1. Seqüências e Progressão Aritmética - PA 1
Prof.: Daniel Alves de Lima
PROGRESSÃO ARITMÉTICA - PA
A história da matemática conta que na álgebra babilônica já havia alguns estudos sobre seqüências. Inicialmente,
definiremos a seqüência e, a seguir, estudaremos dois importantes tipos de seqüências.
Seqüência ou Sucessão
Todo conjunto de elementos, numéricos ou não, colocados numa determinada ordem é chamado
seqüência ou sucessão.
Em uma seqüência o primeiro termo é indicado por a1 , o segundo por a2 , o enésimo termo por an e assim
sucessivamente.
Simbolicamente temos: a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,... . De modo geral, a seqüência pode ser:
Finita: possui um número limitado de elementos a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an .
Infinita: possui um número limitado de elementos  a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an ,...
Lei de Formação
Inúmeras são as seqüências existentes, mas para a matemática são importantes aquelas cujos termos
obedecem a uma determinada lei de formação.
Vamos estudar agora duas formas diferentes de definir uma seqüência.
Pelo termo geral – Neste caso, a seqüência é definida por uma fórmula que dá o valor de cada termo an
em função de sua posição n na seqüência. Essa fórmula é denominada termo geral da seqüência.
Exemplo: Escreva os três primeiros termos da seqüência definida por
������������ − ������
������������ =
������
Por recorrência – Podemos definir uma seqüência atribuindo determinado valor a um de seus termos
(geralmente o primeiro) e indicando uma fórmula que permite calcular cada termo, conhecendo valor do termo
anterior da seqüência. Neste caso, dizemos que a seqüência esta definida por recorrência.
Exemplo: Escreva os cinco primeiros termos da seqüência definida por
Exercícios Resolvidos
01- Escreva a seqüência dada pelo termo geral
02- Escreva os cinco primeiros termos da seqüência
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2. Seqüências e Progressão Aritmética - PA 2
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03- Escreva a seqüência cujos termos obedecem a lei de formação
04- Escreva a seqüência definida por
Praticando você aprende!
01- Escreva as seqüências definidas pelos termos gerais a seguir (nos casos em que não aparece o conjunto
de variação de ������, considere ������  ������ ∗).
02- Considere a seqüência cujo termo geral é . Qual é o termo que tem seu valor entre 30 e 40?
03- Determine:
a) O 10º termo da seqüência dos números naturais pares.
b) O 7º termo da seqüência cujo termo geral é ������������  ������(������  ������).
04- Determine os cinco primeiros elementos das seqüências, ������ ������ ∗, definidas pelas leis de recorrências a
seguir:
05- Determine o 6º termo da seqüência
Progressão Aritmética (PA) – é toda seqüência de números naturais na qual a diferença entre cada termo
(a partir do segundo) e o termo anterior é constante. Essa diferença constante é chamada razão (r) da
progressão.
Observações:
1º) Notamos então que, de modo geral, uma seqüência a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an é uma PA quando:
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3. Seqüências e Progressão Aritmética - PA 3
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Comparando temos:
2º) Da definição decorre que, se a1, a2 e a3 estão em PA, então:
ou seja, dados três números consecutivos de uma progressão aritmética, o termo do meio é a média aritmética
dos outros dois.
Praticando você aprende!
01- Verifique se a seqüência (6, 13, 20, 27, 34) é uma PA.
02- Diga se a seqüência  ������  4 ������, ������  2 ������, ������, ������  2 ������ , em que ������ e ������ são números reais, é ou não uma PA. Se for,
determine a razão.
03- A seqüência é uma PA infinita. Determine a razão e o 3º termo dessa PA.
04- Determine o 4º termo da PA (������ – 3, ������ – 1, . . . ).
05- Determine o 8º termo de uma PA na qual a3  8 e r  3 .
06- Calcule a de modo que (3������, 6������  3, 15������  21) é uma PA.
07- Verifique quais das seqüências abaixo formam uma PA, determine a razão (r) dessas seqüências e
classifique como crescente ou decrescente.
a) (5, 7, 9, ...)
b) (3, 11, 2, 1, ...)
c) (12, 8, 4, ...)
d) (-2, 4, -8, ...)
e) (-35, -30, -25, ...)
������ ������ ������
f) (������ , ������ , ������ , … )
g) (7, 7, 7, ...)
h) ( 2, 2 + 2, 4 + 2)
08- Sabendo que ( ������  1,3 ������  2,2 ������  4) formam, nessa ordem, uma PA, calcular o valor de ������ e a razão
dessa P.A.
Termo Geral de uma PA – Descrevendo alguns termos de uma PA, podemos obter uma fórmula para o termo
geral:
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4. Seqüências e Progressão Aritmética - PA 4
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observando que o coeficiente r em cada igualdade é uma unidade inferior ao índice do termo considerado,
obtivemos a fórmula do termo geral:
onde:
an : termo geral
a1 : primeiro termo
n : número de termos
r : razão
Propriedade: observe a P.A. finita (a1 , a2 , a3 , a4). Nela os termos a2 e a3 são eqüidistantes dos extremos a1 e a4.
Veja:
Isso é válido de modo geral e dizemos que, numa P.A. a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é igual à
soma dos extremos.
Praticando você aprende!
01- Determine o décimo segundo termo da P.A. (3, 5, 7, ...).
02- Qual é o 20º termo de PA. (2, 8, ...)?
03- Qual é o termo geral da PA (5, 9, ...)?
04- Encontrar o termo geral da PA(4, 7, ...).
05- Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623?
06- Qual é o primeiro termo de uma PA em que a10  39 e r  4 ?
07- Numa PA de 14 termos, o 1º termo é 2 e o último é 28. Calcule a razão dessa PA.
08- Quantos elementos têm a PA finita (-2, 3, ... , 43)?
09- Determine o valor de ������ para que os números ������ 2 , ( ������  2)2 ������ ( ������  3)2 sejam, nessa ordem, os três primeiros
termos de uma PA
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