1. PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
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anderson@npd.ufes.br Última atualização: 29/09/2005 11:43 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
Capítulo 22 - Temperatura
Problemas
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49

2. Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
Problemas Resolvidos
09. Observa-se que objetos quentes ou frios esfriam ou esquentam, respectivamente, para atingir a
temperatura do ambiente. Se a diferença de temperatura ΔT entre o objeto e sua vizinhança(ΔT
= Tobj − Tviz) não for grande, a taxa de esfriamento ou aquecimento do objeto será
aproximadamente proporcional à diferença de temperatura, isto é, dΔT/dt = −A(ΔT), onde A é
uma constante. O sinal menos aparece porque se ΔT for positivo, ele decresce com o tempo e, se
for negativo, cresce. Esta é a lei de Newton para o resfriamento. (a) De que fatores A depende?
(b) Se no instante t = 0 a diferença de temperatura for ΔT0, mostre que num instante t ela será
ΔT = ΔT0 e−At.
(Pág. 176)
Solução.
(a) A constante A depende da massa, da área superficial e do calor específico do corpo. A unidade
de A é s-1.
(b) Partindo-se da função fornecida,
dΔ T
= − AΔT
dt
pode-se rearranjá-la da seguinte forma:
1
− Adt = dΔT (1)
dt
Integrando-se (1) dentro dos limites apropriados, obtém-se:
t ΔT 1
− A∫ dt = ∫ dΔT
t0 = 0 ΔT0 dt
− At = ln ΔT − ln ΔT0
ΔT
= e − At
ΔT0
Finalmente
ΔT = ΔT0 e − At
[Início]
25. O comprimento de uma barra, medido com uma régua de ferro à temperatura ambiente de 20oC,
é de 20,05 cm. A barra e a régua são colocadas em um forno a 270oC e a medida da barra com a
régua é agora de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatação térmica do material da barra.
(Pág. 177)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
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a
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Barra T0
Régua T0
L0
Barra T
Régua T
L’
Régua T0
L’ L
Para calcular o coeficiente de dilatação da barra, é preciso determinar seu comprimento após a
expansão térmica, medindo-a com uma régua que esteja à temperatura T0. No presente caso, o
comprimento final da barra foi medido com uma régua à temperatura T, que resultou na medida L’.
Barra T
Régua T
L’
Como conhecemos o coeficiente de expansão linear da régua, podemos determinar o quanto a régua
expandiu. Ou seja, à temperatura T a marca L’ (20,11 cm)da régua coincide com o comprimento da
barra. Se a régua for resfriada à temperatura T0, mas a barra não, a régua irá marcar L como sendo o
comprimento da barra.
Barra T
Régua T0
L’ L
A expansão térmica da régua é dada por (T0 → T; L’ → L):
ΔL = L − L' = α R L' ΔT
L = L' (α R L' ΔT + 1) (1)
A expansão térmica da barra é dada por:
ΔL = L − L0 = α B L0 ΔT
L = L0 (α B L0 ΔT + 1) (2)
Igualando-se (1) e (2):
L0 (α B L0 ΔT + 1) = L' (α R L' ΔT + 1)
L0 + α B L0 ΔT = L' (α R L' ΔT + 1)
L' (α R ΔT + 1) − L0
αB = (3)
ΔTL0
Substituindo-se os numéricos fornecidos em (3):
α B = 2,3002 × 10 −5 o C −1
α B ≈ 2,3 × 10 −5 o C −1
[Início]
28. Uma barra de comprimento L0 = 3,77 m e coeficiente de dilatação térmica 25 × 10−6 por grau C
é fixada em seus extremos e tem uma rachadura em seu centro. Como conseqüência de um
aumento de temperatura de 32oC ela se eleva no centro, como mostra a Fig. 15. Determine a
elevação x.
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a
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(Pág. 177)
Solução.
O comprimento final da barra é
L = L0 (1 + αΔT ) (1)
Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo indicado na figura abaixo:
L/2
x
L0 /2
2 2
⎛ L⎞ ⎛L ⎞
⎜ ⎟ = x +⎜ 0 ⎟
2
(2)
⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠
Resolvendo-se (2) para x e substituindo-se o valor de L dado por (1):
L2 (1 + αΔT ) 2 L2
x2 = 0
− 0
4 4
L2
x2 = 0
[(1 + αΔT ) 2 − 1]
4
L
x = 0 (1 + αΔT ) 2 − 1 (3)
2
Substituindo-se em (3) os valores numéricos fornecidos:
x = 0,07541 m ≈ 7,5 cm
[Início]
33. A densidade é obtida dividindo-se a massa pelo volume. Como o volume V depende da
temperatura, a densidade ρ também deve depender dela. Mostre que a variação da densidade Δρ
com a variação da temperatura ΔT é dada por Δρ = − βρΔT, onde β é o coeficiente de dilatação
volumétrica. Explique o sinal menos.
(Pág. 178)
Solução.
Seja ρ0 a densidade à temperatura T0 e ρ a densidade à temperatura T, definidas por:
m
ρ0 =
V0
m
ρ=
V
A variação do volume ΔV devida à variação de temperatura ΔT é dada por:
ΔV = βV0 ΔT (1)
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A variação de densidade devida à variação de temperatura será:
m m m(V0 − V )
Δρ = ρ − ρ 0 = − =
V V0 VV0
(V − V0 ) ΔV
Δρ = −m = −m (2)
VV0 VV0
Substituindo-se (1) em (2):
βV ΔT βΔT
Δρ = −m 0 = −m
VV0 V
Δρ = − ρβΔT (3)
O sinal negativo em (3) é conseqüência do fato de a uma variação positiva da temperatura resultar
numa variação negativa da densidade.
[Início]
41. O pêndulo de um relógio é feito de latão e é projetado para dar o tempo com precisão a 20oC.
Qual será o erro, em segundos por hora, se o relógio funcionar a 0oC?
(Pág. 178)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a situação:
T0 T
L
L0
O erro pedido no problema é a variação observada no período do relógio de pêndulo (ΔP), durante
uma hora. Utilizou-se a abreviação P para o período para não confundir com a temperatura T. A
variação do período do relógio de pêndulo devida à variação de temperatura ΔT é dada por:
ΔP = P − P0 (1)
onde P0, o período do relógio de pêndulo à temperatura T0, e P, o período à temperatura T, são
definidos por:
L0
P0 = 2π
g
L
P = 2π (2)
g
Na equação (2), g é a aceleração local da gravidade. O comprimento da haste do pêndulo, à
temperatura T é:
L = L0 (1 + αΔT ) (3)
Substituindo-se (3) em (2):
L0 (1 + αΔT ) L0
P = 2π = 2π (1 + αΔT ) = P0 (1 + αΔT ) (4)
g g
________________________________________________________________________________________________________ 5
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Substituindo-se (4) em (1):
ΔP = P0 (1 + αΔT ) − P0 = P0 ( (1 + αΔT ) − 1)
Em uma hora, o que implica em P0 = 3600 s, o erro será:
ΔP = −0,68406 s ≈ −0,68 s
O sinal negativo de ΔP significa que houve diminuição no período do relógio que, em uma hora,
acumulou 0,68 s. Como uma diminuição no período faz com que o relógio ande mais rápido, a
conseqüência é que o relógio vai adiantar 0,68 s em uma hora.
[Início]
45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20oC um triângulo
equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar
será de 59,95o?
(Pág. 178)
Solução.
Considere o seguinte esquema para a situação:
T0 T
LInv
Al Inv LAl
L0 L0
L0 θ
LAço
Aço
A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à
temperatura T:
L2 = L2 + L2 − 2 LAl LAço cosθ
Inv Al Aço (1)
Mas:
L = L0 (1 + αΔT ) (2)
Substituindo-se a eq. 2 em 1:
L2 (1 + α Inv ΔT ) 2 = L2 (1 + α Al ΔT ) 2 + L2 (1 + α Aço ΔT ) 2 −
0 0 0
− 2 L0 (1 + α Al ΔT ) L0 (1 + α Aço ΔT ) cos θ
Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses:
1 + 2α Inv ΔT + (α Inv ΔT ) 2 = 1 + 2α Al ΔT + (α Al ΔT ) 2 + 1 + 2α Aço ΔT +
+ (α Aço ΔT ) 2 − 2 cosθ (1 + α Al ΔT + α Aço ΔT + α Alα Aço ΔT 2 )
Reconhecendo-se que os termos envolvendo α2 são muito menores dos que aqueles envolvendo
apenas α, pode-se desprezar os primeiros:
1 + 2α Inv ΔT = 1 + 2α Al ΔT + 1 + 2α Aço ΔT − 2 cos θ (1 + α Al ΔT + α Aço ΔT )
2α Inv ΔT = 2α Al ΔT + 1 + 2α Aço ΔT − 2 cos θ − 2 cos θα Al ΔT − 2 cos θα Aço ΔT
1
α Inv ΔT − α Al ΔT − α Aço ΔT + cos θα Al ΔT + cos θα Aço ΔT = − cos θ
2
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1
(α Inv − α Al − α Aço + cos θα Al + cos θα Aço )ΔT = − cos θ
2
1
− cos θ
ΔT = 2 (3)
(α Inv − α Al − α Aço + cos θα Al + cos θα Aço )
Substituindo-se os valores numéricos fornecidos em (3):
ΔT = 46,426497 o C
Por definição:
ΔT = T − T0
T = T0 + ΔT
T = 20 + 46,426497 ≈ 70 o C
[Início]
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