ARITMÉTICA MODULAR
Um novo contexto para operações
básicas

EQUIPE
 Wesley Siebra
 Maurício Neto
 Joéliton Araújo
 Ellison Alencar
 Paulo Dayvson

A OPERAÇÃO (A mod B)
 11 (mod 3) = 2
 - 37 (mod 5) = 3
5 (mod 7) = 5

CONGRUÊNCIA

EXEMPLO
Verificar se 14 e 22 são congruentes no módulo
6:

O QUE É ARITMÉTICA?
É o estudo das operações básicas:
 Adição;
 Subtração;
 Multiplicação ;
 Divisão.

CONTEXTO
Esta visão mais simplista da aritmética é
normalmente estudada no contexto dos
conjuntos Z (inteiros) e Q (naturais).

UM NOVO CONTEXTO
O novo contexto que iremos trabalhar é o
conjunto Zn .
Dado um número inteiro n>1, então:

UM NOVO CONTEXTO
Como todo número inteiro produz um
resto ao ser dividido por n, Zn tem
em si um representante para cada
número inteiro.

UMA NOVA VISÃO

ADIÇÃO MODULAR

EXEMPLOS
= (5 + 5) mod 10
= 10 mod 10 = 0

EXEMPLOS
Ainda com n = 10
= (9 + 9) mod 10
= 18 mod 10 = 8

SUBTRAÇÃO MODULAR
Exemplo: (Com n = 10)
= (8 - 5) mod 10
= 3 mod 10 = 3

PRIMOS ENTRE SI
Dois números inteiros quaisquer são
primos entre si quando:
mdc(a,b) = 1

INVERSO MODULAR

EXPLORANDO ALGUNS INVERSOS (mod n) ,
COM n = 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 0 2 4 6 8 1 3 5 7
3 0 3 6 0 3 6 0 3 6
4 0 4 8 3 7 2 6 1 5
5 0 5 1 6 2 7 3 8 4
6 0 6 3 0 6 3 0 6 3
7 0 7 5 3 1 8 6 4 2
8 0 8 7 6 5 4 3 2 1

NOTA-SE QUE...
 Os números invertíveis foram:
 1, 2, 4, 5, 7 e 8 (primos entre si com 9)
Os não-invertíveis foram:
 0, 3 e 6. (Não são primos entre si com 9)

DIVISÃO MODULAR
 Onde b-1 é o inverso modular de a.

EXEMPLO

APLICAÇÕES
 Cálculos envolvendo datas, períodos e
ciclos de tempo e outros;
 Identificação (CPF, CNPJ, ISBN,ISSN);
 Criptografia;
 Geração de números pseudo-
aleatórios;
 Endereçamento de memória;
 Código de barras; etc.

PROBLEMA PRÁTICO!

SOLUÇÃO...
Como 118 mod 8 = 6,
então a estará no fio G.

EXERCÍCIOS

FIM!