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Modelos para Risco
      de Crédito 3:
              KMV
            Análise de Risco (11)
                       R.Vicente




                                    1
Resumo
 Introdução
 Estimação do valor de mercado e volatilidade
 dos ativos
 Cálculo da Distância-para-default
 Cálculo da Probabilidade de Default
 Bibliografia



                                            2
Principal Diferença


KMV                       Credit Risk+ e
                          Credit Metrics
Probabilidade de default Probabilidade de default
calculada para cada ativo determinada pela taxa
                          média para cada
                          classificação de crédito


                                                     3
Idéia Geral       Taxa esperada de crescimento




  DD = Distance-to-default
                                                 4
  EDF = Expected Default FrequencyTM
Estimação do valor de mercado
dos ativos: Modelo de Merton
Exemplo: Fundo mútuo: $20 de capital dos sócios , $80
emprestados, $100 investidos em ações.
                ATIVO     PASSIVO




                            $80

                  $100
                                        Após 5 anos os ativos
                                        serão vendidos e
                                        distribuídos entre
                                        sócios e credores.
                             $20
                                                                5
Estimação do valor de mercado
dos ativos: Modelo de Merton
    ATIVO           PASSIVO


    $100             $80

                              Qual o valor de mercado das ações
                     $20      deste fundo no final dos 5 anos ?


            V




                                                                  6
                0             80                 VA
Estimação do valor de mercado
dos ativos: Modelo de Merton
    ATIVO           PASSIVO

                              Qual o valor de mercado das ações
    $100             $80      deste fundo antes de 5 anos ?


                     $20      Valor de uma CALL sobre o ativo
                              do fundo com strike em $80.

            V




                                                                  7
                0              80                  VA
Estimação do valor de mercado
dos ativos: Modelo de Merton
    VE = VAN (d1 ) − e XN (d2 )
                        rT


              VA             VA
    σE = σA        Δ = σA         N (d1 )
              VE             VE
               ⎛VA ⎞ ⎜ ⎛     2 ⎞

               ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜r + σA ⎟T
            ln ⎜ ⎟ ⎜           ⎟
               ⎜X ⎠ ⎜
               ⎝             2⎠⎟
                               ⎟
                       ⎝
       d1 =
                    σA T
       d2 = d1 − σA T                       8
Distância para Default

                           ⎡ Valor de Mercado⎤ ⎡ Ponto ⎤
                           ⎢                  ⎥−⎢           ⎥
       ⎡ Distancia ⎤       ⎢    dos Ativos    ⎥ ⎢de Default⎥
       ⎢              ⎥ = ⎢⎣                  ⎥⎦ ⎢⎣         ⎥⎦
       ⎢ para Default⎥ ⎡ Valor de Mercado⎤ ⎡ Volatilidade ⎤
      ⎢⎣             ⎥⎦ ⎢                    ⎥⎢              ⎥
                          ⎢     dos Ativos   ⎥ ⎢ dos Ativos ⎥
                          ⎢⎣                 ⎥⎦ ⎢⎣           ⎥⎦



 Ponto de Default = STRIKE (X)
                 = Dívida de Curto Prazo + ½ Divida de Longo Prazo


                                                                     9
Probabilidade de Default


            ⎡V t ≤ X V 0 = V ⎤
   pt = Pr ⎢ A
            ⎣       t  A     A⎥
                              ⎦
           ⎡lnV t ≤ ln X V 0 = V ⎤
      = Pr ⎢
           ⎣     A       t A    A⎥
                                 ⎦



                                     10
Probabilidade de Default
Assumindo uma dinâmica browniana geométrica:


               ⎛     2 ⎞
                    σA ⎟
 lnVA = lnVA + ⎜μA − ⎟ t + σA t ε
    t
               ⎜
               ⎜       ⎟
               ⎜
               ⎝     2⎠⎟

 A probabilidade que se deseja calcular é equivalente à probabilidade da
 Call com strike Xt “virar pó” em t :


           ⎡      ⎛   σA ⎞
                       2                   ⎤
pt   = Pr ⎢⎢lnV + ⎜μ − ⎟ t + σ t ε ≤ ln X ⎥
                  ⎜      ⎟
               A  ⎜ A
                  ⎜      ⎟
                         ⎟    A          t⎥
          ⎢⎣      ⎝    2⎠                 ⎥⎦                               11
Probabilidade de Default
            ⎡      ⎛   σA ⎞
                        2                   ⎤
pt    = Pr ⎢⎢lnV + ⎜μ − ⎟ t + σ t ε ≤ ln X ⎥
                   ⎜      ⎟
                A  ⎜ A
                   ⎜      ⎟
                          ⎟    A          t⎥
           ⎢⎣      ⎝    2⎠                 ⎥⎦
     Rearranjando:

                          ⎡ ⎛V ⎞        ⎛   σA ⎞
                                             2       ⎤
                               ⎜   ⎟ + ⎜μ − ⎟ t
                          ⎢ ln ⎜ A ⎟           ⎟     ⎥
                                   ⎟    ⎜ A
                          ⎢ ⎜X ⎟
                          ⎢ ⎝  ⎜ t⎠     ⎜
                                        ⎜
                                        ⎝    2⎟⎟
                                               ⎠
                                                     ⎥
             pt      = Pr ⎢                      ≥ ε⎥⎥
                          ⎢           σA t           ⎥
                          ⎢                          ⎥
                          ⎢⎣                         ⎥⎦
                                                          12
Probabilidade de Default

 Como   ε    ´é um choque normal :




                 ⎡    ⎛V ⎞     ⎛   σA ⎞ ⎤⎥
                                    2
                 ⎢ ln ⎜ A ⎟ + ⎜μ − ⎟ t
                      ⎜ ⎟      ⎜ A    ⎟ ⎥
                 ⎢    ⎜X ⎟
                      ⎜ t⎠⎟    ⎜
                               ⎜      ⎟
                                      ⎟
                 ⎢− ⎝          ⎝    2⎠ ⎥
        pt    =N ⎢                       ⎥
                 ⎢           σA t        ⎥
                 ⎢                       ⎥
                 ⎢⎣                      ⎥⎦


                                              13
Ligando Probabilidade de
Default e Distância para Default:
                 ⎡    ⎛V ⎞     ⎛   σA ⎞ ⎤⎥
                                    2
                 ⎢ ln ⎜ A ⎟ + ⎜μ − ⎟ t
                      ⎜ ⎟      ⎜      ⎟ ⎥
                 ⎢    ⎜X ⎟
                      ⎜ t⎠⎟    ⎜ A
                               ⎜      ⎟
                                      ⎟
                 ⎢− ⎝          ⎝    2⎠ ⎥
         pt   =N ⎢                       ⎥
                 ⎢           σA t        ⎥
                 ⎢                       ⎥
                 ⎢⎣                      ⎥⎦
 DD é o número de desvios padrão entre o valor de mercado dos
 ativos e o Ponto de Default:
                  ⎛V ⎞     ⎛    2 ⎞
                  ⎜ A ⎟ + ⎜μ − σA ⎟ t
                  ⎜
               ln ⎜ ⎟  ⎟   ⎜      ⎟
                       ⎟
                  ⎜ Xt ⎠   ⎜
                           ⎜ A  2⎠⎟
                                  ⎟
                  ⎝        ⎝
          DD =
                         σA t
                                                                14
Ligando Probabilidade de
Default e Distância para Default:




                     pt = N [−DD ]

                                     15
Obtendo probabilidades de
default reais a partir da DD
  Assumindo que os ativos seguem um processo estocástico browninano
  geométrico e homocedástico: p
                                 t
                                    = N [−DD ]


 Uma curva empírica é
utilizada para corrigir os
   efeitos do processo
 estocástico assumido:



  pt = EDF [−DD ]


                                                                      16
Exemplo 1




 Utilizando o mapeamento empírico: EDF = 25 bp (0,25%)
 Utilizando o modelo normal: p= 2 bp (0.02%)


                                                         17
Exemplo 2




            18
Comportamento do Ativo versus
Passivo em um Default Real




                                19
KMV e S&P em um Default Real




                               20
Bibliografia

•Crouhy M. Galai D. e Mark R., A comparative analysis of current credit risk
models, Journal of Banking and Finance 24 (2000) 59-117.
•Crosbie, P.J. e Bohn J., Modeling Default Risk, KMV, 2002




                         Leitura Complementar
Merton, R. On pricing of corporate debt: The risk structure of interest
rates. Journal of Finance 28, 449-470.

                                                                               21

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Risco de Crédito 3: KMV

  • 1. Modelos para Risco de Crédito 3: KMV Análise de Risco (11) R.Vicente 1
  • 2. Resumo Introdução Estimação do valor de mercado e volatilidade dos ativos Cálculo da Distância-para-default Cálculo da Probabilidade de Default Bibliografia 2
  • 3. Principal Diferença KMV Credit Risk+ e Credit Metrics Probabilidade de default Probabilidade de default calculada para cada ativo determinada pela taxa média para cada classificação de crédito 3
  • 4. Idéia Geral Taxa esperada de crescimento DD = Distance-to-default 4 EDF = Expected Default FrequencyTM
  • 5. Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton Exemplo: Fundo mútuo: $20 de capital dos sócios , $80 emprestados, $100 investidos em ações. ATIVO PASSIVO $80 $100 Após 5 anos os ativos serão vendidos e distribuídos entre sócios e credores. $20 5
  • 6. Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton ATIVO PASSIVO $100 $80 Qual o valor de mercado das ações $20 deste fundo no final dos 5 anos ? V 6 0 80 VA
  • 7. Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton ATIVO PASSIVO Qual o valor de mercado das ações $100 $80 deste fundo antes de 5 anos ? $20 Valor de uma CALL sobre o ativo do fundo com strike em $80. V 7 0 80 VA
  • 8. Estimação do valor de mercado dos ativos: Modelo de Merton VE = VAN (d1 ) − e XN (d2 ) rT VA VA σE = σA Δ = σA N (d1 ) VE VE ⎛VA ⎞ ⎜ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜r + σA ⎟T ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜X ⎠ ⎜ ⎝ 2⎠⎟ ⎟ ⎝ d1 = σA T d2 = d1 − σA T 8
  • 9. Distância para Default ⎡ Valor de Mercado⎤ ⎡ Ponto ⎤ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎡ Distancia ⎤ ⎢ dos Ativos ⎥ ⎢de Default⎥ ⎢ ⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ para Default⎥ ⎡ Valor de Mercado⎤ ⎡ Volatilidade ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ dos Ativos ⎥ ⎢ dos Ativos ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ Ponto de Default = STRIKE (X) = Dívida de Curto Prazo + ½ Divida de Longo Prazo 9
  • 10. Probabilidade de Default ⎡V t ≤ X V 0 = V ⎤ pt = Pr ⎢ A ⎣ t A A⎥ ⎦ ⎡lnV t ≤ ln X V 0 = V ⎤ = Pr ⎢ ⎣ A t A A⎥ ⎦ 10
  • 11. Probabilidade de Default Assumindo uma dinâmica browniana geométrica: ⎛ 2 ⎞ σA ⎟ lnVA = lnVA + ⎜μA − ⎟ t + σA t ε t ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠⎟ A probabilidade que se deseja calcular é equivalente à probabilidade da Call com strike Xt “virar pó” em t : ⎡ ⎛ σA ⎞ 2 ⎤ pt = Pr ⎢⎢lnV + ⎜μ − ⎟ t + σ t ε ≤ ln X ⎥ ⎜ ⎟ A ⎜ A ⎜ ⎟ ⎟ A t⎥ ⎢⎣ ⎝ 2⎠ ⎥⎦ 11
  • 12. Probabilidade de Default ⎡ ⎛ σA ⎞ 2 ⎤ pt = Pr ⎢⎢lnV + ⎜μ − ⎟ t + σ t ε ≤ ln X ⎥ ⎜ ⎟ A ⎜ A ⎜ ⎟ ⎟ A t⎥ ⎢⎣ ⎝ 2⎠ ⎥⎦ Rearranjando: ⎡ ⎛V ⎞ ⎛ σA ⎞ 2 ⎤ ⎜ ⎟ + ⎜μ − ⎟ t ⎢ ln ⎜ A ⎟ ⎟ ⎥ ⎟ ⎜ A ⎢ ⎜X ⎟ ⎢ ⎝ ⎜ t⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 2⎟⎟ ⎠ ⎥ pt = Pr ⎢ ≥ ε⎥⎥ ⎢ σA t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 12
  • 13. Probabilidade de Default Como ε ´é um choque normal : ⎡ ⎛V ⎞ ⎛ σA ⎞ ⎤⎥ 2 ⎢ ln ⎜ A ⎟ + ⎜μ − ⎟ t ⎜ ⎟ ⎜ A ⎟ ⎥ ⎢ ⎜X ⎟ ⎜ t⎠⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎢− ⎝ ⎝ 2⎠ ⎥ pt =N ⎢ ⎥ ⎢ σA t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ 13
  • 14. Ligando Probabilidade de Default e Distância para Default: ⎡ ⎛V ⎞ ⎛ σA ⎞ ⎤⎥ 2 ⎢ ln ⎜ A ⎟ + ⎜μ − ⎟ t ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎜X ⎟ ⎜ t⎠⎟ ⎜ A ⎜ ⎟ ⎟ ⎢− ⎝ ⎝ 2⎠ ⎥ pt =N ⎢ ⎥ ⎢ σA t ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ DD é o número de desvios padrão entre o valor de mercado dos ativos e o Ponto de Default: ⎛V ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ A ⎟ + ⎜μ − σA ⎟ t ⎜ ln ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ Xt ⎠ ⎜ ⎜ A 2⎠⎟ ⎟ ⎝ ⎝ DD = σA t 14
  • 15. Ligando Probabilidade de Default e Distância para Default: pt = N [−DD ] 15
  • 16. Obtendo probabilidades de default reais a partir da DD Assumindo que os ativos seguem um processo estocástico browninano geométrico e homocedástico: p t = N [−DD ] Uma curva empírica é utilizada para corrigir os efeitos do processo estocástico assumido: pt = EDF [−DD ] 16
  • 17. Exemplo 1 Utilizando o mapeamento empírico: EDF = 25 bp (0,25%) Utilizando o modelo normal: p= 2 bp (0.02%) 17
  • 18. Exemplo 2 18
  • 19. Comportamento do Ativo versus Passivo em um Default Real 19
  • 20. KMV e S&P em um Default Real 20
  • 21. Bibliografia •Crouhy M. Galai D. e Mark R., A comparative analysis of current credit risk models, Journal of Banking and Finance 24 (2000) 59-117. •Crosbie, P.J. e Bohn J., Modeling Default Risk, KMV, 2002 Leitura Complementar Merton, R. On pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. Journal of Finance 28, 449-470. 21