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GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(180) Uma esfera é seccionada por um plano a 3 cm do centro da esfera. Sabendo
que as áreas das calotas determinadas estão entre si como 3/5, calcule o volume da
esfera.
Solução

(181) Seccionando uma esfera por um plano, obtemos duas calotas cujas áreas
estão na razão 2/5. Calcule a superfície da esfera, sendo 4 cm a medida da corda
do arco gerador da menor calota.
Solução

(182) Um arco de 60°, pertencente a uma circunferência de raio 10 cm, gira em
torno de um diâmetro que passa por uma de suas extremidades. Determine a área
da calota gerada.
Solução

1
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(183) Calcule a razão entre as duas calotas esféricas em que uma superfície
esférica é dividida por um plano que passa por uma face do cubo inscrito.
Solução

(184) A geratriz de um cone forma com o eixo um ângulo de 30°, sendo esse cone
circunscrito a uma esfera de raio 12 cm. Obtenha a área da menor calota
determinada pelo círculo de contato das duas superfícies.
Solução

2
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(185) Corta-se uma esfera de raio R por um plano . A diferença das áreas das
calotas obtidas é igual à área da secção determinada pelo plano. Qual a distância
do plano ao centro da esfera?
Solução

(186) Determine o raio da esfera na qual seja possível destacar uma calota de
altura igual a 2 m e cuja área seja igual ao triplo da área lateral do cone, tendo o
vértice no centro da esfera e por base a base da calota.
Solução

3
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(187) Determine a medida da área de uma zona cujos raios das bases medem 3 cm
e 5 cm, respectivamente, sendo 8 cm a medida da altura da zona.
Solução

(188) Uma zona esférica de 5 cm de altura é equivalente a um fuso de 45° da
mesma esfera. Determine o volume e a área da esfera.
Solução

4
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(189) Determine o raio de uma esfera, sabendo que a diferença entre a sua área e
a de uma zona de 5 cm de altura é igual à área de um fuso de 60° da mesma esfera.
Solução

(190) A soma das áreas de um fuso de 60° e de uma zona esférica de 8 cm de
altura é igual a 3/2 da área da esfera. Determine o volume da esfera.
Solução

(191) Uma zona esférica e um fuso de uma mesma esfera têm áreas iguais. A altura
da zona é 1/n do raio. Calcule o arco equatorial do fuso.
Solução

5
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(192) Dois planos equidistantes do centro de uma esfera de raio R seccionam essa
esfera, determinando uma zona cuja área é igual à soma das áreas de suas bases.
Obtenha a distância entre esses dois planos.
Solução

(193) A que distância do centro de uma esfera devemos traçar um plano para que a
área da zona (calota) determinada seja igual à área lateral de um cone cuja base é
o círculo da secção do plano com a esfera e cujo vértice é o centro da esfera,
sendo 10 cm a medida do raio da esfera?
Solução

(194) Um cone está inscrito em uma esfera de raio “r”. A área lateral do cone é a
quinta parte da área de uma zona de altura igual à altura do cone. Determine a
distância do centro da esfera à base do cone.
Solução
6
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(195) Um plano secciona uma esfera de raio “r” a uma distância “d” do centro da
esfera, determinando uma zona (calota) cuja área é igual à área de outra esfera de
raio igual ao triplo de “d”. Obtenha a distância “d”.
Solução

7
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(196) Dois planos seccionam uma esfera, sendo que o primeiro passa pelo centro da
esfera e o segundo a uma distância “d” do centro da esfera. Sabendo que a área da
zona esférica determinada por esses dois planos é igual à soma das áreas do círculo
máximo da esfera com a área da secção à distância “d” do centro da esfera,
obtenha “d”.
Solução

(197) É dado um semicírculo ̂ de raio R e um ponto P no prolongamento do
diâmetro. Calcule ̅̅̅̅, de modo que a tangente ̅̅̅̅ possa gerar em torno do
diâmetro uma área igual à área gerada pelo arco ̂ em torno do mesmo diâmetro.

Solução

8
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(198) Seja uma esfera de raio R cortada por um feixe de N planos que tem uma
reta comum, determinando nesta N + 1 sólidos. Sendo S a superfície total desses
sólidos, prove que:

Solução

9
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(199) Determine o volume de um segmento esférico cuja calota tem 100π cm² de
área estando ambos situado em uma esfera de 20 cm de diâmetro.
Solução

(200) Determine o volume do segmento esférico obtido da secção de uma esfera
de 10 cm de raio por um plano, que passa a 2 cm do centro da esfera.
Solução

10
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(201) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 4 cm a
altura do segmento e 8 cm os diâmetros das bases.
Solução

(202) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sabendo que
está situado em uma semiesfera de 20 cm de raio e que as suas bases distam 3 cm
e 6 cm, respectivamente, do centro da semiesfera.
Solução

(203) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 15 cm a
medida do raio da esfera na qual está contido o segmento esférico e sabendo que
as bases paralelas do segmento esférico distam cada uma 6 cm do dentro da
esfera.
Solução

11
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(204) Seja dada uma esfera de raio R em um ponto P distante
do seu centro.
Considera-se o cone indefinido, formado pela totalidade das retas tangentes à
esfera, traçadas pelo ponto P. Calcule o volume do sólido, cujos pontos são internos
ao cone e externos à esfera.
Solução

12
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(205) Uma esfera de 30 m de diâmetro foi seccionada por dois planos paralelos do
mesmo lado do centro e distantes deste centro 12 m e 8 m, respectivamente.
Calcule a área da zona compreendida entre esses planos e o volume do segmento
esférico compreendido entre esses dois planos.
Solução

13
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(206) Seccionando um hemisfério de raio “r”, por um plano paralelo à base,
obtemos um segmento esférico de uma base. Sendo o volume desse segmento igual
ao volume de um cilindro cuja base é a secção e cuja altura é igual à distância entre
o plano e a base do hemisfério, determine essa distância.
Solução

(207) Num segmento esférico de uma só base, de uma esfera e raio R, está
inscrito um cone, cujo vértice é um dos pólos relativos a sua base. Qual a área da
base, se a razão entre o volume do cone e o do segmento esférico é igual à
constante K? (Discuta o problema)
Solução

14
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(208) Um setor circular AOB, pertencente a um círculo de 10 cm de raio, gira em
torno do diâmetro POQ. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que o raio
AO forma com o diâmetro POQ um ângulo de 60° e que o raio OB forma com o
mesmo diâmetro um ângulo de 45°.
Solução

(209) Uma esfera de raio R é furada segundo um setor esférico cujo vértice
coincide com o centro da esfera. Determine a expressão que dá o raio da
circunferência segundo o qual o setor corta a esfera, de tal maneira que o volume
do setor seja 1/n do volume da esfera.
Solução

15
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(210) Um anel esférico é gerado por um segmento circular cuja corda mede “l” .
Sendo V o volume do anel, calcule a projeção da corda sobre o eixo.
Solução

(211) Determine o volume gerado pelo segmento circular AMB, girando ao redor do
diâmetro PQ, sendo a corda AB deste segmento igual a 5 cm, a distância do ponto
A ao eixo igual a 3 cm e a distância do ponto B ao eixo igual a 6 cm.
Solução

16
GEOMETRIA ESPACIAL – IX
Celso do Rosário Brasil Gonçalves

(212) Dado um hemisfério H, definido por seu círculo máximo C e pelo pólo
correspondente P, determine o volume interior a H e exterior a quatro cones,
tendo P para vértice comum e para bases quatro círculos iguais, situados no plano
C, tangentes interiormente a este círculo e exteriormente entre si.
Solução

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Geometria espacial - problemas e exercícios resolvidos

  • 1. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (180) Uma esfera é seccionada por um plano a 3 cm do centro da esfera. Sabendo que as áreas das calotas determinadas estão entre si como 3/5, calcule o volume da esfera. Solução (181) Seccionando uma esfera por um plano, obtemos duas calotas cujas áreas estão na razão 2/5. Calcule a superfície da esfera, sendo 4 cm a medida da corda do arco gerador da menor calota. Solução (182) Um arco de 60°, pertencente a uma circunferência de raio 10 cm, gira em torno de um diâmetro que passa por uma de suas extremidades. Determine a área da calota gerada. Solução 1
  • 2. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (183) Calcule a razão entre as duas calotas esféricas em que uma superfície esférica é dividida por um plano que passa por uma face do cubo inscrito. Solução (184) A geratriz de um cone forma com o eixo um ângulo de 30°, sendo esse cone circunscrito a uma esfera de raio 12 cm. Obtenha a área da menor calota determinada pelo círculo de contato das duas superfícies. Solução 2
  • 3. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (185) Corta-se uma esfera de raio R por um plano . A diferença das áreas das calotas obtidas é igual à área da secção determinada pelo plano. Qual a distância do plano ao centro da esfera? Solução (186) Determine o raio da esfera na qual seja possível destacar uma calota de altura igual a 2 m e cuja área seja igual ao triplo da área lateral do cone, tendo o vértice no centro da esfera e por base a base da calota. Solução 3
  • 4. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (187) Determine a medida da área de uma zona cujos raios das bases medem 3 cm e 5 cm, respectivamente, sendo 8 cm a medida da altura da zona. Solução (188) Uma zona esférica de 5 cm de altura é equivalente a um fuso de 45° da mesma esfera. Determine o volume e a área da esfera. Solução 4
  • 5. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (189) Determine o raio de uma esfera, sabendo que a diferença entre a sua área e a de uma zona de 5 cm de altura é igual à área de um fuso de 60° da mesma esfera. Solução (190) A soma das áreas de um fuso de 60° e de uma zona esférica de 8 cm de altura é igual a 3/2 da área da esfera. Determine o volume da esfera. Solução (191) Uma zona esférica e um fuso de uma mesma esfera têm áreas iguais. A altura da zona é 1/n do raio. Calcule o arco equatorial do fuso. Solução 5
  • 6. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (192) Dois planos equidistantes do centro de uma esfera de raio R seccionam essa esfera, determinando uma zona cuja área é igual à soma das áreas de suas bases. Obtenha a distância entre esses dois planos. Solução (193) A que distância do centro de uma esfera devemos traçar um plano para que a área da zona (calota) determinada seja igual à área lateral de um cone cuja base é o círculo da secção do plano com a esfera e cujo vértice é o centro da esfera, sendo 10 cm a medida do raio da esfera? Solução (194) Um cone está inscrito em uma esfera de raio “r”. A área lateral do cone é a quinta parte da área de uma zona de altura igual à altura do cone. Determine a distância do centro da esfera à base do cone. Solução 6
  • 7. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (195) Um plano secciona uma esfera de raio “r” a uma distância “d” do centro da esfera, determinando uma zona (calota) cuja área é igual à área de outra esfera de raio igual ao triplo de “d”. Obtenha a distância “d”. Solução 7
  • 8. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (196) Dois planos seccionam uma esfera, sendo que o primeiro passa pelo centro da esfera e o segundo a uma distância “d” do centro da esfera. Sabendo que a área da zona esférica determinada por esses dois planos é igual à soma das áreas do círculo máximo da esfera com a área da secção à distância “d” do centro da esfera, obtenha “d”. Solução (197) É dado um semicírculo ̂ de raio R e um ponto P no prolongamento do diâmetro. Calcule ̅̅̅̅, de modo que a tangente ̅̅̅̅ possa gerar em torno do diâmetro uma área igual à área gerada pelo arco ̂ em torno do mesmo diâmetro. Solução 8
  • 9. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (198) Seja uma esfera de raio R cortada por um feixe de N planos que tem uma reta comum, determinando nesta N + 1 sólidos. Sendo S a superfície total desses sólidos, prove que: Solução 9
  • 10. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (199) Determine o volume de um segmento esférico cuja calota tem 100π cm² de área estando ambos situado em uma esfera de 20 cm de diâmetro. Solução (200) Determine o volume do segmento esférico obtido da secção de uma esfera de 10 cm de raio por um plano, que passa a 2 cm do centro da esfera. Solução 10
  • 11. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (201) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 4 cm a altura do segmento e 8 cm os diâmetros das bases. Solução (202) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sabendo que está situado em uma semiesfera de 20 cm de raio e que as suas bases distam 3 cm e 6 cm, respectivamente, do centro da semiesfera. Solução (203) Determine o volume de um segmento esférico de duas bases, sendo 15 cm a medida do raio da esfera na qual está contido o segmento esférico e sabendo que as bases paralelas do segmento esférico distam cada uma 6 cm do dentro da esfera. Solução 11
  • 12. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (204) Seja dada uma esfera de raio R em um ponto P distante do seu centro. Considera-se o cone indefinido, formado pela totalidade das retas tangentes à esfera, traçadas pelo ponto P. Calcule o volume do sólido, cujos pontos são internos ao cone e externos à esfera. Solução 12
  • 13. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (205) Uma esfera de 30 m de diâmetro foi seccionada por dois planos paralelos do mesmo lado do centro e distantes deste centro 12 m e 8 m, respectivamente. Calcule a área da zona compreendida entre esses planos e o volume do segmento esférico compreendido entre esses dois planos. Solução 13
  • 14. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (206) Seccionando um hemisfério de raio “r”, por um plano paralelo à base, obtemos um segmento esférico de uma base. Sendo o volume desse segmento igual ao volume de um cilindro cuja base é a secção e cuja altura é igual à distância entre o plano e a base do hemisfério, determine essa distância. Solução (207) Num segmento esférico de uma só base, de uma esfera e raio R, está inscrito um cone, cujo vértice é um dos pólos relativos a sua base. Qual a área da base, se a razão entre o volume do cone e o do segmento esférico é igual à constante K? (Discuta o problema) Solução 14
  • 15. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (208) Um setor circular AOB, pertencente a um círculo de 10 cm de raio, gira em torno do diâmetro POQ. Determine o volume do sólido gerado, sabendo que o raio AO forma com o diâmetro POQ um ângulo de 60° e que o raio OB forma com o mesmo diâmetro um ângulo de 45°. Solução (209) Uma esfera de raio R é furada segundo um setor esférico cujo vértice coincide com o centro da esfera. Determine a expressão que dá o raio da circunferência segundo o qual o setor corta a esfera, de tal maneira que o volume do setor seja 1/n do volume da esfera. Solução 15
  • 16. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (210) Um anel esférico é gerado por um segmento circular cuja corda mede “l” . Sendo V o volume do anel, calcule a projeção da corda sobre o eixo. Solução (211) Determine o volume gerado pelo segmento circular AMB, girando ao redor do diâmetro PQ, sendo a corda AB deste segmento igual a 5 cm, a distância do ponto A ao eixo igual a 3 cm e a distância do ponto B ao eixo igual a 6 cm. Solução 16
  • 17. GEOMETRIA ESPACIAL – IX Celso do Rosário Brasil Gonçalves (212) Dado um hemisfério H, definido por seu círculo máximo C e pelo pólo correspondente P, determine o volume interior a H e exterior a quatro cones, tendo P para vértice comum e para bases quatro círculos iguais, situados no plano C, tangentes interiormente a este círculo e exteriormente entre si. Solução 17