Planos

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Planos

  1. 1. Planos
  2. 2. Definição  Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c), n ≠ 0 ortogonal ao plano  O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z) do espaço tais que AP é perpendicular a n, isto é P є π  AP . n = 0
  3. 3.  (x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(y- y0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0- cz0=0  Fazendo –ax0-by0-cz0=d temos ax +by+cz +d=0  Esta é a equação Geral do plano
  4. 4. Exercício  Determine a equação geral do plano π1 paralelo ao plano π2: 2x-3y-z+5 e que tem o ponto A(4,-1,2)
  5. 5. Exercício  Achar a equação do plano π perpendicular à reta r:x=2y-3; z=-y+1 e contém o ponto A(1,2,3)
  6. 6. Exercício  Achar a equação geral do plano π mediador do segmento de extremos A(1,- 2,6) e B(3,0,0)
  7. 7. Exercício  Achar a equação geral do plano π que é paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1)
  8. 8. Equações Paramétricas  Seja A(x0,y0,z0) um ponto de um plano π e u =(a1,b1,c1) e v(a2,b2,c2) dois vetores não colineares pertencentes a π  Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano π que passa por A e é paralelo aos vetores u e v se e somente se existem números reais h e t tais que AP= hu+tv
  9. 9. Equações Paramétricas  (x-x0,y-y0,z-z0)=h(a1,b1,c1)+t(a2,b2,c2)      ++= ++= ++= tchczz tbhbyy tahaxx 210 210 210
  10. 10. Exercício  Achar a equação geral do plano que contém os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1), e C(1,1,-1)
  11. 11. Exercício  Achar a equação geral do plano π1 que contém os pontos A(1,-2,3) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano π2 2x+y-z+8=0
  12. 12. Exercício  Determinar a equação geral do plano que contém as retas r1:x=-3+t,y=-t,z=4 e r2: (x+2)/2=(y-1)/-2;z=0
  13. 13. Exercício  Achar a equação geral do plano xOz
  14. 14. Ângulo entre dois planos  Sejam os planos π1 e π2  π1: a1x+b1y+c1z+d1=0  π2: a2x+b2y+c2z+d2=0  Então n1=(a1,b1,c1) e n2=(a2,b2,c2) são os vetores normais de π1 e π2 respectivamente
  15. 15. Definição  O ângulo teta entre π1 e π2 é o menor ângulo formado pelos vetores n1 e n2  Assim cos teta = |n1.n2|/(|n1||n2|) com 0<=teta<=π/2
  16. 16. Exercício  Determinar o ângulo entre os planos π1 3x+2y-6=0 e π2 o plano xOz
  17. 17. Ângulo de uma reta com um Plano  Seja r uma reta com vetor diretor v e π um plano com vetor normal n n θ Φ
  18. 18.  Φ é o ângulo entre a reta r e o plano π  Φ=90º-θ, onde θ é o ângulo entre n e v  Como Φ+θ=π/2 segue que cosθ = sen Φ
  19. 19.  Cos θ=sen Φ = |n.v|/(|n||v|)  0<= Φ <=90º
  20. 20. Observação  Se r//π então v é ortogonal a n  Se r é ortogonal a π então v//n
  21. 21. Exercício  Determinar o ângulo formado pela reta r:y=-2x,z=2x+1 e o plano p:x-y+5=0
  22. 22. Exercício  Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada um dos planos p1:2x-y- z+1=0 e p2:x+3y+z-5=0
  23. 23. Condições para que uma reta esteja contida em um plano  Uma reta está contida num plano se:  1) r//p e um ponto A є r e também є p  2) se dois pontos A1, A2 є r também є p
  24. 24. Exercício  Calcular o valor de m e n para que a reta r: y=2x-3,z=-x+4 esteja contida no plano p nx+my-z-2=0
  25. 25. Interseção de 2 Planos  Considere planos não paralelos p1:3x- y+z-3 e p2:x+3y+2z+4=0  Se A(x,y,z) є p1 interseção p2 então A є p1 e A є p2  Isto significa que A satisfaz a equação dos 2 planos simultaneamente
  26. 26.  A é solução do sistema  3x-y+z-3=0  X+3y+2z+4=0
  27. 27.  A é solução do sistema  3x-y+z-3=0->z=3-3x+y  X+3y+2z+4=0
  28. 28.  A é solução do sistema  3x-y+z-3=0->z=3-3x+y  X+3y+2z+4=0->x+3y+6-6x+2y+4=0  =-5x+5y+10=0  Escolhendo x como variável livre  Y=x-2
  29. 29.  Substituindo em z->z=-2x+1 logo  Y=x-2  Z=-2x+1  São as equações reduzidas da reta interseção dos planos p1 e p2
  30. 30. Exemplo  Determinar as equações paramétricas da reta r interseção dos planos p1:2x+y-2=0 e p2:z=3
  31. 31. Interseção de reta com Plano  Quer-se encontrar o ponto de interseção da reta r:x=2y-3=(2z-3)/3 e o plano p:2x- y+3z-9=0  X=2y-3-> y=(x+3)/2  X=(2z-3)/3->z=(3x+3)/2  Substituindo na equação do plano
  32. 32.  2x-y+3z-9=0->2x-x/2-3/2+9x/2+9/2-9=0  ->6x-6=0->x=1  X=1->y=2,z=3  Logo o ponto A(1,2,3) pertence à reta r e ao Plano p
  33. 33. Exercício  Determine a interseção da reta r:x=t,y=1- 2t,z=-t; e o plano p:2x+y-z-4=0
  34. 34. Exercício  Determinar os pontos de interseção da reta r:y=2x-3,z=-x+2 com os planos coordenados
  35. 35. Exercício  Seja a reta r:x=3+t,y=1-2t,z=-1+2t;  Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano xOy?  Qual o ângulo que r forma com o plano xOy?
  36. 36. Exercício  Estabelecer as equações da reta que passa por A(3,6,4), intercepta o eixo z e intercepta o plano p:x-3y+5z-6=0
  37. 37. Exercício  O plano p: x+y-z-2=0 intercepta os eixos coordenados nos pontos A, B, C  Calcular a área do triângulo ABC
  38. 38. Fim

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