.
1. A soma de par com par é par.
1 b) (F) Ver anterior.
2 8
c) (V) O produto xy é par, portanto seu sucessor é ímpar.
3
4 d) (F) O dobro de xy é par, que, somado com um número par,
resulta em par.
6 10
5 e) (F) x + y é ímpar, portanto seu sucessor é par.
7. c
2. Cada um dos conjuntos está definido por meio de uma pro- João percorreu 8 quilômetros, indo diretamente de Y para Z.
priedade, e seus elementos devem ser explicitados. Pedro foi de Y para Z, mas com “escala” em X. Assim, percorreu:
a) Sabemos que 0 = 02 e 1 = 12. Assim, A = {0; 1} e é um con- 5 quilômetros para ir até X e mais 6 quilômetros de X para Z.
junto finito. Total: 5 + 6 = 11
b) Nesse caso, a diferença em relação ao item anterior é a Pedro percorreu 3 quilômetros a mais que João.
condição de o número ser diferente de zero. Então, B = {1}
8. Vamos identificar cada uma das embalagens como um conjunto:
e é um conjunto unitário.
• Vazia: ∅
c) Nenhum número pode ser igual ao seu sucessor. Portanto,
• Com 1 sabor: {caramelo}, {morango}, {uva}
C = { }, ou seja, C é um conjunto vazio.
• Com 2 sabores: {caramelo; morango}, {caramelo; uva},
d) Existem infinitos números, logo D é um conjunto infinito.
{morango; uva}
3. a) Os números formados por 2 dígitos (algarismos) e que con- • Com 3 sabores: {caramelo; morango; uva}
têm 1 e 4 são: 14 e 41. Assim: A = {14; 41} Esses 8 conjuntos correspondem a 8 tipos diferentes de em-
balagens.
b) Em ®, 4 = 2. Logo, B = {2}.
c) Os múltiplos não negativos de 2 podem ser obtidos por meio Segundo modo:
da multiplicação de 2 por todos os números naturais. Assim: Procuramos o número de elementos do conjunto de partes de A.
C = {0; 2; 4; 6; …} Nesse caso, n[P(A)] = 23 = 8.
d) O zero é múltiplo de qualquer número, mas não é divisível Concluímos que a empresa precisou fazer 8 tipos de embalagens.
por ele mesmo. Assim, os divisores de zero são todos os reais
9. D = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} e M = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24;
não nulos.
27; …}
4. Considerando que x, y e z são números entre 0 e 9, deveremos ter: D % M = {3; 6; 12; 24}
• = 6, pois 3 + 7 + 6 = 16.
z O número de subconjuntos de F é dado por 2n(F ).
• Pelo método simplificado da adição de números, anotamos a ∴ n[P(F )] = 2n(F ) = 24 = 16
unidade 6 e acrescentamos 1 na coluna das dezenas. Assim,
1
0. c
1 + x + 8 + 7 só poderá dar 19, por causa do algarismo 9
Para resolvermos esse tipo de problema, devemos procurar al-
na soma resultante. Logo, x = 3.
guma lei de formação, conveniente, na disposição dos números.
• Anotamos a dezena 9 e acrescentamos 1 na coluna das
Uma lei de formação pode ser a seguinte:
centenas. Assim, 1 + 8 + y + 5 = 22. Logo, y = 8.
Todos os últimos números de cada linha são um quadrado perfeito
∴ x + y + z = 17
(1 = 12; 4 = 22; 9 = 32; …), e esse número é a ordem da linha
5. e elevada ao quadrado. Assim, o último número da 12a linha será
Se a e b são consecutivos e positivos, então um deles é par e 144 = 122. Acima de 144, não existe número da linha anterior.
o outro é ímpar. A soma de um número par com um ímpar é O número que precede 144 é 143 e acima dele está o número
ímpar e o produto é par. Assim: 121 = 112. Anterior a 143, está o 142 e, acima dele, estará 120.
2

3. 1
1. Considerando que n(A) = n, temos que o número de subcon- 1
6. c
juntos de A é dado por 2n. Vamos traduzir em diagramas as informações da tabela, com-
Acrescentando 2 elementos ao conjunto A, teremos que o pletando as intersecções e os conjuntos com a quantidade
número de subconjuntos passará a ser 2n + 2. Assim, podemos respectiva de elementos.
escrever:
Febre Dor no corpo
2n + 2 = 2n + 384
Como 2n + 2 = 2n · 22 = 4 · 2n, temos:
4
4 · 2n = 2n + 384 s 3· 2n = 384 s 2n = 128 s 2n = 27 10 2
∴ n = 7
6
1
2. b
2 4
x e y são números positivos.
0 < y < 1 (pela representação geométrica)
Multiplicando por x: 12
0 < xy < x
Logo, xy está entre 0 e x. Náuseas
Total de pacientes atendidos no posto:
1
3. d
6 + 4 + 4 + 2 + 10 + 2 + 12 = 40
Representação dos dados, utilizando o diagrama de Venn:
1
7. F – V – V – V – F
A B
Com base nas informações do enunciado, vamos completar o
diagrama de Venn, começando pelas intersecções.
12 6 16 C D
4
15 12
6
6
5 3
Assim, vemos que a quantidade de predadores que não têm
preferência por A ou por B é 6.
4. a) A 5 B 5 C = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
16
1
b) A % B % C = {1; 2} F
c) (A – B) % C = {0}
I. (F) Companhias que publicam em exatamente dois jornais:
d) A 5 (B – C) = A 5 ∅ = A = {0; 1; 2}
4 + 5 + 3 = 12
e) C – (A – B) = {1; 2; 3; 4; 5}
II. (V) Companhias que publicam em pelo menos dois dos jornais:
1
5. b 4 + 5 + 3 + 6 = 18
diagrama a seguir, temos:
No III. (V) Companhias que publicam em um único jornal:
15 + 12 + 16 = 43
S E
IV. (V) Companhias que publicam em pelo menos um dos três
jornais: 43 + 18 = 61
8 V. (F) Companhias que publicam apenas no jornal D: 12
180 200
1
8. c
6
Nas figuras, temos:
27 30
A B A B
113
H
O número de alunos que gostam apenas de uma das três
C C
áreas é:
A5C A5B
180 + 200 + 113 = 493
3

4. Daí: 2
4. b
A B Cotas Bolsas
101 9
53
44
72 41
C Nenhuma política: 9
261
1
9. a) Enem
Francês Inglês
a) (F) Total de alunos pesquisados: 590
Alunos que responderam à pesquisa: 44 + 9 + 72 + 41 +
x y 32
+ 101 + 53 + 261 = 581
Alunos que não opinaram: 590 – 581 = 9
z b) (V) Alunos que aprovam apenas uma política: 101 + 53 +
+ 261 = 415
x + 32 = 45 s x = 13
c) (F ) Alunos que aprovam mais de uma política: 44 + 9 + 72 +
x + y = 21 s y = 8
+ 41 = 166
x + z = 20 s z = 7
d) (F) Alunos que aprovam as três políticas: 44 (dado no enunciado)
O total de alunos da sala é:
e) (F) Alunos que aprovam cotas: 101 + 9 + 72 + 44 = 226
x + y + z + 32 = 60
Alunos que aprovam somente o Enem: 261
b) Oito alunos falam os dois idiomas.
25. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27}
2
0. d
B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}
Se o número for racional, ele será real.
a) A 5 B = {3; 4; 6; 8; 9; 12; 15; 16; 18; 20; 21; 24; 27; 28}
Se o número for natural, ele será inteiro, racional e real.
b) A % B = {12; 24}
Se o número for inteiro, ele será racional e real.
c) A – B = {3; 6; 9; 15; 18; 21; 27}
Se o número for positivo, ele será real.
d) B – A = {4; 8; 16; 20; 28}
Entretanto, o número pode ser real sem ser natural, sem ser
inteiro, sem ser racional e sem ser positivo. 2
6. b
A = {0; 1; 2; 3; 4; …; 9}
2
1. c
A 5 B = A g B 1 A
A % B = {0; 2; 4; 6; 8}
A
B
Se B 1 A, então: A % B = B = {0; 2; 4; 6; 8}
2
7. d
a) (F) Basta um contraexemplo para tornar a afirmação falsa.
B 1 A, ou seja, B é um subconjunto de A. Veja: 2 e 8 são números irracionais. No entanto, o
2
2. e produto 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ 8 = 16 = 4 é racional.
2 5 b) (F) Veja o contraexemplo: ( 1 + 2 ) é irracional e ( 1 − 2 ) tam-
A:
B:
3 4 bém. No entanto, ( 1 + 2 ) + ( 1 − 2 ) = 2, que é racional.
A – B:
2 3 4 5 c) (F) Os números π, 10 , 11, 12 , ... são números irracionais
entre 3 e 4.
B – A:
d) (V) Demonstração:
Considere a e b dois números racionais positivos tais que
Com essa representação geométrica dos conjuntos, concluí-
a < b. Pode-se escrever:
mos que:
• Considerando a < b, somando b aos dois membros e, depois,
A – B = [2; 3) 5 (4; 5] e B – A = ∅
dividindo-os por 2, temos:
23. e a+b
a < b s a + b < 2b s <b
X % Y = {M; A; R; I} s n(X % Y ) = 4 2
4

5. • Considerando b > a, somando a aos dois membros e, depois,
dividindo-os por 2, temos:
a+b α δ β
b > a s a + b > 2a s >a
2
a+b
Portanto, podemos concluir que a < < b, o que indica
2
a+b
que entre a e b existe, pelo menos, o número racional .
2 Se x # β, então x # δ. Assim, se a substância B não estiver
e) (F) Basta um contraexemplo. Os números (–2) e (–5) são presente no sangue da pessoa, então ela certamente não estará
inteiros negativos. No entanto, a subtração (–2) – (–5) = –2 + com a doença.
+ 5 = 3, que é um número inteiro positivo.
3
0. b
( 5 + 1) ⋅ ( 5 − 1) = ( 5 ) − 1 = 5 − 1 = 4 3 œ
2
8. e 2
2
Dados do enunciado:
0,999… = 1 3 œ
• Ataques de hackers no terceiro trimestre de 2009: 1.600
Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 77% 3
1. a) Podemos encontrar o número de elementos fazendo a
Total de vítimas no terceiro trimestre de 2010: seguinte conta:
1.600 · 1,77 = 2.832 n(A) = (10 – 2) + 1 = 9
• Vítimas de phishing no terceiro trimestre de 2009: 960 b) Da mesma forma que no item anterior, temos:
Aumento percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 150% n(B) = (105 – 21) + 1 = 85
Total de vítimas no terceiro trimestre de 2010: c) n(C ) = 10 – 2 = 8
960 · 2,50 = 2.400 d) n(D) = 10 – 2 = 8
• Vítimas de trojans no terceiro trimestre de 2009: 600 e) n(E ) = (105 – 21) – 1 = 83
Diminuição percentual no ano de 2010 (ano da notícia): 36% f) n(F ) = (b – a) + 1
Total de vítimas no terceiro trimestre de 2010: 600 · (1 – 0,36) = g) n(G) = b – a
= 600 · 0,64 = 384
32. a) x
• Vítimas de phishing e de trojans no terceiro trimestre de
2010: 60 [2; + [
x
2
• Vítimas de outros ataques: x
– [2; + [
2 x
Fazendo a representação desses dados por diagrama, temos:
∞; 2[ ou {x 3 ® | x < 2}
]–
b) x
Phishing Trojans
]– ; 1[
1 x
60
– ]– ; 1[
1 x
[1; + ∞[ ou {x 3 ® | x > 1}
x
n(phishing) + n(trojans) – n(phishing % trojans) + x = 2.832 s 3
3. A:
x
–1 3
s 2.400 + 384 – 60 + x = 2.832 s
B:
s 2.724 + x = 2.832 s 2 5 x
s x = 2.832 – 2.724 A B:
2 3 x
∴ x = 108
A B:
–1 5 x
2
9. b
A % B = {x 3 ® | 2 < x < 3} = ]2; 3]
Vamos considerar os quatro conjuntos seguintes:
A 5 B = {x 3 ® | –1 < x < 5} = ]–1; 5]
α: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância A no
sangue. 3
4. d
β: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância B no Pelos dados do enunciado, temos que y > 0, pois 1 < y < 2.
sangue. • Se y estiver “bem próximo” de 1, multiplicando – 4 < x < –1
γ: é o conjunto formado pelas pessoas com a substância C no por y, teremos mantidas as desigualdades – 4 < xy < –1.
sangue. • Se y estiver “bem próximo” de 2, multiplicando – 4 < x < –1
δ: é o conjunto das pessoas com a doença. por y, teremos as desigualdades –8 < xy < –2.
Com base no enunciado, podemos concluir que: Em qualquer situação, o produto xy pertencerá ao intervalo
α 1 δ 1 β. ]–8; –1[.
5

6. • Como – 4 < x < –1, os inversos terão relações inverti- Capítulo 2
1 1
das, ou seja: −1 < < − . Multiplicando tudo por 2: Primeiras operações
x 4
2 1
−2 < <− Conexões
x 2
 1
Como ]– 8; –1[ 1  −8; − , a resposta correta é a alternativa d. 1 1 2 2 1− 5 2(1− 5 ) 1− 5
2 = = = ⋅ = = =
 ϕ 1+ 5 1+ 5 1+ 5 1− 5 1− 5 −2
3
5. a
2
De acordo com as informações do enunciado, temos:
−1 + 5 1 − 2 + 5 1 + 5 2 1+ 5
• Sedentários 1 cardíacos = = = − = − 1= ϕ − 1
2 2 2 2 2
• Se sedentários = 2 x, cardíacos = x
(c.q.d.)
Observe o diagrama:
Sedentários Exercícios complementares
x
1
3. F – F – F – F – V
Cardíacos I. F) a3 · b2 = a2 · b2 · a = (ab)2 · a
(
x II. (F) a5 · b3 = a2 · a3· b3 = (ab)3 · a2
a9
III. (F) = a 9 − 3 = a6
a3
70 IV. (F) Seria verdadeiro se tivéssemos uma multiplicação de mesma
base.
x + x + 70 = 200 s 2 x + 70 = 200 s 2 x = 130
1 a2 + b3 b3
V. (V) (a3 + b2) · a–2 = ( a + b ) ⋅ 2 = = 1+ 2
2 3
Portanto, 130 entrevistados eram sedentários. 2
a a a
36. c
1
4. a
Considere a figura:
a) 818 = (34)8 = 332
b) 167 = (24)7 = 228
C
c) 331
d) 2436 = (35)6 = 330
e) 810 = (23)10 = 230
I
A de maior valor é 332 = 818, pois possui a maior base e o
A maior expoente.
B II
1
5. e
• 1 petabyte equivale a 220 gigabytes
D
• 3 petabytes equivalem a 3 · 220 gigabytes
III • 1 DVD armazena 4 gigabytes
Número de DVDs necessários para armazenar 3 petabytes pode
ser calculado por:
3 petabytes 3 ⋅ 220 3 ⋅ 220
= = = 3 ⋅ 218
1 DVD 4 22
Sabemos que: 2 · 218 < 3 · 218 < 4 · 218
As regiões I, II e III são definidas por: ∴ 219 < 3 · 218 < 220
• I = [(A – B) % C] – D
1
6. a
• II = B % C % D
• III = [(A – B) % D] – C 315 ⋅ 32 − 315 ⋅ 3 315 ⋅ ( 9 − 3 ) 5 15
5 = 5 = 3 = 33 = 27
Assim, temos: 6 6
• I: (A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % C = {4; 5} s
s [(A – B) % C] – D = {4} 2
9. Sejam n o dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto.
• II: B % C % D = {3} d = q e n = d · q + r, com 0 < r < d e r = 11
• III: (A – B) = {1; 2; 4; 5; 9} s (A – B) % D = {1; 2; 5} s Logo: d = q = 12
s [(A – B) % D] – C = {1; 2} Assim: n = 12 · 12 + 11
∴ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ∴ n = 155
6

7. 3
0. b 5 2 n + 1 − 8 ⋅ 5 2 n 5 2 n ⋅ 5 − 8 ⋅ 5 2 n 5 2 n ⋅ ( 5 − 8 ) −3 1
6. = = = =−
60 ⋅ 25 60 ⋅ ( 5 ) 60 ⋅ 5
n n 2n
MDC(240; 320; 400) = 80 2 60 20
240 320 400
= 3; = 4; =5 7. e
80 80 80
I. (V) 2 x + 3 = 2 x · 23
Portanto, o total de peças será a soma 3 + 4 + 5, ou seja, 12 peças.
II. (V) (25)x = (52)x = 52x
1. 12 = 22 · 3
3 III. (F) Esta propriedade não é válida para a adição.
30 = 2 · 3 · 5
3x 3x
84 = 22 · 3 · 7 8. a) 3x + 3x – 1 + 3x – 2 = 117 s 3x + + = 117 s
3 9
MMC(12; 30; 84) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420
 1 1 13
Passarão 420 anos terrestres. s 3 x  1 + +  = 117 s 3 x ⋅ = 117 s
 3 9 9
32. a) 200 = 23 · 52 s 3x = 81 = 34 s x = 4
120 = 23 · 3 · 5
b) 4x + 4x + 1 = 20 s
b) MDC(120; 200)= 23 · 5 = 40
s 4x + 4x · 4 = 20 s
O organizador conseguirá formar, no máximo, 40 caixas.
s 5 · 4x = 20 s
s 4x = 41 s x = 1
Tarefa proposta
9. d
1. d
416 · 525 = (22)16 · 525 = 232 · 525 = 27 + 25 · 525 = 27 · 225 · 525 =
1 1
a = 2 =
−3
= = 128 · (2 · 5)25 = 1,28 · 102 · 1025 = 1,28 · 1027
23 8
∴ α = 1,28 e n = 27
b = (–2)3 = – 8
1 1 1
0. a) 121 = 112 = 11
c = 3 = 2 =
−2
3 9
b) 576 = 242 = 24
1 1
d = ( −2 ) =
−3
=−
( −2 )3 8 c) 4
81 = 4 34 = 3
1 1 1
> > − > −8 d) 3
27 = 3 33 = 3
8 9 8
a > c > d > b e) 5
0=0
222 f) 3
−125 =
3
( −5 )3 = −5
2. = 222 − 1 = 221
2
g) 1, 44 = ( 1, 2 )2 = 1, 2
3. d
2 h) 3
0, 008 = 3
( 0, 2 )
3
= 0, 2
 1
. (V) 3 + 2 – (–3) + (0,2) –   =
I 0 –3 2
 5
2
i) 5
32 = 5 25 = 2
3 2 2
 1  1  1 1 63
= 1 +   − 9 +   −   = −8 + = −
(5 − 7) = 5− 7 = 5− 7
2
 2  5  5 8 8 1
1. a)
9
(2 − 7) = 2− 7 = 7 − 2
II. (F) 0,01 + = 0,01 + 2,25 = 2,26 2
4 b)
(0,5 · 0,2) +3,25 = (0,1)2 + 3,25 = 0,01 + 3,25 = 3,26
2
3 2 3 2
III. (V) 34 – (–3)4 = 34 – 34 = 0 2. a) 4 2 − 8 3 = ( 22 ) 2 − ( 23 ) 3 = 23 − 22 = 4
1
1
1  4
0
 1 −0 ,5  4 2 1 4 1 2
IV. (F)   + (3 : 0) (Não existe.) b) 9 +  = 1 + = + = + =1
 3  9  9
 9 9 3 3
92
1
3. d
( 5 ⋅ 7 ) −1 ⋅ ( 2 3 ⋅ 5 ) ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) 2 ⋅ 5 ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) 2
−1
4. =
23 ( 2 ⋅ 7 ) ⋅ 5 ⋅ 5 2
−1
132 − 122 = n 125 s 169 − 144 = n 125 s
5 −1 ⋅ 7 −1 ⋅ 2 −3 ⋅ 5 −1 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 5 3 ⋅ 7 −1 ⋅ 2 1 s 25 = n 53 s 5 = n 53
= = 2 −1 3 =
2 ⋅ 2 ⋅7 ⋅5 ⋅5
3 −1 −1 2
2 ⋅7 ⋅5 2 ∴ n = 3
14. a) 72 + 3 18 − 7 2 = 6 2 ⋅ 2 + 3 32 ⋅ 2 − 7 2 =
5. a) n par: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = 1 + 1 + 1= 3
b) n ímpar: (–1)n + (–1)2n + (–1)3n = (–1) + 1 + (–1) = –1 =6 2+9 2−7 2 =8 2
7

8. 1 3 2
0. b
b) − 44 + 2 1.331 − 176 =
2 4 360 = 23 · 32 · 5
1 2 3 2 147 = 3 · 72
=− 2 ⋅ 11 + 2 112 ⋅ 11 − 4 ⋅ 11 =
2 4 Os divisores de 360 que não possuem fatores primos comuns
1 3 com 147 são aqueles cujos fatores só poderão ser 2 ou 5. São
=− ⋅ 2 11 + 2 ⋅ 11 11 − ⋅ 4 11 =
2 4 eles: {2; 4; 8; 5; 10; 20; 40}
= − 11 + 22 11 − 3 11 = 18 11 2
1. d
1015 = (2 · 5)15 = 215 · 515
• 25 = 52 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
20 20 20
1
5. n = n
( ) =
n = • 50 = 2 · 52 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
4n + 2 + 22 n + 2 4n ⋅ 42 + 22 n + 1 4 n ⋅ 16 + 4 n ⋅ 4
• 64 = 26 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
20 1 1 • 75 = 3 · 52 e, portanto, não é divisor de 215 · 515, pois 215 · 515
= n = n =
4n ⋅ ( 16 + 4 ) 4n 4 não tem o fator 3.
• 250 = 2 · 53 e, portanto, é divisor de 215 · 515.
1 1⋅ 2 2
16. a) = = 2
2. b
2 2⋅ 2 2
De acordo com as figuras, temos um círculo completo a cada
2+ 3 ( 2 + 3) 2 2+ 6 6 etapas. Portanto, serão 15 círculos completos na figura de
b) = =
2 2⋅ 2 2 número 15 · 6 = 90.
2 2 7 25 2 7 25 2 7 25 7 5
c) = = = = 2 23. d
7
4 7
2 ⋅ 2
2 7 5 7
2 7 2
De acordo com as figuras, temos que as letras “completam o
2 2 ( 7 + 1) ciclo” a cada quatro etapas (veja a 1ª e a 4ª figuras). Portanto,
d) = =
7 −1 ( 7 − 1) ⋅ ( 7 + 1) toda figura de ordem múltipla de 4 será igual à 4a figura. Como
2 ( 7 + 1) 2 ( 7 + 1)
80 = 20 · 4, a alternativa correta é a d.
7 +1
= = =
( 7)
2
6 3
−1 2
24. e
6 6 ( 3 + 2) A cada quilômetro percorrido pelo carro B, a partir do
e) = =
3− 2 ( 3 − 2)⋅( 3 + 2) primeiro, a distância entre os dois carros aumenta em 20
metros.
18 + 12
= =3 2+2 3 500 : 20 = 25
( 3) − ( 2)
2 2
A distância entre os dois será de 500 metros, após o carro B
andar 25 quilômetros.
1
7. c
60.000 ⋅ 0, 00009 2 ⋅ 3 ⋅ 10 4 ⋅ 32 ⋅ 10−5 33 ⋅ 10−1 2
5. Seja n a quantidade total de garrafas a serem divididas.
3 = 3 = 3 = 3 ⋅ 10 De acordo com a tabela, podemos concluir que (n – 2) é múltiplo
0, 0002 2 ⋅ 10− 4 10− 4
de 12, 20 e 30.
18. e Como MMC(12; 20; 30) = 60, os múltiplos de 12, 20 e 30 são
5 ⋅ 12 64 − 18 5 ⋅ 12 26 − 2 ⋅ 32 5⋅ 2 − 3 2 múltiplos de 60, ou seja, 60k.
= = = ∴ n – 2 = 60k s n = 60k + 2
50 − 324 4
2 ⋅ 5 2 − 4 2 2 ⋅ 34 5 2 − 3 4 22
Portanto, a quantidade total de garrafas a serem divididas é
igual a 60k + 2, com k 3 ˜*.
2 2 2 2
= = =1
5 2−3 2 2 2
2
6. c
( ) = (1+ 3 )
2 2
19. 4+2 3 s Fatorando 2.310, temos:
s 4 + 2 3 = ( 1 + 3 ) · ( 1 + 3 ) s
2.310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11
Fatorando 1.300, temos:
s 4 + 2 3 = 1 + 3 + 3 + ( 3 ) s
2
1.300 = 2 · 2 · 5 · 5 · 13
O número procurado é x.
s 4 + 2 3 = 1 + 3 + 3 + 3 s
2.310 ⋅ x 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ x 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ x
= =
4 + 2 3 = 4 + 2 3 1.300 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 13 130
(c.q.d.) Portanto, o menor valor para x é 130.
8

9. 27. a • Se n dividido por 4 deixa resto 3, significa que, tanto (n – 3)
A primeira luz “pisca” a cada 4 segundos, e a segunda, a cada 6 como (n + 1) será um múltiplo de 4. Consideremos (n + 1) como
segundos. Assim sendo, o tempo mínimo necessário para que múltiplo de 4.
voltem a “piscar” juntas novamente será o mínimo múltiplo • Se n dividido por 5 deixa resto 4, significa que, tanto (n – 4)
comum de 4 e 6. como (n + 1) será um múltiplo de 5. Consideremos (n + 1) como
MMC(4; 6) = 12 múltiplo de 5.
Desta forma, (n + 1) será múltiplo de 3, 4 e 5.
2
8. d
MMC(3; 4; 5) = 60
A manutenção na máquina A é feita a cada 3 dias; na máquina
n + 1 = 60 s n = 59
B, a cada 4 dias e, na máquina C, a cada 6 dias. Assim, o número
mínimo de dias entre manutenções simultâneas será o mínimo 3
5. e
múltiplo comum dos números 3, 4 e 6. Qualquer porta k, com 1 < k < 50, será tocada por todos os
MMC(3; 4; 6) = 12 estudantes cuja numeração seja um divisor positivo de k. Como
2 + 12 = 14 (dezembro) as portas estão todas inicialmente fechadas, temos:
• A porta de número 4 será tocada pelos estudantes de posições
2
9. c
1, 2 e 4, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará aberta.
As duas pessoas estarão novamente na posição mais baixa no
• A porta de número 17 será tocada pelos estudantes de posições
MMC(30; 35) = 210 segundos.
1 e 17, e somente por estes. Assim, ao final ela ficará fechada.
210 = 3 · 60 + 30 = 3 min 30 s
• A porta de número 39 será tocada pelos estudantes de
3
0. d posições 1, 3, 13 e 39, e somente por estes. Assim, ao final
1º farol: 10 segundos fechado + 40 segundos aberto. ela ficará fechada.
Portanto, levará 50 segundos para fechar outra vez.
36. a) Carrinho A: dá 10 voltas em 1 min 40 s. Isso significa que ele
2º farol: 10 segundos fechado + 30 segundos aberto.
dá 10 voltas em 100 s, ou seja, 1 volta a cada 10 segundos.
Portanto, ele levará 40 segundos para fechar outra vez.
Carrinho B: dá 15 voltas em 1 min 15 s. Isso significa que ele
MMC(40; 50) = 200
dá 15 voltas em 75 s, ou seja, 1 volta a cada 5 segundos.
Logo, a partir daquele instante, eles levarão 200 segundos para
Como o MMC(10; 5) = 10, temos que eles irão estar juntos,
fecharem juntos outra vez.
novamente, no ponto de partida após 10 segundos (o car-
31. MMC(35; 21) = 105 rinho A terá dado 1 volta e o carrinho B, 2 voltas).
A engrenagem maior dará 105 : 35 = 3 voltas. b) 6 min 5 s = 365 s
Carrinho A: 365 s = (36 · 10 + 5) s
32. a)
Podemos considerar que as dimensões da sala são:
Isso significa que o carrinho A terá dado 36 voltas completas,
300 cm · 425 cm
mais meia volta.
300 = 22 · 3 · 52
Carrinho B: 365 s = (73 · 5) s
425 = 52 · 17
Isso significa que o carrinho B terá dado 73 voltas completas
Logo, MDC(300; 425) = 52 = 25.
e estará no ponto de partida.
Portanto, a dimensão máxima dos ladrilhos quadrados é de
c) Pelo que foi descrito no item b, teremos as seguintes posições
25 cm.
para os carrinhos.
b) Para calcular a quantidade de ladrilhos, podemos dividir a
área da sala pela área de cada ladrilho. Carrinho A
300 cm ⋅ 425 cm 127.500
= = 204 ladrilhos
25 cm ⋅ 25 cm 625
1,05 m
3
3. Sendo n e m dois números não primos entre si, conclui-se que
eles têm, pelo menos, um fator primo em comum e, conside-
rando-se que 420 = 22 · 3 · 5 · 7, esse fator primo somente pode
1m
ser o 2. Como esse é o único fator comum aos números n e m,
chega-se à conclusão de que MDC(n; m) = 2.
3
4. c Carrinho B
Como n 3 ˜, temos:
• Se n dividido por 3 deixa resto 2, significa que, tanto (n – 2) A distância entre os carrinhos será a medida do raio da
como (n + 1) será um múltiplo de 3. Consideremos (n + 1) como pista menor mais a medida do raio da pista maior. Logo, a
múltiplo de 3. distância será de 1,05 m + 1,0 m = 2,05 m.
9

10. Capítulo 3 Exercícios complementares
Equações polinomiais do 1º e 1 D
3. e acordo com as instruções do boleto, devemos ter:
do 2º grau M(x) = 500 + 10 + 0,4x s M(x) = 510 + 0,4x, com x > 0
Conexões
1
4. a) Comprimento do circuito: x
Dividimos a equação por 2 e isolamos o termo independente: 2 3
x + x + 108 = x s (multiplicando por 35)
9 9 9 5 7
x 2 + x = 13 s x 2 + x + x = 13
2 4 4 s 14x + 15x + 3.780 = 35x s
Construímos um quadrado de área x 2 e dois retângulos de s 6x = 3.780
9 ∴ x = 630
área x :
4 O comprimento do circuito é de 630 km.
x
b) Trecho asfaltado:
25 2 10 3
⋅ ⋅ 630 + ⋅ · 630 + 36 = 126 km
9 100 5 100 7
4 O percentual pedido pode ser dado por:
126
= 0,2 = 0,20 = 20%
630
O percentual da parte asfaltada é 20% do circuito.
x x
x2 x 2
1
5. − + = 0  x2 – 6x + 8 = 0
× 12
→
x 9
12 2 3
4 ∆ = (–6)2 – 4 · 1 · 8 = 4 s
Completamos o quadrado e somamos, a ambos os membros, s ∆ =2
9 6±2
a área de um quadrado de lado . 2 – 6x + 8 = 0 s x =
x s
4 2
s x1 = 2 e x2 = 4 ∴ S = {2; 4}
9
4
x 16. d
> 0
∆
[–(2m – 1)] – 4m(m –1) > 0 s
2
9 9 s 4m – 4m + 1 – 4m2 + 4m > 0 s 1 > 0
2
∴ S = ®
4 4
29. e
Observando a tabela dada, podemos concluir que as varia-
x x ções do número de bolas e do nível da água são grandezas
diretamente proporcionais. Ampliando a tabela dada,
x 9 teremos:
4
Número de bolas (x) Nível da água (y)
9 9 81 81
Então, a área final é: x + x + x + = 13 +
2
. Proce­ 5 6,35 cm
4 4 16 16
10 6,70 cm
dendo dessa forma, tem-se, agora, que a área de um quadrado
15 7,05 cm
 9 289
de lado  x +  é igual a , ou seja, fatora-se o trinômio x y cm
 4 16
quadrado perfeito no primeiro membro. Logo, podemos construir a seguinte proporção:
2
 9 289 x − 15 5
 x + 4  = 16
 
= s 0,35x – 5,25 = 5y – 35,25 s 5y = 0,35x + 30
y − 7, 05 0, 35
∴ y = 0,07x + 6
 9 17
x +
 4
=
4
∴x = 2
3
0. a) Para x = 10.000, temos y = 80.000

x + 9 17 13 Para x = 2 ⋅ 10.000 = 20.000 temos y = 1,50 ⋅ 80.000 =
=− ∴x = −

 4 4 2 = 120.000
10

11. Substituindo esses valores em y = ax + b, temos: 5. Tempo que o senhor e a senhora Kohn gastam hoje: t (em horas)
 a ⋅ 10.000 + b = 80.000  10.000a + b = 80.000 Tempo que o senhor e a senhora Kohn gastavam no início: t – 0,5
  
 a ⋅ 20.000 + b = 120.000  20.000a + b = 120.000 Distância entre a cidade e a capital: 80(t – 0,5) ou 60t.
 10.000a + b = 80.000 Daí:
  s 80(t – 0,5) = 60t s 80t – 40 = 60t s 20t = 40 ∴ t = 2 horas
2L1 − L2  b = 40.000
Logo, a distância entre a cidade e a capital é de 60 · 2 = 120 km.
s a = 4
Assim, teremos: y = 4x + 40.000 6. Considerando que o mês de março tem 31 dias, temos que os
b) Fazendo x = 30.000, teremos: dias depois de x de março mais os 2 x de abril devem resultar
y = 4 ⋅ 30.000 + 40.000 s y = 120.000 + 40.000 em um múltiplo de 7 (visto que esses dois dias caem no mesmo
∴ y = 160.000 dia da semana).
receita mensal será de R$ 160.000,00.
A Assim, podemos escrever:
31 – x + 2 x = 7k (múltiplo de 7, com k 3 ˜)
1. x 2 = m s m2 – m – 6 = 0 s m = –2 ou m = 3
3
∴ x = 7k – 31 (com x > 0)
m = –2 s x 2 = –2 ∴ ex 3 ®
Dessa forma ou k = 5 s x = 4 ou k = 6 s x = 11.
ou
m = 3 s x2 = 3 s x = ± 3 ∴ S = − 3 ; 3 { } Note que k não poderia ser 7 porque daria 2 x maior do que os
dias inteiros de abril.
2. x 2 – 4x = m s m2 + 4m = 0 s m = 0 ou m = – 4
3 ∴ x = 4 ou x = 11
m = 0 s x 2 – 4x = 0 s x(x – 4) ∴ x = 0 ou x = 4
7. c
ou
Número de pessoas do grupo: k
m = – 4 s x 2 – 4x = – 4 s x 2 – 4x + 4 = 0 s (x – 2)2 = 0 ∴ x = 2
150
S = {0; 2; 4} Valor da matrícula, por pessoa:
k
150
Tarefa proposta Valor da mensalidade, por pessoa (enunciado): + 10
k
1. a 600
Valor de cada mensalidade (enunciado): = 200
x − 2 3x + 1 1 × 12 3
+ = x +  4(x – 2) + 3(3x + 1) = 12x + 6 s
→
3 4 2 Daí, podemos escrever:
s 4x – 8 + 9x + 3 = 12x + 6 s x = 11  150 
 + 10  · k = 200 s 150 + 10k = 200 s
∴ S = {11}  k 
s 10k = 50 ∴k=5
5 (F − 32 )
2. C = s 9C = 5(F – 32) s 9C = 5F – 160 s
9 8. b
s 9C + 160 = 5F s 5F = 9C + 160 R1 = 1 · 2
R2 = 2 · 3
9C + 160
∴ F = R3 = 3 · 4
5
R4 = 4 · 5
3. d 
∴
18x = 12(x + 5) s 18x = 12x + 60 s 6x = 60 x = 10 Rn – 1 = (n – 1) · n
Rn = n · (n + 1)
4. e
Rn – Rn – 1 = 100 s n · (n + 1) – (n – 1) · n = 100 s
Número inicial de alunos: x
s n · (n + 1 – n + 1) = 100 s n · 2 = 100
Despesa: d
∴ n = 50
Situação inicial: 135,00 · x = d ∴ d = 135x (I)
O maior dos números retangulares é Rn = R50.
Situação posterior: (135,00 + 27,00) · (x – 7) = d
∴ d = 162 x – 1.134 (II) 9. Chamemos de C o comprimento do Equador (comprimen-
Comparando (I) e (II): to da corda, inicialmente) e de r o raio da Terra. Assim,
135x = 162x – 1.134 temos:
∴ x = 42 (total inicial de alunos) C = 2πr (I)
d = 135 · 42 = 5.670 Aumentando 1 metro no comprimento, temos:
No entanto, como o diretor contribuiu com R$ 630,00, a despesa C + 1 = 2π(r + x) s C + 1 = 2πr + 2πx (II)
a ser dividida entre 35 alunos (pois 7 deixaram a escola) foi Substituindo (I) em (II):
igual a 5.670 – 630 = 5.040. C + 1 = C + 2πx s x = 1 : 2π ∴ x H 0,16 m = 16 cm
5.040 : 35 = 144 Sim, passaria.
11

12. 1
0. c 1
8. a) Considerando que uma das partes do fio é x, a outra será
A pessoa nasceu no século XIX. Logo, o ano de seu nascimento 48 – x.
pode ser indicado por: 1800 + 2x Como o fio de medida x deverá ser o perímetro de um qua-
A pessoa morreu no século XX. Logo, o ano de seu falecimento 2
x  x
pode ser indicado por: 1900 + x drado, o lado desse quadrado medirá e sua área   .
 4
4
Como a pessoa viveu 64 anos, temos que:
Como o fio de medida 48 – x deverá ser o perímetro de
(1.900 + x) – (1.800 + 2x) = 64 s 100 – x = 64
48 − x
∴ x = 36 e 2x = 72 outro quadrado, o lado desse quadrado medirá e
4
Assim, a pessoa nasceu em 1872 e morreu em 1936. 2
 48 − x 
Como 1.900 – 1.872 = 28, concluímos que a pessoa tinha 28 sua área 
 4  . 
anos em 1900.
Considerando o 2º quadrado como sendo aquele de maior
11. a) S = 6 e P = 5 s x1 = 1 e x2 = 5 ∴ S = {1; 5} área, teremos:
b) S = 98 e P = 97 s x1 = 1 e x2 = 97 ∴ S = {1; 97} (48 – x)2 = 4x2 s (48 – x)2 = (2x)2 s 48 – x = 2x ∴ x = 16
c) S = 6 e P = – 7 s x1 = –1 e x2 = 7 ∴ S = {–1; 7} ou
48 – x = –2 x
1
2. e
∴ x = – 48 (Não convém).
2 1 × ( x 2 − 1) As partes do fio devem medir 16 cm e 32 cm.
+ = −1  2 + (x – 1) = – (x2 – 1) s
→
x2 − 1 x + 1 b) Os lados dos quadrados medirão: 4 cm e 8 cm. Logo, suas
 x 1 = −1 (Não convém.)
 áreas terão medidas iguais a 16 cm2 e 64 cm2.
s 2 + x – 1 = – x2 + 1 s x2 + x = 0 
 x2 = 0

1
9. b
∴ S = {0}
Se b e c são raízes da equação x 2 + bx + c = 0, então, por soma
1
3. e e produto podemos escrever:
a · 42 – 4 · 4 – 16 = 0 s 16a = 32 s a = 2 + c = –b (I)
b
2x 2 – 4x – 16 = 0 s x 2 – 2x – 8 = 0 s b · c = c (II)
 x = −2
 De (II) podemos concluir que: c = 0 ou b = 1
s S = 2 e P = –8 s  1
 x2 = 4
 Se b = 1, então c = –2.
Logo, c = 0 ou c = –2. Daí, a soma dos possíveis valores de c é
1
4. b
igual a –2.
Como, na equação, o coeficiente a > 0 e c < 0, temos que ∆ > 0.
Portanto a equação terá duas raízes reais e distintas.
20. d
1
5. b Como a área de um retângulo é calculada multiplicando-se a
 −33 base pela altura, podemos escrever:
 x 1 + x 2 = 10
 A área da reserva legal é dada por x 2 + ax + bx e a área total
Do enunciado: 
x ⋅ x = − 7 será dada por (x + a)(x + b).

 1 2 10 Como a reserva legal é 20% da área total, temos que:
Substituindo na expressão do enunciado, temos: x 2 + ax + bx = 0,20 ⋅ (x + a)(x + b) s
1
 7  33  35 66 101 s x 2 + ax + bx = · (x + a)(x + b) s
5 ⋅  −  + 2 ⋅  −  = − − =− = −10, 1 5
 10   10  10 10 10
s 5x 2 + 5ax + 5bx = x 2 + bx + ax + ab s
Dentre as alternativas, o número mais próximo do valor da
expressão é –10. s 4x 2 + 4(a + b)x – ab = 0
Nesta equação, temos: ∆ = 16(a + b)2 + 16ab e, portanto:
1
6. c
−4 ( a + b ) ± 16 ( a + b ) + 16 ab
2
A quantidade de aves poderá ser dada por: n · (n + 2) + 1 = x= =
8
= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 e que, portanto, é um quadrado
−4 ( a + b ) ± 16  ( a + b ) + ab 
2
perfeito.  
= 8
=
1
7. e
−4 ( a + b ) ± 4 ( a + b ) + ab − ( a + b ) ± ( a + b ) + ab
2 2
S = a + b = 3k e P = ab = k 2 s =
8 2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 s (3k)2 = 2k 2 + 1,75 s
1, 75 − (a + b) + ( a + b )2 + ab
s 7k 2 = 1,75 s k 2 = ∴ k 2 = 0,25 Como x > 0, teremos: x =
7 2
12