1) O documento apresenta observações importantes sobre frações, equações e potências para esclarecer questões sobre exercícios de matemática. 2) Aborda tópicos como soma, produto, divisão e simplificação de frações, resolução de equações de 1o e 2o grau e propriedades de potências. 3) Fornece exemplos detalhados para aplicar as propriedades matemáticas discutidas.

1. Observa¸c˜oes Importantes
O que se segue serve para esclarecer alguma quest˜ao que possa surgir ao resolver um
exerc´ıcio de matem´atica. Espero que lhe seja ´util!
Cap. I Frac¸c˜oes
1. Soma e Produto de Frac¸c˜oes
Para somar (ou subtrair) frac¸c˜oes ´e necess´ario que estas estejam ao mesmo denominador.
Feito isto mant´em-se o denominador e somam-se (ou subtraem-se) os numeradores:
2
5
−
1
6
=
2
5(×6)
−
1
6(×5)
=
12
30
−
5
30
=
12 − 5
30
=
7
30
Para multiplicar frac¸c˜oes basta multiplicar os numeradores e os denominadores:
2
5
×
1
6
=
2 × 1
5 × 6
=
2
30
=
1
15
Caso algum factor n˜ao tenha denominador considera-se que este ´e igual a 1:
3 ×
4
5
=
3
1
×
4
5
=
12
5
2. Divis˜ao de Frac¸c˜oes
Para resolver divis˜oes do tipo:
2
7
4
3
Pode-se multiplicar a frac¸c˜ao superior pelo inverso da inferior. Ou ent˜ao, recorrer `a regra
do ”pneu”em que os extremos da divis˜ao passam (a multiplicar) para o numerador e os
elementos do meio passam para o denominador. Isto ´e
2
7
4
14
12
3
Caso a divis˜ao tenho apenas trˆes parcelas ent˜ao aconselha-se a completar a parcela de
modo a obter uma situa¸c˜ao como a anterior. Vejamos dois exemplos diferentes:
x+3
5
x − 1
=
x+3
5
x−1
1
=
(x + 3) × 1
5 × (x − 1)
x + 3
5
x−1
=
x+3
1
5
x−1
=
(x + 3) × (x − 1)
1 × 5
´E importante saber onde est´a a ”principal”divis˜ao de modo a completar de modo conve-
niente.
1

2. 3. Simplifica¸c˜ao em Frac¸c˜oes
Em frac¸c˜oes s´o ´e permitido eliminar factores que estejam a multiplicar, por exemplo:
x(x2
− 7x)
x2
=
x2
− 7x
x
Em caso de soma no numerador ´e sempre poss´ıvel separar a frac¸c˜ao e depois proceder `a
simplifica¸c˜ao. Por exemplo:
x2
− 3
2x
=
x2
2x
−
3
2x
=
x
2
−
3
2x
4. Elimina¸c˜ao de Denominadores
Apenas em equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes ´e permitido eliminar os denominadores, e claro que
todos os elementos da frac¸c˜ao devem ter tal denominador:
x2
−
1
5
+
x
2
= 4 ⇔
10x2
10
−
2
10
+
5x
10
=
40
10
⇔ 10x2
− 2 + 5x = 40
5. Sinal Negativo Atr´as de uma Frac¸c˜ao
Na resolu¸c˜ao de alguns problemas ´e usual surgir um sinal negativo antes de uma frac¸c˜ao.
Tal sinal afecta toda os elementos da frac¸c˜ao. Um modo de simplificar uma situa¸c˜ao deste
tipo pode ser (por exemplo) trocar de sinal todos os elementos do numerador ficando desta
forma um sinal positivo antes da frac¸c˜ao:
2 −
x2
− 3x + 7
x + 5
= 2 +
−x2
+ 3x − 7
x + 5
Cap. II Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes
6. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes de Grau 1
Numa equa¸c˜ao (ou inequa¸c˜ao) um determinado valor passa para o outro membro da igual-
dade (ou desigualdade) a efectuar a opera¸c˜ao contr´aria.
Um valor a somar passa para o outro lado a subtrair:
x + 3 = 5 ⇔ x = 5 − 3
Um valor a subtrair passa para o outro lado a somar:
x − 3 = 5 ⇔ x = 5 + 3
Um valor a multiplicar passa para o outro lado a dividir:
3x = 5 ⇔ x =
5
3
Um valor a dividir passa para o outro lado a multiplicar:
x
3
= 5 ⇔ x = 3 × 5
2

3. 7. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes de Grau 2
Para resolver equa¸c˜oes de grau 2 do tipo ax2
+ bx + c = 0 recorre-se `a f´ormula resolvente:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
No entanto, existem duas situa¸c˜oes especiais que n˜ao necessitam de f´ormula resolvente:
ax2
+ c = 0 Neste caso basta isolar x2
e fazer a raiz quadrada. Por exemplo:
3x2
− 48 = 0 ⇔ 3x2
= 48 ⇔ x2
=
48
3
⇔ x2
= 16 ⇔ x = ±
√
16 ⇔ x = ±4
ax2
+ bx = 0 Neste caso basta colocar em evidˆencia x e recorrer `a lei do anulamento do
produto. Por exemplo:
2x2
+ 6x = 0 ⇔ x(2x + 6) = 0 ⇔ x = 0 ∨ 2x + 6 = 0 ⇔
⇔ x = 0 ∨ 2x = −6 ⇔ x = 0 ∨ x =
−6
2
⇔ x = 0 ∨ x = −3
8. Inequa¸c˜oes de Grau 1
A resolu¸c˜ao de uma inequa¸c˜ao deste tipo ´e muito semelhante `a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao.
´E importante ter em conta que ao multiplicar ou dividir a inequa¸c˜ao por um n´umero negativo
o sinal da desigualdade ”vira”. Por exemplo:
−
2
3
x +
4
2
≤ 6 ⇔ −
4
6
x +
12
6
≤
36
6
⇔ −4x ≤ 36 − 12 ⇔ −4x ≤ 24 ⇔ x ≥
24
−4
⇔ x ≥ −6
O conjunto solu¸c˜ao ´e S = [−6, +∞[.
9. Inequa¸c˜oes de Grau 2
Apenas para os alunos do 110
e 120
Vejamos o exemplo x2
+ 4x + 9 ≤ 3x2
− 2x + 1. A resolu¸c˜ao de uma inequa¸c˜ao deste tipo
´e diferente `a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao do segundo grau. ´E necess´ario recorrer aos seguintes
passos:
Passar todos os termos da desigualdade para o membro do lado esquerdo e simplificar:
x2
+ 4x + 9 ≤ 3x2
− 2x + 1 ⇔ x2
+ 4x + 9 − 3x2
+ 2x − 1 ≤ 0 ⇔ −2x2
+ 6x + 8 ≤ 0
Num c´alculo auxiliar determinar os zeros da equa¸c˜ao que se obt´em ao substituir a
desigualdade por uma igualdade:
−2x2
+ 6x + 8 = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 4
Fazer o esbo¸co da par´abola indicando os zeros e a concavidade. Relembre que uma
par´abola ax2
+ bx + c tem a concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se
a < 0. Neste caso a = −2 logo a concavidade ´e voltada para baixo:
3

4. −1 4
−
+
−
O conjunto solu¸c˜ao ´e obtido tendo em conta o esbo¸co obtido assim como a desigualdade
obtida no primeiro passo. Se esta for do tipo · · · > 0 (ou · · · ≥ 0) conta a parte acima do eixo
dos xx. Se for · · · < 0 (ou · · · ≤ 0) conta a parte abaixo (no caso das desigualdades dentro
de parˆentesis os intervalos s˜ao fechados).
Neste caso −2x2
+ 6x + 8 ≤ 0 conta a parte negativa da par´abola. A solu¸c˜ao ´e S =
] − ∞, −1] ∪ [4, +∞[.
10. Os Casos Not´aveis
Caso surja alguma express˜ao do tipo (2x − 3)2
esta deve ser resolvida recorrendo ao caso
not´avel. Aqui fica uma lista dos trˆes casos not´aveis existentes:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a − b)2
= a2
− 2ab + b2
(a − b)(a + b) = a2
− b2
Como alternativa ´e sempre poss´ıvel recorrer ao facto de (por exemplo) (2x − 3)2
= (2x −
3)(2x−3) e a seguir aplica-se a propriedade distributiva da multilica¸c˜ao. No entanto ´e sempre
aconselh´avel conhecer os casos not´aveis.
Cap. III Potˆencias e Raizes
11. Propriedades de Potˆencias
Aqui fica uma lista das propriedades de potˆencias e exemplos:
Propriedades Potˆencia Exemplo
Produto (ab)n
= an
× bn
(3x)2
= 32
x2
Divis˜ao (a
b
)n
= an
bn (x
3
)2
= x2
32
Dupla (an
)m
= an×m
(x2
)4
= x2×4
= x8
Soma k1an
± k2an
= (k1 ± k2)an
3x2
− 4x2
= −x2
Produto de Igual Base an
× am
= an+m
x3
× x7
= x3+7
= x10
Divis˜ao de Igual Base an
am = an−m x7
x3 = x7−3
= x4
Expoente Negativo (1) a−n
= 1
an 3−2
= 1
32
Expoente Negativo (2) (a
b
)−n
= (b
a
)n
(3
5
)−2
= (5
3
)2
12. Passagem de Raiz para Potˆencia
´E sempre poss´ıvel passar uma raiz para potˆencia (e vice-versa) uma vez que:
m
√
xn = x
n
m
Por exemplo
5
√
x3 = x
3
5 . Desta forma todas as propriedades atr´as descritas s˜ao igualmente
aplic´aveis `as raizes.
4

5. 13. Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes com Potˆencias
Na resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do tipo xn
= a ´e importante ter em aten¸c˜ao ao expoente n:
Se este for ´ımpar ent˜ao x = n
√
a. Por exemplo: x5
= 9 ⇔ x = 5
√
9.
Se este for par ent˜ao x = ± n
√
a. Por exemplo: x4
= 9 ⇔ x = ± 4
√
9. Note que neste caso
se a for negativo tal equa¸c˜ao ´e imposs´ıvel uma vez que n˜ao existem ra´ızes pares de n´umeros
negativos.
14. Raizes e Valores sem Raiz
´E poss´ıvel multipicar dois valores dentro de raizes desde que o ´ındice seja igual. Por
exemplo:
√
5 ×
√
3 =
√
3 × 5 =
√
15
Duas express˜oes a somar (ou subtrair) com a mesma raiz pode ser simplificado do
seguinte modo:
3
5
√
4 − 6
5
√
4 = −3
5
√
4
Numa multiplifica¸c˜ao de express˜oes do tipo a n
√
b multiplicam-se os valores fora da raiz
e os valores dentro da raiz separadamente (desde que os ´ındices sejam iguais):
(3
6
√
8) × (5
6
√
9) = 15
6
√
72
15. Racionalizar Denominadores
Caso exista uma raiz quadrada no denominador conv´em retir´a-lo multiplicando ambos
termos da frac¸c˜ao por essa raiz. Por exemplo:
3
2
√
5
=
3
2
√
5
×
√
5
√
5
=
3
√
5
2(
√
5)2
=
3
√
5
2 × 5
=
3
√
5
10
5