lista 3 sem edo

1. Lista 3 - Equac~oes Diferenciais - prof. Alexandre
Turma: 4Semestre Engenharia(Turmas 1 e 2)
Assunto : Variaveis Separaveis e 1a ordem
1 Utilizando a tecnica de separac~ao de variaveis , resolva as equac~oes diferenciais abaixo:
(a) y(_t) =
t2
y2
(b)
dy
dt
= 1 + y2
(c) y_ = ety
(d) dx +
y 1
x
3
dy = 0
(e)
dy
dx
=
y
(x + 1) (y + 2)
(f) ey dy
dt
t t3 = 0
(g) d() +
sen()
cos()
d() = 0
(h) y
dy
dt
+ (1 + y2)sen(t) = 0
2 Determine a soluc~ao do P.V.I. ey dy
dt
(t + t3) = 0 , y(1) = 1
3 Determine a soluc~ao do P.V.I.
dy
dt
=
3t2 + 4t + 2
2(y 1)
, y(0) = 1
4 Vimos que a E.D.O. (Equac~ao Diferencial Linear de 1a Ordem ) do tipo
dy
dt
+ a(t)y = 0 (L.H.) tem soluc~ao
y(t) = C e
R
a(t)dt . Utilize essa informac~ao para resolver o P.V.I. y_ cos(t)y = 0 , y(0) = 1
5 Vimos que a soluc~ao geral da E.D.O. de 1 ordem
dy
dt
+ a(t)y = b(t) e:
y(t) = e
R
a(t)dt
Z
R
a(t)dt
e
b(t)dt + C e
R
a(t)dt
. Agora , resolva as equac~oes:
(a) y_ +
2
t
y = t3 , y(1) = 2
(b) ty_ + y = t , y(10) = 20 (Sugest~ao: Divida a equac~ao por t)
(c) (1 + t2)y_ + 4ty = t , y(1) =
1
4
6 Um objeto de massa m e solto da posic~ao de repouso em um meio que oferece resist^encia propor-cional
a velocidade do objeto (Fr = k v) . Determine a velocidade do objeto no instante t. Tal problema
consiste em resolver a E.D.O. :
!P
!
Fr = m ~a , com v(0) = 0 , sendo
!P
= m ~g ,
!
Fr = k ~v e v_ = a.

2. Gabarito:(LISTA 3)
1
(a) y(t) = (t3 + C) 1
3
(b) y(t) = tg(t + C) . Veja que
Z
dy
1 + y2
= arctg(y) + C .
(c) y(t) = ln(et + C)
(d)
(y 1)4
4
+ x4
4
= C
(e)
(x + 1)
y2 = C ey
(f) y(t) = ln(t2=2 + t4=4 + C)
(g) = C cos()
p
c e2cos(t) 1
(h) y(t) =
2 y(t) = ln(e 3=4 + t2=2 + t4=4)
3 Quando resolver voc^e tem que chegar em y2 2y = t3 + 2t2 + 2t + C , da voc^e coloca y(0) = 1 e descobre que C = 3 . Em seguida ,
voc^e deve apresentar a soluc~ao , que e encontrar a func~ao y(t)(resolvendo a equac~ao do 2 grau em y) e chegara em y(t) = 1
p
t3 + 2t2 + 2t + 4
, no entanto tomara como resposta apenas y(t) = 1
p
t3 + 2t2 + 2t + 4, ja que y(0) = 1
4 y(t) = e
sen(t)
5 (a) y(t) = t4
6
+
11
6t2
(b) y(t) = t
2
+
150
t
(c) y(t) =
1
(1 + t2)2
t2
2
+ t4
4
+
1
4
!
6 V (t) = mg
k
1 e
kt
m
!