Séries e Seqüências

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Séries e Seqüências
SEQÜÊNCIAS
Definição: Uma seqüência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números
inteiros positivos. O contradomínio de uma seqüência será considerado o conjunto dos
números reais.
A cada número inteiro positivo "n" corresponde um número real f(n).
a1 = f(1) ; a2 = f(2) ; a3 = f(3) ; ... ; an = f(n)
Notações:
{an} = {a1, a2, a3, ..., an, ...}
an é o termo genérico da seqüência.
Exemplos:
1)
2)
Se, quando n cresce, an se torna cada vez mais próximo de um número real L, diz-se
que a seqüência {an} tem limite L (ou converge para L) e se escreve:
Uma seqüência que não é convergente, é chamada de divergente.

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TEOREMA DO SANDUÍCHE
Se {an}, {bn}, {cn} são seqüências tais que an bn cn para todo e se
então
SÉRIES
Definição: Se {an} é uma seqüência, então:
A soma infinita a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = é chamada série.
Cada número ai é um termo da série;
an é o termo genérico de ordem n.
Para definir a SOMA de infinitas parcelas, consideram-se as SOMAS PARCIAIS.
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
------------------------
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
E a SEQÜÊNCIA DAS SOMAS PARCIAIS
S1, S2, S3, ..., Sn, ...
Se essa seqüência tem limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.
Ou seja: Se , então a série converge e sua soma é a1+a2+a3+...+an... = S
Se a seqüência {Sn} não tem limite, então a série DIVERGE.

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TEOREMA
Se a série converge, então
OBS: * A recíproca desse teorema é falsa, isto é, existem séries cujo termo genérico
tende a zero e que não são convergentes.
* Vale a contrapositiva: "se o limite não é zero, então a série não converge", que
constitui o:
TESTE DA DIVERGÊNCIA
Dada a série , diverge.
SÉRIE GEOMÉTRICA
TIPO: com a 0
r é a razão.
Ex: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
a = 1
r =
SOMA DE UMA SÉRIE GEOMÉTRICA
A série geométrica
Converge e tem soma se | r | < 1.
Diverge se | r | 1.
TESTE DA COMPARAÇÃO
Sejam e duas séries de termos positivos. Então:

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* Se , sendo "c" um número real, então as séries são ambas
convergentes ou ambas divergentes.
* Se e se converge, então também converge.
* Se e se diverge, então também diverge.
OBS: Se an é expressa por uma fração, devemos considerar tanto no numerador, quanto
no denominador de bn somente os termos de maior importância.
Ex: Verifique se a série dada converge ou diverge:
é uma série geométrica de razão 1/3, logo ela é convergente. Aplicando o teste
da comparação, temos:
Logo, conclui-se que a série CONVERGE.
SÉRIE-P
CONVERGE se p > 1
DIVERGE se p 1
Se p = 1, a série

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é chamada SÉRIE HARMÔNICA e, de acordo com o
teorema, é divergente.
SÉRIE ALTERNADA
É da forma:
SÉRIES DE POTÊNCIA
Séries de potências de x:
ou
Séries de potência de (x-c):
Por conveniência, vamos admitir que , mesmo quando x = 0.
Ao substituir x por um número real, obtém-se uma série de termos constantes que pode
convergir ou divergir.
Em qualquer série de potências de x, a série converge sempre para x=0, pois se
substituirmos x por 0 a série se reduz a a0.
Na série de potências de (x-c), a série converge para x = c.
Para determinar os outros valores de x para os quais a série converge, utiliza-se o teste
da razão.
TESTE DE LEIBINZ
Uma série alternada CONVERGE se:
* Seu termo genérico, em módulo, tende a zero.

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* A série dos módulos é decrescente.
Há três maneiras diferentes de verificar se a série dos módulos é decrescente.
a) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .
b) verificar se, para todo "k" inteiro positivo, .
c) considerar a função f(x) = f(n) e verificar o sinal de sua derivada. Se f'(x)<0, então f
é decrescente.
CONVERGÊNCIA ABSOLUTA
Definição: Uma série é absolutamente convergente se a série dos módulos
é convergente.
Ex: A série alternada é absolutamente convergente, pois a série dos
módulos é uma série-p, com p=2 > 1 e, portanto, convergente.
TEOREMA
Se uma série infinita é absolutamente convergente, então a série é convergente.
TESTE DE D'ALEMBERT
Seja uma série de termos não nulos e seja . Então:
* Se L < 1, a série é ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE.
* Se L > 1, (incluindo L = ), a série é DIVERGENTE.

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* Se L = 1, o teste falha (nada se pode afirmar).
RESUMO
TESTE SÉRIE
CONVERGÊNCIA ou
DIVERGÊNCIA
COMENTÁRIOS
da
DIVERGÊNCIA
ou do N-ÉSIMO
TERMO
DIVERGE se
Nada se pode
afirmar se
SÉRIE
GEOMÉTRICA
* CONVERGE e tem soma
se | r | < 1.
* DIVERGE se | r | 1
Útil para testes de
comparação
SÉRIE-P
* CONVERGE se p > 1
* DIVERGE se p 1
Útil para testes de
comparação
da
COMPARAÇÃO
no limite
e
an > 0, bn > 0
* Se , ,
então ambas as séries
CONVERGEM ou ambas
DIVERGEM.
* Se e
CONVERGE, então
CONVERGE.
* Se e
DIVERGE, então
DIVERGE.
A série de
comparação ,
é, em geral, uma
série geométrica ou
uma série-p.
Para achar bn,
consideram-se
apenas os termos de
an que têm maior
efeito.
de LEIBNIZ
ALTERNADA
an > 0
CONVERGE se:
*
* A série dos módulos é
decrescente.
Aplicável somente
a séries alternadas.
Se o primeiro item
é falso, aplica-se o
TESTE DA
DIVERGÊNCIA.

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