Este documento ensina sobre a proporcionalidade inversa através de um exemplo com retângulos de área constante. Ele mostra que quando uma dimensão aumenta, a outra diminui na mesma proporção para manter a área. A relação entre as dimensões forma uma hipérbole no gráfico, indicando que são inversamente proporcionais.
2. Actividade
Com 12 quadradinhos
iguais, com 1 cm de lado, constrói
vários rectângulos, todos com a
mesma área.
Recorda que…
… a área do rectângulo é igual ao produto do
comprimento pela largura.
Prof. Bruno Bastos
5. Que relação existe entre a
variação do comprimento e da
largura de cada rectângulo?
Verifica-se que quando uma das dimensões duplica, a outra
reduz-se a metade; quando uma triplica, a outra reduz-se
para um terço,...
Conclusão
Ao aumento do comprimento corresponde uma diminuição
da largura na mesma proporção e vice-versa.
Prof. Bruno Bastos
6. Repara que:
O produto das duas dimensões é constante:
comprimento x largura =12
Assim…
… grandezas desta forma dizem-se inversamente
proporcionais.
Prof. Bruno Bastos
7. Logo…
… designando:
x comprimento
y largura
Tem-se que…
… a relação x x y = 12 é uma proporcionalidade inversa
e 12 é a constante de proporcionalidade.
Prof. Bruno Bastos
8. Podemos “arrumar” os rectângulos de área 12 e
dimensões inteiras num gráfico:
Verifica-se que os pontos estão sobre uma
curva…
… a essa curva dá-se o nome ramo de uma
hipérbole.
Prof. Bruno Bastos
9. Será que com as coordenadas de
outros pontos do gráfico é possível
descobrir mais rectângulos de área
12?
Repara que:
Conhecendo o comprimento, a largura é dada por:
12
x x y 12 y
x
Prof. Bruno Bastos
10. Alguns exemplos:
comprimento largura rectângulo coordenadas
1,5
12 8
x = 1,5 y 8 (1,5;8)
1,5
2,5
12
y 4 ,8
x = 2,5 2 ,5 4,8 (2,5;4,8)
12 7,5
x = 7,5 y 1, 6 1,6 (7,5;1,6)
7 ,5
Prof. Bruno Bastos
11. Marcando os novos pontos no gráfico
estes permanecem sobre a hipérbole que
tinha sido desenhada anteriormente…
Prof. Bruno Bastos
12. Assim…
…duas variáveis x e y são inversamente
proporcionais quando o produto de
quaisquer dois valores correspondentes é
constante e diferente de zero.
k
12
x x y k
12 y (k constante diferente de zero)
x
k é a constante de proporcionalidade
inversa.
Prof. Bruno Bastos
