Material usado em uma disciplina de cálculo diferencial

2. Função sob varias perspectivas
Uma máquina ou algoritmo de criar relações entre dois
elementos de conjuntos distintos.

3. • 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
• Vimos vários exemplos de funções que representam a realidade como
o fluxo do trânsito e a bitola de um fio elétrico.
Estudar funções?

4. Estudar funções?

5. Motivação: Exemplos de funções de mais de
uma variável
onde r é o raio e h é a altura do cilindro
Lembre-se de que o volume de um cilindro circular é
dado pela fórmula:
h
r
V 2
cilindro 

Desse modo, o volume do cilindro é função do raio e da altura do
mesmo, ou seja,
h
r
)
h
,
r
(
f
V 2
cilindro 


Logo, o volume do cilindro é função de duas variáveis.
O volume de um paralelepípedo retângulo é dado pela fórmula:
c
b
a
V 


onde a, b e c são os comprimentos de três arestas não
coplanares.
Assim, o volume do paralelepípedo é função de três
variáveis.
)
c
,
b
,
a
(
f
c
b
a
V 



Exemplo 1
Exemplo 2

6. Motivação: Exemplos de funções de mais de
uma variável
Exemplo 3

7. Em geral, os resultados que se estabelecem para funções de duas
variáveis, podem ser estendidos para funções de mais de duas variáveis.
.
Assim, estudaremos funções de duas variáveis, e consideraremos
funções de mais de duas variáveis, quando desejarmos focalizar uma
propriedade ou resultado especial.
Definição
Seja D um subconjunto de R2. Uma relação f que a cada par (x,y) 
D associa um único elemento z  R é denomina-se “função de duas
variáveis” .
Notação: R
D
:
f 
 
y
,
x
f
z 
R
R
:
f 2

 
9
y
4
x
y
,
x
f
z
2
2



 
  R
0
y
x
4
;
R
y
,
x
:
g 2
2
2





  2
2
y
x
4
y
,
x
g
z 




  5
1
4
9
3
4
4
3
,
4
f
z
2
2





   0
0
2
4
0
,
2
g
z 2
2






Definições
Exemplo 1 Exemplo 2

8. O subconjunto de D de R2 é denominado domínio da função f
As variáveis x e y são denominadas “independentes” e z variável
“dependente”.
O conjunto dos valores z  R para os quais existem (x,y) D, tal que
 
y
,
x
f
z  é chamado “imagem” da função f.
R
D
:
f 
 
y
,
x
f
z 
Considere f uma função de duas variáveis.
Notação:  
D(f)
y)
(x,
algum
para
),
y
,
x
(
f
z
;
R
z
)
f
Im( 



Exemplo 3
𝑔: 𝐷 → 𝑅
𝑔: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
|4 − 𝑥2
− 𝑦2
≥ 0 → 𝑅
𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
𝑧 = − 4 − 𝑥2 − 𝑦2
O domínio é o conjunto de todos os
elementos (x, y) válidos em g(x, y). Então
𝐷 𝑔 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅2
|4 − 𝑥2
− 𝑦2
≥ 0
Determinar o domínio e imagem da
função g(x, y).
A imagem é o conjunto de todos os valores z
possíveis da função. Analisando a lei da
função e seu domínio, podemos ver que o
valor mínimo atingido ocorre para 𝑔(0 , 0) =
−2. O valor máximo é 0, que ocorre para
todo (x, y) pertencer à circunferência 𝑥2
+
𝑦2
= 4
Im(g) = {𝑧 ∈ 𝑅| − 2 ≤ 𝑧 ≤ 0}

9. Definições

10. R
R
:
f 2

 
9
y
4
x
y
,
x
f
z
2
2



Observe que o domínio de f é R2 , ou seja, 2
R
)
f
(
D 
Observe também que   0
9
y
4
x
y
,
x
f
z
2
2




Assim, a imagem é 
 R
)
f
Im(
E o gráfico de f é dado por:
 














9
y
4
x
z
;
R
z
,
y
,
x
)
f
(
graf
2
2
3
x
y
z
Finalmente, graf(f) é um paraboloide elíptico.
O subconjunto de R3
 
 
)
y
,
x
(
f
z
;
R
z
,
y
,
x 3


é denominado gráfico de f.
Notação:  
 
)
y
,
x
(
f
z
;
R
z
,
y
,
x
)
f
(
graf 3



Observe que o gráfico de f é uma superfície.
Exemplo 1
Gráficos

11.  
  R
0
y
x
4
;
R
y
,
x
:
g 2
2
2




   2
2
y
x
4
y
,
x
g
z 




Vimos que o domínio de g é  
 
0
y
x
4
;
R
y
,
x
)
g
(
D 2
2
2





Observe que a equação 4
y
x
0
y
x
4 2
2
2
2






Esta equação representa uma circunferência de centro na origem e raio
2, que divide o plano em duas regiões: uma interna e a outra externa à
circunferência.
Volte a observar a desigualdade
2
2
2
2
4
0
4 y
x
y
x 





Logo, o domínio da função g é representado
pela região interna à circunferência.
0

Exemplo 2
Fique atento! Esse não é o gráfico da
função g(x, y). Haverão mais situações onde
será solicitado que se esboce o gráfico do
domínio da função.

12. E o gráfico de f é dado por:
Observe então que:
2
2
2
2
y
x
4
z 




 



4
y
x
z 2
2
2



Assim, o graf(g) é a superfície da
semiesfera esboçada a seguir: x
y
z
 
  R
0
y
x
4
;
R
y
,
x
:
g 2
2
2




   2
2
y
x
4
y
,
x
g
z 




 
 
0
y
x
4
;
R
y
,
x
)
g
(
D 2
2
2





A equação anterior representa uma
superfície esférica de centro na origem
e raio r = 2.
Exemplo 2
𝐼𝑚 𝑔 = [−2, 0]
𝒈𝒓𝒂𝒇 𝒈 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅3
𝑧 = − 4 − 𝑥2 − 𝑦2}

13. Determine o domínio, a imagem e o gráfico das funções dadas a
seguir:
  y
x
y
,
x
g
z
)
a 


O domínio é o conjunto dos pares (x, y) para os quais z pertence a R.
Assim,  
 
0
y
x
;
R
y
,
x
)
g
(
D 2




Observe que a equação x
y
0
y
x 




Esta equação representa uma reta r e toda reta divide o plano em
duas regiões chamadas semiplanos.
x
y
0
y
x 




Volte a observar a desigualdade
Logo, o domínio da função g é representado
pela região ilustrada ao lado.
Para determinar a imagem de g, comece
lembrando que:
  y
x
y
,
x
g
z 

 0

Daí, 
 R
)
g
Im(
Exemplo 3
𝐼𝑚 𝑔 = 𝑧 ∈ R 𝑧 = 𝑔 𝑥, 𝑦 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷(𝑔)}.

14.   y
x
y
,
x
g
z
)
a 

  
 
0
y
x
;
R
y
,
x
)
g
(
D 2



 
 R
)
g
Im(
O gráfico de f é dado por:
 
 
y
x
z
;
R
z
,
y
,
x
)
f
(
graf 3




Observe então que:
 2
2
y
x
z 

y
x
z2


A equação anterior representa a
superfície esboçada ao lado
x
y
z

15.   2
2
y
x
16
y
,
x
f
z
)
b 



O domínio é o conjunto dos pares (x,y) para os quais z pertence a R.
Assim,
 
 
0
y
x
16
;
R
y
,
x
)
f
(
D 2
2
2





Observe que a equação 16
y
x
0
y
x
16 2
2
2
2






Esta equação representa uma circunferência de centro na origem e
raio 4, que divide o plano em duas regiões: uma interna e a outra
externa à circunferência.
Volte a observar a desigualdade
2
2
2
2
16
0
16 y
x
y
x 





Logo, o domínio da função f é a região
interna a circunferência.
 
D(f)
y)
(x,
algum
para
),
y
,
x
(
f
z
;
R
z
)
f
Im( 



Para determinar a imagem de f, comece
lembrando que:
  2
2
y
x
16
y
,
x
f
z 



Daí,  
4
,
0
)
g
Im( 
 
2
2
16 y
x 


0

Exemplo 4

16.   2
2
y
x
16
y
,
x
f
z
)
c 



 
 
0
y
x
16
;
R
y
,
x
)
f
(
D 2
2
2




  
4
,
0
)
g
Im( 
O gráfico de f é dado por:
 
 
2
2
3
y
x
16
z
;
R
z
,
y
,
x
)
f
(
graf 




Observe então que:
2
2
2
y
x
16
z 


16
y
x
z 2
2
2



A equação anterior representa uma
superfície esférica de centro na
origem e raio r = 4.
Assim, o graf(f) é a superfície de uma
semiesfera esboçada ao lado.
x
y
z

17. Curvas de nível: Motivação
Conceito usado na geografia.
Interseção com planos
horizontais de diferentes
níveis. Nesta figura temos os
níveis A, B, C, D, E.
Qualquer ponto sobre a mesma linha
da curva tem o mesmo nível na
direção vertical (tem a mesma
altura)

18. Curvas de nível
Definição
As curvas de nível de uma função 𝑓 de duas variáveis são
aquelas com equação 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘, onde k é uma constante
que pertence a imagem de 𝑓.

19. Exemplo 1
Esboçar algumas curvas de nível (mapa de contorno) da
função.
a) 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2
4
+
𝑦2
9
Escolhendo k = 0, 1, 2, 4, 9.
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 ⇒
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 0. Esta equação tem apenas uma solução
que é (0, 0)
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 ⇒
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1. Está é a equação de uma elipse, onde
a=3 e b=2.
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2 ⇒
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 2 ⇒
𝑥2
8
+
𝑦2
18
= 1. Está é a equação de uma
elipse, onde 𝑎 = 18 e 𝑏 = 8.
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 ⇒
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 4 ⇒
𝑥2
16
+
𝑦2
36
= 1. Está é a equação de uma
elipse onde a=6 e b=4.
• 𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 ⇒
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 9 ⇒
𝑥2
36
+
𝑦2
81
= 1. Está é a equação de uma
elipse onde a=9 e b=6.

20. Em qual direção as linhas ficam mais próximas?
As linhas das curvas ficam mais próximas na direção
do eixo 𝒙. Isso se deve ao fato do gráfico ser mais
inclinado nesta direção.

21. b) g 𝑥, 𝑦 = 16 − 𝑥2 − 𝑦2
Escolhendo 𝑘 = 0, 1, 2, 3 𝑒 4. .
Exemplo 2
• 𝑔 𝑥, 𝑦 = 0 ⇒ 16 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0 ⇒ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟔. Esta é a equação
de uma circunferência de raio 4.
• 𝑔 𝑥, 𝑦 = 1 ⇒ 16 − 𝑥2 − 𝑦2 = 1 ⇒ 16 − 𝑥2 − 𝑦2
2
= 12 ⇒ −𝒙𝟐 −
𝒚𝟐
= 𝟏 − 𝟏𝟔 ⇒ 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 15. Esta é a equação de uma
circunferência de raio 15.
• 𝑔 𝑥, 𝑦 = 2 ⇒ 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏2. Esta é a equação de uma
circunferência de raio 12.
• 𝑔 𝑥, 𝑦 = 3 ⇒ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 7. Esta é a equação de uma circunferência
de raio 7.
• 𝑔 𝑥, 𝑦 = 4 ⇒ 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎. A única solução desta equação é o
elemento (0, 0).

22. Proximidade das linhas.
Perceba que a proximidade das
linhas é menor nos intervalos
onde o gráfico é mais inclinado.
Veja que k0 está bem próxima
de k1. Diferente da
proximidade entre k3 e k4.

23. Gráficos e seus mapas de contorno
Paraboloide hiperbólico
Paraboloide elíptico Cone

24. Gráficos e seus mapas de contorno
Compare a inclinação
entre os gráficos
Região mais inclinada

25. Funções de três ou mais variáveis
Uma função com três variáveis, f, é uma regra que associa a
cada tripla ordenada (x, y, z) em um domínio 𝐷 ⊂ 𝑅3 um único
número real, denotado por 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
Como exemplo podemos considerar
a Temperatura (T) da água
oceânica em função das variáveis,
profundidade (h), densidade (𝜌) e
pressão (p),
𝑇 = 𝑓(ℎ, 𝜌, 𝑝)

26. Exemplo 1
Determinar o domínio da função e esboçar o gráfico do
domínio.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 9 − 𝑥2 − 4𝑦2 − 4𝑧2 +𝑥 sin 𝑧
O domínio é o conjunto de toda tripla (𝑥, 𝑦, 𝑧) válidas para a lei da função.
Sabendo que não admite números negativos temos que
9 − 𝑥2 − 4 𝑦2 − 4 𝑧2 ≥ 0
−𝑥2−4 𝑦2 − 4 𝑧2 ≥ −9
𝒙𝟐+𝟒 𝒚𝟐 + 𝟒 𝒛𝟐 ≤ 𝟗
Dessa forma o domínio fica 𝑫 𝒇 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑹𝟑 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒚𝟐 + 𝟒 𝒛𝟐 ≤ 𝟗}
Como a equação 𝑥2+4 𝑦2 + 4 𝑧2 = 9 é de um elipsoide, qualquer tripla (𝑥, 𝑦, 𝑧) que
estiver na superfície ou no interior do elipsoide pertence ao domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Não é o gráfico
de 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 !

27. As funções de três variáveis ou mais não podem ter seus gráficos plotados,
para isso seriam necessárias 4 dimensões. Contudo, assim como encontramos
curvas de nível para funções de duas variáveis, podemos encontrar
superfícies de nível para funções de três variáveis.
As superfícies de nível da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) é o conjunto de todos os pontos
(𝑥, 𝑦, 𝑧) que satisfazem a equação 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘
Superfícies de nível
Exemplo 1
Encontrar as superfícies de nível para a função 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Escolhendo k = 1, 4, 9 temos:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1 , que é a equação de
uma esfera de raio 1.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝟒 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 , que é a equação de
uma esfera de raio 2.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝟗 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 , que é a equação de
uma esfera de raio 3.

28. Exemplo 2
Considerando a função 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 4𝑧2 − 2𝑥2 − 2𝑦2, descreva a superfície de
nível que passa pelo ponto (1, 4, −3)
Primeiramente devemos saber qual é o valor da função para o ponto
(1, 4, −3) solicitado.
𝑓 1, 4, −3 = 4(−3)2
− 2 1 2
− 2 4 2
= 36 − 2 − 32 = 2 . Logo, estamos
interessados na superfície de nível para k=2
Agora podemos fazer:
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 ⇒ 4𝑧2
− 2𝑥2
− 2𝑦2
= 2 ⇒ 𝟐𝒛𝟐
− 𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
= 𝟏
Comparando com −
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 +
𝑧2
𝑐2 = 1 (equação geral de um hiperboloide de
duas folhas)
No próximo slide será apresentado as superfícies mais
comuns.

30. Anote suas dúvidas!
Estarei sempre disposto a tirar vossas dúvidas. Boa leitura!