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GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(26) Sendo 192 a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3√
inscrito na base, calcule a altura da pirâmide.

o raio do círculo

Solução

(27) Calcule o volume da pirâmide quadrangular regular, sabendo que sua base é circunscrita
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Solução

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Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(28) A base de uma pirâmide é um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m. As três
arestas laterais são iguais, medindo cada uma 20 m. Calcule o volume da pirâmide.
Solução

(29) Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é
cm² e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm.

√

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GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Solução

(30) Calcule o volume de uma pirâmide triangular cuja base tem os lados medindo 12 cm, 15
cm e 9 cm, a aresta lateral 12,5 cm e sabendo que a projeção do vértice da pirâmide coincide
com o circuncentro da base.
Solução

3
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(31) Seja um triedro de vértice S, cujos ângulos das faces medem 60°. Tomamos SA = a e
pelo ponto A traçamos um plano perpendicular a AS, que corta as outras arestas em B e C.
Calcule as arestas do tetraedro SABC, sua área total e seu volume.
Solução

4
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(32) Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo pluviômetro
depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência
da base mede 20π cm. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro, sabendo que no
recipiente alcançou 180 mm?

5
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Solução

(33) Quanto se deve aumentar o raio o raio da base de um cilindro reto de raio “r” e
geratriz “g”, de modo que a área lateral do segundo cilindro seja igual à área total do
primeiro?
Solução

(34) Um cilindro de revolução é dividido em dois semicilindros. Sendo 20π cm² sua área da
base e 8 cm sua altura, determine a área total do semicilindro.
Solução

6
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(35) Um cilindro equilátero de raio “r” é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e a
uma distância “d” desse eixo. Calcule a medida da distância “d”, se a área da secção do plano
com o cilindro é igual à área da base do cilindro.
Solução

(36) Dentre os cilindros de revolução abertos em uma das bases, de área total 2π a²,
determine o raio da base e a altura daquele de volume máximo.
Solução

7
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(37) Determine os cilindro de revolução de área total 2π a², determine o raio da base e a
altura daquele de maior volume.
Solução

(38) Dentre os cilindros de revolução equivalentes, determine o raio da base e a altura
daquele de menor área total.
Solução

(39) Determine o volume de um cilindro de revolução em função de sua área total 2πS e sua
área lateral 2πA.
Solução

8
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(40) Trace um plano paralelo à base de um cilindro de raio ”r” e altura “h”, de modo que a
base seja média proporcional entre as duas partes em que fica dividida a superfície lateral.

Solução

(41) Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: Uma de raio “r” cheia até
a altura “h” e a outra de raio r/2 e cheia até a altura 2h. A primeira é vendida por R$ 3,00 e
a segunda por R$ 1,60. Qual a embalagem mais vantajosa para o cliente?
(41) Um cilindro circular reto tem raio da base R e altura H. A média harmônica entre R e H
é. A área total do cilindro é 54π. Calcule o volume do cilindro e suas áreas da base e lateral
Solução

9
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(42) Um produto é embalado em latas cilíndricas (cilindros de revolução). O raio da
embalagem A é igual ao diâmetro de B e a altura de B é o dobro da altura de A. Assim,

Cilindro A

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ℎ
𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒

Cilindro B

𝑅

ℎ

𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑅

(A)
(B)
(a) As embalagens são feitas do mesmo material (mesma chapa). Qual delas gasta mais
material para ser montada?
(b) O preço do produto na embalagem A é R$ 780,00 e na embalagem B é R$ 400,00. Qual
das opções é mais econômica para o consumidor, supondo-se as duas latas completamente
cheias?
Solução

10
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(43) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio “r”, dispostos como indica a figura
abaixo, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a ficarem
presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível.

Solução

(44) Começando com um cilindro de raio “1” e altura “1”, define-se o procedimento de
colocar sobre um cilindro anterior outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio do
anterior. Embora a altura do sólido fictício resultante seja infinito, seu volume por ser
calculado. Faça esse cálculo.

11
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Solução

(45) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a
mesma altura 4 cm e raios das bases R e r, respectivamente.

12
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o
gráfico abaixo, quais os valores de R e r?

V(x) (cm³)
44

18

0

2

4

6

8

X (cm

Solução

(46) O sólido da figura foi obtido seccionando um cilindro circular reto de 10 cm de altura
por um plano perpendicular às bases. Calcule o volume desse sólido.

13
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

Solução

(47) Com um setor circular de 120° e raio R, construímos um cone. Calcule a área total e o
volume do cone.
Solução

14
GEOMETRIA ESPACIAL - II
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(48) Sendo 7/5 a razão entre a área lateral e a área da base de um cone, determine a
medida do raio da base e da geratriz, sabendo que a altura do cone mede 4√
Solução

(49) Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é igual a “A”, sabendo
que a geratriz do cone é igual a 4/5 do diâmetro da base do cone.
Solução

15
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Celso do Rosário Brasil Gonçalves

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(2) geometria espacial ii

  • 1. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (26) Sendo 192 a área total de uma pirâmide quadrangular regular e 3√ inscrito na base, calcule a altura da pirâmide. o raio do círculo Solução (27) Calcule o volume da pirâmide quadrangular regular, sabendo que sua base é circunscrita a um círculo de 6 cm de raio e que a aresta lateral mede 12 cm. Solução 1
  • 2. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (28) A base de uma pirâmide é um triângulo cujos lados medem 13 m, 14 m e 15 m. As três arestas laterais são iguais, medindo cada uma 20 m. Calcule o volume da pirâmide. Solução (29) Determine a altura de uma pirâmide triangular regular, sabendo que a área total é cm² e o raio do círculo inscrito na base mede 2 cm. √ 2
  • 3. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (30) Calcule o volume de uma pirâmide triangular cuja base tem os lados medindo 12 cm, 15 cm e 9 cm, a aresta lateral 12,5 cm e sabendo que a projeção do vértice da pirâmide coincide com o circuncentro da base. Solução 3
  • 4. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (31) Seja um triedro de vértice S, cujos ângulos das faces medem 60°. Tomamos SA = a e pelo ponto A traçamos um plano perpendicular a AS, que corta as outras arestas em B e C. Calcule as arestas do tetraedro SABC, sua área total e seu volume. Solução 4
  • 5. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (32) Um pluviômetro cilíndrico tem um diâmetro de 30 cm. A água colhida pelo pluviômetro depois de um temporal é colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 20π cm. Que altura havia alcançado a água no pluviômetro, sabendo que no recipiente alcançou 180 mm? 5
  • 6. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (33) Quanto se deve aumentar o raio o raio da base de um cilindro reto de raio “r” e geratriz “g”, de modo que a área lateral do segundo cilindro seja igual à área total do primeiro? Solução (34) Um cilindro de revolução é dividido em dois semicilindros. Sendo 20π cm² sua área da base e 8 cm sua altura, determine a área total do semicilindro. Solução 6
  • 7. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (35) Um cilindro equilátero de raio “r” é seccionado por um plano paralelo ao seu eixo e a uma distância “d” desse eixo. Calcule a medida da distância “d”, se a área da secção do plano com o cilindro é igual à área da base do cilindro. Solução (36) Dentre os cilindros de revolução abertos em uma das bases, de área total 2π a², determine o raio da base e a altura daquele de volume máximo. Solução 7
  • 8. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (37) Determine os cilindro de revolução de área total 2π a², determine o raio da base e a altura daquele de maior volume. Solução (38) Dentre os cilindros de revolução equivalentes, determine o raio da base e a altura daquele de menor área total. Solução (39) Determine o volume de um cilindro de revolução em função de sua área total 2πS e sua área lateral 2πA. Solução 8
  • 9. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (40) Trace um plano paralelo à base de um cilindro de raio ”r” e altura “h”, de modo que a base seja média proporcional entre as duas partes em que fica dividida a superfície lateral. Solução (41) Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: Uma de raio “r” cheia até a altura “h” e a outra de raio r/2 e cheia até a altura 2h. A primeira é vendida por R$ 3,00 e a segunda por R$ 1,60. Qual a embalagem mais vantajosa para o cliente? (41) Um cilindro circular reto tem raio da base R e altura H. A média harmônica entre R e H é. A área total do cilindro é 54π. Calcule o volume do cilindro e suas áreas da base e lateral Solução 9
  • 10. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (42) Um produto é embalado em latas cilíndricas (cilindros de revolução). O raio da embalagem A é igual ao diâmetro de B e a altura de B é o dobro da altura de A. Assim, Cilindro A 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ℎ 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 Cilindro B 𝑅 ℎ 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑅 (A) (B) (a) As embalagens são feitas do mesmo material (mesma chapa). Qual delas gasta mais material para ser montada? (b) O preço do produto na embalagem A é R$ 780,00 e na embalagem B é R$ 400,00. Qual das opções é mais econômica para o consumidor, supondo-se as duas latas completamente cheias? Solução 10
  • 11. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (43) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio “r”, dispostos como indica a figura abaixo, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível. Solução (44) Começando com um cilindro de raio “1” e altura “1”, define-se o procedimento de colocar sobre um cilindro anterior outro cilindro de igual altura e raio 2/3 do raio do anterior. Embora a altura do sólido fictício resultante seja infinito, seu volume por ser calculado. Faça esse cálculo. 11
  • 12. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (45) Uma garrafa de vidro tem a forma de dois cilindros sobrepostos. Os cilindros têm a mesma altura 4 cm e raios das bases R e r, respectivamente. 12
  • 13. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves Se o volume V(x) de um líquido que atinge a altura x da garrafa se expressa segundo o gráfico abaixo, quais os valores de R e r? V(x) (cm³) 44 18 0 2 4 6 8 X (cm Solução (46) O sólido da figura foi obtido seccionando um cilindro circular reto de 10 cm de altura por um plano perpendicular às bases. Calcule o volume desse sólido. 13
  • 14. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves Solução (47) Com um setor circular de 120° e raio R, construímos um cone. Calcule a área total e o volume do cone. Solução 14
  • 15. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves (48) Sendo 7/5 a razão entre a área lateral e a área da base de um cone, determine a medida do raio da base e da geratriz, sabendo que a altura do cone mede 4√ Solução (49) Determine o volume de um cone de revolução cuja área lateral é igual a “A”, sabendo que a geratriz do cone é igual a 4/5 do diâmetro da base do cone. Solução 15
  • 16. GEOMETRIA ESPACIAL - II Celso do Rosário Brasil Gonçalves 16