Princípios de Comunicação - UFPI

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Princípios de Comunicação - UFPI

  1. 1. An´alise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distor¸c˜ao Energia, Potˆencia e Autocorrela¸c˜ao AULA 02: AN´ALISE E TRANSMISS˜AO DE SINAIS Prof. Dr. Lu´ıs Gustavo Mota Souza Disciplina: Princ´ıpios de Comunica¸c˜ao Universidade Federal do Piau´ı Curso de Engenharia El´etrica Teresina-PI, Brasil.
  2. 2. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Roteiro 1 Análise de Fourier 2 Sistemas Lineares 3 Filtros 4 Distorção 5 Energia, Potência e Autocorrelação
  3. 3. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Sinais Um sinal representa um conjunto de informações ou dados Sinais são funções do tempo Em comunicações, os sinais podem representar uma tensão ou uma corrente elétrica A medida da força de um sinal pode ser feita de duas maneiras: Energia de um sinal Potência de um sinal
  4. 4. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Energia e potência Seja g(t) um sinal qualquer A energia de g(t) representada por Eg é definida como: Eg = ∞ −∞ |g(t)|2 dt A potência de g(t) representada por Pg é definida como: Pg = lim T→∞ 1 T T/2 −T/2 |g(t)|2 dt O valor RMS de g(t) é igual a Pg
  5. 5. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Potência de sinais periódicos Um sinal é periódico se para alguma constante positiva T0, g(t) = g(t + T0) ∀t O menor valor de T0 é o período de g(t) Quando g(t) é periódico, então Pg pode ser calculada a partir da expressão: Pg = 1 T0 T0 |g(t)|2 dt
  6. 6. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplos Calcular a energia e a potência do sinal abaixo:
  7. 7. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplos Calcular a energia e a potência do sinal abaixo:
  8. 8. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Análise de Fourier A análise de Fourier (séries e transformadas) é utilizada na análise de sinais As séries de Fourier são usadas para analisar sinais periódicos A transformada de Fourier pode ser utilizada tanto na análise de sinais aperiódicos quanto periódicos A representação de um sinal em séries de Fourier pode ser comparada com a representação de um vetor em componentes de uma base de um espaço vetorial Nas séries de Fourier, um sinal é representado como a soma de componentes em uma base de funções ortogonais (senos, cossenos ou exponenciais)
  9. 9. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Série Trigonométrica Seja x(t) um sinal periódico com período T0 x(t) pode ser representado em séries de Fourier como: x(t) = a0 + ∞ n=1 an cos (nω0t) + bn sin (nω0t) Sendo, a0 = 1 T0 T0 x(t)dt an = 2 T0 T0 x(t) cos nω0tdt bn = 2 T0 T0 x(t) sin nω0tdt
  10. 10. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Série Trigonométrica Compacta Outras representações podem ser obtidas para a série de Fourier A série de Fourier pode ser escrita na forma compacta como: x(t) = C0 + ∞ n=1 Cn cos (nω0t + θn) Sendo os coeficientes C0, Cn e θn obtidos a partir de a0, an e bn de acordo com as relações C0 = a0 Cn = a2 n + b2 n θn = arctan −bn an
  11. 11. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Série Exponencial de Fourier A partir das relações de Euler, pode-se obter a série exponencial de Fourier, que é dada por: x(t) = ∞ n=−∞ Dnejnω0t Dn = 1 T0 T0 x(t)e−jnω0t dt Pode-se mostrar que: Dn = an − jbn 2 = Cn 2 ejθn e D−n = an + jbn 2 = Cn 2 e−jθn , n ∈ N Além disso, a0 = C0 = D0
  12. 12. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplos Obter as representações em série de Fourier para o sinal abaixo:
  13. 13. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Teorema de Parseval O teorema de Parseval permite calcular a potência de um sinal a partir do espectro de amplitude do sinal Segundo o teorema de Parseval, a potência de um sinal periódico é igual a soma das potências das componentes da série, ou seja: Px = C2 0 + 1 2 ∞ n=1 C2 n Px = ∞ n=−∞ |Dn|2 = D2 0 + 2 ∞ n=1 |Dn|2 Este teorema é particularmente útil se avaliar o peso de cada harmônica em um sinal periódico qualquer
  14. 14. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transformada de Fourier Para sinais aperiódicos, a representação em frequência pode se obtida a partir das séries de Fourier no limite T0 → ∞ Para um sinal g(t), tem-se: G(ω) = F[g(t)] e g(t) = F−1 [G(ω)] g(t) ↔ G(ω) G(ω) = ∞ −∞ g(t)e−jωt dt g(t) = 1 2π ∞ −∞ G(ω)ejωt dω ω = 2πf G(f) = ∞ −∞ g(t)e−j2πft dt g(t) = ∞ −∞ G(f)ej2πft df
  15. 15. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Amplitude e Fase do Espectro G(ω) é em geral uma função complexa de ω G(ω) = |G(ω)|ejθg Quando g(t) é real, tem-se: G(−ω) = G∗ (ω) =⇒ |G(ω)| = |G(−ω)| θg(ω) = −θg(−ω)
  16. 16. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Calcular a transformada de Fourier de g(t) = e−atu(t), a > 0 G(ω) = 1 a+jω = 1√ a2+ω2 e−j arctan (ω/a)
  17. 17. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transformadas de algumas funções A função retangular (Unit Gate) é definida como: Π( x τ ) = rect( x τ ) =    0, |x| > τ 2 1 2, |x| = τ 2 1, |x| < τ 2   
  18. 18. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transformadas de algumas funções g(t) = rect( t τ ) ⇐⇒ G(ω) = τ sin ωτ/2 ωτ/2 = τsinc( ωτ 2 ) A função sinc(x) = sin x x possui as seguintes propriedades: sinc(x) = sinc(−x) sinc(x) = 0 =⇒ sin x = 0, x = 0 =⇒ x = ±nπ; n = {1, 3, · · · } sinc(0) = 1 sinc(x) é uma função com período 2π que decresce de acordo com 1/x
  19. 19. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transformadas de algumas funções O espectro do pulso retangular se estende até infinito (largura de banda infinita) Uma estimativa grosseira: 2π/τ rad/s ou 1/τHz
  20. 20. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transformadas de algumas funções Impulso no tempo δ(t) ⇐⇒ 1 Impulso em frequência 1 ⇐⇒ 2πδ(ω) Impulso em frequência deslocado ejω0t ⇐⇒ 2πδ(ω − ω0) e−jω0t ⇐⇒ 2πδ(ω + ω0)
  21. 21. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transformadas de algumas funções Cosseno cos ω0t = 1 2 (ejω0t + e−jω0t ) F[cos ω0t] = π[δ(ω + ω0) + δ(ω − ω0)] Seno sin ω0t = 1 2j (ejω0t − e−jω0t ) F[sin ω0t] = πj[δ(ω + ω0) − δ(ω − ω0)]
  22. 22. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Propriedades da Transformada de Fourier Simetria g(t) ⇐⇒ G(ω) G(t) ⇐⇒ 2πg(−ω) Example rect( t τ ) ⇐⇒ τsinc( ωτ 2 ) τsinc( tτ 2 ) ⇐⇒ 2πrect( ω τ )
  23. 23. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Propriedades da Transformada de Fourier Scaling g(t) ⇐⇒ G(ω) g(at) ⇐⇒ 1 |a| G( ω a ) a > 1, compressão no tempo resulta na expansão em frequência a < 1, expansão no tempo resulta na compressão em frequência
  24. 24. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Propriedades da Transformada de Fourier Deslocamento no tempo g(t) ⇐⇒ G(ω) g(t − t0) ⇐⇒ e−jωt0G(ω) Deslocamento em frequência g(t) ⇐⇒ G(ω) g(t)ejω0t ⇐⇒ G(ω − ω0) Sinal Modulado g(t) cos ω0t ⇐⇒ 1 2 [G(ω − ω0) + G(ω + ω0)]
  25. 25. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Propriedades da Transformada de Fourier Convolução g(t) ∗ w(t) = ∞ −∞ g(τ)w(t − τ)dτ Convolução no tempo g1(t) ⇐⇒ G1(ω); g2(t) ⇐⇒ G2(ω) g1(t) ∗ g2(t) ⇐⇒ G1(ω)G2(ω) Convolução em frequência g1(t) ⇐⇒ G1(ω); g2(t) ⇐⇒ G2(ω) g1(t)g2(t) ⇐⇒ 1 2π G1(ω) ∗ G2(ω)
  26. 26. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Propriedades da Transformada de Fourier Diferenciação no tempo g(t) ⇐⇒ G(ω) dg(t) dt ⇐⇒ jωG(ω) Integração no tempo g(t) ⇐⇒ G(ω) t −∞ g(τ)dτ ⇐⇒ G(ω) jω + πG(0)δ(ω)
  27. 27. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Sistemas Lineares Para um sistema LIT, a relação entre a entrada e a saída é dada por y(t) = g(t) ∗ h(t) No domínio da freqüência, tem-se Y(ω) = G(ω)H(ω) = |Y(ω)|eθy (ω) = |G(ω)||H(ω)|e[θg(ω)+θh(ω)] Portanto, |Y(ω)| = |G(ω)||H(ω)| θy (ω) = θg(ω) + θh(ω)
  28. 28. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transmissão sem Distorção Em uma transmissão sem distorção, a forma de onda de entrada deve ser preservada Toleram-se atrasos e uma alteração uniforme na amplitude y(t) = kg(t − td ) No domínio da freqüência, tem-se Y(ω) = kG(ω)e−jωtd → H(ω) = ke−jωtd Resposta em amplitude constante - |H(ω)| = k Resposta em fase linear - θh(ω) = −ωtd
  29. 29. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Transmissão sem Distorção O atraso pode ser representado pelo negativo da inclinação da resposta em fase td (ω) = − dθh dω td (ω) constante implica que todas as componentes do sinal são igualmente atrasadas por td Para um sistema sem distorção, td (ω) deve ser pelo menos constante na banda de interesse
  30. 30. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Para o circuito RC, determinar H(ω), esboçar |H(ω)|, θh(ω) e td (ω). Para que a transmissão seja sem distorção, qual o requisito da largura de banda de g(t) se a variação tolerada na resposta em amplitude é de 2% e de 5% no atraso? Qual é o atraso? Encontre y(t).
  31. 31. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo H(ω) = 1 1 + jωRC = a a + jω ; a = 1 RC = 106 |H(ω)| = a √ a2 + ω2 ≃ 1; ω ≪ a θh(ω) = − arctan ω a ≃ − ω a ; ω ≪ a td (ω) = − dθh dω = a ω2 + a2 ≃ 1 a = 10−6 ; ω ≪ a
  32. 32. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo
  33. 33. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Como H(0) = 1 e td (0) = 1/a, a região de transmissão sem distorção é calculada como |H(ω0)| = a a2 + ω2 0 ≥ 0, 98 → ω0 ≤ 203.000 td (ω0) = a ω2 0 + a2 ≥ 0, 95 a → ω0 ≤ 229.400 Assim, a banda de g(t) deve ser menor que 203.000 rad/s ou 32,31 kHz
  34. 34. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Filtros Ideais Em muitas situações práticas é necessário limitar o espectro de freqüências de um sinal Melhor aproveitamento do espectro Componentes de alta freqüência de pouca relevância na aplicação considerada Os filtros ideais permitem que a transmissão ocorra sem distorção em uma determinada banda e suprimem as freqüências fora dessa banda Os principais tipos de filtros são: Passa-baixas (Low-pass) Passa-altas (High-pass) Passa-faixas (Band-pass) Rejeita-faixas
  35. 35. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Filtros Ideais
  36. 36. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Filtros Ideais Os filtros ideais não são fisicamente realizáveis H(ω) = rect ω 2W e−jωtd → h(t) = W π sinc[W(t − td )] h(t) é não causal e portanto não é fisicamente realizável Outra forma de verificar se um filtro é fisicamente realizável é verificar se ele atende o critério de Paley-Wiener ∞ −∞ | ln |H(ω)|| 1 + ω2 dω < ∞
  37. 37. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Filtros Realizáveis Filtros fisicamente realizáveis podem ser obtidos truncando-se a parte negativa de h(t), resultando em ˆh(t) = h(t)u(t) Se td é grande, h(t) e ˆh(t) são bastante próximos ˆH(ω) é uma boa aproximação
  38. 38. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Filtros Realizáveis Os filtros práticos não realizam cortes bruscos O espectro de amplitude do filtro de Butterworth se aproxima do filtro ideal quando n → ∞
  39. 39. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Filtros de Butterworth para n = 4
  40. 40. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Tipos de Distorção Os sinais quando são transmitidos através de canais estão freqüentemente sujeitos à distorção Características não ideais dos canais Os principais tipos de distorção são os seguintes: Distorção linear Distorção causada por não linearidades do canal Distorção causada por efeitos de multipercurso Desvanecimento (Fading)
  41. 41. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Distorção Linear Quando as características do canal não são ideais, as componentes de Fourier não são igualmente afetadas Componentes que se cancelavam podem não mais se cancelar O resultado é o espalhamento ou dispersão dos pulsos de informação
  42. 42. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Distorção Causada por Não Linearidades do Canal O modelo de canal linear é válido apenas para pequenos sinais Para grandes amplitudes, as características não lineares não podem ser negligenciadas y = f(g) = a0 + a1g(t) + a2g2 (t) + · · · + ak gk (t) + · · · Se g(t) tem largura de banda de B Hz, então gk (t) tem largura de banda de kB Hz Espalhamento ou dispersão espectral Nocivo para sistemas multiplexados em freqüência (FDM)
  43. 43. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo y(t) = x(t) + 0, 001x2 (t) x(t) = 1000 π sinc(1000t)
  44. 44. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Distorção Causada por Efeitos de Multipercurso O sinal transmitido pode chegar no receptor através de dois ou mais caminhos A atenuação e o atraso podem ser diferentes para cada caminho A interferência entre os dois sinais dá origem ao desvanecimento seletivo em freqüência
  45. 45. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Energia de um Sinal A energia de um sinal g(t) pode ser calculada no domínio do tempo a partir da seguinte expressão Eg = ∞ −∞ |g(t)|2 dt No domínio da freqüência, de acordo com o teorema de Parseval, a energia de g(t) pode ser calculada como Eg = 1 2π ∞ −∞ |G(ω)|2 dω
  46. 46. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Densidade Espectral de Energia A partir da expressão de Parseval verifica-se que a energia pode ser obtida através da área do gráfico de |G(ω)|2 Define-se então a densidade espectral de energia (DEE - ESD em inglês) como Ψg(ω) = |G(ω)|2 Assim, tem-se que: Eg = 1 2π ∞ −∞ Ψg(ω)dω = ∞ −∞ Ψg(f)df Para um sistema LIT em que y(t) = h(t) ∗ g(t), então: Ψy (ω) = |H(ω)|2 Ψg(ω)
  47. 47. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Largura de Banda Essencial O espectro da maioria dos sinais se estende até o infinito Entretanto, como a energia é em geral finita, o espectro de amplitude tende a zero quando ω → ∞ Pode-se então suprimir as componentes acima de B Hz (2πB rad/s) com pouco efeito no sinal original Segundo esse critério, a largura de banda B é chamada de largura de banda essencial O critério para estimar B depende da aplicação considerada Faixa de freqüência que contém 95% da energia do sinal
  48. 48. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Problema Estime a largura de banda essencial W em rad/s do sinal e−atu(t), a > 0, sendo que essa banda deve conter 95% da energia do sinal. Solução g(t) = e−at u(t) ↔ G(ω) = 1 jω + a Eg = ∞ 0 e−2at = 1 2π ∞ −∞ 1 ω2 + a2 dω = 1 2a 0, 95 1 2a = 1 2π W −W 1 ω2 + a2 dω → W = (12, 706.a)rad/s
  49. 49. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Problema Estime a largura de banda essencial W em rad/s do sinal e−atu(t), a > 0, sendo que essa banda deve conter 95% da energia do sinal. Solução g(t) = e−at u(t) ↔ G(ω) = 1 jω + a Eg = ∞ 0 e−2at = 1 2π ∞ −∞ 1 ω2 + a2 dω = 1 2a 0, 95 1 2a = 1 2π W −W 1 ω2 + a2 dω → W = (12, 706.a)rad/s
  50. 50. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Energia de Sinais Modulados Seja g(t) um sinal em banda básica limitado em banda a B Hz (2πB rad/s) com DEE igual a Ψg(ω) Seja ϕ(t) = g(t) cos ω0t um sinal modulado em amplitude, com ω0 ≥ 2πB, tem-se que: Φ(ω) = F{ϕ(t)} = 1 2 [G(ω + ω0) + G(ω − ω0)] Ψϕ(ω) = |Φ(ω)|2 = 1 4 |G(ω + ω0) + G(ω − ω0)|2 = 1 4 |G(ω + ω0)|2 + |G(ω − ω0)|2 = 1 4 Ψg(ω + ω0) + Ψg(ω − ω0)
  51. 51. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Energia de Sinais Modulados Assim, a energia do sinal modulado corresponde à metade da energia do sinal em banda básica, ou seja Eϕ = 1 2 Eg
  52. 52. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Autocorrelação A autocorrelação de um sinal real g(t) é definida como ψg(τ) = ∞ −∞ g(t)g(t + τ)dt = ∞ −∞ g(t)g(t − τ)dt Mostra-se que a autocorrelação é uma função par Um resultado importante relaciona a autocorrelação e a DEE ψg(τ) ⇐⇒ Ψg(ω) = |G(ω)|2
  53. 53. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Problema Calcule a função de autocorrelação no tempo de g(t) = e−atu(t), a > 0 e obtenha a partir dela a DEE de g(t) Solução g(t) = e−at u(t); g(t − τ) = e−a(t−τ) u(t − τ) ψg(τ) = ∞ −∞ g(t)g(t − τ)dt = 1 2a e−aτ , τ > 0 ψg(τ) = ψg(−τ) → ψg(−τ) = 1 2a eaτ , τ < 0 ψg(τ) = 1 2a e−a|τ| ⇐⇒ Ψg(ω) = 1 ω2 + a2
  54. 54. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo Problema Calcule a função de autocorrelação no tempo de g(t) = e−atu(t), a > 0 e obtenha a partir dela a DEE de g(t) Solução g(t) = e−at u(t); g(t − τ) = e−a(t−τ) u(t − τ) ψg(τ) = ∞ −∞ g(t)g(t − τ)dt = 1 2a e−aτ , τ > 0 ψg(τ) = ψg(−τ) → ψg(−τ) = 1 2a eaτ , τ < 0 ψg(τ) = 1 2a e−a|τ| ⇐⇒ Ψg(ω) = 1 ω2 + a2
  55. 55. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Exemplo
  56. 56. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Potência de um Sinal A potência de um sinal g(t) é definida como Pg = lim T→∞ 1 T T/2 −T/2 g2 (t)dt A potência pode ser interpretada como sendo a energia média da versão truncada de g(t), definida por gT (t) = g(t) , |t| ≤ T/2 0 , |t| > T/2 Tem-se então, Pg = lim T→∞ EgT T
  57. 57. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Densidade Espectral de Potência Analogamente ao que foi feito para os sinais de energia, pode-se mostrar que para um sinal de potência g(t) Pg = 1 2π ∞ −∞ lim T→∞ |GT (ω)|2 T dω Define-se então a Densidade Espectral de Potência (DEP - PSD em inglês) de g(t) como sendo Sg(ω) = lim T→∞ |GT (ω)|2 T Logo, a potência pode ser expressada como Pg = 1 2π ∞ −∞ Sg(ω)dω
  58. 58. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Autocorrelação de Sinais de Potência A autocorrelação no tempo para um sinal de potência real g(t) é definida como Rg(τ) = lim T→∞ 1 T T/2 −T/2 g(t)g(t + τ)dt = lim T→∞ 1 T T/2 −T/2 g(t)g(t − τ)dt Rg(τ) é uma função par
  59. 59. Análise de Fourier Sistemas Lineares Filtros Distorção Energia, Potência e Autocorrelação Autocorrelação de Sinais de Potência Como Rg(τ) = lim T→∞ 1 T ∞ −∞ gT (t)gT (t + τ)dt = lim T→∞ ψgT (τ) T Tem-se que Rg(τ) ⇐⇒ lim T→∞ |GT (ω)|2 T = Sg(ω) O valor médio quadrático (RMS) de g(t) é dado por [g(t)]RMS = Pg A relação entre a DEP da saída de um sistema LIT e a DEP da entrada é dada por Sy (ω) = |H(ω)|2 Sg(ω)

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