Análise de Carregamento Hidrodinâmico Em Estruturas Flutuantes - Parte II A Resposta

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A Resposta (RAOs, análise nos domínios da frequência e do tempo)

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Análise de Carregamento Hidrodinâmico Em Estruturas Flutuantes - Parte II A Resposta

  1. 1. Análise de Carregamento Hidrodinâmico emEstruturas FlutuantesParte II – A RespostaJoão Henrique VOLPINI MattosEngenheiro NavalRegional Sales Manager - Maritime & Offshore Solutions (South America), DNV SoftwareSetembro 2012
  2. 2. Hidromecânica do Navio© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 2
  3. 3. Graus de Liberdade de Unidade Flutuante FORÇAS E VELOCI- MOVIMENTO ÍND. DESCRIÇÃO POSIÇÃO VISUALIZAÇÃO MOMENTOS DADES Translação Avanço (surge) 1 X u x longitudinal Translação Deriva (sway) 2 Y v y lateral Afundamento Translação 3 Z w z (heave) vertical Rotação em Jogo/balanço (roll) 4 torno do eixo K p ϕ longitudinal Rotação em Caturro/arfagem (pitch) 5 torno do eixo M q θ transversal Rotação em Guinada (yaw) 6 torno do eixo N r ψ vertical© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 3
  4. 4. Comportamento de Unidade Flutuante em Ondas  O comportamento hidromecânico afeta : - Segurança dos passageiros, tripulantes, carga e da própria Intolerável unidade. Aceleração (g) - Conforto dos passageiros e tripulantes. Mal estar - Carregamento dinâmico sobre a estrutura da unidade flutuante, sua carga e equipamentos. - Velocidade e consumo de combustível. - Capacidade de manobra em operações marítimas. Imperceptível  Exemplos : T (s) - Movimentos de jogo combinado com vento lateral podem causar ângulos de banda perigosos ou mesmo emborcamento. - Ondas de popa de aproximadamente o mesmo comprimento do navio causam grandes ângulos de jogo. - Acelerações transversais devidas ao efeito combinado do jogo e deriva causam deslocamento da carga e rompimento dos dispositivos que as seguram. - Movimentos verticais de unidades de perfuração podem causar avaria da coluna de perfuração.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 4
  5. 5. Números Complexos© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 5
  6. 6. Números Complexos 1 Johann Carl Friedrich Gauss Matemático e físico alemão 1777-1855 Jean-Robert Argand Matemático suiço 1768-1822 Começaram a ser utilizados no século XVI na resolução de equações do terceiro grau, onde se notou que os resultados levavam a raízes quadradas de números negativos. Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = x + iy onde x e y são reais e i denota a unidade imaginária, que tem a propriedade i2=-1 Plano complexo ou Plano de Argand O plano complexo (Diagrama de Argand) é um plano cartesiano utilizado para representar núme- ros complexos geometricamente, permitindo “algebrizar” vetores bidimensionais. Na forma cartesiana z = ( x, y ) = x + iy e na forma polar z = r (cos θ + i sin θ ) = re iθ onde (módulo de z) r = z = x 2 + y 2© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 6
  7. 7. Números Complexos 2 René Descartes Matemático e físico francês 1596-1650 Leonhard Euler Matemático suiço 1707-1783 A álgebra de números complexos permite que grandezas que variem senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo sejam interpretados por vetores bidimensionais (fasores), sendo muito mais fácil operar com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que com funções trigonométricas.  Propriedades interessantes : – Multiplicação por i envolve uma rotação de 90° – Multiplicação por i2 envolve uma rotação de 180° – Multiplicação por i3 envolve uma rotação de 270°© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 7
  8. 8. Números Complexos 3Operações elementaresSejam z e w números complexos dados por z=(a,b)=reiθ e w =(c,d)=heiφentão : Identidade  Oposto z = w⇔ a = ceb = d ou − z = − a − (ib) r = h eθ = ϕ  Real Adição Re( z ) = a = r cos θ z + w = w + z = (a + b) + i (b + d )  Imaginário Multiplicação Img( z ) = b = r sin θ i (θ +ϕ ) zw = wz = (ac − bd ) + i (bc + ad ) = rhe  Argumento Conjugado a z = a − ib = re -iθ θ = acos  z Inverso   1 a − ib z 1 - iθ = 2 = 2 = e z a +b 2 z r© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 8
  9. 9. Fourrier & Cia Análise de Sinais© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 9
  10. 10. Análise de Sinais  Na análise no domínio do tempo, os sinais físicos ou séries temporais de dados ambientais são observados ao longo do tempo. Os valores da função observada são números reais contínuous ou discretos, dependendo do modo como a observação é feita.  Na análise no domínio da frequência este dados são observados com relação à uma faixa de frequências. Esta análise também pode incluir informações do deslocamento de fase aplicada a cada frequência, mas isto normalmente é descartado.  Uma função pode ser convertida entre os domínios do tempo e da frequência através de um par de operadores matemáticos conhecido como transformada integral. Medições no domínio do tempo Medições no domínio da frequência© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 10
  11. 11. Série de Fourier 1 Jean-Baptiste Joseph Fourier Matemático francês 1768-1830 A série de Fourier é a representação de uma função periódica integrável como uma soma de funções periódicas de seno e cosseno. Suponha uma função periódica f(t) com período T, tal que f(t+T) = f(t). Fourier diz que f(t) pode ser representada por Onda “dente de serra” ∞   2πnt   2πnt  f (t ) = ∑  An cos  + Bn sin   n =0   T   T  Primeiras 5 aproximações de Fourier  2πnt  T 2 T∫ An = 2 T f (t ) cos dt −  T onde 2 2 T  2πnt  2π Bn = ∫ 2T f (t ) sin  dt = 2πf = ω0 T −2  T  T Espectro dos Coeficientes© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 11
  12. 12. Série de Fourier 3 1 1 𝑛𝜋𝑛 ∞ Algumas expansões em série de Fourier mais comuns : − 1/𝜋 � sin 2 𝑛 𝐿 – Onda dente de serra : 𝑛=1 4 1 𝑛𝜋𝑛 ∞ � sin 𝜋 𝑛 𝐿 – Onda quadrada : 𝑛=1,3,5,… 8 −1 𝑛𝜋𝑛 ∞ 𝑛−1 � 2 � sin 𝜋2 𝑛2 𝐿 𝑛=1,3,5,… – Onda triangular :© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 12
  13. 13. Série de Fourier 4 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Matemático alemão 1805-1859 A série de Fourier também pode ser expressa em termos exponenciais. Pela fórmula de Euler e inx = cos(nx) + i sin( nx) ∞ Então a expansão de Fourier pode ser representada por f (t ) = ∑ Cn einω0t n = −∞ T 1 onde Cn = T ∫− 2 T 2 f (t ) e inω0t dt A relação entre os coeficientes de Fourier na forma trigonométrica e expo- nencial é 1 An = Cn + C− n n = 0, 1, 2, ... ( An − iBn ) n≥0 e Cn= 2 Bn = i (Cn − C− n ) n = 1, 2, ... 1 ( A−n + iB−n ) n < 0 2 Na engenharia, particularmente quando a variável t representa o tempo, a sequência de coeficientes é chamada de representação no domínio da frequência, adotando-se a notação F[n] ou Fn ao invés de Cn, enfatizando que o domínio desta função é um conjunto discreto de frequências.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 13
  14. 14. Transformada de Fourier Paul Adrien Maurice Dirac Físico britânico 1902-1984 A Série de Fourier é útil na modelagem a análise do espectro de funções periódicas, mas como fazer quando o fenômeno é não-periódico ? A saída é permitir que T se torne infinitamente grande, e a série e os coefi- cientes de Fourier se reduzem a 1 ∞ Transformada f (t ) = 2π ∫ −∞ F (iω0 ) e iω0t dω0 Transformada de Fourier Inversa de Fourier ∞ F (iω0 ) = ∫ f (t ) e − iω 0 t dt −∞  Enquanto a Série de Fourier converte uma função periódica contínua no domínio do tempo para amplitudes no domínio da frequência em frequências discretas, a Transformada de Fourier converte uma função não-periódica contínua no domínio do tempo em uma função contínua no domínio da frequência.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 14
  15. 15. Transformada Discreta de Fourier Se quisermos encontrar o espectro de frequências de uma função que foi “sampleada”, a Transformada Contínua de Fourier não é muito útil, pois não se dispõe de uma função analítica para a função (ex.: análise de sinais sonoros, de amplitude das ondas oceânicas, etc.)  DTF (Discrete Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são cole- tadas a intervalos aleatórios. Ela avalia apenas componentes da frequên- cias suficientes para reconstruir o segmento que está sendo analizado, decompondo –a em amplitudes de diferentes frequências. N −1 2πi − X k = ∑ xn e kn N k = 0 ,...,N-1 n =0  DTFT (Discrete-time Fourier Transform) : Utilizada quando as amostras são coletadas a uma frequência constante. ∞ X (ω ) = ∑x n = −∞ n e − i ωn xn representam os valores amostrados© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 15
  16. 16. Transformada Rápida de Fourier James W. Cooley Matemático americano 1926- John Wilder Tukey Estatístico americano 1915-2000 A Transformada Rápida de Fourier (FFT – Fast Fourier Transform) é um algorítmo eficiente para calcular a DFT e sua inversa.  O cálculo da DFT diretamente da sua definição é impraticável na maioria dos casos por ser muito lento (proporcional a N2).  Existem vários algoritmos para a FFT, sendo o mais conhecido o de Cooley-Tukey, que divide a transformada sucessivamente em dois pedaços de tamanho N/2 (e portanto é limitado a que o número de amostras seja uma potência de 2). Este algoritmo apresenta um esforço computacional da ordem de Nlog(N). Para uma amostra com 128 elementos, isto significa uma diferença de 60x no esforço computacional© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 16
  17. 17. Vibração© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 17
  18. 18. Idealização Sistema Massa-Mola  Sistema com 1 grau de liberdade  Resposta do sistema m(t ) = F0 sen(ωt ) − kx(t ) x k  Frequência natural de vibração ωn = m Força k Resposta livre m Resposta forçada x Fexc(t) = F0sen(ωt)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 18
  19. 19. Idealização Sistema Massa-Mola-Amortecedor  Todo sistema mecânico tem algum nível de amortecimento. amortecimento viscoso  Resposta do sistema m(t ) = F0 sen(ωt ) − cx(t ) − kx(t ) x  k Força excitação c Força amortecimento Resposta livre Regime Regime m transiente permanente Resposta forçada x Fexc(t) = F0sen(ωt)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 19
  20. 20. Amortecimento  Coeficiente de amortecimento crítico cc = 2mωn = 2 km c ξ > 1 : Superamortecimento (não há oscilação)  Fator de amortecimento ξ = ξ = 1 : Criticamente amortecido (não há oscilação) cc ξ < 1 : Subamortecimento  Frequência natural amortecida ωd = ωn 1 − ς 2 kX/F0 ξ ξ ξ ξ x1 ξ = ln x2 ω / ω0 Efeito do amortecimento em vibração livre Efeito do amortecimento em vibração forçada© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 20
  21. 21. Períodos Naturais de Oscilação Típicos* (s) MODO FPSO SPAR TLP SEMI Avanço (surge) >100 >100 >100 >100 Deriva (sway) >100 >100 >100 >100 Afundamento (heave) 5 – 12 20 – 35 <5 20 – 50 Balanço (roll) 5 – 30 50 – 90 <5 30 – 60 Caturro (pitch) 5 – 30 50 – 90 <5 30 – 60 Guinada (yaw) >100 >100 >100 >100 * Ancorados© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 21
  22. 22. Ressonância  Ressonância é a tendência de um sistema a oscilar em máxima amplitude em certas frequências, conhecido como frequências ressonantes. Nessas frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia. Tacoma Narrows Bridge (1940) A Vibração do Arroz© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 22
  23. 23. Quiz 1. Qual o período natural de vibração de um sistema massa-mola ideal no qual a massa do corpo é de 100g e a constante da mola é de 0.274gf/mm ? k 0.274 ωn = = = 0.0523rad/s m 100 2π 2π Τ= = = 120s ωn 0.0523 2. Considerando apenas o efeito hidrostático, qual seria a frequência natural de vibração no movimento de afundamento (heave) de uma barcaça retangular oceânica com dimensões de L = 100m, B =20 m, T = 5m ? k 2050 m = ρVsubmerso = 1.025 x100 x 20 x5 = 10250 t ωn = = = 0.447 rad/s m 10250 k = ρAlinha d água = 1.025 x100 x 20 = 2050 tf/m ωn 0.477 fn = = = 0.0711Hz (Τ = 14s) 2π 2π© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 23
  24. 24. Os Movimentos© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 24
  25. 25. Tipos de Movimentos  Movimento na frequência da onda (wave-frequency motion) : Movimento linearmente excitado na faixa de frequências de onda com energia significativa. Períodos na faixa 5-20s.  Movimento de alta frequência (high-frequency motion) : Significativo em TLPs, é devido a oscilações de ressonância em afundamento, arfagem e balanço. Os tendões das TLPs são excitados por efeitos não lineares das ondas. Períodos na faixa 2-4s.  Movimento de deriva lenta (slow-drift motion) : Aparecem em unidades flutuantes ancoradas sob o efeito de ondas e correnteza. As frequências naturais nos movimentos no plano horizontal (avanço, deriva e guinada) são bastante baixas, e amortecimento também é muito baixo, de modo que o carregamento de baixa frequência das ondas podem gerar excursões lentas mas bastante amplas.  Movimento de deriva média (mean drift) : Devido ao componente permanente de carregamento de segunda ordem de ondas, o corpo tende a se mover e alinhar na direção das ondas.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 25
  26. 26. Equação do Movimento (Corpo Rígido Flutuante) (M ij + Aij )  j + Bij x j + Cij x j = Fi (t ) x  3 onde 6 Mij = massa oscilante / momento de inércia Aij = massa adicional induzida na direção i devido à aceleração em j Bij = amortecimento sofrido na direção i devido à velocidade na direção j 1 Cij = restauração na direção i devido ao 4 5 2 deslocamento na direção j na direção j ... Algo acontece Fi = forças de excitação na direção i x j , x j , j = deslocamento, velocidade e aceleração  x da embarcação na direção j i,j = 1, ... 6 denotam os 6 graus de liberdade P 11 P12  P  16 Ex: C53 = restauração em pitch devido       ao deslocamento em heave Pij =           ... que tem uma consequência na direção i  P61 P62  P66 © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 26
  27. 27. Matrizes da Equação do Movimento  Para uma unidade tendo simetria a bombordo/estibordo, e considerando a origem do sistema de coordenadas coincidente com o centro de flutuação : M 0 0 0 Mzc 0   A11 0 A13 0 A15 0   0  M 0 − Mzc 0 0   0  A22 0 A24 0 A36    0 0 M 0 0 0  A 0 A33 0 A35 0  M ij =   Aij =  31   0 − Mzc 0 I4 0 − I 46  0 A42 0 A44 0 A46   Mzc 0 0 0 I5 0   A51 0 A53 0 A55 0        0 0 0 − I 64 0 I6   0  A62 0 A64 0 A66    B11 0 B13 0 B15 0  0 0 0 0 0 0 0  B22 0 B24 0 B36   0 0 0 0 0 0   B 0 B33 0 B35 0  0 0 C33 0 C35 0 Bij =  31  Cij =   0 B42 0 B44 0 B46  0 0 0 C44 0 0  B51 0 B53 0 B55 0  0 0 C53 0 C55 0      0 B62 0 B64 0  B66  0  0 0 0 0 0 © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 27
  28. 28. Forças Hidrodinâmicas© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 28
  29. 29. Tipos de Forças em um Escoamento Permanente Forças potenciais FORÇAS FORÇAS FORMA - Devido à aceleração e desaceleração POTENCIAIS VISCOSAS das partículas do fluido ao mudar sua ≈ 0% ≈ 100% trajetória. ≈ 10% ≈ 90% ≈ 80% ≈ 20% ≈ 100% ≈ 0% Forças viscosas - Devido ao aparecimento da camada limite, com cisalhamento entre as partículas do fluido.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 29
  30. 30. Forças Hidrodinâmicas Lineares em Ondas  A teoria linear pode descrever o carregamento hidrodinâmico em estados de mar calmo a médio (dependendo do tamanho da embarcação).  A linearidade implica que o carregamento e movimentos são proporcionais às amplitudes das ondas.  A linearidade permite a superposição : os carregamentos e respostas em mar irregular podem ser obtidos por sua combinação linear das respostas ao mar regular ou senoidal.  Devido à hipótese linear, a análise pode ser executada tanto no domínio do tempo quanto da frequência. Fhid = Fexc + Frad + Frest Equações Cargas ondas Lineares do movimento Lineares Movimento© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 30
  31. 31. Forças Hidrodinâmicas Não Lineares  Uma vez que temos um modelo linear no domínio do tempo, cargas não lineares podem ser adicionadas pela hipótese de superposição de forças : Equações Cargas ondas Lineares do movimento Lineares Movimento Cargas Não-Lineares  O modelo linear não deve ser encarado como uma limitação : na verdade ele é a base sobre a qual podemos construir modelos não-lineares baseado na hipótese da superposição de forças.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 31
  32. 32. Forças Atuantes em uma Unidade Flutuante m.a = Fexc - c.v - k.x forças de radiação e força resultante no forças de restauração (massa sistema flutuante excitação adicional, amortecimento e hidrostática) M.a = Fm + Ffk + Fd – A.a – B.v – B2.v.|v| - C.x amortecimento viscoso© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 32
  33. 33. Forças de Excitação Forças atuantes sobre a unidade quando ela tem seu movimento restringido, ao mesmo tempo em que é sujeita à ondas incidentes. 1ª Ordem • Ffk : Força de Froude-Krilov - Forças grandes - Considera a pressão devido à - Mesma frequência da onda ação da onda não perturbada - Relacionada à elevação da onda pelo corpo. - Proporcional à amplitude da onda (linear) • Fd : Força de Difração - Considera a modificação da pressão da onda devido à presença do corpo. 2ª Ordem - Forças pequenas • Fm : Força de Morison - Baixa frequência - Considera a parte viscosa da força. - Relacionadas ao grupo de ondas - Proporcional ao quadrado da amplitude da onda© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 33
  34. 34. William Froude Engenheiro inglês 1810-1879 Excitação : Força de Froude-Krylov Alexei Nikolaievich Krylov Engenheiro naval russo 1863-1945 É a força induzida pelo campo de pressões gerado pelas ondas não pertur- badas pelo corpo (o corpo é suficientemente pequeno para não influenciar as ondas). ∫∫ Integração da pressão da água ao longo Ffk = - p n ds da superfície molhada média do corpo Sw Onde Ffk = força de Froude-Krilov Sw = área da superfície molhada do corpo flutuante p = pressão da onda não perturbada p = ρ g ekz ζa sin (ωt - kx) n = vetor normal ao corpo, apontando para a direção da água  Esta expressão é corrigida através de coeficientes que são determinados experimentalmente  Importante quando a amplitude do movimento é grande.  Em termos práticos ela pode ser aplicada quando a dimensão do corpo é bem menor que o comprimento de onda.  Se for integrada ao longo da superfície molhada instantânea do corpo, pode ser considerada não linear.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 34
  35. 35. Excitação : Força de Difração Difração é o fenômeno que ocorre quando as on- das contornam um objeto cuja dimensão é da mes- ma ordem de grandeza do seu comprimento. A Gibraltar onda ao contornar um obstáculo sofre uma varia- ção na trajetória, podendo então se combinar com outras linhas de fluxo e dessa forma produzir máxi- mos e mínimos diferentes daqueles que iriam ocor- rer se o corpo não estivesse presente.  Como resultado a pressão da onda é modificada devido à presença do cor- po. Deve ser tratada com cuidado especialmente quando λ < 5 D.  Integral da pressão ao longo do corpo, com condições de contorno associa- das à presença do corpo e diferentes das condições para massa adicional e teoria potencial.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 35
  36. 36. Excitação : Força de Morison 1 Formulação semi-empírica para a força em um corpo submetido a um fluxo semi empírica oscilatório, aplicável a corpos com dimensões muito menores que o compri- mento da onda (D < 0.05ʎ) - a onda “não sente” a estrutura. ʎ Força horizontal por unidade de comprimento H componente inercial componente viscosa du 1 Fm = ρ . A.Cm . + .ρ .D.Cd .u. u u(z,t) dt 2 z d Área seccional Coeficiente Coeficiente D de massa de arrasto adicional Diâmetro(soma de uma componente inercial em fase com a aceleração local do fluxo e uma componente viscosa de arrasto proporcionalao quadrado da velocidade do fluxo) Inicialmente desenvolvida para força de onda em cilindro vertical fixo, posteriormente ampliada para cilindro inclinado, cilindro livre, cilindro livre em correnteza, cilindro livre em ondas e cilindro livre em ondas e correnteza.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 36
  37. 37. Excitação : Força de Morison 2  Aplicações : Risers, umbilicais, linhas de ancoragem, jaquetas, pilares, pernas de jackups, bracings, etc. Fatores que afetam Cm e Cd - Número de Reynolds (para escoamento com velocidade constante) : Re = v.D / ν - Número de Keulegan-Carpenter (para escoamento oscilatório) : KC = vm.T / D - Rugosidade : ∆ = k / D Onde D = diâmetro [m] T = período da onda ou de oscilação [s] k = altura da rugosidade [m] v = velocidade total do escoamento [m/s] ν = viscosidade cinemática do fluido [m2/s] vm = velocidade orbital máxima da partícula [m/s] - Efeitos de parede - Vibração induzida por vórtices (VIV) - Comprimento finito - Distância à superfície livre - Efeito de sombra - Forma da seção transversal© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 37
  38. 38. Quiz  Em um cilindro vertical com massa desprezível, diâmetro D=1m e compri- mento submerso L=5m, em água salgada, em movimento oscilatório com amplitude de ζ=1m e período de T=10s, qual é a força medida no topo ? 𝜔= Considere Cd=1 e Cm=2. 2𝜋 = 0.628 𝑇 𝐴 = 𝜋𝐷2 /4 =0.785  du 1  F =  ρ . A.Cm . + .ρ .D.Cd .u. u  L x=ζ.sin(𝜔t) 𝑢= = ζ.cos(𝜔t)   = -ζ.sin(𝜔t) 𝑑𝑑 dt 2 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 F = −8.04 sin(0.628t ) + 2.563 cos(0.628t ) cos(0.628t ) 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 38
  39. 39. Regimes de Forças das Ondas  Regiões I e II 50 - Sem separação apreciável do escoa- VI GRANDE ARRASTO mento, efeitos viscosos confinados à camada limite, solução do problema via 10 teoria potencial. 5 V - Em I ignore a difração, aproximação de H INÉRCIA E ARRASTO Cm ≠ 0 Cd ≠ 0 FK pode ser utilizada. D DEEP WATER BREAKING WAVE CURVE - Em II considere os efeitos de difração 1 POUCO ARRASTO da onda. 0.5 III GRANDE INÉRCIA IV  Regiões III e IV - Algum arrasto, porém inércia é mais ARRASTO DESPREZÍVEL importante. 0.1 DIFRAÇÃO DESPREZÍVEL - Em III ignore a difração. 0.05 I II  Região V TOTALMENTE INERCIAL REGIÃO DE DIFRAÇÃO Cd = 0  Efeitos viscosos e potenciais importan- tes. Utilize Morrison. 0,01 0.01 0.05 0.1 0.5 1 π D 5 10 λ© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 39
  40. 40. Forças de Radiação e Restauração Forças atuantes sobre a unidade quando ela é forçada a oscilar em águas tranquilas.  A.a : Massa adicional - Proporcional à aceleração do corpo. Forças de inércia potenciais  B.v : Amortecimento potencial - Proporcional à velocidade do corpo.  B2.v.|v| : Amortecimento viscoso - Proporcional ao quadrado da velocidade  C.x : Forças de restauração hidrostática - Proporcional ao deslocamento da embarcação em relação à sua posição original© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 40
  41. 41. Forças Potenciais de Radiação As forças de radiação aparecem devido ao movimento da embarcação : a mudança no momento do fluido devido ao movimento do casco altera a distribuição de pressões ao longo do casco, induzindo as ondas.  Estas forças tem duas componentes : - Proporcional às acelerações - Proporcional às velocidades© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 41
  42. 42. O Problema a Ser Resolvido Hipótese básica : fluido invíscido onda incidente corpo em movimento onda irradiada e refratada U Conservação da massa Equações de campo dentro do fluidoEquações : Conservação do momento Equações do movimento do corpo Condições de contorno© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 42
  43. 43. Equação da Continuidade (Conservação da Massa) 1 Dρ  A variação da massa em um  Equação geral de Navier-Stokes : +∇•v = 0 volume infinitesimal é igual ρ Dt à massa que nele entra menos a massa que sai. Dρ A densidade é constante. =0  Hipótese 1: Fluido incompressível Dt então  O divergente de velocidades é nulo. ∇•v = 0 (água que entra = água que sai)  ∇×v = 0 O rotacional de velocidades é nulo.  Hipótese 2 : Movimento irrotacional  então A velocidade pode ser expressa como o v = ∇ϕ gradiente de uma função potencial.  Hipóteses 1 e 2 dão a seguinte equação do domínio do fluido : ∇ ϕ ( x, y , z , t ) = 0 2 O Laplaciano do campo de potencial de velocidades é nulo.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 43
  44. 44. Condições de Contorno ∂ϕ  No leito do oceano (z = -h) : vn = =0 A velocidade do fluido normal ao fundo é nula. ∂n  No infinito : ϕ = ϕ rad A onda não sofre perturbação no infinito. ∂ 2ϕ ∂ϕ  Na superfície livre (z = 0) : + g. =0 ∂z ∂z – Condição de contorno cinemática : uma partícula do fluido que está na superfície livre lá permanece. – Condição de contorno dinâmica : A pressão atmosférica é considerada nula pois uma pressão constante não exerce força resultante sobre o corpo. ∂ϕ A velocidade normal do fluido se iguala  No corpo : = Vn a velocidade normal do corpo. ∂n© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 44
  45. 45. Cálculo das Forças de Radiação  Forças e momentos são obtidos integrando a pressão sobre a superfície molhada média Sw 3   ∂ϕ   − ∫∫  rad (n )i .ds i = 1,2,3 6  S w  ∂t  τ rad ,i    ∂ϕ   − ∫∫  rad (r × n )i −3 .ds i = 4,5,6  S w  ∂t  1 4 5 2 força ou momento© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 45 45
  46. 46. Forças de Radiação para Movimento Regular Se o movimento da embarcação na direção i for harmônico podendo ser des- crito por : ξ i = ξ cos(ωt ) Então, após integrar a pressão sobre a superfície do casco, as forças de ra- diação na direção j devido ao movimento na direção i tomam a seguinte for- ma : τ rad , j = − Aij (ω )ξi − Bij (ω )ξ i    Os coeficientes que multiplicam às acelerações são chamados de coeficientes de massa adicional, embora nem todos tenham unidade de massa (alguns são inércia). Os termos de massa adicional nos dão as forças devido às acelerações do fluido a medida em que a embarcação oscila.  Os coeficientes proporcionais às velocidades são chamados de coeficientes de amortecimento potencial, e representam a energia transportada para longe com as ondas geradas pelo movimento do casco.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 46
  47. 47. Massa Adicional e Amortecimento 1 Relembrando, devido ao aumento movimento forçado do corpo, teremos :  A.a : Massa adicional Mesmo na ausência de on- da incidente, um corpo em - O movimento do corpo em aceleração irá mover movimento cria ondas e algum volume do fluido. portanto, forças de inércia potenciais.  B.v : Amortecimento potencial - Energia transportada para longe devido às ondas geradas pelo movimento do corpo. Massa adicional e amortecimento em afundamento para barcaça retangular simétrica  Os coeficientes de massa adicional e amortecimento dependem da : - Forma da embarcação - Velocidade de avanço - Profundidade da água© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 47
  48. 48. Massa Adicional e Amortecimento 2  As matrizes de massa adicional e amortecimento têm dimensões 6 x 6, por- tanto temos 36 coeficientes de massa adicional e 36 de amortecimento a serem calculados.  Se a estrutura não tem velocidade de avanço (ou sua velocidade é longitu- dinal), e tem um plano de simetria longitudinal, metade dos coeficientes é nulo.  Se a estrutura tem velocidade nula e não há correnteza, as matrizes de massa adicional e amortecimento são simétricas. Aij (ω ) = A ji (ω ) Bij (ω ) = B ji (ω )© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 48
  49. 49. Forças de Amortecimento Viscoso  Em um fluido real, a fricção também causa amortecimento, vórtices e o fenômeno da separação da camada limite.  B2.v.|v| : Amortecimento viscoso - Importante quando a amplitude do movimento é grande. - Devido à geração de vórtices e fricção. - Proporcional ao quadrado da velocidade.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 49
  50. 50. Forças de Restauração  C.x : Forças de restauração - Em um contexto físico, forças de restauração são forças variáveis que tentam levar um sistema perturbado de volta ao seu equilíbrio. - As forças são proporcionais ao deslocamento do corpo em torno do seu equilíbrio. - Forças hidrostáticas - Linhas de ancoragem - Risers e umbilicais para pequenos - Cabos de reboque deslocamentos - Mangotes de transferência - Etc.  Algumas forças de restauração podem ser idealizadas de modo diferente : - Leme - Estabilizadores ativos - Impelidores laterais© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 50
  51. 51. Propriedades Hidrostáticas do Casco Metacentro dx y y Centro de gravidade C L F x Centro de carena x  Área da linha d’água Awl = 2 ∫ y.dx  Volume de deslocamento da embarcação ∇  Centro de flutuação F (centro de flutuação) : xF = ∫ x. y.dx Awl  Momento de inércia longitudinal I L = 2 ∫ x . y.dx 2 2  Momento de inércia transversal I T = ∫ y 3 dx 3  Raios metacêntricos BM L = I L ∇ BM T = I T ∇© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 51
  52. 52. Forças de Restauração Hidrostáticas  Não há restauração no plano horizontal. - C33 : Restauração do heave devido ao heave C33 = ρgAwl - C35 : Restauração do heave devido ao pitch C35 = ρgxF Awl M - C44 : Restauração do roll devido ao roll C44 = ρg∇GM - C53 : Restauração do pitch devido ao heave C53 = −C35 - C55 : Restauração do pitch devido ao pitch C55 = ρg∇GM L© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 52
  53. 53. Quiz Avalie os períodos naturais de uma semi-submersível com as seguintes caracterís- ticas : • 6 colunas cilíndricas (3 por bordo) com 10m de diâmetro • 2 pontões retangulares com 15m largura, 6m altura e 90m comprimento • Calado 21m • GMT=GML=1.5m • Raio de giração x = y = 15m • Cmad22=0.7. Cmad44=Cmad55=0.3 • K33=ρgAwl • K44=ΔgGM© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 53
  54. 54. Determinando T a Resposta Teste de Modelo em Peersless Pool (Londres – 1761)© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 54
  55. 55. Teoria da Radiação-Refração John Nicholas Newman Engenheiro naval americano 1935-  As partes estruturais tem dimensões comparáveis ao comprimento da onda (grandes volumes).  Efeitos viscosos são negligenciados.  É incluída a distorção nas ondas devido à presença da estrutura.  São criadas ondas devido ao movimento da estrutura.  Teoria linear.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 55
  56. 56. Teoria Linear  Assume que a amplitude da onda é “pequena”.  Expande todas as condições de superfície livre em torno no nível médio do mar e mantém somente os termos proporcionais à amplitude da onda.  O movimento da estrutura é da mesma ordem de grandeza da amplitude da onda.  Expande todas as condições da estrutura em torno de sua posição média e mantém somente os termos proporcionais ao movimento da embarcação. ⇒ A grade computacional (modelo de painéis) é a mesma o tempo todo. Modelo linear – vista superior Modelo linear – vista inferior Modelo não-linear – vista inferior© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 56
  57. 57. Análise no Domínio da Frequência  As cargas induzidas por um mar irregular podem ser obtidas por superposição linear de componentes regulares.  Assumindo um regime permanente, com todos os efeitos transientes negligenciados, as cargas e a resposta dinâmica da estrutura está oscilando harmonicamente com a mesma frequência de encontro das ondas incidentes.  Este tipo de análise é conhecida como “análise no domínio da frequência”, e os resultados são apresentados em função da frequência de encontro. 2 S(f) RAO(f) Z(f) f f f© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 57
  58. 58. Operador de Amplitude de Resposta 1 O RAO (Response Amplitude Operator), também conhecido como Função de Transferência, é um conjunto de estatísticas da unidade flutuante, normalmente calculados para todos os seus movimentos, em todas as direções e frequências de onda ω.  Efetivamente é utilizado para determinar o efeito que um determinado estado de mar acarretará sobre o movimento da unidade.  RAO só tem sentido se assumirmos que os movimentos da unidade são lineares, ou seja, proporcionais à altura da onda, e que o princípio da superposição funciona.  Pode ser obtido de : - Predições numéricas (software) - Experimentos em tanques de prova© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 58
  59. 59. Operador de Amplitude de Resposta 2  Se considerarmos a equação do movimento [M + A(ω )] + B(ω ) x + Cx = F (ω ) x  x F0 então RAO(ω ) = = ζ a C − [ M + A(ω )]ω 2 + iB (ω )ω  RAO é a resposta à onda unitária como função do período de onda e sua direção. 2 Entrada : MAR X RAO Saída : MOVIMENTO© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 59
  60. 60. Operador de Amplitude de Resposta 3  Em boa parte das situações não nos basta a resposta RAO de amplitudes para avaliar as acelerações e movimentos em um ponto da embarcação.  Exemplo : a aceleração vertical em um ponto do bordo da embarcação depende da conjugação dos movimentos de heave, pitch e roll. Está difícil embarcar na Precisamos também dos ângulos de fase das baleeira ! respostas de modo a combiná-las adequada- mente. A função de transferência RAO é mais facilmente tratada como uma variável complexa Entrada cos(ωt ) = Re(eiωt ) Saída Re( H (ω , β )eiωt ) H (ω , β ) = F (ω , β )eiδ (ω , β ) = FR + iFC© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 60
  61. 61. RAOs de Forças e Movimentos 1 τ exc RAO de ς (t ) RAO de Carregamento Carregamento para ς i (t ) Movimento Combinação Movimento Elevação da superfície do mar ς (t ) RAO de Movimento ς i (t )© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 61
  62. 62. RAOs de Forças e Movimentos 2  RAOs de forças são representados por F(j,ω).  RAOs de movimentos são representados por H(j,ω). RAOs de forças sobre barcaça. RAOs de movimentos sobre barcaça.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 62
  63. 63. RAO de Forças  Para uma onda regular ς i = ς cos(ωt + ϕς ) as forças lineares de excitação serão : τ exc ,i = τ i (ω ) cos[ωt + ϕτi (ω )]  A amplitude e fase das forças de excitação dependem de : - Ângulo de encontro (frequência das ondas, velocidade da embarcação, ângulo de aproamento relativo às ondas) - Amplitude das ondas - Velocidade de avanço© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 63
  64. 64. Frequência de Encontro Johann Cristian Andreas Doppler Físico austríaco 1803-1853Quando estudamos o comportamento de embarcações é importanteconsiderar a frequência no qual ela encontra as ondas fe. Esta frequênciadepende da velocidade das ondas c, da velocidade da embarcação U e dadireção das ondas em relação à embarcação β. λ velocidade relativa de encontro = c − U cos β λ λ c λ Te = = cos β velocidade relativa de encontro c − U cos β 2π ωe = (c − U cos β ) β U λ c ω2 ωe = ω − U cos β em águas profundas g  Portanto, frequência de encontro é a frequência das ondas experimentada pelo navio.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 64
  65. 65. Espectro de EncontroDo ponto de vista da embarcação, o espectro da onda é transformado quandoela se encontra em movimento. Entretanto, a energia total do oceano deve serconstante, seja visto de um observador estacionário ou um que esteja semovendo. ∞ ∞ ∫ S (ω )dω = ∫ S (ω )dω 0 0 e e S (ω ) S (ωe ) = dωe dω S (ω ) em águas S (ωe ) = 2ωU profundas 1− cos β g ω [rad/s]© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 65
  66. 66. Outros Efeitos da Velocidade de Avanço Ernest Oliver Tuck Matemático australiano 1939-2009  Afundamento  Mudança no trim Sem velocidade de avanço  Queda da pressão no corpo paralelo Velocidade de avanço 13 nós RAO Heave PSV© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 66
  67. 67. Recomendações para Análise no Domínio da Frequência  Para uma análise no domínio da frequência pelo menos 30 frequências devem ser analisadas.  Um espaçamento entre frequências não maior que ζω0 deve ser utilizada  Na região da ressonância um menor espaçamento ainda deve ser utilizado.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 67
  68. 68. Carregamento Não-Linear de Ondas  Existem alguns problemas relacionados à interação ondas-estrutura que não podem ser descritos unicamente pela teoria linear.  Os problemas não lineares tentam descrever mais precisamente as condições na superfície livre e no corpo em valores instantâneos ao invés de valores médios.  Um modo conveniente de resolver este tipo de problema é utilizando a análise de perturbação.  Na teoria de segunda ordem os problemas são resolvidos até a segunda ordem da amplitude da onda incidente, ou seja, termos potenciais e de pressão proporcionais à amplitude e ao quadrado da amplitude da onda são considerados.  Os efeitos do carregamento de segunda ordem são importantes para estruturas que são mantidas em posição através de linhas de ancoragem ou sistemas de DP, ou para embarcações que sigam trajetórias definidas.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 68
  69. 69. Efeitos Não-Lineares de Onda  Forças de deriva média : Determina a posição de equilíbrio de sistemas na- corados (juntamente com o efeito de vento e correnteza). São importantes no projeto de linhas de ancoragem e sistemas de posicionamento dinâmi- co.  Forças de deriva lenta : Estas forças tem frequências muito menores que a frequência de elevação das ondas. Elas podem excitar modos de resso- nância na posição horizontal da embarcação, com períodos típicos de 1 a 2 minutos.  Forças de alta frequência : Estas forças tem componentes em frequências superiores à frequência das ondas, podendo excitar modos de ressonância na estrutura, com períodos de 2 a 4 segundos. Força Componente de baixa frequência Componente médio Componente de alta frequência Tempo© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 69
  70. 70. Evidências do Carregamento Não-Linear 1  Uma maneira simples de evidenciar os efeitos de segunda ordem no problema é olhando o termo quadrático na equação de Bernoulli : δφ 1 p+ρ + 2 ρ∇φ .∇φ = C δt então ∇φ .∇φ = V1 + V2 + V3 2 2 2  Considere o caso onde ∇φ .∇φ = V 2 + V 2 + V 2 2 2 1 2 3 então V 2 = 1 + 2 A A Componente médio Componentes de variação rápida 1 2 2 2 2 cos(2ω1t ) + cos(2ω2t ) A1 A2 Componente de + variação lenta 2 2 + A1 A2 cos[(ω1 − ω2 )t ] + A1 A2 cos[(ω1 + ω2 )t ]© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 70
  71. 71. Evidências do Carregamento Não-Linear 2  Ancoragem em SPM de petroleiro 200.000 TDW Em mar irregular as forças de deriva contém componentes com frequências coincidindo com a frequência natural dos movimentos ho- rizontais de navios ancorados. Como o amor- tecimento destes movimentos é pequeno, sua amplitude tende a ser grande.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 71
  72. 72. Análise no Domínio do Tempo  Se o sistema é linear, de modo que seu comportamento seja linearmente dependente do seu deslocamento, velocidade e aceleração, então seu comportamento pode ser estudado no domínio da frequência.  Entretanto, há casos mais complicados que violam estas hipóteses linea- res, tais como amortecimento viscoso, forças e momentos devido à cor- renteza, vento, ancoragem, sem mencionar os efeitos de segunda ordem das ondas.  Nestes casos, o princípio da super- posição não se aplica, e somos for- çados a solucionar as equações do movimento em função do tempo.  É importante para predição de car- gas extremas, slamming, slow drift, ringing e análise acoplada.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 72
  73. 73. Massa Adicional  Em fluidodinâmica, massa adicional ou massa virtual é a inércia adicionada ao sistema pois um corpo acelerando movimenta algum volume de fluido a medida em que se move.  Por simplicidade ela é modelada como algum volume do fluido se movendo com o corpo, mas na realidade “todo” o fluido é acelerado em vários graus.  O coeficiente de massa adicional é a massa adicional dividida pelo volume do fluido deslocado.  Para embarcações, a massa adicional pode facilmente atingir de 25 a 35% da massa da embarcação, representando uma inércia significativa.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 74
  74. 74. Método das Faixas (Teoria Potencial 2D) Odd Magnus Faltisen Matemático norueguês 1944-  Para corpos esbeltos o movimento do fluido pode ser formulado como um problema 2D, onde a variação do fluxo no plano trasversal da embarcação é muito maior que a variação na sua direção longitudinal.  O princípio da teoria das faixas envolve a divisão da parte submersa do corpo em um número de fatias definido. Então, os coeficientes para massa adicional podem ser calculados para cada fatia e então integrados ao longo do comprimento do corpo para obter os coeficientes 3D.  Como calcular os coeficientes para uma seção transversal de um casco real ? Plano de Balisas Cargueiro Convencional – Série BSRA© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 75
  75. 75. Transformação Conforme 1 É uma técnica matemática usada para relacionar o escoamento conhecido de um fluido (seja matematicamente ou experimentalmente) em torno de uma forma conhecida com o escoamento em torno de outra forma a qual se quer analisar.  Ela envolve uma função de transformação utilizando nú- meros complexos, que preserva os ângulos e formas locais infinitesimais.  a a a a  X = y + iz =a 0 + ζ + a1 + 2 + 3 + 4 + ... + nn−1    ζ ζ2 ζ3 ζ  © Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 76
  76. 76. Transformação Conforme 2 Johan M. J. Journeé Engenheiro naval holandês 1941-  Primeira aproximação (Lewis 1929) - A transformação era aproximada por dois coeficientes da seção : a proporção en- tre a meia boca e o calado e o coeficiente de área da seção. Bs H0 = Bs /2 Ts A σs = s As BsTs Ts  Aproximações atuais seção real seções de Lewis - Outras formulações para as seções, onde centróides da área e momentos de vá- rias ordens são utilizados.  Vantagens e desvantagens : - Soluções suaves em toda a faixa de frequência, sem irregularidades. - Cantos vivos não são bem representados. - Seções com coeficiente de área seccional muito baixa não são bem representa- dos. - Não trata áreas seccionais totalmente submersas, como proa bulbosa.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 77
  77. 77. Método dos Painéis (Teoria Potencial 3D) William John Macqueorn Rankine Engenheiro escocês 1820-1872  É um método numérico para o cálculo do escoamento potencial em torno de um corpo, onde o potencial de velocidades é representado por uma distribuição de singularidades (fontes-dipolos) sobre a superfície molhada do corpo.  Originalmente desenvolvido para quando não havia velocidade de avanço, posteriormente foi aperfeiçoado distribuindo-se fontes de Rankine sobre a superfície do corpo e a superfície livre do fluido.  O métodos dos painéis divide a superfície do navio e do fluido ao redor em elementos discretos (painéis). Em cada um destes elementos uma distribuição de fontes e sumidouros é definida, satisfazendo a equação de Laplace.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 78
  78. 78. Recomendações DNV RP-C205 Sobre os Painéis  O comprimento da diagonal dos painéis deve ser menor que 1/6 do menor comprimento de onda analisado (1/8 segundo Faltisen).  Uma malha mais densa deve ser aplicada em áreas com mudanças bruscas de geometria (cantos vivos).  Quando modelando estruturas finas de paredes com água em ambos os lados o tamanho do painel não deve exceder 3 a 4 vezes a espessura da parede.  Uma malha mais densa deve ser aplicada na região da linha d’água quando calculando forças de deriva de ondas.  Devem ser realizados testes de convergência através do aumento progressivo do número de painéis.  No cálculo de elevação da superfície da água e velocidades do fluido uma malha mais densa, da ordem de 1/10 do menor comprimento de onda, deve ser utilizada.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 79
  79. 79. Cuidados Adicionais Thor I. Fossen Engenheiro naval norueguês 1963-  Interação entre vários corpos (por ex., FPSO e aliviador lado a lado).  Águas rasas ou restritas (aumento da massa adicional e efeitos de difração não lineares).  Efeitos do moonpool. Dependendo das suas dimensões, o RAO de heave pode ser fortemente influenciado pelo movimento do fluido dentro do moonpool.  Sloshing nos tanques. Dependendo dos movimentos do corpo na ressonância e da oscilação do fluido nos tanques, pressões de amplificação dinâmica nas paredes do fluido podem ocorrer.© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 80
  80. 80. Bibliografia Recomendada  F. M. Lewis. (1929) “The Inertia of Water Surrounding a Vibrating Ship”, Transactions, SNAME.  Faltinsen, O.M. (1990) “Sea Loads on Ships and Offshore Structures”, Cambridge University Press, Cambridge, UK  Newman, J.N. (1977) “Marine Hydrodynamics”, MIT Press, Cambridge, MA, USA  Sarpkaya, T (1979) “Mechanics of Wave Forces on Offshore Structures”, Van Nostrand Reinhold Company, New York, USA  Jensen, J.J. (2001) “Load and Global Response of Ships”, Elsevier Science Ltd., Oxford, UK  Chakrabarti, S.K. (2003) “Hydrodynamics of Offshore Structures”, WIT Press, Southampton, UK  Fossen, T.I. (1994) “Guindance and Control of Ocean Vehicles”, John Wiley & Sons, Chichester, England© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 81
  81. 81. Dúvidas www.dnv.com.br Salvaguardando a vida, a propriedade e o meio ambiente João Henrique Volpini Mattos ? Engenheiro Naval DNV Software - Maritime & Offshore Solutions Regional Sales Manager – South America  joao.volpini@dnv.com  +55 21 3722 7337  +55 21 8132 8927 • Slide 82© Det Norske Veritas Ltda. Todos os direitos reservados. Slide 82

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