O documento apresenta o Teorema dos Casamentos e explica sua demonstração por indução completa. O teorema afirma que é possível selecionar elementos distintos de vários conjuntos, um de cada conjunto, se a união de qualquer subconjunto de conjuntos contiver ao menos elementos quantos conjuntos nesse subconjunto. A demonstração considera dois casos baseando-se no número de elementos na união de subconjuntos.

1. QUESTÕES PUC-RIO - TEOREMA DOS CASAMENTOS
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje iremos abordar o Teorema dos Casamentos, uma questão abordada em
um fórum de debate matemático da Puc-Rio, de forma simples darei dois
exemplos de como o Teorema pode ser aplicado na resolução de problemas.
Introdução

3. Preparados? Então vamos a explicação:

4. Sejam A(1), A(2), ..., A(n) conjuntos tais que a união da quaisquer i deles
(1 <= i <= n) contém no mínimo i elementos distintos.

5. Então é possível selecionar n elementos distintos, sendo um de cada conjunto.
Dem:
Indução completa em n (número de conjuntos):
n = 1: óbvio
Hipotese de Inducao: o teorema eh verdadeiro para 1 <= n <= m-1.

6. Consideremos m conjuntos A(1), ..., A(m) tais que a união de quaisquer k deles
(1 <= i <= m) contenha pelo menos i elementos distintos.
Temos dois casos a considerar:

7. CASO 1:
Para cada k (1 <= k <= m-1), a união de quaisquer k conjuntos contém pelo
menos k+1 elementos.
Nesse caso, escolha um elemento qualquer de A(m) - digamos "a".
Como a união dos m-1 conjuntos A(1), ..., A(m-1) contém pelo menos m
elementos, a união de A(1) - {a}, ..., A(m-1) - {a} ira conter, no mínimo, m-1
elementos.
Assim, pela hipotese de inducao, podemos escolher um elemento distinto de
cada um destes conjuntos.
Estes m-1 elementos, juntamente com "a", serao m elementos distintos, cada
um escolhido de um dos A(i) (1 <= i <= )

8. CASO 2:
Existem: (i) um inteiro k (1 <= k <= m-1) e (ii) k conjuntos tais que a sua união
contem exatamente k elementos.
Como 1 <= k <= m-1, podemos aplicar a hipotese de inducao e escolher um
elemento distinto de cada um dos k conjuntos cuja união contem k elementos.
Suponhamos que dentre os m-k conjuntos restantes, existam j ( 1 <= j <= m-k)
cuja união contenha menos do que j elementos que sejam distintos dos k
elementos escolhidos acima.

9. Então, a união dos k conjuntos iniciais com estes j conjuntos irá conter menos
do que k + j elementos, o que contradiz a hipótese do teorema sobre estes
conjuntos.
Logo, dentre os m-k conjuntos restantes, a união de quaisquer j ( 1 <= j <=
m-k) irá conter pelo menos j elementos e todos eles serão distintos dos k
elementos escolhidos inicialmente.

10. Assim, podemos também aplicar a hipotese de inducao a estes m-k conjuntos
e escolher um elemento distinto de cada um deles. Além do mais, podemos
fazer isso de forma que estes elementos sejam distintos dos k elementos
escolhidos inicialmente.
Em suma, também neste caso é possível escolher m elementos distintos,
sendo um de cada um dos A(i) (1 <= i <= n)

11. Confira esse debate no fórum Puc-Rio: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00050.h