Programação Linear

1. Defini¸˜o
ca
Programa¸˜o Linear
ca
Geraldo Robson Mateus
Departamento de Ciˆncia da Computa¸˜o
e ca
UFMG
26 de abril de 2009

2. Defini¸˜o
ca
Programa¸˜o Matem´tica
ca a
Programa¸˜o Linear
ca
Programa¸˜o Inteira
ca
Otimiza¸˜o em Redes
ca
Programa¸˜o Dinˆmica
ca a
Programa¸˜o N˜o Linear
ca a
Programa¸˜o Linear X N˜o Linear
ca a

3. Defini¸˜o
ca
M´todos Num´ricos X M´todos Anal´
e e e ıticos
M´todos Num´ricos
e e M´todos Anal´
e ıticos
Iterativos C´lculo diferencial
a
Solu¸˜o inicial
ca
Erros num´ricos
e
Convergˆncia
e

4. Defini¸˜o
ca
Modelo Geral
min f (x) → Fun¸˜o objetivo
ca
gi (x) ≤≥ bi , i = 1, . . . , m → Restri¸˜es
co
x → vetor de vari´veis de decis˜o
a a
Conjunto de solu¸˜es vi´veis
co a
S = {x | gi (x) ≤≥ bi , i = 1, · · · , m}
Solu¸˜o ´tima
ca o
x∗ S | f (x) seja m´
ınima

5. Defini¸˜o
ca
Modelo Linear
N˜o Linear
a
Irrestrito
Restrito
Programa¸˜o Quadr´tica
ca a
Programa¸˜o Geom´trica
ca e
Programa¸˜o Estoc´stica
ca a

6. Defini¸˜o
ca
Nota¸˜o e Terminologia
ca
 
x1
Vetor x =  . 
 . 
.
xn
Transposi¸˜o: T
ca
n
Produto escalar de dois vetores: xT .y = xi yi
i=1

7. Defini¸˜o
ca
Nota¸˜o e Terminologia
ca
 
a11 · · · a1n
 . .. . 
Matriz AmXn = .. . . 
.
am1 · · · amn
Retangular → m = n
Quadrada → m = n
Diagonal
Identidade
Definida Positiva (Semidefinida)
n
Para todo x temos x T .A.x > 0 (x T .A.x ≥ 0)
Definida Negativa (Semidefinida)
n
Para todo x temos x T .A.x < 0 (x T .A.x ≤ 0)

8. Defini¸˜o
ca
Exemplo
Seja a matriz
 
−2 1 1
A= 1 0 0 
1 1 1
det A1 = det [-2] = -2 ≤ 0
−2 1
det A2 = det = 0 - 1 = -1 ≤ 0
1 0
 
−2 1 1
det A3 = det  1 0 0  = 0
1 1 1
A ´ indefinida
e

9. Defini¸˜o
ca
M´todos Iterativos
e

10. Defini¸˜o
ca
Defini¸oes
c˜
M´
ınino Local
x ∗ S ´ um m´
e ınimo local de f sobre S se existe um ∂ > 0 tal que
f (x) ≥ f (x ∗ ) para todo x S, tal que |x − x ∗ | < ∂
M´
ınino Global
Um ponto x ∗ S ´ um m´
e ınimo global de f sobre S se f (x) ≥ f (x ∗ ) para
todo x S, x = x ∗
Dire¸˜o Vi´vel
ca a
Dado um ponto x ∗ S, o vetor h ´ uma dire¸˜o vi´vel em x se existe
e ca a
λ > 0, tal que (x + λh ) S para todo 0 ≤ λ ≤ λ

11. Defini¸˜o
ca
Defini¸oes
c˜
Curvas de n´
ıveis
Conjuntos C 1 e C 2
Vetor gradiente → f(x)
Matriz hessiana → H(x)
S´rie de Taylor
e

12. Defini¸˜o
ca
Curvas de N´
ıveis

13. Defini¸˜o
ca
Curvas de N´
ıveis

14. Defini¸˜o
ca
Curvas de N´
ıveis

15. Defini¸˜o
ca
Gradiente

16. Defini¸˜o
ca
Gradiente e Hessiana
T
∂f ∂f ∂f
f (x) = ∂x1 , ∂x2 , . . . , ∂xn ,f C1
∂2f ∂2f
2 f (x) ∂x1 2 ... ∂x1 ∂xn
H(x) = = ∂2f ∂2f
,f C2
∂xn ∂x1 ... ∂xm2
2 2 2
f (x) = b11 x1 + b22 x2 + b12 x1 x2 + b21 x2 x1 + b1 x1 + b2 x2 +b0
Escalation Rotation Translation

17. Defini¸˜o
ca
S´rie de Taylor
e
Aproxima uma fun¸˜o f (x) na vizinhan¸a de x k
ca c
f (x) = f (x k ) + (x − x k )T . f (x k ) + 1 (x − x k )T .H(x k )(x − x k ) + . . .
2
· · · + θ((x − x k )2 )

18. Defini¸˜o
ca
Convexidade
Linha
Seja x 1 , x 2 n . A linha atrav´s de x 1 e x 2 ´ definida por:
e e
{x|x = (1 − λ)x 1 + λx 2 , λ }
Segmento
i) Fechado: [x 1 , x 2 ] = {x|x = (1 − λ)x 1 + λx 2 , 0 ≤ λ ≤ 1}
ii) Aberto: (x 1 , x 2 ) = {x|x = (1 − λ)x 1 + λx 2 , 0 < λ < 1}
Conjunto Convexo
Um conjunto S ⊂ n ´ convexo se o segmento de linha fechado que une
e
quaisquer dois pontos de S est´ em S, ou,
a
∀ x 1 , x 2 S, λ , 0 ≤ λ ≤ 1 → (1 − λ)x 1 + λx 2 S

19. Defini¸˜o
ca
Fun¸oes Convexas
c˜
Fun¸˜o Convexa (Estritamente Convexa)
ca
f (x) ´ convexa sobre o conjunto convexo S se para quaisquer dois pontos
e
x S ey S
f (λx + (1 − λ)y ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y ), 0 ≤ λ ≤ 1
f (λx + (1 − λ)y ) < λf (x) + (1 − λ)f (y ), 0 < λ < 1, x = y
Fun¸˜o Cˆncova (Estritamente Cˆncova)
ca o o

20. Defini¸˜o
ca
Propriedades de fun¸˜es convexas
co
1 Se f1 e f2 s˜o fun¸˜es convexas sobre o conjunto convexo S ent˜o
a co a
f1 + f2 ´ convexa sobre S;
e
2 Se f ´ convexa sobre o conjunto convexo S ent˜o af ´ convexa para
e a e
qualquer a > 0;
3 Seja f uma fun¸˜o convexa sobre um conjunto convexo S. O conjunto
ca
C = {x|x S, f (x) ≤ c} ´ convexo para todo real c. O conjunto dos
e
pontos x|f1 (x) ≤ c1 , f2 (x) ≤ c2 , . . . , fn (x) ≤ cn , onde fi (x) ´ convexa,
e
define um conjunto convexo;

21. Defini¸˜o
ca
Propriedades de fun¸˜es convexas
co
4 Se fi , i I , ´ uma fam´ de fun¸˜es convexas e limitadas
e ılia co
superiormente num conjunto convexo A ⊂ n , ent˜o a fun¸˜o
a ca
f (x) = sup(i I) fi (x)
´ uma fun¸˜o convexa em A.
e ca

22. Defini¸˜o
ca
Teoremas de fun¸oes convexas
c˜
Teorema 1
Seja f C 1 . f ´ convexa sobre um conjunto convexo S se e s´ se
e o
T
f (y ) ≥ f (x) + f (x).(y − x)
para todo x, y S

23. Defini¸˜o
ca
Teoremas de fun¸oes convexas
c˜
Teorema 2
Seja f C 2 . f ´ estritamente convexa (convexa) sobre um conjunto
e
convexo S se e s´ se a matriz hessiana, H(x), de f ´ definida positiva
o e
(semidefinida positiva) para todo x S.

24. Defini¸˜o
ca
Fun¸˜o Unimodal
ca
Uma fun¸˜o f de uma vari´vel x no intervalo [a, b] ´ unimodal se existe
ca a e
x1 , x2 [a, b] tal que:
i) f ´ estritamente decrescente em x < x1 ,
e
ii) f ´ estritamente crescente em x > x2 ,
e
iii) f ´ constrante em x
e [x1 , x2 ]

25. Defini¸˜o
ca
Minimiza¸˜o - Convexidade
ca
Teorema
Seja f C 2 , f ´ estritamente convexa (convexa) sobre um conjunto
e
convexo S se s´ se a matriz hessiana, H(x), de f ´ definida positiva
o e
(semidefinida positiva) para todo x S.
Teorema 5
Seja f uma fun¸˜o convexa definida sobre um conjunto convexo S. Ent˜o
ca a
o conjunto R de pontos, onde f atinge seu m´
ınimo, ´ convexo e qualquer
e
m´ınimo local de f ´ um m´
e ınimo global.
Teorema 6
Seja a fun¸˜o f
ca C 1 convexa sobre o conjunto convexo S. Se existe um
ponto x ∗ S tal que para todo y S, f (x ∗ )T (y − x ∗ ) ≥ 0 ent˜o x ∗ ´
a e
um ponto de m´ ınimo global de f sobre S.

26. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a

27. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a

28. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a

29. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a

30. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a

31. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a

32. Defini¸˜o
ca
Solu¸˜o Gr´fica
ca a