Aritmética modular

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Apresentação feita por alunos do 2º semestre de Sistemas de Informações da Faculdade de Juazeiro do Norte (FJN) na disciplina de Matemática Discreta II.

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Aritmética modular

  1. 1. ARITMÉTICA MODULAR Um novo contexto para operações básicas
  2. 2. EQUIPE Wesley Siebra Maurício Neto Joéliton Araújo Ellison Alencar Paulo Dayvson
  3. 3. A OPERAÇÃO (A mod B) 11 (mod 3) = 2 - 37 (mod 5) = 35 (mod 7) = 5
  4. 4. CONGRUÊNCIA
  5. 5. EXEMPLOVerificar se 14 e 22 são congruentes no módulo 6:
  6. 6. O QUE É ARITMÉTICA?É o estudo das operações básicas: Adição; Subtração; Multiplicação ; Divisão.
  7. 7. CONTEXTOEsta visão mais simplista da aritmética é normalmente estudada no contexto dos conjuntos Z (inteiros) e Q (naturais).
  8. 8. UM NOVO CONTEXTOO novo contexto que iremos trabalhar é o conjunto Zn .Dado um número inteiro n>1, então:
  9. 9. UM NOVO CONTEXTOComo todo número inteiro produz um resto ao ser dividido por n, Zn tem em si um representante para cada número inteiro.
  10. 10. UMA NOVA VISÃO
  11. 11. ADIÇÃO MODULAR
  12. 12. EXEMPLOS = (5 + 5) mod 10 = 10 mod 10 = 0
  13. 13. EXEMPLOS Ainda com n = 10 = (9 + 9) mod 10 = 18 mod 10 = 8
  14. 14. SUBTRAÇÃO MODULARExemplo: (Com n = 10) = (8 - 5) mod 10 = 3 mod 10 = 3
  15. 15. PRIMOS ENTRE SIDois números inteiros quaisquer são primos entre si quando: mdc(a,b) = 1
  16. 16. INVERSO MODULAR
  17. 17. EXPLORANDO ALGUNS INVERSOS (mod n) , COM n = 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 0 2 4 6 8 1 3 5 7 3 0 3 6 0 3 6 0 3 6 4 0 4 8 3 7 2 6 1 5 5 0 5 1 6 2 7 3 8 4 6 0 6 3 0 6 3 0 6 3 7 0 7 5 3 1 8 6 4 2 8 0 8 7 6 5 4 3 2 1
  18. 18. NOTA-SE QUE... Os números invertíveis foram:  1, 2, 4, 5, 7 e 8 (primos entre si com 9)Os não-invertíveis foram:  0, 3 e 6. (Não são primos entre si com 9)
  19. 19. DIVISÃO MODULAR Onde b-1 é o inverso modular de a.
  20. 20. EXEMPLO
  21. 21. APLICAÇÕES Cálculos envolvendo datas, períodos e ciclos de tempo e outros; Identificação (CPF, CNPJ, ISBN,ISSN); Criptografia; Geração de números pseudo- aleatórios; Endereçamento de memória; Código de barras; etc.
  22. 22. PROBLEMA PRÁTICO!
  23. 23. SOLUÇÃO...Como 118 mod 8 = 6, então a estará no fio G.
  24. 24. EXERCÍCIOS
  25. 25. FIM!

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