theta_model forecast

1. 2501.000145-5 TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
C.H.: 68 horas – Turma 2020.1 – sala 2 bloco X
Terça-feira 13h15m a 15h15m e Quinta-feira - 15h25m a 17h25m
Prof. Dr. Adriano Marcos Rodrigues Figueiredo
(UFMS – ESAN – Economia)
E-mail: adriano.figueiredo@ufms.br ou
amrofi@gmail.com
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**As ideias e opiniões aqui expostas são de responsabilidade do autor e não representam a opinião
da instituição a que pertence.
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2. MODELO (MÉTODO) THETA (Θ)
Vassilis ASSIMAKOPOULOS e Kostas NIKOLOPOULOS (2000)
2

3. Referências
• ASSIMAKOPOULOS, V.; NIKOLOPOULOS, K. (2000). The theta model: a decomposition
approach to forecasting. International Journal of Forecasting 16, 521-530.
• FIGUEIREDO, Adriano Marcos Rodrigues. Séries Temporais com R: Análise Theta para o
Consumo do Varejo em MS com pacote forecast::thetaf e forecTheta. Campo Grande-
MS,Brasil: RStudio/Rpubs, 2020. Disponível
em http://rpubs.com/amrofi/varejoms_thetaf e
em https://adrianofigueiredo.netlify.app/post/series-temporais-theta-consumo-
varejo-ms/.
• HYNDMAN, R.J.; BILLAH, B. (2003) Unmasking the Theta method. International J.
Forecasting, 19, 287-290. Disponível em: https://robjhyndman.com/papers/Theta.pdf
• FIORUCI, J.A.; PELLEGRINI, T.R.; LOUZADA, F.; PETROPOULOS, F. The optimised theta
method. arXiv, preprint arXiv:1503.03529, 2015.Disponível em:
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1503/1503.03529.pdf
• PELLEGRINI, Tiago Ribeiro. Uma avaliação de métodos de previsão aplicados à
grandes quantidades de séries temporais univariadas. São Carlos : UFSCar, 2012.
(dissertação de Mestrado).
• NIKOLOPOULOS, Kostas I.; THOMAKOS, Dimitrios D. Forecasting with the Theta
method: theory and applications. Oxford, UK: John Wiley and Sons. 2019. 3

4. O método theta
• Desenvolvido por Assimakopoulos e Nikolopoulos
(2000) = A&N
• Criticado por Hyndman e Billah (2003) - O
método theta é equivalente ao “simple
exponential smoothing with drift” (SES com
desvio)
• Resultados na M3 competition
• Intuição: decomposição de ST
• Um método não consegue extrair toda a
informação da série
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5. Método Theta ≈ Decomposição
• Linhas
combinadas em
modelos de
extrapolação
• Ilustração de
Pellegrini (2012)
em série sem
sazonalidade
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6. O método Theta
• As componentes de theta (θ=-1) e (θ=3) representam
coeficientes de decomposição ou linhas de decomposição
• A linha de θ=-1 foi obtida em uma regressão linear simples
(LRL) – representa um longo prazo
• A linha de θ=3 representa o curto prazo, extrapolada em
um alisamento exponencial simples (AES=SES)
• A combinação das duas linhas representa a previsão do
método Theta
• A série é testada quanto à sazonalidade usando o teste
descrito em A&N. Se considerado sazonal, a série é
ajustada sazonalmente usando uma decomposição
multiplicativa clássica antes de aplicar o método theta. As
previsões resultantes são então redimensionadas.
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7. O método Theta
• A intuição é a diversificação e combinação de métodos para
séries temporais
• Coeficiente Theta: θ
– Segunda diferença da série temporal – modificação da curvatura
da série
– Linha Theta = a linha decomposta
– Operador diferença
– Os pontos de Zi são obtidos por minimização dos erros quadráticos
de
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 2 2
t tZ y   
 tZ 
1t t tZ Z Z   
    
1
2
1 2 1 1
2
1
i
i t
t
Z Z i Z Z i t y



 
       
 


8. Método Theta
• Conforme Hyndman e Billah (2003), as linhas
Theta podem ser expressas da forma
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 
22
min mini i i
i i
Z y
   
    
   
 
   1t tZ a b t y     

9. Método Theta
• Os estimadores serão do tipo:
• Portanto, para
θ= 0, resulta na regressão linear da série yt em
relação ao tempo
θ =1, resulta na série temporal yt
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10. Theta clássico
• a e b vem da regressão linear para Y0
• O modelo clássico prevê duas linhas Theta, para valores θ
iguais a 0 e 2 nos dados ajustados sazonalmente
• A primeira linha, sem flutuações, é prevista por
extrapolação da linha de regressão linear no tempo,
enquanto a segunda tem curvatura dupla, usando SES.
• As previsões são combinadas com peso igual e depois
ressazonalizadas
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11. • Casos gerais: para theta igual a zero, a decomposição
resume-se à regressão linear (reta); para thetas maiores
que 1, ocorrem aumentos das curvaturas locais. Para
theta =1, tem-se a série original.
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12. O método Theta
• Quando as séries não são combinadas com
pesos iguais, têm-se casos gerais de
alisamento exponencial com desvio
• Questões sem respostas: quantas linhas Theta
devem ser usadas? Quais os métodos de
extrapolação a serem utilizados?
• Intervalos entre -1 e 3 para Theta
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13. NIKOLOPOULOS e THOMAKOS (2019,
p.168)
• Os melhores resultados foram no intervalo [0;2]
• Linhas Theta com:
θ = 1 → série dessazonalizada
θ = 0 → série da regressão linear no tempo (sem
curvaturas)
θ = 2 → dobro da curvatura da série dessazonalizada
θ = 3 → triplo da curvatura da série dessazonalizada
θ = -1 → exibe curvatura que espelha a curvatura da série
dessazonalizada (θ=1), com a linha theta com θ=0 atuando
como um eixo simétrico
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14. Pellegrini (2012):
Combinação das linhas
14
thetaf

15. Combinação das linhas
• A&N (2000) = pesos iguais e 2 linhas
• Algoritmos variados para otimizar pesos:
maior esforço computacional
• O método Theta como um método de
decomposição da série temporal e a
extrapolação das linhas-Theta e combinação
derivam em previsões para a série temporal
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16. Estimação do Theta
• Minimização dos erros do modelo com limites
definidos (Ex.: [0;2])
• Intervalos de confiança
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17. IC por Hyndman e Athanasopoulos
(2012)
• Quando não se conhece a distribuição preditiva
• Rotinas no forecast::thetaf usam 2 linhas: 0 e 2
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18. forecast::thetaf
• Theta method forecast:
• forecast::thetaf
• https://pkg.robjhyndman.com/forecast/refere
nce/thetaf.html
• Retorna previsões e intervalos de previsão
para uma previsão do método theta.
thetaf(y, h = ifelse(frequency(y) > 1, 2 * frequency(y),
10), level = c(80, 95), fan = FALSE, x = y)
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19. • Argumentos:
 y - um vetor numérico ou série temporal da classe
ts
 h - Número de períodos para previsão
 level - Níveis de confiança para intervalos de
previsão.
 fan - Se TRUE, o level é definido como seq (51,99,
by= 3). Isso é adequado para fan plots.
 x- Descontinuada. Incluído para compatibilidade
com versões anteriores
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20. forecast::thetaf
• A série é testada quanto à sazonalidade usando o
teste descrito em A&N. Se considerado sazonal, a
série é ajustada sazonalmente usando uma
decomposição multiplicativa clássica antes de
aplicar o método theta. As previsões resultantes
são então redimensionadas.
• Intervalos de previsão são calculados usando o
modelo de espaço de estado subjacente.
• Métodos theta mais gerais estão disponíveis no
pacote “forecTheta” e “TStools”(github)
(CRAN:tsutils)
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21. Exemplo básico
theta_varejoms.Rproj
y<-varejoms
h=12
require(forecast)
T <- thetaf(y, h)$mean
autoplot(varejoms) +
autolayer(T, series="Theta", PI=FALSE) +
xlab("Mês/Ano") + ylab("Índice (2011=100)") +
ggtitle("Índice de volume de vendas no varejo total
de Mato Grosso do Sul <br> (Mensal) - BCB 1479")
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22. Método Theta para varejo MS
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23. Método Theta – varejo MS
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24. Fioruci et al: The Optimised Theta
Method
• FIORUCI, José Augusto; PELLEGRINI, Tiago
Ribeiro; LOUZADA, Francisco ;PETROPOULOS,
Fotios. The Optimised Theta Method. arXiv,
2015. Disponível em:
<https://arxiv.org/abs/1503.03529>
• UnB e USP
• Pacote “forecTheta”
• Ver tese do Fioruci na USP
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25. forecTheta
• Modelo para um theta otimizado, invés de
linhas-theta 0 e 2
• Opções para mais linhas-theta
• Generalização de Fioruci et al (2015)
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26. OTM – Optimized Theta Method
• Minimiza uma função perda do erro absoluto
simétrico percentual
• Como se adicionasse um termo de longo prazo
• Treina com diferentes origens “rolling”
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27. OTM
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28. Rolling
origin
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29. Algoritmo do OTM
29

30. Exemplo do OTM
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31. forecTheta para varejo MS
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32. Plot pelo dygraphs
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OBS: para essa série, foi
idêntica à do thetaf