Cálculo de limites

1. AULA 02
MATEMÁTICA II
Professor: João Alessandro
CÁLCULO DE LIMITES

2. Cálculo - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou ∞/∞ ou ∞/0).
Veja os casos nos slides seguintes.

3. Cálculo - Limites
Regras adicionais
• 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0
quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o
polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x
- a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
4
2
2
)
2
(
lim
2
)
2
)(
2
(
lim
2
4
lim
0
0
2
2
4
2
2
4
lim
2
2
2
2
2
2
2
=
+
=
+
=
−
+
−
=
−
−
=
=
−
−
=
−
−
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Indeterminação

4. Regras adicionais
• 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na
substituição direta de x, calcula-se os limites laterais.
O limite existirá somente se os limites laterais forem
iguais.
.
lim
lim
lim
+∞
=
−
+
→
−∞
=
−
−
→
=
=
−
=
−
→
2
1
2
2
1
2
0
1
2
2
1
2
1
2
x
x
e
x
x
x
x
Portanto o limite não existe.
Pois pela condição de existência de limite, o limite pela
direita deve ser igual ao limite pela esquerda.

5. Regras adicionais – Limites com e/no Infinito
• 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função
racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou
-∞, são calculados com base no termo de maior ordem, veja os
exemplos abaixo.
∞
=
∞
=
=
+
−
∞
=
∞
=
=
=
−
+
−
+
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
∞
→
2
2
2
2
2
3
2
3
)
.(
5
)
5
(
lim
)
1
2
5
(
lim
)
.(
2
2
lim
2
lim
2
3
5
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1o
exemplo (função racional):
2o
exemplo (função polinomial):

6. Expressões indeterminadas:
Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
0
0
3
3
27
3
3
27
lim
3
3
3
=
−
−
=
−
−
→ x
x
x
3
27
lim
3
3 −
−
→ x
x
x
EXEMPLO

7. EXEMPLO
Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L

8. • Apesar da função não estar definida no ponto x = 3,
quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima
de 27. Portanto:
• Mas como se resolve a equação algébrica de modo
a chegar a este valor?
27
3
27
lim
3
3
=
−
−
→ x
x
x

9. • Com a FATORAÇÃO de Produtos Notáveis!!!
Neste exemplo,
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
Basta então calcular:
)
9
3
)(
3
(
27 2
3
+
+
−
=
− x
x
x
x
9
3
)
3
(
)
9
3
)(
3
(
)
( 2
2
+
+
=
−
+
+
−
= x
x
x
x
x
x
x
f
27
)
9
3
(
lim 2
3
=
+
+
→
x
x
x

10. FATORAÇÃO
• Diferença de quadrados
Exemplos:
)
).(
(
2
2
b
a
b
a
b
a −
+
=
−
2
2
2
2
.
.
)
).(
( b
a
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a −
=
−
+
−
=
−
+
)
).(
(
) 4
4
16
2 +
−
=
− x
x
x
a
)
).(
(
) a
y
a
y
a
y
b −
+
=
− 3
3
2
2
9
)
).(
).(
(
)
).(
(
)
9
2
4
3
2
3
2
9
2
4
9
2
4
81
4
16
+
+
−
=
+
−
=
−
x
x
x
x
x
x
c

11. FATORAÇÃO
• Trinômio quadrado perfeito
Exemplos: 2
2
4
4
2 )
( +
=
+
+ a
a
a
2
3
3
4
9
3
24
6
16 




 −
=
+
− y
y
y
2
2
2
2
2
2
)
).(
(
)
( b
ab
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a
b
a +
+
=
+
+
+
=
+
+
=
+
2
2
2
2
2
2
)
).(
(
)
( b
ab
a
b
ba
ab
a
b
a
b
a
b
a +
−
=
+
−
−
=
−
−
=
−
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2
, com a
diferença de quadrados a2
- b2
.

12. FATORAÇÃO
• Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
)
).(
( 2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a +
−
+
=
+
)
4
2
).(
2
(
)
2
2
.
).(
2
(
8 2
2
2
3
+
−
+
=
=
−
+
=
+ x
x
x
x
x
x
x
)
25
20
16
).(
5
4
(
5
)
4
(
125
64 2
3
3
3
+
=
−
=
−
=
− a
a
a
a
a
)
).(
( 2
2
3
3
b
ab
a
b
a
b
a +
+
−
=
−

13. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P1- O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
[ ] )
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→
+
=
+
15
5
2
3
2
2
5
2
2
3
2
2
2
5
3
2
2
2
5
3
2
2
=
+
+
=
→
+
→
+
→
→
=
+
→
+
→
=
+
+
→
.
lim
lim
lim
lim
lim
lim
)
(
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:

14. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P2- O limite da diferença é igual a diferença dos
limites (caso esses limites existam):
[ ] )
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→
−
=
−
6
2
2
.
2
lim
lim
2
lim
2
lim
)
2
(
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
−
=
−
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:

15. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P3 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
[ ] )
(
lim
).
(
lim
)
(
).
(
lim x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x →
→
→
=
9
3
.
3
lim
.
lim
.
lim
)
(
lim
3
3
3
2
3
=
=
=
=
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:

16. PROPRIEDADES DE LIMITES
• P4- O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
a
x
→
→
→
=






10
1
-
20
2
7
27
5
3
7
3
3
5
3
7
3
5
3
=
−
=
−
−
=
−
→
−
→
=








−
−
→ )
(
lim
)
(
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
Exemplo:

17. DÚVIDAS?