Dualidade       Alexandre Salles da Cunha         DCC-UFMG, Abril 2010Alexandre Salles da Cunha   Dualidade
Motiva¸˜o      ca           (P) max z =          4x1 +x2 +5x3 +3x4                    s.t.:         x1 −x2 −x3            ...
Obtendo limites superiores             max z ∗ =         4x1 +x2 +5x3 +3x4                    s.t.:       x1 −x2 −x3      ...
Obtendo limites superioresConsiderando a n˜o negatividade das vari´veis de decis˜o e comparando os                 a      ...
Qual o melhor limite superior que podemos obter ?   Mutiplicando cada linha i das restri¸˜es por uma quantidade pi ≥ 0:   ...
Qual o melhor limite que podemos obter ?   Se impusermos que os coeficientes em x1 , . . . , x4 na restri¸˜o sejam         ...
Qual o melhor limite que podemos obter ?    Ent˜o ´ natural desejarmos conhecer o menor dos limites inferiores,       a e ...
De uma forma geralProblema Primal                                 Problema Dual       n                                   ...
Um outro ponto de partida                              min       c ′x                             s.t.:       Ax = b      ...
O problema relaxadoL(p) :                  g (p) = min          c ′ x + p ′ (b − Ax)                            s.t.:     ...
O melhor limite que podemos obterO Problema Dual Lagrangeano        max        g (p)         s.t.:   p ∈ Rm               ...
Explorando esta ´ltima observa¸˜o                u             ca                 g (p) = minx≥0 c ′ x + p ′ (b − Ax)     ...
Varia¸˜es     coPrimal                                                   Fun¸˜o Lagrangeana, p ≥ 0                        ...
Estrutura geral do par primal-dualprimal                                                   dual min                  c ′x ...
O dual do dual ´ o primal               eTeoremaSe transformarmos o problema dual em um problema de minimiza¸˜o e         ...
Equivalˆncias entre pares primal-dual       ePar primal-dual I          min           c′x                 max          p′ ...
Efeito no dual de restri¸˜es redundantes no primal                        co     min        c ′x                          ...
Em s´    ınteseTeorema  1   Suponha que tenhamos transformado um programa linear Π1 em      outro programa linear Π2 , por...
Dualidade FracaPar primal-dual    (P) min        c ′x                                                   (D) max         p′...
Corol´rios     a  1   Se o custo primal ´timo ´ −∞, ent˜o o dual deve ser invi´vel.                        o     e        ...
Dualidade ForteTeoremaSe o programa primal (P) possui uma solu¸˜o ´tima x ∗ , ent˜o o seu dual                            ...
Dualidade ForteProva   Caso 2 - posto de A incompleto e o problema n˜o escrito na forma                                   ...
Analogia mecˆnica da dualidade forte            a               Alexandre Salles da Cunha   Dualidade
Analogia mecˆnica da dualidade forte            a   Vamos imaginar que uma bola seja introduzida em um poliedro (n˜o      ...
Analogia mecˆnica da dualidade forte            a   Em particular, p ´ uma solu¸˜o vi´vel para o Programa Dual            ...
Possibilidades do par primal-dual                        ´                        Otimo Finito          Ilimitado     Invi...
Caso Invi´vel-Invi´vel         a        aPrimal                     min          x1 + 2x2                                 ...
Teorema das Folgas ComplementaresUma importante rela¸˜o entre os pares primal-dual ´ expresso na forma da                 ...
ProvaProva(1) Se satisfaz x, p s˜o vi´veis e satisfazem ccf, ent˜o o par x, p ´ ´timo.                      a    a        ...
ProvaProva(2) Se o par x, p ´ vi´vel e ´timo, ent˜o ccf s˜o satisfeitas.                  e a        o         a       a  ...
Exemplomin     13x1 + 10x2 + 6x3                           max      8p1 + 3p2           5x1 + x2 + 3x3 = 8                ...
Representa¸˜o geom´trica do dual          ca      emin     c ′x                                             max          p...
Representa¸˜o geom´trica do dual          ca      eVamos estabelecer as condi¸˜es requeridas para que o par x, p sejam    ...
Representa¸˜o geom´trica do dual, n = 2, m = 5, primal          ca      en˜o denegerada a
Representa¸˜o geom´trica do dual, n = 2, m = 5, primal          ca      edenegerada   I = {1, 2}   I = {2, 3}   I = {1, 3}
Vari´veis duais interpretadas como custos marginais    aprimal                             min        c ′x                ...
Vari´veis duais interpretadas como custos marginais    aO que acontece se perturbarmos por d o vetor b ?    Desde que a pe...
Cada vari´vel possui um custo em termos dos pre¸os duais         a                                     c   Vamos considera...
M´todo Dual Simplex e   Na demonstra¸˜o do Teorema da Dualidade Forte, definimos o vetor                    ca   dual p ′ =...
M´todo Dual Simplex eQuadro Simplex           min     z = cB B −1 xB + (cN − cB B −1 N)xN                        ′        ...
M´todo Dual Simplex eVamos assumir que B −1 b ≥ 0.   Ent˜o obtenha l tal que xB(l) < 0 e considere a linha l do Tableau,  ...
Alguns casos a considerar  1                           ındice j ∈ N (n˜o b´sico) temos a      Caso c j = 0 para algum ´   ...
ExemploQuadro simplex, dual vi´vel                       a                                       x1      x2   x3     x4   ...
Exemplo - implementando o pivoteamento   Devemos ”re-inverter”a matriz, expressando as novas vari´veis b´sicas            ...
Quadro inicial                                        x1      x2    x3     x4   x5                    -w=           0     ...
Quando usar o Dual Simplex   Quando o dual tiver alguma estrutura desej´vel (exemplo: problema                            ...
Interpreta¸˜o geom´trica do dual          ca      eContinuamos considerando que o problema primal est´ na forma padr˜o e  ...
Exemplo min        x1 + x2                              max    2p1 + p2       x1 + 2x2 − x3 = 2                           ...
2o. pivot - ponto C                                                                     x1   x2     x3    x4ponto A       ...
Dualidade e degenera¸˜o                    caVamos continuar assumindo que o problema primal encontra-se na formapadr˜o e ...
Dualidade e degenera¸˜o                    caDegenera¸˜o no dual        ca    Sempre que houver uma vari´vel n˜o b´sica j ...
Multiplicidade de solu¸˜es primais ´timas                      co           oSolu¸˜es primais ´timas m´ltiplas    co      ...
Multiplicidade de solu¸˜es b´sicas ´timas                      co    a      o    Para existirem m´ltiplas solu¸˜es b´sicas...
Exemplo min             3x1 + x2                          max             2p1         x1 + x2 − x3 = 2                    ...
Modifica¸˜o no exemplo       caO que aconteceria ser o objetivo do programa primal anterior fossealterado para min x1 + x2 ...
Lema de FarkasCertificado de inviabilidadeSuponhamos que temos em m˜os um sistema de restri¸˜es lineares na                ...
Lema de Farkas     Vamos considerar o sistema na forma padr˜o Ax = b, x ≥ 0.                                             a...
Lema de FarkasProva 1   J´ provamos que se existe x ≥ 0 : Ax = b e p ′ A ≥ 0 ent˜o a segunda      a                       ...
Ilustra¸˜o geom´trica do Lema de Farkas       ca      eVamos considerar as colunas A1 , . . . , An de A. A existˆncia de  ...
Ilustra¸˜o geom´trica do Lema de Farkas       ca      eA inexistˆncia de x ≥ 0 : Ax = b sugere que deve existir um vetor p...
Ilustra¸˜o geom´trica do Lema de Farkas       ca      eA ultima observa¸˜o leva ao seguinte resultado:  ´             caCo...
Theorems of the alternativeTeoremaSuponha que o sistema linear Ax ≤ b possua ao menos uma solu¸˜o e seja                  ...
ProvaParte 1: Se hip´tese + (1) ent˜o (2).               o              a                                                 ...
ProvaParte 1: Se hip´tese + (2) ent˜o (1).               o              a                                                 ...
Cones e raios extremosConesUm conjunto C ⊂ Rn ´ um cone se λx ∈ C para todo x ∈ C , λ ≥ 0.                   eObserve que ...
ConesUm conjunto do tipo P = {x ∈ Rn : Ax ≥ 0} ´ chamado cone poliedral.                                          eTeorema...
Recession coneConsidere um poliedro n˜o vazio P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} e um ponto fixo                       ay ∈ P. O recessi...
Recession cone                 Alexandre Salles da Cunha   Dualidade
Raios extremosDefini¸˜o     ca  1   Um elemento n˜o nulo x do cone poliedral C ⊂ Rn ´ chamado um                     a     ...
Raios extremos - ilustra¸˜o para n = 2, 3                        ca               Alexandre Salles da Cunha   Dualidade
Caracteriza¸˜o de Programas Lineares Ilimitados           ca    Caso 1: a regi˜o de viabiliade ´ um cone:                 ...
Representa¸˜o de poliedros          caTeoremaSeja P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} um poliedro n˜o vazio contendo pelo menos         ...
Representa¸˜o de poliedros - exemplo          ca         P = {x ∈ R2 : x1 − x2 ≥ −2; x1 + x2 ≥ 1; x ≥ 0}               Ale...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

[Robson] 4. Dualidade

1.180 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.180
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
119
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
57
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

[Robson] 4. Dualidade

  1. 1. Dualidade Alexandre Salles da Cunha DCC-UFMG, Abril 2010Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  2. 2. Motiva¸˜o ca (P) max z = 4x1 +x2 +5x3 +3x4 s.t.: x1 −x2 −x3 +3x4 ≤ 1 5x2 +x2 +3x3 +8x4 ≤ 55 −x1 +2x2 +3x3 −5x4 ≤ 3 xi ≥ 0 Para obtermos limites inferiores: qualquer solu¸˜o vi´vel, por exemplo ca a 1 x = (2, 1, 1, 2 ). Como obtemos limites superiores ? Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  3. 3. Obtendo limites superiores max z ∗ = 4x1 +x2 +5x3 +3x4 s.t.: x1 −x2 −x3 +3x4 ≤ 1 5x1 +x2 +3x3 +8x4 ≤ 55 −x1 +2x2 +3x3 −5x4 ≤ 3 xi ≥ 0 5 Multiplicando a segunda restri¸˜o por ca 3 e a primeira e terceira por 0 e somando o resultado temos: 5 5 (5x1 +x2 +3x3 +8x4 ) ≤ 55 3 3 25 40 275 = x1 + 5 x2 +5x3 + x4 ≤ 3 3 3 3 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  4. 4. Obtendo limites superioresConsiderando a n˜o negatividade das vari´veis de decis˜o e comparando os a a acoeficientes na fun¸˜o objetivo com os coeficientes da restri¸˜o ca ca 25 5 40 275 x1 + x2 + 5x3 + x4 ≤ 3 3 3 3 25 x1 ≥ 0 e 3 ≥ 4, 5 x2 ≥ 0 e 3 ≥ 1, x3 ≥ 0 e 5 ≥ 5, 40 x4 ≥ 0 e 3 ≥ 3, 25temos que 4x1 + x2 + 5x3 + 3x4 ≤ 3 x1 + 5 x2 + 5x3 + 3 40 3 x4 ≤ 275 3 .Logo o objetivo de qualquer solu¸˜o vi´vel ´ limitado superiormente por ca a e275 ∗ ≤ 275 . 3 e, em particular, z 3 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  5. 5. Qual o melhor limite superior que podemos obter ? Mutiplicando cada linha i das restri¸˜es por uma quantidade pi ≥ 0: co p1 (x1 −x2 −x3 +3x4 ) ≤ 1p1 p2 (5x1 +x2 +3x3 +8x4 ) ≤ 55p2 p3 (−x1 +2x2 +3x3 −5x4 ) ≤ 3p3 Somando o resultado temos: x1 (p1 + 5p2 − p3 ) + x2 (−p1 + p2 + 2p3 ) + x3 (−p1 + 3p2 + 3p3 ) + x4 (+3p1 + 8p2 − 5p3 ) ≤ p1 + 55p2 + 3p3 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  6. 6. Qual o melhor limite que podemos obter ? Se impusermos que os coeficientes em x1 , . . . , x4 na restri¸˜o sejam ca pelo menos t˜o grandes quanto os da fun¸˜o objetivo a ca (4x1 + x2 + 5x3 + 3x4 ) p1 + 5p2 − p3 ≥ 4 −p1 + p2 + 2p3 ≥ 1 −p1 + 3p2 + 3p3 ≥ 5 +3p1 + 8p2 − 5p3 ≥ 3 podemos dizer que w = p1 + 55p2 + 3p3 fornece um limite superior para o objetivo de qualquer solu¸˜o vi´vel, em particular para a ca a solu¸˜o ´tima. ca o Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  7. 7. Qual o melhor limite que podemos obter ? Ent˜o ´ natural desejarmos conhecer o menor dos limites inferiores, a e gerados por um vetor (p1 , p2 , p3 ) conveniente. Ou seja, ´ natural e formularmos o seguinte Programa Linear:O Problema Dual associado a (P) (D) min w = p1 + 55p2 + 3p3 p1 + 5p2 − p3 ≥ 4 −p1 + p2 + 2p3 ≥ 1 −p1 + 3p2 + 3p3 ≥ 5 +3p1 + 8p2 − 5p3 ≥ 3 p1 , p2 , p3 ≥ 0 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  8. 8. De uma forma geralProblema Primal Problema Dual n mmax cj xj min bi pi j=1 i =1 n m aij xj ≤ bi i = 1, . . . , m aij pi ≥ cj j = 1, . . . , n j=1 i =1 xj ≥ 0 j = 1, . . . , n pi ≥ 0 i = 1, . . . , n Cada uma das restri¸˜es primais co aij xj ≤ bi associa-se a uma vari´vel dual pi e vice-versa. a Cada uma das restri¸˜es duais co aij pi ≥ cj associa-se a uma vari´vel a primal xj e vice-versa. Os coeficientes de cada vari´vel de um programa (primal ou dual) na a fun¸˜o objetivo aparecem no outro programa, como termo ca independente do sistema de restri¸˜es. co Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  9. 9. Um outro ponto de partida min c ′x s.t.: Ax = b x ≥ 0onde A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn .Problema RelaxadoO sistema de restri¸˜es Ax = b ´ relaxado, e a sua viola¸˜o ´ penalizada co e ca ena fun¸˜o objetivo: ca min c ′ x + p ′ (b − Ax) s.t.: x≥ 0onde p ∈ Rm ´ um vetor da mesma dimens˜o de b. e a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  10. 10. O problema relaxadoL(p) : g (p) = min c ′ x + p ′ (b − Ax) s.t.: x≥ 0Observe que o conjunto de viabilidade do problema relaxado inclui oconjunto de viabilidade do problema original.g (p) = minx≥0 c x + p ′ (b − Ax) ≤ (pela otim. de g (p)) ′ ∗ ′ ∗ c x + p (b − Ax ) = (pela viab. de x ∗ ) c ′x ∗Ou seja...g (p) fornece um limite dual (neste caso inferior) para c ′ x ∗ . Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  11. 11. O melhor limite que podemos obterO Problema Dual Lagrangeano max g (p) s.t.: p ∈ Rm sem restri¸˜es ! coOs principais resultados te´ricos: o j´ mostramos que g (p) ≤ c ′ x ∗ (dualidade fraca) a vamos mostrar que maxg (p) = c ′ x ∗ (dualidade forte). Quando os pre¸os p s˜o aqueles que resolvem o Problema Dual c a Lagrangeano, p ∗ , violar ou n˜o as restri¸˜es Ax = b ´ irrelevante. a co e Isto ´, basta resolvermos o problema minx≥0 g (p ∗ ) que obtemos uma e solu¸˜o ´tima para o problema primal ! ca o Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  12. 12. Explorando esta ´ltima observa¸˜o u ca g (p) = minx≥0 c ′ x + p ′ (b − Ax) = p ′ b + minx≥0 c ′ − p ′ A)x 0, se c ′ − p ′ A ≥ 0 Logo: minx≥0 [(c ′ − p ′ A)x] = −∞ c.c. Ent˜o para maximizarmos g (p) basta considerarmos os valores de p a para os quais g (p) n˜o ´ −∞. a e Portanto, o Problema Dual Lagrangeano ´ equivalente a: eDual de Programa¸˜o Linear ca max p ′b s.t.: p ′A ≤ c Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  13. 13. Varia¸˜es coPrimal Fun¸˜o Lagrangeana, p ≥ 0 ca min c ′x g (p) = c ′ x + p ′ (b − Ax) s.t.: Ax ≤ b s.t.: x ≥0 x ≥0g (p) = minx≥0 c x + p ′ (b − Ax) ≤ (pela otim. de g (p)) ′ ∗ ′ ∗ c x + p (b − Ax ) ≤ (pela viab. de x ∗ , p ≤ 0) c ′x ∗ Dual LagrangeanoDual Lagrangeano max p ′b max g (p) s.t.: c ′ ≥ p ′A s.t.: p≤0 p≤0 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  14. 14. Estrutura geral do par primal-dualprimal dual min c ′x max b′p ai′ x ≥ bi , i ∈ M1 pi ≥ 0, i ∈ M1 ai′ x ≤ bi , i ∈ M 2 pi ≤ 0, i ∈ M2 ai′ x = bi , i ∈ M 3 pi irrestrito , i ∈ M3 xj ≥ 0, j ∈ N1 p ′ Aj ≤ cj , j ∈ N1 xj ≤ 0, j ∈ N2 p ′ Aj ≥ cj , j ∈ N2 xj irrestrito, j ∈ N3 p ′ Aj = cj , j ∈ N3 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  15. 15. O dual do dual ´ o primal eTeoremaSe transformarmos o problema dual em um problema de minimiza¸˜o e caescrevermos o seu dual, iremos obter um problema de otimiza¸˜o caequivalente ao problema primal.Exemplo: min x1 +2x2 +3x3 max 5p1 +6p2 +4p3 −x1 +3x2 = 5 −p1 +2p2 ≤ 1 2x1 −x2 +3x3 ≥ 6 3p1 −p2 ≥ 2 x3 ≤ 4 3p2 +p3 = 3 x1 ≥ 0 p1 ≷ 0 x2 ≤ 0 p2 ≥ 0 x3 ≷ 0 p3 ≤ 0 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  16. 16. Equivalˆncias entre pares primal-dual ePar primal-dual I min c′x max p′ b Ax ≥ b p≥0 x ≷0 p′ A = c ′Par primal-dual II - introduzindo folgas min c ′ x + 0s max p′ b Ax − Is = b p ≷0 x ≷0 p′ A = c ′ s ≥0 −p ≤ 0Par primal-dual III - introduzindo vari´veis n˜o negativas a a min c′x + − c′x − max p′ b + − Ax − Ax ≥b p≥0 x+ ≥ 0 p′ A ≤ c ′ x− ≥ 0 −p ′ A ≤ −c ′
  17. 17. Efeito no dual de restri¸˜es redundantes no primal co min c ′x max p ′b Ax = b p′A ≤ c ′ x ≥0 Vamos assumir que am = m−1 γai para escalares γ1 , . . . , γm−1 . i =1 Para qualquer x vi´vel: bm = a′ x = m−1 γi ai′ x = m−1 γi bi . a i =1 i =1 As restri¸˜es duais m pi ai′ ≤ c ′ podem ser reescritas como: co i =1 m−1 ′ ′ i =1 (pi + γi pm )ai ≤ c . Al˜m disto, temos que o custo dual m pi bi = m−1 (pi + γi pm )bi . e i =1 i =1 Defina qi = pi + γi pm e verifique dual anterior equivale a: m−1 max qi bi i =1 m−1 qi ai′ ≤ c ′ i =1 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  18. 18. Em s´ ınteseTeorema 1 Suponha que tenhamos transformado um programa linear Π1 em outro programa linear Π2 , por uma sequˆncia de transforma¸˜es da e co seguinte forma: 1 Substitua uma vari´vel livre pela diferen¸a de duas vari´veis n˜o a c a a negativas; 2 Substitua uma desigualdade por uma restri¸˜o de igualdade, ca introduzindo vari´veis de folga (excesso) convenientes; a 3 Se alguma das linhas da matriz A em na forma padr˜o vi´vel ´ uma a a e combina¸˜o linear das outras linhas, elimine a correspondente linha do ca sistema na forma padr˜o. aEnt˜o os dois problemas Π1 , Π2 s˜o equivalentes, isto ´, ou os dois s˜o a a e ainvi´veis ou possuem o mesmo custo ´timo. a o Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  19. 19. Dualidade FracaPar primal-dual (P) min c ′x (D) max p′b Ax = b p ′A ≤ c ′ x ≥0TeoremaSe x ´ uma solu¸˜o vi´vel para o problema primal (P) e p ´ uma solu¸˜o e ca a e cavi´vel para o dual (D) de (P), ent˜o p a a ′ b ≤ c ′ x.Prova Ax = b → p ′ Ax = p ′ b p ′ A ≤ c ′ → p ′ Ax ≤ c ′ x p′b ≤ c ′x Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  20. 20. Corol´rios a 1 Se o custo primal ´timo ´ −∞, ent˜o o dual deve ser invi´vel. o e a a 2 Se o custo dual ´timo ´ ∞, ent˜o o problema primal deve ser invi´vel. o e a a 3 Se x e p s˜o solu¸˜es vi´veis para P e D, respetivamente e se a co a p ′ b = c ′ x, ent˜o x, p resolvem P,D. a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  21. 21. Dualidade ForteTeoremaSe o programa primal (P) possui uma solu¸˜o ´tima x ∗ , ent˜o o seu dual ca o a(D) possui uma solu¸˜o p ca ∗ tal que p ′ b = c ′ x.Prova Caso 1 - Vamos considerar o primal na forma padr˜o e posto de A a completo. Assumindo que o m´todo simplex tenha sido implementado com o e crit´rio de pivoteamento lexicogr´fico, obtemos uma solu¸˜o ´tima e a ca o associada ` base B, isto ´, x a e ∗ = (x ∗ , x ∗ ) = (c B −1 , 0). Assuma que B N B N seja o conjunto dos ´ındices das vari´veis n˜o b´sicas na solu¸˜o a a a ca o ´tima. Defina p ∗′ = cB B −1 e verifique que p ∗ ´ dual vi´vel (o simplex ′ e a terminou com condi¸˜es de custo reduzido n˜o negativos). co a uma vez que p ∗′ b = cB B −1 b = (cB , cN )′ (xB , 0)b, segue o resultado. ′ Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  22. 22. Dualidade ForteProva Caso 2 - posto de A incompleto e o problema n˜o escrito na forma a padr˜o. a Reescreva o problema primal na forma padr˜o, elimine as linhas a redundantes e redefina as vari´eis duais. v Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  23. 23. Analogia mecˆnica da dualidade forte a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  24. 24. Analogia mecˆnica da dualidade forte a Vamos imaginar que uma bola seja introduzida em um poliedro (n˜o a vazio), definido pelas restri¸˜es ai x ≥ bi , ∀i . co O ponto de energia m´ ınima da bola corresponde ao canto mais inferior poss´ do poliedro, dado por x ∗ . Ou seja, o ponto de ıvel ıbrio x ∗ corresponde a solu¸˜o do Programa Linear: equil´ ca min c ′x ai′ x ≥ bi ∀i onde c ´ um vetor na dire¸˜o oposta ao campo gravitacional. e ca As for¸as normais `s retri¸˜es ativas em x ∗ comp˜em a for¸a que c a co o c equilibra a for¸a exercida pelo campo gravitacional. Isto ´: c e c = i pi ai , onde pi s˜o pesos n˜o negativos. a a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  25. 25. Analogia mecˆnica da dualidade forte a Em particular, p ´ uma solu¸˜o vi´vel para o Programa Dual e ca a max p′b p′A = c ′ p≥0 Dado que as for¸as s´ podem se exercidas pelas restri¸˜es ativas em c o co x ∗ , devemos ter pi = 0 quando ai′ x ∗ > bi . Consequentemente, temos pi (bi − ai′ x ∗ ) = 0, ∀i Logo p ′ b = i pi bi = i pi ai′ x ∗ = c ′ x ∗ . Ent˜o p ´ uma solu¸˜o ´tima do dual. a e ca o Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  26. 26. Possibilidades do par primal-dual ´ Otimo Finito Ilimitado Invi´vel a ´ Otimo finito Poss´ ıvel Imposs´ıvel Imposs´ıvel Ilimitado Imposs´ıvel Imposs´ıvel Poss´ ıvel Invi´vel a Imposs´ıvel Poss´ ıvel Possivel Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  27. 27. Caso Invi´vel-Invi´vel a aPrimal min x1 + 2x2 x1 + x2 = 1 2x1 + 2x2 = 3Dual max 2p1 + 2x2 p1 + 2p2 = 1 p1 + 2p2 = 2 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  28. 28. Teorema das Folgas ComplementaresUma importante rela¸˜o entre os pares primal-dual ´ expresso na forma da ca econdi¸˜o de complementaridade-folga (ccf): caTeoremaSejam x e p duas solu¸˜es vi´veis, respectivamente para os programas co aprimal e dual. Os vetores x e p s˜o ´timos se e somente se: a o pi (ai′ x − bi ) = 0 ∀i (cj − p ′ Aj )xj = 0 ∀j Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  29. 29. ProvaProva(1) Se satisfaz x, p s˜o vi´veis e satisfazem ccf, ent˜o o par x, p ´ ´timo. a a a eo pi (ai′ x − bi ) = 0 → pi ai′ x = pi bi i i i ′ ′ xj (cj − p Aj ) = 0 → cj xj = p A j xj = p′b j j jTendo em vista a Dualidade Fraca, p ′ b = c ′ x, logo demonstra-se aotimalidade de x, p. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  30. 30. ProvaProva(2) Se o par x, p ´ vi´vel e ´timo, ent˜o ccf s˜o satisfeitas. e a o a a Defina ui = pi (ai′ x − bi ) e vj = (cj − p ′ Aj )xj . Observe que dado a viabilidade de x, p temos que ui ≥ 0, ∀i e vj ≥ 0, ∀j. Observe ainda que: ui + vj = i pi a′ x − i pi bi + i j ′ j cj xj − p j A j xj = c ′x − p′b = 0 Logo, como ui ≥ 0, ∀i , vj ≥ 0, ∀j temos que: ui = 0 ∀i i ui + j vj = 0 → vj = 0 ∀j Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  31. 31. Exemplomin 13x1 + 10x2 + 6x3 max 8p1 + 3p2 5x1 + x2 + 3x3 = 8 5p1 + 3p2 ≤ 13 3x1 + x2 = 3 p1 + p2 ≤ 10 x ≥0 3p1 ≤ 6 As condi¸˜es pi (bi − co ai′ x) = 0 s˜o automaticamente satisfeitas para a qualquer x vi´vel. a Vamos considerear a solu¸˜o ´tima x ∗ = (1, 0, 1). Para a vari´vel n˜o ca o a a ∗ (c − p ′ A ) = 0, uma vez que x ∗ = 0. b´sica x2 , temos que x2 2 a 2 2 Resolvendo o sistema linear associado a p ′ B = cB : ′ 5p1 + 3p2 = 13 3p1 = 6 cuja solu¸˜o ´ p1 = 2, p1 = 1 e custo dual ´ 19 ca e e Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  32. 32. Representa¸˜o geom´trica do dual ca emin c ′x max p′b ai′ x ≥ bi i = 1, . . . , m m pi ai = c i =1 p≥0Vamos assumir que: I denota um subconjunto de {1, . . . , m}, |I | = n, tal que os vetores ai : i ∈ I s˜o l.i.. a Como o sistema ai x = bi , i ∈ I admite solu¸˜o unica, denote x I esta ca ´ solu¸˜o, que ´ b´sica para o primal. ca e a Assuma que x I ´ n˜o degenerada, isto ´ ai′ x I = bi , i ∈ I . e a e Vamos assumir que p ∈ Rm seja um vetor de vari´veis duais, n˜o a a necessariamente ´timo. o Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  33. 33. Representa¸˜o geom´trica do dual ca eVamos estabelecer as condi¸˜es requeridas para que o par x, p sejam cootimos para os programas primal e dual, respectivamente:´ 1 a′ x ≥ b , ∀i ∈ 1, . . . , m (viabilidade primal) i i 2 p = 0, ∀i ∈ I (complementaridade folga) i m i =1 pi ai = c (viabilidade dual) 3 4 p ≥ 0 (viabilidade dual)Ent˜o temos: a Diante das ccf, a condi¸˜o (3) ficam: ca i ∈I pi ai = c, que admite solu¸˜o unica, uma vez que os vetores ai : i ∈ I s˜o li. Vamos denotar ca ´ a por p I esta solu¸˜o. ca Observe que os vetores ai : i ∈ I formam uma base para o dual (n restri¸˜es de igualdade satisfeitas e m − n restri¸˜es de n˜o co co a negatividade justas para i ∈ I ) Para o vetor p I ser via´vel, ´ necess´rio que p I ≥ 0. Isto significa que a e a c deve ser uma combina¸˜o n˜o negativa das linhas ai : i ∈ I ca a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  34. 34. Representa¸˜o geom´trica do dual, n = 2, m = 5, primal ca en˜o denegerada a
  35. 35. Representa¸˜o geom´trica do dual, n = 2, m = 5, primal ca edenegerada I = {1, 2} I = {2, 3} I = {1, 3}
  36. 36. Vari´veis duais interpretadas como custos marginais aprimal min c ′x Ax = b x ≥ 0Hip´teses: o linhas de A s˜o li. a existe solu¸˜o b´sica ´tima n˜o degenerada x ∗ ca a o a vamos assumir que B seja a base ´tima associada. o Vamos assumir tamb´m que p ′ = cB B −1 seja o vetor dual ´timo e o associado a esta base. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  37. 37. Vari´veis duais interpretadas como custos marginais aO que acontece se perturbarmos por d o vetor b ? Desde que a perturba¸˜o seja pequena o suficiente para ca B −1 (b + d) ≥ 0, a base ´tima permanece a mesma. o Esta perturba¸˜o suficientemente pequena para que a base otima ca ´ permane¸a a mesma existe como consequˆncia da n˜o degenera¸˜o c e a ca primal. A base permanece ´tima porque al´m de permanecer vi´vel, n˜o h´ o e a a a modifica¸˜o na condi¸˜o de otimalidade primal (ou viabilidade dual). ca ca Com a introdu¸˜o da perturba¸˜o, o custo dual passa de p ′ b para ca ca p ′ (b + d). Logo uma mudan¸a de di de uma unidade no i −´simo termo c e independente acarreta uma modifica¸˜o de custo de pi , na fun¸˜o ca ca objetivo dual e, consequentemetne no novo objetivo primal. Assim sendo, as vari´veis duais podem ser interpretadas como o custo a marginal por unidade de aumento de bi . Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  38. 38. Cada vari´vel possui um custo em termos dos pre¸os duais a c Vamos considerar a vari´vel (primal) j cujo custo ´ cj . a e Podemos sintetizar o custo da vari´vel primal utilizada (b´sica) em a a termos dos pre¸os das vari´veis duais (interpretados como pre¸os por c a c unidades de recursos dos insumos empregados). Ou seja, se j ´ uma vari´vel b´sica utilizada, cj = p ′ Aj . e a a Toda vari´vel tem ent˜o um custo em termos dos fatores de produ¸˜o. a a ca Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  39. 39. M´todo Dual Simplex e Na demonstra¸˜o do Teorema da Dualidade Forte, definimos o vetor ca dual p ′ = cb B −1 e observamos que a condi¸˜o de otimalidade primal ′ ca c ′ − c ′ B −1 A ≥ 0 equivale na verdade ` condi¸˜o de viabilidade dual a ca B p′A ≤ c ′. Podemos ent˜o pensar no m´todo Simplex como um algoritmo que a e mant´m a viabilidade primal durante todo seu curso e quando se e depara com a viabilidade dual, comprova a otimalidade primal (e dual tamb´m !). e O M´todo Simplex ´ portanto um algoritmo primal. e e Uma alternativa ao Simplex Primal ´ o M´todo Dual Simplex que e e gera solu¸˜es b´sicas vi´veis para o problema dual e caminha para a co a a viabilidade dual - M´todo Dual Simplex. e Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  40. 40. M´todo Dual Simplex eQuadro Simplex min z = cB B −1 xB + (cN − cB B −1 N)xN ′ ′ ′ xB = B −1 b − B −1 NxNFull Tableau Correspondente: −cB B −1 b c B −1 b B −1 A Ao longo de todo o algoritmo c ≥ 0, p = cB B −1 ≷ 0 (dual vi´vel) ′ a Quando observarmos B −1 b ≥ 0 temos viabilidade primal e portanto a solu¸˜o dual em m´os ´ ´tima. ca a eo Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  41. 41. M´todo Dual Simplex eVamos assumir que B −1 b ≥ 0. Ent˜o obtenha l tal que xB(l) < 0 e considere a linha l do Tableau, a chamada linha pivot. Esta linha tem as seguintes entradas: xB(l) , v1 , . . . , vn , onde vi ´ a l -´sima entrada do vetor B −1 Ai . e e Para todo i : vi < 0 (caso tal ´ a c ındice exista), calculamos a raz˜o |vii | . Seja j o ´ ındice da vari´vel para a qual a raz˜o m´ a a ınima ´ atingida, isto e c c ´, vj < 0 e |vjj | = min{ |vii | , ∀i : vi < 0}. A entrada vj ´ chamada e e elemento pivot. Realizamos uma mudan¸a de base: a coluna Aj entra na base e a c coluna AB(l) sai da base. Esta opera¸˜o de pivoteamento ocorre da ca mesma forma que no m´todo Simplex Primal: somamos a todas as e linhas do Full Tableau (exceto a linha l ) um m´ltiplo da linha pivot u de forma que todos os elementos da coluna j sejam zero, exceto o elemento vj que ser´ transformado em um 1. a Em particular, para zerar o custo reduzido da linha zero do tableau, c multiplicamos a linha pivot por |vjj | e somamos ` linha zero. a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  42. 42. Alguns casos a considerar 1 ındice j ∈ N (n˜o b´sico) temos a Caso c j = 0 para algum ´ a a degenera¸˜o dual e o algoritmo termina dependendo das regras de ca pivoteamento empregadas (lexicogr´fica e de Bland). a 2 Dado uma escolha de vari´vel B(l ) para sair da base, caso n˜o exista a a i : vi < 0, o custo dual ´timo ´ ∞ e o problema primal ´ invi´vel. O o e e a algoritmo ent˜o termina. a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  43. 43. ExemploQuadro simplex, dual vi´vel a x1 x2 x3 x4 x5 -w= 0 2 6 10 0 0 x4 = 2 -2 4 1 1 0 x5 = -1 4 -2 -3 0 1Opera¸˜o de pivoteamento: ca Sai da base: x5 uma vez que (B −1 b)2 < 0. Candidatos a entrar na base: x2 , x3 . Quem entra na base, x2 , uma vez que determina o teste da raz˜o. aComo efetuar o pivoteamento ? Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  44. 44. Exemplo - implementando o pivoteamento Devemos ”re-inverter”a matriz, expressando as novas vari´veis b´sicas a a em termos das novas n˜o b´sicas. a a Devemos fazer opera¸˜es linha elementares de forma a obter, nas co colunas do tableau associadas a uma vari´vel b´sica, um vetor de a a zeros, exceto por uma entrada 1, que ocorre na linha associada aquela vari´vel b´sica. a a Da mesma forma, devemos fazer com que a nova linha zero reflita a escolha das vari´veis n˜o b´sicas, isto ´, devemos zerar a entrada do a a a e custo reduzido associado ` vari´vel i . a a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  45. 45. Quadro inicial x1 x2 x3 x4 x5 -w= 0 2 6 10 0 0 x4 = 2 -2 4 1 1 0 x5 = -1 4 -2 -3 0 1Opera¸˜es linha elementares: co c L0 ← L0 + |vjj | Ll . para todo k = 1, . . . , m, k = l , Lk ← Lk + mk,l Ll , onde mk,l ´ o e multiplicador associado. Ao final, dividimos a linha l por vi .Quadro resultante x1 x2 x3 x4 x5 -w= -3 14 0 1 0 3 x4 = 0 6 0 -5 1 2 1 3 x2 = 2 -2 1 2 0 -1 2 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  46. 46. Quando usar o Dual Simplex Quando o dual tiver alguma estrutura desej´vel (exemplo: problema a de fluxo em redes que admite alguma especializa¸˜o do Simplex). ca Quando uma base dual vi´vel for prontamente dispon´ a ıvel. Isto tipicamente ocorre em situa¸˜es de re-otimiza¸˜o onde: co ca ◮ Algum elemento de b foi perturbado e a base ´tima do programa o anterior n˜o ´ mais primal vi´vel e sim dual vi´vel. a e a a ◮ Alguma restri¸˜o adicional foi inserida no problema primal. Observe ca que a introdu¸˜o desta restri¸˜o n˜o afeta a viabilidade dual. ca ca a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  47. 47. Interpreta¸˜o geom´trica do dual ca eContinuamos considerando que o problema primal est´ na forma padr˜o e a aque as linhas de A s˜o li. a Dado que temos a base B formada pelas linhas AB(1) , . . . , AB(m) , temos a solu¸˜o b´sica xB = B −1 b. ca a Com a mesma base, podemos resolver o sistema linear p ′ B = cB . ′ Uma vez que B admite inversa, este sistema tem solu¸˜o unica ca ´ p ′ = B −1 cb . ′ Esta solu¸˜o dual p ´ tal que o n´mero de restri¸˜es duais justas, tais ca e u co que seus vetores de coeficientes s˜o l.i. ´ igual ` dimens˜o do espa¸o a e a a c dual. Por este motivo, a solu¸˜o p ´ uma solu¸˜o b´sica para o dual. ca e ca a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  48. 48. Exemplo min x1 + x2 max 2p1 + p2 x1 + 2x2 − x3 = 2 p1 + p2 ≤ 1 x1 − x4 = 1 2p1 ≤ 1 x ≥0 p≥0 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  49. 49. 2o. pivot - ponto C x1 x2 x3 x4ponto A -w= -3/2 0 0 1/2 1/2 x1 x2 x3 x4 x2 = 1/2 0 1 -1/2 1/2 -w= 0 1 1 0 0 x1 = 1 1 0 0 -1 x3 = -2 -1 -2 1 0 x4 = -1 -1 0 0 11o. pivot - B x1 x2 x3 x4 -w= -1 1/2 0 1/2 0 x2 = 1 1/2 1 -1/2 0 x4 = -1 -1 0 0 1 Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  50. 50. Dualidade e degenera¸˜o caVamos continuar assumindo que o problema primal encontra-se na formapadr˜o e que a matriz de coeficientes A possui posto m. a min c ′x Ax = b x ≥0 Qualquer matriz B que forme uma base leva a uma solu¸˜o dual ca b´sica, dada por p ′ = cB B −1 . a As restri¸˜es do programa dual s˜o p ′ A ≥ c ′ que podem ser co a desmembradas em dois conjuntos de restri¸˜es, envolvendo as colunas co b´sicas e n˜o b´sicas: a a a ◮ p ′ B ≥ cB . Estas m restri¸oes s˜o naturalmente satisfeitas de forma c˜ a justa dado que p ′ = cB B −1 . ′ ◮ p ′ N ≥ cN . Na base ´tima, estas restri¸oes duais, que representam a o c˜ condi¸˜o de otimalidade associada a custos reduzidos, s˜o satisfeitas. ca a Entretanto, algumas delas podem ser satisfeitas de forma justa. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  51. 51. Dualidade e degenera¸˜o caDegenera¸˜o no dual ca Sempre que houver uma vari´vel n˜o b´sica j : p ′ Aj = cj isto ´ a a a e c j = 0, temos degenera¸˜o dual. ca Note que o espa¸o de viabilidade dual est´ imerso em Rm e portanto, c a temos mais de m restri¸˜es satisfeitas de forma justa no ponto dual co dado por p ′ = cB B −1 . Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  52. 52. Multiplicidade de solu¸˜es primais ´timas co oSolu¸˜es primais ´timas m´ltiplas co o u Dado um conjunto de vari´veis b´sicas ´timas {B(1), . . . , B(m)}, a a o para existirem m´ltiplas solu¸˜es primais ´timas ´ necess´rio existir u co o e a pelo menos duas solu¸˜es b´sicas ´timas. co a o Portanto, ´ necess´rio existir uma vari´vel n˜o b´sica j : c j = 0. e a a a a A condi¸˜o acima implica que o problema dual ´ degenerado. ca eAten¸˜o: existir j n˜o b´sico tal que c j = 0 n˜o implica que: ca a a a existem m´ltiplicas solu¸˜es primais ´timas u co o existem m´ltiplas bases ´timas (podemos ter v´rias bases associadas u o a a ` mesma solu¸˜o b´sica, mas apenas uma das bases sendo vi´vel). ca a a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  53. 53. Multiplicidade de solu¸˜es b´sicas ´timas co a o Para existirem m´ltiplas solu¸˜es b´sicas ´timas, ´ necess´rio u co a o e a existirem duas bases ´timas. o ´ E necess´rio que c j = 0 para alguma vari´vel n˜o b´sica j, logo o a a a a dual ´ degenerado (mais de m restri¸˜es duais justas). e co Se dispomos de duas bases ´timas no primal, duas alternativas podem o ocorrer: ◮ O programa primal possui uma ´nica solu¸˜o b´sica ´tima e, neste u ca a o caso, esta solu¸˜o precisa ser degenerada (caso contr´rio n˜o existiriam ca a a duas bases ´timas) o ◮ O programa primal possui pelo menos duas solu¸oes b´sicas ´timas (o c˜ a o primal n˜o precisa ser degenerado, pode ser ou n˜o degenerado). a a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  54. 54. Exemplo min 3x1 + x2 max 2p1 x1 + x2 − x3 = 2 p1 + 2p2 ≤ 3 2x1 − x2 − x4 = 0 p1 − p2 ≤ 1 x ≥0 p≥0Eliminando x3 , x4 do primal temos: Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  55. 55. Modifica¸˜o no exemplo caO que aconteceria ser o objetivo do programa primal anterior fossealterado para min x1 + x2 ? Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  56. 56. Lema de FarkasCertificado de inviabilidadeSuponhamos que temos em m˜os um sistema de restri¸˜es lineares na a coforma padr˜o Ax = b, x ≥ 0. a O Lema de Farkas nos fornece um meio, empregando Teoria da Dualidade, de apresentar um certificado de inviabilidade de um sistema linear na forma padr˜o, dado que outro sistema linear a associado possui uma solu¸˜o. ca Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  57. 57. Lema de Farkas Vamos considerar o sistema na forma padr˜o Ax = b, x ≥ 0. a Vamos ent˜o admitir que exista um vetor p tal que p ′ A ≥ 0′ e que a p ′ b < 0. Observe que diante disto temos p ′ Ax ≥ 0 e ent˜o p ′ b ≥ 0. a Assim sendo, se o primeiro sistema linear admite solu¸˜o, o segundo ca precisa ser invi´vel. aTeoremaLema de FarkasSeja A uma matriz de dimens˜es m × n e b ∈ Rm . Ent˜o exatamente uma o adas seguintes afirmativas ´ verificada: e 1 Existe algum x ≥ 0 : Ax = b 2 Existe algum p : p ′ A ≥ 0′ , p ′ b < 0. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  58. 58. Lema de FarkasProva 1 J´ provamos que se existe x ≥ 0 : Ax = b e p ′ A ≥ 0 ent˜o a segunda a a alternativa n˜o pode acontecer. a 2 Vamos considerar n˜o exista x ≥ 0 : Ax = b e escrever o par primal a dual: max 0′ x min p′b Ax = b p ′A ≥ 0 x ≥0 3 Como o primal ´ invi´vel, seu dual ou ´ invi´vel ou ilimitado. e a e a 4 O vetor p = 0 ´ uma solu¸˜o dual vi´vel. Ent˜o o dual ´ ilimitado. e ca a a e 5 Assim sendo, existe p vi´vel (isto ´, p : p ′ A ≥ 0 de forma que p ′ b < 0. a e Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  59. 59. Ilustra¸˜o geom´trica do Lema de Farkas ca eVamos considerar as colunas A1 , . . . , An de A. A existˆncia de ex ≥ 0 : Ax = b implica que b = i Ai xi , isto ´ b pode ser escrito como euma combina¸˜o linear n˜o negativa das colunas de A. ca a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  60. 60. Ilustra¸˜o geom´trica do Lema de Farkas ca eA inexistˆncia de x ≥ 0 : Ax = b sugere que deve existir um vetor p e um ehiperplano associado {z : p ′ z = 0} que divide o espa¸o em duas regi˜es: c oem uma encontram-se as combina¸˜es n˜o negativas das colunas de A. Na co aoutra, encontra-se o vetor b. Ent˜o temos p ′ b < 0 e p ′ Aj ≥ 0 para aqualquer coluna j. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  61. 61. Ilustra¸˜o geom´trica do Lema de Farkas ca eA ultima observa¸˜o leva ao seguinte resultado: ´ caCorol´rio aSejam A1 , . . . , An as colunas de A e b um vetor em Rm . Suponha quequalquer vetor p que satisfa¸a p ′ Ai ≥ 0, i = 1, . . . , n tamb´m satisfa¸a c e cp ′ b ≥ 0. Ent˜o b pode ser escrito como combina¸˜o linear n˜o negativa a ca adas colunas de A. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  62. 62. Theorems of the alternativeTeoremaSuponha que o sistema linear Ax ≤ b possua ao menos uma solu¸˜o e seja cad um escalar qualquer. Ent˜o, as seguintes afirmativas s˜o equivalentes: a a 1 Toda solu¸˜o vi´vel para o sistema linear Ax ≤ b satisfaz c ′ x ≤ d. ca a 2 Existe algum p ≥ 0 tal que p ′ A = c ′ e p ′ b ≤ d. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  63. 63. ProvaParte 1: Se hip´tese + (1) ent˜o (2). o a min p′b max c ′x p′A = c Ax ≤ b p≥0 Uma vez que existe x : Ax ≤ b satisfazendo c ′ x ≤ d, o programa primal ´ limitado superiormente. e Logo, seu dual ´ tamb´m limitado. Por dualidade forte, a solu¸˜o e e ca o ´tima do dual tamb´m possui limitante superior por d. e Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  64. 64. ProvaParte 1: Se hip´tese + (2) ent˜o (1). o a min p′b max c ′x p ′A = 0 Ax ≤ b p≥0 Se algum p satisfaz p′A = c ′, p ≥0e p′b ≤ d ent˜o por dualidade a fraca qualquer solu¸˜o do sistema linear Ax ≤ b precisa satisfazer ca c ′ x ≤ d. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  65. 65. Cones e raios extremosConesUm conjunto C ⊂ Rn ´ um cone se λx ∈ C para todo x ∈ C , λ ≥ 0. eObserve que diante desta defini¸˜o 0 ∈ C (escolha qualquer x ∈ C e caλ = 0. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  66. 66. ConesUm conjunto do tipo P = {x ∈ Rn : Ax ≥ 0} ´ chamado cone poliedral. eTeoremaSeja C ⊂ Rn um cone poliedral definido pelas restri¸˜es co ′ x ≥ 0, i = 1, . . . , m. Ent˜o, as seguintes afirmativas s˜o equivalentes:ai a a 1 O vetor 0 ´ um ponto extremo de C e 2 O cone C n˜o possui linha a 3 Existem n vetores ai linearmente independentes dentre aqueles que definem C . Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  67. 67. Recession coneConsidere um poliedro n˜o vazio P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} e um ponto fixo ay ∈ P. O recession cone em y ´ dado pelo conjunto das dire¸˜es d ao e colongo das quais podemos nos mover indefinidamente sem sair do conjuntoP. O recession cone ´ definido como: e {d ∈ Rn : A(y + λd) ≥ b, ∀λ ≥ 0} N˜o ´ dif´ perceber que o recession cone ´ dado por a e ıcil e {d ∈ Rn : Ad ≥ 0} e portanto ´ um cone poliedral. e O resultado acima mostra que o recession cone ´ independente do e ponto que fixamos no poliedro P. Para o caso onde ∅ = P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, o recession cone ´ o conjunto dos vetores que resolve Ax = 0, x ≥ 0. e Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  68. 68. Recession cone Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  69. 69. Raios extremosDefini¸˜o ca 1 Um elemento n˜o nulo x do cone poliedral C ⊂ Rn ´ chamado um a e raio extremo se existem n − 1 restri¸˜es ativas em x. co 2 Um raio extremo extremo do cone de recess˜o associado a um a poliedro P ´ tamb´m um raio extremo de P. e eObserva¸˜es: co Dois raios extremos s˜o equivalentes se um ´ um m´ltiplo positivo do a e u outro. A interse¸˜o de n − 1 restri¸˜es lineares li define uma linha. Assim ca co sendo, a combina¸˜o de n − 1 restri¸˜es li pode produzir no m´ximo ca co a dois raios extremos, com dire¸˜es opostas. co Dado que o n´mero de combina¸˜es de n − 1 restri¸˜es li ´ finito, o u co co e n´mero de raios extremos n˜o equivalentes ´ finito tamb´m. u a e e Um conjunto de raios extremos ´ dito completo se cont´m um e e exemplar de cada conjunto de raios extremos equivalentes. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  70. 70. Raios extremos - ilustra¸˜o para n = 2, 3 ca Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  71. 71. Caracteriza¸˜o de Programas Lineares Ilimitados ca Caso 1: a regi˜o de viabiliade ´ um cone: a eTeoremaConsidere o problema de minimizar c ′ x sobre um cone{x ∈ Rn : ai′ x ≥ 0, i = 1, . . . , m}. O custo ´timo ´ −∞ se e somente se o ec ′ d < 0 para algum raio extremo d de C . Caso 2: poliedro qualquer que contenha um ponto extremo:TeoremaConsidere o problema de minimizar c ′ x sujeito ao conjunto de restri¸˜es colineares P = {x ∈ R n : a′ x ≥ b , i = 1, . . . , m}. Assuma que P possua i ipelo menos um ponto extremo.Ent˜o o custo ´timo ´ −∞ se e somente se c ′ d < 0 para algum raio a o eextremo d de P. Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  72. 72. Representa¸˜o de poliedros caTeoremaSeja P = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} um poliedro n˜o vazio contendo pelo menos aum ponto extremo. Assuma ent˜o que {x 1 , . . . , x k } denote o conjunto dos apontos extremos de P e que {w 1 , . . . , w r } um conjunto completo de raiosextremos de P.Seja ent˜o a    k r k  Q = x ∈ Rn : x = λi x i + θj w j , θj ≥ 0, λi ≥ 0, λi = 1 .   i =1 j=1 i =1Ent˜o Q = P. a Alexandre Salles da Cunha Dualidade
  73. 73. Representa¸˜o de poliedros - exemplo ca P = {x ∈ R2 : x1 − x2 ≥ −2; x1 + x2 ≥ 1; x ≥ 0} Alexandre Salles da Cunha Dualidade

×