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Quadricas (novo)

Claudia Fiuza
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Claudia FiuzaCentro Educacional Alexis Novellino

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Quadricas (novo)

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SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
DEFINIÇÃO
Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma
equação do segundo grau, nas variáveis x, y e z, da forma:
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
+ 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐾 = 0, que mediante uma rotação
ou translação de eixos, ou até mesmo através dos dois movimentos simultaneamente, se
transforma em um dos dois tipos de equações:
1) 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑧2
= D
2) 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐼𝑧 = 0
SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
DEFINIÇÃO
Superfície de revolução é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma curva
plana ou cônica em torno de um de seus eixos ou em torno de uma reta fixa pertencente ao
plano da curva plana ou cônica.
A reta fixa ou eixo em torno da(o) qual rotacionou a curva plana ou cônica é denominada
de eixo da superfície e a curva plana ou cônica é a geratriz.
Exemplo: Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela rotação da
cônica 𝑥2
− 4𝑧2
= 16 e identifique a superfície em cada caso.
a) em torno do eixo dos x
b) em torno do eixo dos z
SOLUÇÃO
𝑥2
− 4𝑧2
= 16 ou
𝑥2
16
−
𝑧2
4
= 1 é uma hipérbole, onde
𝑎2
= 16 e 𝑏2
= 4 ⟹ a = 4 e b = 2
Portanto, 𝑥2
− 4𝑧2
= 16 é uma hipérbole de eixo transverso ou real sobre (paralelo) o eixo
das abscissas (eixo dos x) e eixo conjugado ou imaginário sobre (paralelo) o eixo das cotas (eixo
dos z).
2
a) rotação em torno do eixo dos x
Seja 𝑄(𝑥, 0, 𝑧1) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2
− 4𝑧2
= 16
Logo, 𝑥2
− 4𝑧1
2
= 16 ⟹ 𝑥2
− 16 = 4𝑧1
2
⟹ 𝑧1
2
=
𝑥2− 16
4
( 𝐼)
Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 0, 𝑧1) descreverá uma
circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0).
Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da
circunferência.
Assim, 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥 − 𝑥)2 + (0 − 0)2 + (𝑧1 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅
∴ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑧1
2 ( 𝐼𝐼) ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem:
𝑦2
+ 𝑧2
=
𝑥2− 16
4
⟹ 𝟒𝒚 𝟐
+ 𝟒𝒛 𝟐
= 𝒙 𝟐
− 𝟏𝟔 ⟹ 𝑥2
− 4𝑦2
− 4𝑧2
= 16
A superfície é uma hiperboloide de revolução de 2 folhas.
Q (x, 0, z1)
P (x, y, z)
4-4 0
P (x, y, z)
x
z
y
3
b) rotação em torno do eixo dos z
Seja 𝑄(𝑥1, 0, 𝑧) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2
− 4𝑧2
= 16 .
Logo, 𝑥1
2
− 4𝑧2
= 16 ⟹ 𝑥1
2
− 4𝑧2
= 16 ⟹ 𝑥1
2
= 16 + 4𝑧2
. ( 𝐼)
Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos z, o ponto 𝑄(𝑥1, 0, 𝑧) descreverá uma
circunferência cujo centro é o ponto R(0, 0, z).
Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da
circunferência.
𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 𝑧)2 = √(𝑥1 − 0)2 + (0 − 0)2 + (𝑧 − 𝑧)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅
∴ 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥1
2 ( 𝐼𝐼) ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑥2
+ 𝑦2
= 16 + 4𝑧2
⟹
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
− 𝟒𝒛 𝟐
= 𝟏𝟔 ⟹ 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑧2
= 16
A superfície é uma hiperboloide de revolução de 1 folha.
NOTA:
Na equação de uma hiperboloide, a quantidade de sinais negativos (-) existentes na equação
indica o número de folhas da superfície, ou seja: 1 sinal (-) ⟹ 1 folha; 2 sinais (-) ⟹ 2
folhas.
x2 – 4z2 =16
x2 + y2 = 16-4k2 (z=k)
Q(x1, 0, z)
x
z
y
-4 40
4
DEFINIÇÃO
HIPERBOLOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação (ou
revolução) de uma hipérbole da forma
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 em torno de um de seus eixos, eixo
transverso ou eixo conjugado, ou em torno de um dos eixos coordenados.
Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da
hipérbole
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 em torno do eixo das abscissas (eixo dos x).
SOLUÇÃO
Seja 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) um ponto pertencente à hipérbole
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑦2 = 1 . Logo,
𝑥2
𝑎2 −
𝑦1
2
𝑏2 = 1
⟹
𝑥2
𝑎2 − 1 =
𝑦1
2
𝑏2 ⟹ 𝑦1
2
= 𝑏2
(
𝑥2− 𝑎2
𝑎2 ) ( 𝐼).
Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) descreverá uma
circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0).
Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da
circunferência.
𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦1 − 0)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅
∴ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑦1
2 ( 𝐼𝐼).
( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑏2
(
𝑥2− 𝑎2
𝑎2 ) ⟹
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑏2 =
𝑥2
𝑎2 − 1 ∴
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 −
𝑧2
𝑏2 = 1 Equação da Hiperboloide de Revolução de 2 folhas (dois sinais (-)), com
eixo de rotação sobre o eixo dos x.
OBSERVAÇÃO: A equação
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 −
𝑧2
𝑐2 = 1 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 , representa uma
hiperboloide elíptica (não de revolução) de 2 folhas, com eixo sobre o eixo dos x.
A equação
𝑦2
𝑎2 −
𝑥2
𝑏2 −
𝑧2
𝑐2 = 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma hiperboloide elíptica (não
de revolução) de 2 folhas, com eixo sobre o eixo dos y.
5
Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da
hipérbole
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1 em torno do eixo das ordenadas (eixo dos y).
SOLUÇÃO
Seja 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) um ponto pertencente à hipérbole
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑦2 = 1 . Logo,
𝑥1
2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
⟹
𝑥1
2
𝑎2 = 1 +
𝑦2
𝑏2 ⟹ 𝑥1
2
= 𝑎2
(
𝑏2+ 𝑦2
𝑏2 ) ( 𝐼).
Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma
circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0).
Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da
circunferência.
𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥1 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅
∴ 𝑥2
+ 𝑧2
= 𝑥1
2 ( 𝐼𝐼).
P (x, y, z)
Q (x, y1, 0)
R (x, 0, 0)
x
y
z
P (x, y, z)
Q (x, y1, 0)
R (x, 0, 0)0-a a
6
( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑥2
+ 𝑧2
= 𝑎2
(
𝑏2+ 𝑦2
𝑏2 ) ⟹
𝑥2
𝑎2 +
𝑧2
𝑎2 =
𝑦2
𝑏2 + 1 ∴
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑎2 = 1. Equação da Hiperboloide de Revolução de 1 folha (um sinal (-)), com
eixo de rotação sobre o eixo dos y.
A equação
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑐2 = 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma hiperboloide elíptica (não
de revolução) de 1 folha, com eixo sobre o eixo dos y.
P(x,y,z)
R (0, y, 0)
x
y
z
-a a0
Q(x1, y1, 0)
R(0, y, 0)
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
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= 𝟏

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Quadricas (novo)

  • 1. 1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS DEFINIÇÃO Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma equação do segundo grau, nas variáveis x, y e z, da forma: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐾 = 0, que mediante uma rotação ou translação de eixos, ou até mesmo através dos dois movimentos simultaneamente, se transforma em um dos dois tipos de equações: 1) 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 = D 2) 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐼𝑧 = 0 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO DEFINIÇÃO Superfície de revolução é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma curva plana ou cônica em torno de um de seus eixos ou em torno de uma reta fixa pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A reta fixa ou eixo em torno da(o) qual rotacionou a curva plana ou cônica é denominada de eixo da superfície e a curva plana ou cônica é a geratriz. Exemplo: Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela rotação da cônica 𝑥2 − 4𝑧2 = 16 e identifique a superfície em cada caso. a) em torno do eixo dos x b) em torno do eixo dos z SOLUÇÃO 𝑥2 − 4𝑧2 = 16 ou 𝑥2 16 − 𝑧2 4 = 1 é uma hipérbole, onde 𝑎2 = 16 e 𝑏2 = 4 ⟹ a = 4 e b = 2 Portanto, 𝑥2 − 4𝑧2 = 16 é uma hipérbole de eixo transverso ou real sobre (paralelo) o eixo das abscissas (eixo dos x) e eixo conjugado ou imaginário sobre (paralelo) o eixo das cotas (eixo dos z).
  • 2. 2 a) rotação em torno do eixo dos x Seja 𝑄(𝑥, 0, 𝑧1) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2 − 4𝑧2 = 16 Logo, 𝑥2 − 4𝑧1 2 = 16 ⟹ 𝑥2 − 16 = 4𝑧1 2 ⟹ 𝑧1 2 = 𝑥2− 16 4 ( 𝐼) Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 0, 𝑧1) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. Assim, 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥 − 𝑥)2 + (0 − 0)2 + (𝑧1 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑧1 2 ( 𝐼𝐼) ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑥2− 16 4 ⟹ 𝟒𝒚 𝟐 + 𝟒𝒛 𝟐 = 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟔 ⟹ 𝑥2 − 4𝑦2 − 4𝑧2 = 16 A superfície é uma hiperboloide de revolução de 2 folhas. Q (x, 0, z1) P (x, y, z) 4-4 0 P (x, y, z) x z y
  • 3. 3 b) rotação em torno do eixo dos z Seja 𝑄(𝑥1, 0, 𝑧) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2 − 4𝑧2 = 16 . Logo, 𝑥1 2 − 4𝑧2 = 16 ⟹ 𝑥1 2 − 4𝑧2 = 16 ⟹ 𝑥1 2 = 16 + 4𝑧2 . ( 𝐼) Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos z, o ponto 𝑄(𝑥1, 0, 𝑧) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0, 0, z). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 𝑧)2 = √(𝑥1 − 0)2 + (0 − 0)2 + (𝑧 − 𝑧)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥1 2 ( 𝐼𝐼) ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑥2 + 𝑦2 = 16 + 4𝑧2 ⟹ 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒛 𝟐 = 𝟏𝟔 ⟹ 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑧2 = 16 A superfície é uma hiperboloide de revolução de 1 folha. NOTA: Na equação de uma hiperboloide, a quantidade de sinais negativos (-) existentes na equação indica o número de folhas da superfície, ou seja: 1 sinal (-) ⟹ 1 folha; 2 sinais (-) ⟹ 2 folhas. x2 – 4z2 =16 x2 + y2 = 16-4k2 (z=k) Q(x1, 0, z) x z y -4 40
  • 4. 4 DEFINIÇÃO HIPERBOLOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma hipérbole da forma 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 em torno de um de seus eixos, eixo transverso ou eixo conjugado, ou em torno de um dos eixos coordenados. Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da hipérbole 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 em torno do eixo das abscissas (eixo dos x). SOLUÇÃO Seja 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑦2 = 1 . Logo, 𝑥2 𝑎2 − 𝑦1 2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑥2 𝑎2 − 1 = 𝑦1 2 𝑏2 ⟹ 𝑦1 2 = 𝑏2 ( 𝑥2− 𝑎2 𝑎2 ) ( 𝐼). Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦1 − 0)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑦1 2 ( 𝐼𝐼). ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑏2 ( 𝑥2− 𝑎2 𝑎2 ) ⟹ 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑏2 = 𝑥2 𝑎2 − 1 ∴ 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑏2 = 1 Equação da Hiperboloide de Revolução de 2 folhas (dois sinais (-)), com eixo de rotação sobre o eixo dos x. OBSERVAÇÃO: A equação 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 , representa uma hiperboloide elíptica (não de revolução) de 2 folhas, com eixo sobre o eixo dos x. A equação 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 − 𝑧2 𝑐2 = 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma hiperboloide elíptica (não de revolução) de 2 folhas, com eixo sobre o eixo dos y.
  • 5. 5 Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da hipérbole 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 em torno do eixo das ordenadas (eixo dos y). SOLUÇÃO Seja 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) um ponto pertencente à hipérbole 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑦2 = 1 . Logo, 𝑥1 2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 ⟹ 𝑥1 2 𝑎2 = 1 + 𝑦2 𝑏2 ⟹ 𝑥1 2 = 𝑎2 ( 𝑏2+ 𝑦2 𝑏2 ) ( 𝐼). Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥1 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑥2 + 𝑧2 = 𝑥1 2 ( 𝐼𝐼). P (x, y, z) Q (x, y1, 0) R (x, 0, 0) x y z P (x, y, z) Q (x, y1, 0) R (x, 0, 0)0-a a
  • 6. 6 ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑥2 + 𝑧2 = 𝑎2 ( 𝑏2+ 𝑦2 𝑏2 ) ⟹ 𝑥2 𝑎2 + 𝑧2 𝑎2 = 𝑦2 𝑏2 + 1 ∴ 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑎2 = 1. Equação da Hiperboloide de Revolução de 1 folha (um sinal (-)), com eixo de rotação sobre o eixo dos y. A equação 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma hiperboloide elíptica (não de revolução) de 1 folha, com eixo sobre o eixo dos y. P(x,y,z) R (0, y, 0) x y z -a a0 Q(x1, y1, 0) R(0, y, 0) 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 𝟏
  • 7. 7 NOTA: Na equação da Superfície Hiperbólica, o termo com sinal diferente dos outros dois termos indica o eixo de rotação da superfície. DEFINIÇÃO ELIPSOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação ou revolução da elipse em torno de um de seus eixos, normalmente em torno do eixo maior. Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 em torno do eixo dos x (eixo das abscissas). x y z b -a 0 a -b R(x, 0, 0) Q(x, y1, 0)
  • 8. 8 SOLUÇÃO Seja 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) um ponto pertencente à elipse 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1 . Logo, 𝑥2 𝑎2 + 𝑦1 2 𝑏2 = 1 ⟹ 1 − 𝑥2 𝑎2 = 𝑦1 2 𝑏2 ⟹ 𝑦1 2 = 𝑏2 ( 𝑎2− 𝑥2 𝑎2 ) ( 𝐼). Ao girar a curva (elipse) em torno do eixo dos x, o ponto 𝑄(𝑥, 𝑦1, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(x, 0, 0). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥 − 𝑥)2 + (𝑦1 − 0)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑦1 2 ( 𝐼𝐼). ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑏2 ( 𝑎2− 𝑥2 𝑎2 ) ⟹ 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑏2 = 1 − 𝑥2 𝑎2 ∴ 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑏2 = 1. Equação da Elipsoide de Revolução ou Circular de eixo de rotação sobre o eixo dos x. NOTA: A equação 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 = 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐, representa uma elipsoide elíptica (não de revolução), com eixo sobre o eixo dos x. Quando 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, a equação 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑎2 + 𝑧2 𝑎2 = 1 ou 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 representa uma superfície esférica. DEFINIÇÃO PARABOLOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma parábola em torno do seu eixo de simetria. Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da parábola 𝑎𝑥2 = 𝑏𝑦 em torno do eixo dos y (eixo das ordenadas). SOLUÇÃO Seja 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) um ponto pertencente à parábola 𝑎𝑥2 = 𝑏𝑦 .
  • 9. 9 Logo, 𝑎𝑥1 2 = 𝑏𝑦 ⟹ 𝑥1 2 = 𝑏𝑦 𝑎 ( 𝐼) Ao girar a curva (parábola) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥1 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑥2 + 𝑧 2 = 𝑥1 2 ( 𝐼𝐼) ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑥2 + 𝑧2 = 𝑏𝑦 𝑎 ∴ 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑧2 = 𝑏𝑦. Equação da Paraboloide de Revolução ou Circular de eixo de rotação sobre o eixo dos y. NOTA: A equação 𝑎𝑥2 + 𝑐𝑧2 = 𝑏𝑦, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 𝑐, representa uma paraboloide elíptica (não de revolução), com eixo sobre o eixo dos y. x y z 0 Q(x, y1, 0) ax2 = by R(0, y, 0)
  • 10. 10 DEFINIÇÃO PARABOLOIDE HIPERBÓLICO ou SELA é a superfície ou lugar geométrico de uma equação da forma 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑧2 = 𝑐𝑦, com c > 0. A seção por um plano y = k (k > 0), é a hipérbole 𝒂𝒙 𝟐 − 𝒃𝒛 𝟐 = 𝒄𝒌, cujos eixos transverso e conjugado são paralelos aos eixos das abscissas (eixo dos x) e das ordenadas (eixo dos y). A seção por um plano x = k, são parábolas de equações 𝒄𝒚 = −𝒃𝒛 𝟐 + 𝒂𝒌 𝟐 A seção por um plano z = k, são parábolas de equações 𝒄𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 − 𝒃𝒌 𝟐 A seção por um plano x = 0, é a parábola de equação 𝒄𝒚 = −𝒃𝒛 𝟐 A seção por um plano y = 0, é o par de retas de equações √ 𝒂. 𝒙 = ± √𝒃. 𝒛 A seção por um plano z = 0, é a parábola de equação 𝒄𝒚 = 𝒂𝒙 𝟐 DEFINIÇÃO SUPERFÍCIE CÔNICA ou simplesmente CONE é a superfície gerada por uma reta que gira em torno de um dos eixos coordenados, passando sempre por um mesmo ponto, denominado de vértice da superfície cônica. Exemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da reta (r): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 em torno do eixo dos y (eixo das ordenadas). x y z 0 √ 𝒂x = –√𝒃z √ 𝒂x = √𝒃z
  • 11. 11 SOLUÇÃO Seja 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) um ponto pertencente à reta 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 . Desta forma, 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑥1 = − 𝑏𝑦 + 𝑐 𝑎 ( 𝐼) Ao girar a curva (reta) em torno do eixo dos y, o ponto 𝑄(𝑥1, 𝑦, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0, y, 0). Sendo P(x, y, z) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que 𝑃𝑅̅̅̅̅ = 𝑄𝑅̅̅̅̅ = 𝑟𝑎𝑖𝑜 da circunferência. 𝑃𝑅̅̅̅̅ = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (𝑧 − 0)2 = √(𝑥1 − 0)2 + (𝑦 − 𝑦)2 + (0 − 0)2 = 𝑄𝑅̅̅̅̅ ∴ 𝑥2 + 𝑧2 = 𝑥1 2 ( 𝐼𝐼). ( 𝐼) em ( 𝐼𝐼), vem: 𝑥2 + 𝑧2 = (− 𝑏𝑦 + 𝑐 𝑎 ) 2 ∴ 𝑎2 𝑥2 + 𝑎2 𝑧2 = ( 𝑏𝑦 + 𝑐)2 ⟹ 𝑎2 𝑥2 + 𝑎2 𝑧2 − ( 𝑏𝑦 + 𝑐)2 = 0 Equação da Superfície Cônica de Revolução ou Circular x y z 0 Q(x1, y, 0) ax + by + c = 0 vértice
  • 12. 12 NOTA: A equação 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑧2 − 𝑐𝑦2 = 0, com 𝑎 ≠ 𝑏, representa uma superfície cônica (ou simplesmente cone) não de revolução, ou seja, uma superfície cônica elíptica com vértice na origem O(0, 0, 0). DEFINIÇÃO SUPERFÍCIE CILÍNDRICA, ou simplesmente CILINDRO, é a superfície gerada por uma reta móvel que se desloca ao longo de uma curva plana ou cônica mantendo-se paralelamente a uma reta fixa não pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A curva plana ou cônica é denominada diretriz da superfície cilíndrica e a reta móvel é chamada de geratriz da superfície. Normalmente a reta fixa (e a geratriz) é perpendicular ao plano da curva plana ou cônica e, neste caso, a equação da superfície cilíndrica (ou cilindro) é a mesma equação da curva plana ou cônica. Exemplo: Discuta, identifique e esboce o gráfico de cada uma das superfícies seguintes: a) 4𝑥2 − 𝑧2 = 16 b) 4𝑥2 + 𝑧2 = 16 c) 4𝑥2 + 𝑧 = 2 d) 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 2 SOLUÇÕES a) 4𝑥2 − 𝑧2 = 16 ou 𝑥2 4 − 𝑧2 16 = 1 (𝑎2 = 4 𝑒 𝑏2 = 16 ∴ 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 4) Discussão: A equação 4𝑥2 − 𝑧2 = 16 representa, no plano, uma hipérbole com eixo transverso ou real sobre o eixo dos x e eixo conjugado ou imaginário sobre o eixo dos z. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica hiperbólica, uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretriz).
  • 13. 13 b) 4𝑥2 + 𝑧2 = 16 ou 𝑥2 4 + 𝑧2 16 = 1 (𝑎2 = 16 𝑒 𝑏2 = 4 ∴ 𝑎 = 4 𝑒 𝑏 =2) Discussão: A equação 4𝑥2 + 𝑧2 = 16 representa, no plano, uma elipse com eixo maior sobre o eixo dos z e eixo menor sobre o eixo dos x. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica elíptica (cilindro elíptico), uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretriz). x y z 0 4x2 – z2 = 16 2-2 z y x 0 -2 2 4-4
  • 14. 14 c) 4𝑥2 + 𝑧 = 2 Discussão: A equação 4𝑥2 + 𝑧 = 2 representa, no plano, uma parábola com eixo de simetria sobre o eixo dos z. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica parabólica (cilindro parabólico), uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretriz). d) 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 2 Discussão: 1) Se x = 0, tem-se 𝑦2 + 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −𝑦2 + 2, que representa uma parábola no plano y0z. 2) Se y = 0, tem-se 4𝑥2 + 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −4𝑥2 + 2, que representa uma parábola no plano x0z. 3) Se z = 0, tem-se 4𝑥2 + 𝑦2 = 2, que representa uma elipse no plano x0y. 4) Se x = k, tem-se 4𝑘2 + 𝑦2 + 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −𝑦2 + 2 − 4𝑘2 , que representa uma parábola. 5) Se y = k, tem-se 4𝑥2 + 𝑘2 + 𝑧 = 2 ou 𝑧 = −4𝑥2 + 2 − 𝑘2 , que representa uma parábola. 6) Se z = k, tem-se 4𝑥2 + 𝑦2 + 𝑘 = 2 ou 4𝑥2 + 𝑦2 = 2 − 𝑘, que representa uma elipse, desde que 2 – k ≥ 0.
  • 15. 15 Assim, a superfície é uma parabolóide elíptica (não de revolução), com eixo sobre o eixo dos z. z 2 y x0− √𝟐 𝟐 √𝟐 𝟐