(6) geometria espacial vi

GEOMETRIA ESPACIAL – VI
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(123) Calcule a área total de um prisma hexagonal regular de 8 m de altura, inscrito numa
esfera de 10 m de diâmetro.
Solução

(124) Em uma esfera de raio R, inscrevemos oitos esferas iguais. Sabendo que cada esfera
tangencia outras três e tangencia a esfera maior, determine os raios das esferas inscritas
considerando que os seus centros são os vértices de um cubo.
Solução

(125) Seis esferas de mesmo raio 4 cm têm por centros os centros das faces de um cubo e
são tangentes exteriormente, cada uma, a outras quatro. Calcule o raio da esfera tangente
exteriormente a essas seis esferas.
Solução

1


(126) No interior de um cubo regular de aresta “a”, existem 9 esferas de mesmo raio “r”. O
centro de uma dessas esferas coincide com o centro do cubo e cada uma das demais
esferas tangencia a esfera e três faces do cubo. Exprima “a” em função de “r”.
Solução

(127) Uma esfera de raio R está colocada em uma caixa cúbica, sendo tangente às paredes
da caixa. Essa esfera é retirada da caixa e em seu lugar são colocadas 8 esferas iguais,
tangentes entre si e também às paredes da caixa. Determine a relação entre o volume não
ocupado pela esfera única e o volume não ocupado pelas 8 esferas.

2


Solução

Resposta: Os volumes são iguais.
(128) Calcule o diâmetro da esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio da base
mede 12 cm e a geratriz 20 cm.
Solução

(129) Determine a área da esfera inscrita em um cone equilátero cuja área lateral mede
50π cm².
Solução

3


(130) Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos:
r = raio da esfera;
R = raio da base do cone;
G = Geratriz
H = altura.
Resolva os problemas:
a) dados G e R, calcule H e r;
b) dados G e H, calcule R e r;
c) dados H e R, calcule g E R;
D) Dados H e r, calcule G e R.
Solução

4


(131) Determine o volume e a área lateral de um cone em função da altura h do cone e do
raio r de uma esfera inscrita nesse cone.
Solução

5


(132) Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com √ cm de geratriz e √
cm de altura. Sabendo que os pontos de tangenciadas geratrizes com a superfície esférica
estão a 3 cm do vértice, calcule o raio da esfera.
Solução

(133) Determine o ângulo do vértice de um cone, sabendo que a razão entre a superfície da
esfera inscrita e a área total do cone é igual a 4/9.
Solução

6


(134) Determine a altura e o raio da base de um cone de revolução em função do raio da
esfera inscrita r e do raio da esfera circunscrita R, sabendo que a geratriz do cone mede
5r.
Solução

7


(135) Determine o volume de um cone, sabendo que uma esfera de raio inscrita no cone
tangencia-o internamente num ponto P de sua geratriz a uma distância d do vértice do cone.
Solução

(136) Determine a área de uma semiesfera inscrita em um cone equilátero, sabendo que a
base do cone contém o círculo maior da semiesfera e que o raio da base do cone mede 36 m.
Solução

(137) Em um cone inscrevemos uma semiesfera de tal modo que o círculo maior dessa
semiesfera está contido na base do cone. Determine o ângulo do vértice do cone, sabendo
que a superfície do cone e a superfície da esfera estão entre si como 18/5.
Solução

8


(138) Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução, sabendo que a
base do cone está inscrita numa face de um cubo de aresta 3a e o vértice do cone está no
centro da face oposta.
Solução

9


(139) Em uma pirâmide triangular PABC, as arestas PA, PC e PB são duas a duas
perpendiculares. Sabendo que as arestas AB e BC medem 10 cm e a aresta BP mede 6 cm,
determine o raio da esfera inscrita nessa pirâmide.
Solução

10


(140) Determine a relação entre o volume de uma pirâmide regular hexagonal e o volume de
uma esfera inscrita nessa pirâmide, sabendo que a base da pirâmide e cada face lateral
estão inscritas em circunferências de raio r.
Solução

11


(141) Determine o raio de uma esfera inscrita em uma pirâmide regular hexagonal, sabendo
que a aresta da base dessa pirâmide mede 2 e a aresta lateral mede 6.
Solução

12


(142) Em uma pirâmide regular hexagonal, cujo ângulo diedro da base mede , inscrevemos
uma esfera de raio r. Determine a relação entre o volume da esfera e o volume da pirâmide.
Solução

13


(143) Calcule o raio da base de um cone circular reto, circunscrito a uma esfera de raio
unitário, sabendo que o diâmetro da esfera é igual ao segmento maior da secção áurea da
altura daquele cone.
Solução

(144) Dado num plano π um triângulo equilátero ABC de lado l, sobre a perpendicular em A
ao plano π toma-se um ponto D tal que AD = 2 l, Determine a posição do centro e calcule o
raio da esfera circunscrita ao tetraedro ABCD.
Solução

14


(145) Prove que a área total de um cone equilátero inscrito em uma esfera é igual a ¼ da
área total do cone equilátero circunscrito à mesma esfera.
Solução

(146) Determine a área de um tronco de cone circunscrito a uma esfera de raio R,
sabendo que o volume do tronco é igual ao triplo do volume da esfera.
Solução

15


(147) Um plano secciona uma esfera de raio r, determinando um círculo que é base
de um cilindro e um cone de revolução inscritos nessa esfera. Sabendo que o
cilindro e o cone estão situados num mesmo semiespaço em relação ao plano e que
os volumes do cilindro e do cone são iguais, determine a distância do centro da
esfera ao plano.
Solução

16


(148) É dado um cone circular reto de altura 8 dm, cortado por um plano paralelo à
base, a uma distância 3 dm do vértice. Inscrevendo no tronco de cone que resulta
um tronco de pirâmide hexagonal e sabendo que o raio da base menor do tronco de
cone é 1 dm, calcule o volume do tronco de pirâmide inscrito.
Solução

(149) Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determine
a que distância do centro da esfera deve-se traçar um palno paralelo à base do
cone, para que a diferença das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da
base do cone.
Solução

17


(150) Determine o volume de um cone reto, sabendo que seu vértice coincide com o
centro de uma esfera, sua base é circunscrita à base de um cubo inscrito nessa
mesma esfera e que o raio da esfera mede r.
Solução

18

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