Sinais senoidais

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Sinais senoidais

  1. 1. Campus Serra COORDENADORIA DE AUTOMAÇÂO INDUSTRIAL Disciplina: ELETRÔNICA BÁSICA Professor: Vinícius Secchin de Melo Sinais Senoidais Os sinais senoidais são utilizados para se representar tensões ou correntes elétricas do tipoalternadas. A figura 1.1 mostra a forma de onda de uma tensão senoidal que pode ser escritamatematicamente da seguinte forma: v  t = Vmáx sen   t  Vmáx Vmáx - Vmáx T Figura 1.1 Observe que as funções senoidais são periódicas, ou seja, realizam ciclos iguais em intervalosde tempos iguais. Ao tempo de duração de um ciclo de uma função periódica chamamos de período(T). O inverso do período é o número de ciclos realizados por segundo, ou freqüência (f) da funçãosenoidal, sendo assim: 1 f= T A unidade de freqüência no SI é o Hertz (Hz) e o tempo é dado em segundos (s). É muito comum trabalharmos também com a freqüência angular  dada em rad/s, cujasrelações com freqüência e período seguem abaixo. 2 =2 f e = T Observando as expressões acima, podemos concluir que a função senoidal realizará um ciclo,toda vez que  t for um múltiplo inteiro de 2π rad. Um outro parâmetro a ser observado é a amplitude da função que no caso varia de um - V máxa um Vmáx, que são chamados de valores de pico. Se medimos tensões elétricas, serão as tensões depico (Vp); se medimos correntes elétricas, serão as correntes de pico (ip). Podemos ainda representara sua amplitude pelos os valores de pico a pico (V pp), que é a diferença entre o máximo e o mínimoalcançado pela função. Em alguns casos, podemos ter a função começando fora da origem, ou seja, defasadaangularmente da origem. Esta defasagem é observada no argumento da função, é um número fixorepresentado em nossa função pela letra grega  . Quando trabalhamos com tensões e correntes senoidais, devemos atentar ao seu valor eficaz,que é o valor de tensão ou corrente alternada que produz a mesma eficiência, leia-se potência, queuma tensão ou corrente contínua. Se você comparar o efeito térmico produzido em um resistor que éalimentado por uma tensão contínua de 10 V e uma tensão alternada de 10 Vp, verá que esta é emtorno de 70,7% da eficiência em relação àquela. Sendo assim, é fácil de se perceber que o valor depico de uma tensão alternada deve ser maior que o seu valor eficaz. pg 1/13
  2. 2. Sendo assim: V eficaz =0,707V máx O valor eficaz de uma função senoidal, também conhecido com valor rms, é definido como araiz quadrada do valor médio da função ao quadrado, que também pode ser escrito como: Vmáx V rms= 2 O valor rms de uma função senoidal não depende da freqüência e nem do ângulo de fase oudefasamento, e sim apenas de sua amplitude. O termo rms vem do original em inglês root meansquare. Os valores nominais de tensão e corrente de equipamentos que funcionam em correntealternada já são em valores eficazes, não necessitando assim a operação matemática paradescobrir seu valor. Os aparelhos de medições de tensão e corrente senoidais ou alternadas também já nosfornecem em sua leitura os valores eficazes de tensão e corrente, com exceção do osciloscópios quenos mostram a forma de onda de tensão senoidal ou alternada.Exemplo 1:Dada as seguintes funções senoidais, determine suas amplitudes, freqüência, fase iniciale seu valor eficaz.a) v(t) = 180 sen (377t) [V] A=180 V =377 rad/s 2 f=377 377 f= =60 Hz 2 o =0 Vmáx 180 V rms= ⇒ V rms= =127 V 2 2b) i(t) = 25 sen (6283,2t – 45o) [mA] −3 A=25x10 A =6283,2 rad/s 2 f=6283,2 6283,2 f= =1000Hz=1kHz 2 o =−45 imáx −3 25x10 −3 irms= ⇒ irms= =17,7 x10 A 2 2 pg 2/13
  3. 3. c) v(t) = 75 sen (3769,9t + 90o) [mV] −3 A=75x10 A =3769,9 rad/s 2 f=3769,9 3769,9 f= =600Hz 2 o =90 Vmáx 75 V rms= ⇒ V rms= =53,04 V 2 2Exemplo 2: Dados o gráficos das seguintes funções senoidais, determine sua função matemática eseu valor eficaz.a) 2 1 .5 1 0 .5 V (V ) 0 -0 .5 -1 -1 .5 -2 0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 0 .0 5 0 .0 6 0 .0 7 0 .0 8 0 .0 9 0 .1 t(s )1- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de picosimétricos, ou seja: Vp = 2V2- Período: Observe que temos visivelmente um ciclo em um intervalo de 0,05 s, então: T= 0,05 s = 50 ms 1 13- Frequência: f= = =20Hz T 0,054- Frequência angular: =2  f =2 . .20=125,66 rad/s5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0 V, então: =0o6- Expressão matemática: v(t) = 2 sen (125,66t) [V] pg 3/13
  4. 4. b) 0 .0 2 5 0 .0 2 0 .0 1 5 0 .0 1 0 .0 0 5 V (V ) 0 -0 .0 0 5 -0 .0 1 -0 .0 1 5 -0 .0 2 -0 .0 2 5 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 t(s ) -3 x 101- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de picosimétricos, ou seja: Vp = 25 mV2- Período: Neste caso temos 3 metades de ciclo em 1 ms, desta forma o período será: −3 10 T=2 x =0,66ms 3 1 13- Frequência: f= = =1500Hz T 0,66x10−34- Frequência angular: =2  f =2 . .1500=9424,8 rad/s5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0 V, então: =0o6- Expressão matemática: v(t) = 25 sen (9424,8t) [mV] pg 4/13
  5. 5. c) 1 0 ,8 6 6 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 V (V ) 0 -0 .2 -0 .4 -0 .6 -0 .8 -1 0 0 .0 1 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 0 .0 5 0 .0 6 0 .0 7 0 .0 8 0 .0 9 0 .1 t(s )1- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de picosimétricos, ou seja: Vp = 1 V2- Período: O ciclo se inicia entre 0,02 e 0,03 s, aproximadamente 0,025 s. O seu término aconteceem 0,1 s, então: T = 0,1 – 0,025 = 0,075 s 1 13- Frequência: f= = =13,33 Hz T 0,0754- Frequência angular: =2  f =2 . .13,33=83,77rad/ s5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0,866 V, significa dizer que a onda estádefasada. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidalsubstituindo os seguintes valores:v  t = Vmáx sen   t  0,866=1 sen  x00,866=sen  o=606- Expressão matemática: v(t) = 1 sen (83,77t+60o) [V] pg 5/13
  6. 6. d) 2 .5 2 1 .5 1 0 .5 V (V ) 0 -0 .5 -1 -1 ,2 5 -1 .5 -2 -2 .5 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 t(s ) -4 x 101- Amplitude ou valor de pico: visualmente podemos perceber que este sinal possui valores de picosimétricos, ou seja: Vp = 2,5 V2- Período: O ciclo se inicia entre 0 e 0,1x10 -4 s, aproximadamente 0,08x10-4 s. O seu términoacontece em 1x10-4 s, então: T = 1x10-4 – 0,08x10-4 = 0,92x10-4 s 1 13- Frequência: f= = =10869,56 Hz T 0,92x10−44- Frequência angular: =2  f =2 . .10869,56=68265,49rad/s5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 0,866 V, significa dizer que a onda estádefasada. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemática do sinal senoidalsubstituindo os seguintes valores:v  t = Vmáx sen   t  −1,25=1 sen  x0−1,25=sen  o=306- Expressão matemática: v(t) = 2,5 sen (68295,49t+30o) [V] pg 6/13
  7. 7. e) 4 3 2 V (V ) 1 0 -1 -2 0 0 .0 0 5 0 .0 1 0 .0 1 5 0 .0 2 0 .0 2 5 0 .0 3 t(s )1- Amplitude ou valor de pico: Observe que esta forma de onda não possui os valores máximosmínimos simétricos, então dizemos que a mesma possui um offset (nível DC (contínuo) adicionadoao sinal senoidal), causando um deslocamento na vertical. Isto é fácil de se perceber, pois a suareferência não se encontra mais no eixo “x”, ou seja, em 0 V. Neste caso procederemos da seguinte forma: 1.1- Determina-se o valor do offset como sendo a média dos valores máximos superior einferior: V  V min V offset = max 2 4−2 V offset = =1 V 2 1.2- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como: V p= Vmax − Voffset V p=4−1=3 V Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 3V.2- Período: Neste caso temos 3 metades de ciclo em 0,03 s, desta forma o período será: 0,03 T=2 x =0,02 s 3 1 13- Frequência: f= = =50Hz T 0,024- Frequência angular: =2  f =2 . .50=314,16 rad/s5- Defasamento: Observe que para t=0 s, a tensão vale 1 V. Apesar de possuir valor diferente sezero, não caracteriza um defasamento, pois lembre-se que devido ao offset o referencial agora estáem 1 V. Sendo assim, =0o .6- Expressão matemática:Para o caso com offset, será da forma: vt =V offsetV máx sen t v(t) = 1 + 3sen (314,16t) [V] pg 7/13
  8. 8. f) 3 2 1 0 -1 V (V ) -2 -3 -4 -5 -6 -7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t(m s )1- Amplitude ou valor de pico: Observe que esta forma de onda também não possui os valoresmáximos mínimos simétricos, ou seja, possui um offset. Neste caso repetiremos os procederemos do exemplo anterior 1.1- Determina-se o valor do offset como sendo a média dos valores máximos superior einferior: V  V min V offset = max 2 3−7 V offset = =−2 V 2 1.2- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como: V p= Vmax − Voffset V p=3−−2=5 V Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 5V.2- Período: Neste caso podemos perceber claramente um ciclo: T=4ms 1 13- Frequência: f= = =250 Hz T 4x10−34- Frequência angular: =2  f =2 .  .250=1570,79 rad/s5- Defasamento: Observe que para t=0 s, a tensão vale –2 V. Apesar de possuir valor diferente sezero, não caracteriza um defasamento, pois lembre-se que devido ao offset o referencial agora estáem –2 V. Sendo assim, =0o .6- Expressão matemática:Para o caso com offset, será da forma: vt =V offsetV máx sen t v(t) = –2 + 5sen (1570,79t) [V] pg 8/13
  9. 9. g) 9 8 ,1 2 1 8 7 V (V ) 6 5 4 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t(m s )1- Amplitude ou valor de pico: Mais uma vez percebemos que nesta forma de onda, o valoresmáximos e mínimos da tensão não são simétricos, sendo assim, existe um offset. Utilizando asfórmulas anteriores temos: V  V min V offset = max 2 93 V offset = =6 V 2 1.2- determina-se o valor de pico (amplitude) da função senoidal sem offset como: V p= Vmax − Voffset V p=9−6=3 V Sendo assim a amplitude da senóide sem offset será A = 3V.2- Período: Observe que entre 5 e 8 ms temos meio ciclo da senóide, sendo mais preciso e porinspeção, podemos supor que o início ocorre em 5,1 ms sendo uma boa aproximação. Desta forma: T=2x8−5,1=5,8ms 1 13- Frequência: f= = =172,41 Hz T 5,8x10−34- Frequência angular: =2  f =2 . .172,41=1083,30 rad/ s5- Defasamento: Como para t=0 s o valor da tensão é de 8,121 V ≠ 6 V (offset – vide exemplos e) ef)), caracteriza um defasamento. O defasamento será calculado utilizando a expressão matemáticado sinal senoidal substituindo os seguintes valores:vt =V offsetV máx sen  t8,121=63sen x0 8,121=63sen 8,121−6sen = =0,707 3 o=456- Expressão matemática: v(t) = 6 + 3sen (1083,30t+45o) [V] pg 9/13
  10. 10. Exemplo 3: Determine o valor instantâneo da seguinte função senoidal para os instantes de tempo:T/8; T/4; T/2; 5T/8 e 3T/4.a) v(t) = 3 + sen (1500t + 30o) Primeiramente devemos transformar o defasamento de graus para radianos para se efetuar aconta: graus x  rad = o 180 o 30 x   rad = = rad 180o 6  Reescrevendo então a expressão: vt =3sen 1500t  6 Calculando o período, temos: 2 = T 2 1500=  T =4,18 ms T - Para t1 = T/8 = 4,18/8 = 0,52 ms = 0,52x10-3 s −3  vt 1 =3sen 1500.0,52x10   6 vt 1 =3sen0,780,52 vt 1 =3sen 1,30 vt 1 =3,96 V - Para t2 = T/4 = 4,18/4 = 1,045 ms = 1,045x10-3 s −3  vt 2 =3sen 1500.1,045 x10   6 vt 2 =3sen 1,56750,52 vt 2 =3sen 2,0875 vt 2 =3,87 V - Para t3 = T/2 = 4,18/2 = 2,09 ms = 2,09x10-3 s −3  vt 3 =3sen 1500.2,09x10   6 vt 3 =3sen 3,1350,52 vt 3 =3sen 3,655 vt 3 =2,51 V - Para t4 = 5T/8 = 5x4,18/8 = 2,6125 ms = 2,6125x10-3 s −3  vt 4 =3sen 1500.2,6125 x10   6 vt 4 =3sen3,920,52 vt 4 =3sen 4,43 vt 4 =2,04 V - Para t5 = 3T/4 = 3x4,18/4 = 3,135 ms = 3,135x10-3 s −3  vt 5 =3sen 1500.3,135 x10   6 vt 5 =3sen 4,70250,52 vt 5 =3sen 5,2225 vt 5 =2,12 V pg 10/13
  11. 11. Exercícios:1- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 300 sen (120 π t + 30o).a) qual o período da tensão em milissegundos?b) qual a frequencia em Hz?c) qual o valor de v em t = 2,778 ms?d) qual o valor rms de v?e) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.2- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 40 sen (2513,27 t + 36,87o). Determine:a) a frequencia em Hz.b) o período em milissegundos.c) valor rms de v.d) o defasamento em graus e radianos.e) o valor de v em t = 2,1 ms.f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.3- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 5 + 3sen (500t + 25o). Determine:a) a frequencia em Hz.b) o período em milissegundos.c) valor rms de v.d) o defasamento em graus e radianos.e) o valor de v em t = 8,2 ms.f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.4- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = –2 + 6sen (3500t – 65o). Determine:a) a frequencia em Hz.b) o período em milissegundos.c) valor rms de v.d) o defasamento em graus e radianos.e) o valor de v em t = 0,5 ms.f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.5- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 180sen (377t – 25o). Determine:a) a frequencia em Hz.b) o período em milissegundos.c) valor rms de v.d) o defasamento em graus e radianos.e) o valor de v em t = 10 ms.f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos.6- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = –15sen (2500t + 55o). Determine:a) a frequencia em Hz.b) o período em milissegundos.c) valor rms de v.d) o defasamento em graus e radianos.e) o valor de v em t = 1,2 ms.f) esboçe o sinal para pelo menos 2 ciclos. pg 11/13
  12. 12. 7- Dados os gráficos a seguir, escreva suas respectivas funções matemáticas.a) 3 2 ,1 2 1 2 1 V (V ) 0 -1 -2 -3 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 t(m s )b) 3 2 1 0 -1 V (V ) -2 -3 -4 -5 -6 -7 0 0 .5 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5 5 t(m s )c) 7 6 .5 6 5 .5 V (V ) 5 4 .5 4 3 .5 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t(m s ) pg 12/13
  13. 13. d) 15 10 5 V (V ) 0 -5 -1 0 -1 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t(m s )e) 4 3 .5 3 2 .5 V (V ) 2 1 .5 1 0 .5 0 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 0 .6 0 .7 0 .8 0 .9 1 t(m s )f) -1 -2 ,5 -2 -3 V (V ) -4 -5 -6 -7 0 50 100 150 200 250 300 t(m s ) pg 13/13

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