Resolve a equação polinomial de 5o Grau x^5+ax^2+bx+c=0 (quíntica principal). É quase tão simples quanto a fórmula de Bhaskara.

1. Fórmula Luderiana para Equação
Quíntica
A solução da equação de 5o grau (quíntica) x5
+ ax² + bx + c = 0 é dada
por uma das soluções da seguinte fórmula:
x ≈ −b±
√
b²−4ac−15r8
−24ar5
−30br4
−40cr³+15r4
2a+20r³
Onde, a, b e c são os valores dos coecientes da equação.
Descobriremos o valor inicial de r aplicando o Método Luderiano para
Aproximação Inicial das Raízes de Equações Polinomiais. Particularmente,
para a equação quíntica (acima), o método orienta a fazermos o seguinte pro-
cedimento.
Primeiramente, calcularemos as equações:
ar2
+ br + c = 0
r5
+ c = 0
Depois, comparando todas as raízes das duas equações, toma-se a raiz de
menor módulo e, assim, esta raiz será o valor inicial de r.
A título de esclarecimento, o módulo de um número real é o valor absoluto
deste número, ou seja, o valor sem o sinal. Entretanto, no caso de um número
complexo qualquer a+bi, seu módulo será igual ao valor absoluto de
√
a2 + b2
Exemplo(s):
Resolver a equação x5
− 3x2
+ 5x − 10 = 0
a) Primeiramente, aplica-se o Método Luderiano para Aproximação Inicial
das Raízes de Equações Polinomiais:
Assim, precisaremos resolver as seguintes equações...
ar2
+ br + c = 0
r5
+ c = 0
A partir da equação original, sabe-se que a=-3, b=5 e c=-10. Logo, tem-se:
−3r2
+ 5r − 10 = 0, cuja solução é
r = {0.8333333333333332593185±1.62446572413482703823i}
r5
− 10 = 0, cuja solução é
r = {1.5848931924611138200021,
-1.2822055269702046231828±0.9315768449873780276960i,
0.4897589307396488234048±1.5073229983219709193776i}
Destas, a raiz de menor módulo é 1.5848931924611138200021. Portanto,
está será nossa aproximação inicial.
1

2. b) Aplicação da fórmula
x ≈ −b±
√
b²−4ac−15r8
−24ar5
−30br4
−40cr³+15r4
2a+20r³
Onde, a, b e c são, respectivamente, -3, 5 e -10, r ≈ 1.584
x ≈
−5+
√
(5)²−4(−3)(−10)−15(1.584)8−24(−3)(1.584)5−30(5)(1.584)4−40(−10)(1.584)³+15(1.584)4
2(−3)+20(1.584)³
x ≈ −5+
√
673.93328380682419265213+94.430430167040000810630
73.486894080000013218523
x ≈ 1.5702208760550844246495, correto até a 5a casa decimal, em apenas uma
iteração.
Aplicando a fórmula uma segunda vez, agora adotaremos r≈1.570220 (o cor-
reto seria adotarmos r≈1.5702208760550844246495 mas isto prejudicaria a clareza deste docu-
mento), tem-se:
x ≈
−5+
√
(5)²−4(−3)(−10)−15(1.570220)8−24(−3)(1.570220)5−30(5)(1.570220)4−40(−10)(1.570220)³+15(1.570220)4
2(−3)+20(1.570220)³
x ≈ 1.57022339221253, correto até a 14a casa decimal, em apenas duas iterações.
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3. Teorema de Abel-Runi
O texto a seguir, foi extraído da Wikipédia
(https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_AbelRuni)
O Teorema de Abel-Runi é um teorema criado pelos matemáticos Paolo
Runi (demonstração em 1799, contendo um pequeno erro) e Niels Henrik Abel
(demonstração nal em 1824).
O teorema arma que não há uma solução geral através de radicais para
as equações polinomiais de grau cinco ou superior. Note-se que o teorema não
arma que as equações polinomiais de ordem cinco ou superior não têm solução.
Na verdade, se o polinômio tiver coecientes reais ou complexos e se permitirem-
se soluções complexas, então todos as equações polinomiais têm solução. Essa é
aliás a proposição do teorema fundamental da álgebra. Ainda que essas soluções
não possam ser calculadas com rigor, podem ser obtidas com um grau de precisão
requerido usando métodos numéricos tais como o métodos de Newton-Raphson
ou o de Laguerre.
O teorema refere-se simplesmente à forma que a solução pode ter. Assim,
a solução de uma equação de grau cinco ou superior não pode ser sempre ex-
pressa a partir dos coecentes e usando simplesmente as operações de adição,
subtração, multiplicação, divisão e potenciação (incluindo-se nesta última a ex-
tração de raízes).
3

4. Tomemos como exemplo, a solução das equações polinomiais de segundo
grau, usando a habitual equação quadrática:
As raízes de ax² + bx + c = 0 são: x = −b±
√
b²−4ac
2a . Fórmulas deste tipo
existem também para as equações de terceira e quarta ordem.
O teorema arma portanto que nenhuma solução de cer-
tas equações de quinta ordem pode ser expressa por fórmu-
las daquele tipo.
A equação x5
− x + 1 = 0 é disso um exemplo...
Contrariando, parcialmente, o
Teorema de Abel-Runi
Iremos resolver a equação x5
−x+1 = 0, cujo Teorema de Abel-
Runi arma que é impossível resolvê-la por fórmula semelhante
à, da equação do 2o grau.
Inclusive, preocupei-me com os nomes dos coecentes da fórmula da equação de quinto grau
para que o leitor enxergue esta fórmula como uma extensão da fórmula da equação do 2o grau
(conhecida, no Brazil, com fórmula de bhaskara).
Iremos resolver esta equação aplicando algoritmo puramente algébrico, ou seja,
a fórmula luderiana. Veja que o Método Luderiano apenas não consegue contrariar
totalmente o Teorema de Abel-Runi porque precisamos de 2 ou 3 iterações para cal-
cularmos a raiz. Certamente, o leitor mais observador poderia pensar: mas a fór-
mula resolve apenas equações do tipo x5
+ ax² + bx + c = 0. Sim, é ver-
dade, mas já possuo a fórmula para resolver a equação quintica completa, ou seja,
ax5
+ bx4
+ cx³ + dx² + ex + f = 0. Precisarei, primeiramente, garantir
meus direitos de autor da fórmula antes de publicá-la. Enquanto isto, propositalmente,
escrevi uma versão reduzida da fórmula original e estou explicando-a neste documento
- sem demonstrações matemáticas, obviamente.
Continuando nosso exemplo ...
a) Primeiramente, aplica-se o Método Luderiano para Aproximação Inicial
das Raízes de Equações Polinomiais:
Assim, precisaremos resolver as seguintes equações...
ar2
+ br + c = 0
r5
+ c = 0
A partir da equação original, sabe-se que a=0, b=-1 e c=1. Logo, tem-se:
−r + 1 = 0, cuja solução é r = {1}
r5
+ 1 = 0, cuja solução é r = {-1,
4

5. -0.3090169943749478953521±0.9510565162951540862935i,
0.8090169943749474512629±0.5877852522924725819919i}
Todas, estas raízes possuem o mesmo módulo igual a 1. Quando isto ocorre
escolhe-se qualquer raiz da equação r5
+ c = 0
Portanto, escolheremos -1 para aproximação inicial mas poderiamos escolher
-0.309±0.951i ou 0.809±0.587i.
b) Aplicação da fórmula
x ≈ −b±
√
b²−4ac−15r8
−24ar5
−30br4
−40cr³+15r4
2a+20r³
Onde, a, b e c são, respectivamente, 0, -1 e 1, r ≈ -1
x ≈
1+
√
(−1)²−4(0)(1)−15(−1)8−24(0)(−1)5−30(−1)(−1)4−40(1)(−1)³+15(−1)4
2(0)+20(−1)³
x ≈ −1.1741657386773940441316
Aplicando a fórmula uma 2a vez, agora adotaremos r≈-1.174, tem-se:
x ≈
1+
√
(−1)²−4(0)(1)−15(−1.174)8−24(0)(−1.174)5−30(−1)(−1.174)4−40(1)(−1.174)³+15(−1.174)4
2(0)+20(−1.174)³
x ≈ −1.1673034800222590323671.
Aplicando a fórmula uma 3a vez, agora adotaremos r≈-1.167303, tem-se:
x ≈
1+
√
(−1)²−4(0)(1)−15(−1.167303)8−24(0)(−1.167303)5−30(−1)(−1.167303)4−40(1)(−1.167303)³+15(−1.167303)4
2(0)+20(−1.167303)³
x ≈ −1.167303978261418, correto até a 15a casa decimal, em apenas três iterações.
A Fórmula Luderiana para Equação Quíntica, apresentada neste
documento, é de autoria de Ludenir Santos, Rio Grande - RS (Brazil),
Outubro/2019.
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