Questões de matemática dos principais vestibulares de São Paulo.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
ESFERA

2. ESFERA
1
01. (Fuvest 2015) Diz-se que dois pontos da superfície terrestre são antípodas quando o segmento de reta que os une
passa pelo centro da Terra. Podem ser encontradas, em sites da internet, representações, como a reproduzida abaixo,
em que as áreas escuras identificam os pontos da superfície terrestre que ficam, assim como os seus antípodas, sobre
terra firme. Por exemplo, os pontos antípodas de parte do sul da América do Sul estão no leste da Ásia.
Se um ponto tem latitude x graus norte e longitude y graus leste, então seu antípoda tem latitude e longitude,
respectivamente,
a) x graus sul e y graus oeste.
b) x graus sul e (180 y)
− graus oeste.
c) (90 x)
− graus sul e y graus oeste.
d) (90 x)
− graus sul e (180 y)
− graus oeste.
e) (90 x)
− graus sul e (90 y)
− graus oeste.
02. (Fac. Albert Einstein - 2019) Em uma palestra, um cientista ilustrou comparativamente o tamanho dos planetas do
sistema solar com auxílio da foto a seguir.
No entanto, o cientista disse que essa foto dificulta a percepção correta da diferença de tamanho entre os planetas.
Para ilustrar o que dizia, ele pediu para a plateia considerar que todos os planetas são esféricos e que o tamanho do
raio do planeta Júpiter é 11 vezes o tamanho do raio do planeta Terra. Em seguida, lançou a seguinte pergunta: se
associarmos o planeta Terra a uma bola de futebol, o planeta Júpiter deverá ser associado, aproximadamente, a
quantas dessas bolas? A resposta correta para a pergunta do palestrante é
a) 2.048.
b) 121.
c) 33.
d) 22.
e) 1.331.

3. ESFERA
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03. (Unesp 2019) Os pontos P e Q sobre a superfície da Terra possuem as seguintes coordenadas geográficas:
Latitude Longitude
P 30 N
° 45 L
°
Q 30 N
° 15 O
°
Considerando a Terra uma esfera de raio 6.300 km, a medida do menor arco 
PQ sobre a linha do paralelo 30 N
° é
igual a
a) 1.150 3 km
π
b) 1.250 3 km
π
c) 1.050 3 km
π
d) 1.320 3 km
π
e) 1.350 3 km
π
04. (Unesp 2018) Observe a figura da representação dos pontos M e N sobre a superfície da Terra.
Considerando a Terra uma esfera de raio 6.400 km e adotando = 3,
π para ir do ponto M ao ponto N, pela superfície
da Terra e no sentido indicado pelas setas vermelhas, a distância percorrida sobre o paralelo °
60 Norte será igual a
a) 2.100 km.
b) 1.600 km.
c) 2.700 km.
d) 1.800 km.
e) 1.200 km.
05. (Unicamp 2015) Um cilindro circular reto, com raio da base e altura iguais a R, tem a mesma área de superfície
total que uma esfera de raio
a) 2R.
b) 3R.
c) 2R.
d) R.

4. ESFERA
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06. (Fuvest 2014) Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada na
foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da Terra.
Sendo μ e ,
ρ respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se afirmar, corretamente,
que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é igual a
Nota: Entende-se por “plano horizontal”, em um ponto da superfície terrestre, o plano perpendicular à reta que passa
por esse ponto e pelo centro da Terra.
a) ρ
b) μ
c) 90 ρ
−
d) 90 μ
−
e) 180 ρ
−
07. (Unesp 2013) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm
de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo
resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das
diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras.
Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm3
e admitindo 3,
π ≅ a
massa aproximada do porta-joias, em gramas, é
a) 636 b) 634 c) 630 d) 632 e) 638

5. ESFERA
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08. (Fgv 2013) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 20%, o volume do
novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará
a) 60%
b) 63,2%
c) 66,4%
d) 69,6%
e) 72,8%
09. (Unesp 2012) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a cada dia, viabilizando produtos mais eficientes,
leves, adequados e, principalmente, de baixo custo. São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam
entre 1 e 100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 10–9
m, ou seja, um bilionésimo de metro. Uma das
características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área superficial total.
Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o volume valem 2
4 cm
π
⋅ e 3
(4/3) cm ,
π
⋅
respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma
de suas áreas superficiais
a) 10 vezes maior que a da esfera
b) 103
vezes maior que a da esfera
c) 105
vezes maior que a da esfera
d) 107
vezes maior que a da esfera
e) 109
vezes maior que a da esfera
10. (Insper 2012) A taça desenhada na figura tem a forma de semiesfera e contém líquido até uma altura de x cm.
O volume de líquido contido na taça, em 3
cm , depende da altura atingida por esse líquido, em cm. O gráfico a seguir
mostra essa dependência, sendo que os pontos A e B correspondem à taça totalmente vazia e totalmente cheia,
respectivamente.
De acordo com os dados do gráfico, a taça tem a forma de uma semiesfera cujo raio mede
a) 3 cm
b) 3,5 cm
c) 4 cm
d) 4,5 cm
e) 5 cm

6. ESFERA
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11. (Espm 2011) Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada
por colunas metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial,
como mostra o esquema abaixo.
Sendo , a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a
a) 2,40 m
b) 2,80 m
c) 3,20 m
d) 3,40 m
e) 3,60 m
12. (Fuvest 2011) A esfera ε , de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano α . O plano β é paralelo a α e contém O.
Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com
β e, como vértice, um ponto em α , é igual a
a)
3
3r
4
b)
3
5 3r
16
c)
3
3 3r
8
d)
3
7 3r
16
e)
3
3r
2
13. (Fuvest 2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no
formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a
última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos,
quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h é
a) ( )
3
6
b)
( )
3
3
c)
( )
2 3
3
d) 3
e) ( )
4 3
3
3 1,73
≅

7. ESFERA
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14. (Fgv 2008) As alturas de um cone circular reto de volume P e de um cilindro reto de volume Q são iguais ao diâmetro
de uma esfera de volume R. Se os raios das bases do cone e do cilindro são iguais ao raio da esfera, então, P - Q + R é
igual a
a) 0
b) 2π/3
c) π
d) 4π/3
e) 2π
15. (Unesp 2005) O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares,
pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem forma
esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos
alvéolos de um adulto é igual a 1 618 cm3
, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa, considerando ð = 3, é
a) 1 618 × 103
b) 1 618 × 104
c) 5 393 × 102
d) 4 045 × 104
e) 4 045 × 105
16. (Unesp 1999) Seja r um número real positivo e P um ponto do espaço. O conjunto formado por todos os pontos
do espaço, que estão a uma distância de P menor ou igual a r, é
a) um segmento de reta medindo 2r e tendo P como ponto médio.
b) um cone cuja base é um círculo de centro P e raio r.
c) um cilindro cuja base é um círculo de centro P e raio r.
d) uma esfera de centro P e raio r.
e) um círculo de centro P e raio r.
17. (Mackenzie 1998) A razão entre a área lateral do cilindro equilátero e da superfície esférica, da esfera nele inscrita,
é
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 1/4
e) 2/3
18. (Mackenzie 1997) A razão entre os volumes das esferas circunscrita e inscrita a um mesmo cubo é
a) 3
b) 2 3
c) 3 3
d) 4
(3)
3
e) 3
(3)
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8. ESFERA
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19. (Fuvest 1995) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 12 cm do
centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio desta circunferência, em cm é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
20. (Unesp 1992) Considere uma circunferência C de raio r num plano á e aponte a única alternativa falsa.
a) Existem superfícies esféricas cuja intersecção com α é C.
b) Existe apenas uma superfície esférica de raio r cuja intersecção com á é C.
c) Dentre as superfícies esféricas que interceptam á segundo C, há uma de raio menor.
d) Dentre as superfícies esféricas que interceptam á segundo C, há uma de raio maior.
e) Se t > r, há duas, e apenas duas, superfícies esféricas de raio t cuja intersecção com α é C.
GABARITO
1 - B 2 - E 3 - C 4 - B 5 - D
6 - B 7 - D 8 - E 9 - D 10 - D
11 - C 12 - E 13 - E 14 - A 15 - E
16 - D 17 - A 18 - C 19 - E 20 - D