A Fórmula de Bhaskara não é o único método de resolvermos uma equação do 2o grau. As Formulas Luderianas Racionais permitem resolver equações do grau 2, 3, 4, 5, etc. Descoberta por Ludenir Santos, Rio Grande, RS (Brazil).

1. Fórmula Luderiana Racional para Equação do 2o Grau
Segundo Howard Eves, por volta de 2000 a.C. a matemática babilônica já era bem
evoluída. Foram os babilônios que há aproximadamente 4000 anos criaram o método de reso-
lução de equação do 2o grau através do complemento de quadrados. Este método também foi
essencial para que Ferrari, no século XVI, conseguisse encontrar a fórmula da equação do 4o grau.
Atuamente, a fórmula matemática mais conhecida no mundo, recebe (desde os anos 60, apenas
no Brasil) o nome de Fórmula de Bhaskara e, embora não tenha sido descoberta por ele, trata-
se de uma homenagem e reconhecimento ao matemático hindu Bhaskara Akira (1114-1185) por
ter escrito obras que tornaram-se muito populares e divulgaram o método algébrico de resolução
das equações quadráticas, sobretudo o material que evoluiu para o que hoje conhecemos como a
fórmula de resolução da equação do 2o grau.
A equação do 2o grau apresenta-se na forma ax2
+ bx +c = 0 e sua resolução é dada pela Fórmula
de Bhaskara:
x =
−b ± b2
− 4ac
√
2a
Entretanto, a fórmula de bhaskara não é o único método de resolvermos uma equação do segundo
grau. Existem outros, por fatoração, complemento de quadrados, métodos numéricos (Bissecção,
Newton, Ponto-Fixo etc), por exemplo.
Oportunamente, apresento um novo método de resolução de equações quadráticas: “Fórmula Lude-
riana Racional para Equação do 2o Grau”. Este método possui vantagens e desvantagens com
relação a fórmula de bhaskara. Obviamente, a desvantagem é que a fórmula luderiana não é tão
simples quanto bhaskara. As vantagens são que a fórmula luderiana realmente resolve a equação,
enquanto que a fórmula de bhaskara pára na extração da raiz quadrada - dependendo de um método
numérico para sua extração.
É verdade que podemos não prosseguir com os cálculos e apresentar os valores das raízes, exata-
mente, como apontados pela fórmula de bhaskara. Particularmente, questiono estas “respostas
exatas”. Primeiramente, porque mascaram um método numérico (refiro-me quando caímos no
caso de extração de raízes não-exatas) - veja que quem faz o trabalho é um método numérico e
portanto, nestes casos, as respostas exatas apresentadas pela fórmula servem, unicamente, para
alimentar o método numérico. Segundo, se realmente deixarmos as raízes na forma exata, nor-
malmente, ficamos sem noção do número que ela realmente representa e obviamente, prefeririamos
uma resposta aproximada porque pelo menos teriamos melhor noção do número. Por exemplo,
saberia dizer-me de cabeça entre quais inteiros fica o número
−1 + 57
√
4
. Certamente, não é óbvio.
Entretanto, sua resposta seria imediata se, ao invés, tivesse-lhe sido informado o número 1,637458
Neste exemplo, ilustro apenas a raiz exata de uma equação de 2o grau calculada pela fórmula
de bhaskara. Entretanto, tudo fica cada vez mais complicado a medida que o grau da equação
polinomial aumenta.
Vejamos outro exemplo...
Tem idéia entre quais inteiros está o número
1
3
1 −
14
181 + 3 3945
√3
+ 181 + 3 3945
√3
? Não
irei fornecer a resposta aproximada para que, realmente, entenda o meu ponto.
Portanto, as fórmulas atualmente conhecidas para equação de 2o, 3o e 4o graus param neste tipo
de resposta exata. E irremediavelmente, dependem de outros métodos para chegarem as respostas
aproximadas que, ao final, é o que realmente importa. Seja para termos o real valor da raiz, seja
para poder construirmos um gráfico que passe pelas raízes. Concluíndo, as fórmulas luderianas
não dependem de outros métodos para extração de raízes, já que não dependem de radiciação e
nem trigonometria, digo, as fórmulas luderinas já apresentam a resposta que realmente importa.
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2. Fórmula Luderiana Racional para Equação do 2o Grau
A fórmula abaixo, é especifica às equações do 2o grau. Entretanto, fórmulas análogas podem ser
aplicadas a qualquer grau de equação polinomial (3o, 4o, 5o etc), abrindo uma nova perspectiva
na solução de equações polinomiais.
As raízes (r1, r2) da equação do 2o grau, x2
+ Ax + B = 0, podem ser calculadas pela
seguinte Fórmula Luderiana Racional:
r ≈
x4
− 4x4
y + 6x3
y2
− 10x3
y3
+ 5x2
y4
− 6x2
y5
+ xy6
− xy7
x4 − 4x3y + 10x3y2 − 10x2y3 + 15x2y4 − 6xy5 + 7xy6 − y7 + y8
+ k
Onde:
x = −k2
− Ak − B
y = −2k − A
k =
|A|
A
. | −B
√
|
O fato da fórmula possuir um denominador, levanta a questão da divisão por zero e neste caso tem-
se, simplesmente, r ≈k. Portanto, convém calcularmos numerador e denominador separadamente.
k é um valor próximo da raiz. Entretanto, ao contrário dos métodos numéricos que exigem o
tabelamento para achar esta aproximação, escrevi uma fórmula (acima) para aproximar da raiz e
assim, além de dispensarmos o tabelamento, podemos calcular “k”, seja ele real ou complexo.
O não-tabelamento dos valores do polinômio não está restrito as equações de 2o
grau. As Fórmulas Luderianas marcam o final do tabelamento dos valores de um
polinômio para fins de aproximação da raiz, independentemente do grau da equação
polinomial.
Desejo registrar que já foi apresentado a Fórmula Luderiana Racional para Equação
Cúbica e, em outro documento e momento mais oportuno, apresentarei a Fórmula Luderiana
Racional para Equação Quíntica, para as quais, segundo Abel e Galois não seria possível
conceber uma fórmula algébrica. A fórmula que escrevi para as equações polinomiais de 5o grau
seguem o padrão das fórmulas escritas para as equações quadráticas e cúbicas, ou seja, não necessita
transformar a equação pela eliminação do 2o termo, não utiliza radiciação e, consequentemente,
independe de trigonometria. Ademais, também possui recurso para calcular o valor de “k”, evi-
tando assim o tabelamento dos valores do polinômio de 5o grau e permitindo aproximar da raiz,
seja esta real ou complexa. É fato que através desta fórmula conseguimos calcular todas as raízes
da Quíntica.
No caso das equações polinomiais de grau par, também é possível calcular todas as suas raizes,
mesmo que estas possuam apenas raízes complexas. Portanto, a descoberta das fórmulas luderi-
anas revoluciona completamente o assunto equações algébricas porque torna mais fácil calcularmos
diretamente as raízes do que acharmos as cotas superior e inferior, por exemplo. Não neces-
sitaremos mais da Regra dos Sinais de Descartes e de nenhuma outra regra com informações sobre
as raízes. Praticamente, tudo atualmente estudado para aproximar as raízes ou, ainda, fornecer
algum tipo de informação delas, tornar-se-á obsoleto.
Entretanto, no momento, nosso tópico trata sobre as equações de 2o grau. Assim, vejamos alguns
exemplos aplicando esta nova fórmula.
2

3. Exemplo:
1) x2
+ 4x − 3 = 0
1o Passo:
a) Identificar A e B:
A = 4
B = −3
b) Calcular o valor de “k”:
k =
|A|
A
. | −B
√
|
k =
|4|
4
. −(−3)
k =
|4|
4
. 3
√
k = + 3
√
k = 1.732
c) Calcular os valors de x e y:
x = −k2
− Ak − B
x = −(1.732)2
− 4(1.732) − (−3)
x = −2.999824 − 6.928 + 3
x = −6.927824
y = −2k − A
y = −2(1.732) − 4
y = −3.464 − 4
y = −7.464
d) Aplicar os valores de x, y e k na fórmula luderiana, abaixo:
r1 ≈
x4
− 4x4
y + 6x3
y2
− 10x3
y3
+ 5x2
y4
− 6x2
y5
+ xy6
− xy7
x4 − 4x3y + 10x3y2 − 10x2y3 + 15x2y4 − 6xy5 + 7xy6 − y7 + y8
+ k
Após alguns cálculos tem-se ...
r1 ≈ 0.64575237059797
3

4. 2o Passo:
k = 0.645 (é o valor de r considerando os primeiros 3 digitos decimais);
e) Calcular os valors de x e y:
x = −k2
− Ak − B
x = −(0.645)2
− 4(0.645) − (−3)
x = 0.003975
y = −2k − A
y = −2(0.645) − 4
y = −5.290
f) Aplicar os valores de x, y e k na fórmula luderiana, abaixo:
r1 ≈
x4
− 4x4
y + 6x3
y2
− 10x3
y3
+ 5x2
y4
− 6x2
y5
+ xy6
− xy7
x4 − 4x3y + 10x3y2 − 10x2y3 + 15x2y4 − 6xy5 + 7xy6 − y7 + y8
+ k
Após alguns cálculos tem-se ...
r1 ≈ 0.645751311064591
g) A outra raiz obtem-se pela fórmula r2 ≈
B
r1
r2 ≈
−3
0.645751311064591
r2 ≈ −4.645751311064591
A Fórmula Luderiana Racional para Equação do 2o Grau, apresentada neste
documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil), Março/2015.
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