2. Estatística A Estatística é um ramos da Matemática que dispõe de processos apropriados para recolher , organizar , classificar , apresentar e interpretar determinados conjuntos de dados. A Estatística tem por objectivo extrair informação de dados para assim obter uma melhor compreensão das situações que representam.
3. Tipos de dados Os dados estatísticos nem sempre são da mesma natureza. É diferente fazer um estudo sobre a cor dos olhos ou a cor do cabelo e um estudo sobre a altura ou o número de pessoas de um agregado familiar . As primeiras duas variáveis ( cor dos olhos e cor do cabelo ) são expressas através de uma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação. São chamados dados qualitativos . Outro exemplo deste tipo de dados é o “ Estado Civil ”. Este é expresso através das categorias “ Solteiro ”, “ Casado ”, “ Viúvo ” e “ Divorciado ”.
4. Tipos de dados As outras duas variáveis ( altura e número de pessoas do agregado familiar ) representam informação resultante de características susceptíveis de serem medidas. São chamados dados quantitativos . Os dados quantitativos podem ser de natureza discreta ou contínua . O número de pessoas de um agregado familiar é expresso através de um número inteiro, por exemplo: 7, 5, 6, 3, 3, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 5 Número de pessoas que constituem o agregado familiar numa amostra de 12 famílias consideradas ao acaso. Este tipo de dados é quantitativo discreto.
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7. Tipos de dados Escolhida agora uma amostra de 12 pessoas ao acaso, os dados relativos à altura, em centímetros, podem ser os seguintes, por exemplo: 142, 175, 166, 133, 143, 144, 172, 163, 176, 193, 182, 185 Este tipo de dados é quantitativo contínuo . As alturas podem tomar qualquer valor , dependendo da precisão com que podemos ou queremos efectuar a medição. Variáveis quantitativas contínuas são as que podem tomar qualquer valor de um intervalo.
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9. O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer uma observação, sabe-se que, teoricamente, se podem encontrar uns dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na recta real por qualquer ponto de um intervalo.
11. Organização e representação de dados Dados Qualitativos Relativamente a uma amostra de 20 portugueses, com mais de 18 anos, obtiveram-se os seguintes dados relativos ao seu estado civil. Solteiro Solteiro Casado Solteiro Solteiro Divorciado Solteiro Viúvo Casado Divorciado Solteiro Casado Solteiro Solteiro Casado Casado Solteiro Solteiro Casado Divorciado
12. Organização e representação de dados Dados Qualitativos Tabela de frequências O tamanho ou dimensão da amostra é 20 . Repara que a soma das frequências absolutas tem de ser igual ao tamanho da amostra e que a somas das frequências relativas igual a 100%. Estado Cívil (Valores da variável estatística) N.º de pessoas (Frequência absoluta) % de pessoas (Frequência relativa) Solteiro 10 10/ 20 x 100 = 50% Casado 6 6/ 20 x 100 = 30% Viúvo 1 1/ 20 x 100 = 5% Divorciado 3 3/ 20 x 100 = 15% Total 20 100%
13. Organização e representação de dados Dados Qualitativos Como as variáveis qualitativas não tomam valores numéricos não existe a possibilidade de se determinar a média ou a mediana . No entanto, pode determinar-se a moda da distribuição. No exemplo, a moda corresponde ao estado civil “ Solteiro ”, uma vez que se repete com maior frequência. Pode escrever-se m o = “Solteiro” .
14. Organização e representação de dados Dados Qualitativos Os dados qualitativos podem ser representados através de gráficos de barras ou gráficos circulares, como os abaixo representados. Neste exemplo, o gráfico de barras foi construído com as frequências absolutas e o circular com as respectivas frequências relativas.
15. Organização e representação de dados Dados Qualitativos Repara que, nos gráficos de barras, cada uma das barras é separada da anterior. As barras têm todas a mesma largura e a sua altura é proporcional à respectiva frequência. Nos gráficos circulares, o ângulo definido por cada um dos sectores é proporcional à frequência observada. Assim, para determinar a amplitude do sector relativo aos portugueses com o estado civil “ Solteiro ”, faremos: ( Nota: É o mesmo que fazer freq. relativa 360º)
16. Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos Na organização de dados quantitativos discretos podem usar-se técnicas semelhantes, quer na organização, quer na representação, às utilizadas para os dados qualitativos. No entanto, como estamos a trabalhar com variáveis que assumem valores numéricos, temos a possibilidade de determinar, para além da moda , também a média e a mediana .
17. Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos A tabela acima refere-se a um estudo sobre o número de irmãos, tendo por base uma amostra de 135 alunos de uma Escola Básica do 2.º e 3.º ciclos. N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos 0 60 44,5% 1 40 29,6% 2 20 14,8% 3 10 7,4% 4 3 2,2% 5 2 1,5%
18. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos Observando a tabela é fácil verificar que a moda é ser filho único, isto é, ter 0 irmãos. Logo: m o = 0 . N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos 0 60 44,5% 1 40 29,6% 2 20 14,8% 3 10 7,4% 4 3 2,2% 5 2 1,5%
19. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos O que fazer para determinar a média ? Vamos multiplicar cada valor da variável pela respectiva frequência absoluta. De seguida, somamos todos os resultados obtidos. Por último, dividimos pelo número total de observações (a dimensão da amostra). N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos 0 60 44,5% 1 40 29,6% 2 20 14,8% 3 10 7,4% 4 3 2,2% 5 2 1,5%
20. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos 0 x 60 + 1 x 40 + 2 x 20 + 3 x 10 + 4 x 3 + 5 x 2 132 = = 0,97 (aprox. 1) 135 135 O número médio de irmãos por aluno é aproximadamente 1. Escreve-se: N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos 0 60 44,5% 1 40 29,6% 2 20 14,8% 3 10 7,4% 4 3 2,2% 5 2 1,5%
21. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos Para determinarmos a mediana podemos usar as frequências relativas. Vamos somando as frequências relativas até atingirmos o valor 50% ou superior. Podemos, para isso, criar uma nova coluna na tabela. N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos 0 60 44,5% 1 40 29,6% 2 20 14,8% 3 10 7,4% 4 3 2,2% 5 2 1,5%
22. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Discretos A frequência relativa acumulada correspondente a 50% refere-se ao valor 1 da variável (n.º de irmãos). Então, a mediana é 1. Escreve-se: N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos % acumulada 0 60 44,5% 44,5% 1 40 29,6% 74,1% 2 20 14,8% 88,9% 3 10 7,4% 96,3% 4 3 2,2% 98,5% 5 2 1,5% 100%
23. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Para efectuarmos um estudo sobre a altura dos alunos do 3.º ciclo da escola, escolheu-se uma amostra aleatória constituída por 23 alunos. Os dados obtidos, em centímetro, foram os seguintes: Como deveremos organizar este tipo de dados? 145 151 147 167 175 174 153 167 173 162 158 149 170 167 168 175 174 157 149 150 169 156 171
24. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Os dados quantitativos contínuos organizam-se de uma forma diferente dos discretos. Devemos, em primeiro lugar, identificar o valor mínimo e o valor máximo de entre todas as observações, bem como o número total de observações. Neste caso, temos X min = 145 (valor mínimo) e X max = 175 (valor máximo), sendo n = 23 (número total de observações) . 145 151 147 167 175 174 153 167 173 162 158 149 170 167 168 175 174 157 149 150 169 156 171
25. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Os dados quantitativos contínuos organizam-se por classes ou intervalos de valores. Existem formas de determinar o melhor número de classes , tendo em conta o número de observações recolhidas. Nota: Quando a variável é discreta e apresenta uma grande diversidade de dados, também se podem e devem agrupar os dados em classes. Uma das formas de determinar o número de classes é consultando a tabela de Kelley: Tabela de Truman L. Kelley n 5 10 25 50 100 200 500 k 2 4 6 8 10 12 15
26. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Segundo a tabela, podemos formar 5 classes para organizarmos os dados que foram recolhidos. Como vamos obter as classes? Em primeiro lugar vamos efectuar a seguinte operação: X max – X min (Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo das observações.)
27. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Temos, então: 175 – 145 = 30 Dividindo aquele valor pelo n.º de classes, obtemos a amplitude de cada uma das classes. Neste caso: 30 / 5 = 6 O próximo passo é formar 5 classes, cada uma delas com amplitude igual a 6.
28. Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Para formar a primeira classe, partimos do valor mínimo das observações que é, neste caso, 145 . Este é o limite inferior da classe . Para obtermos o limite superior da classe adicionamos o valor da amplitude ao limite inferior. Neste caso, o limite superior da classe é: 145 + 6 = 151 . A classe a considerar é a seguinte: [ 145 , 151 [ . Nesta classe iremos colocar o número de observações cujo valor é igual ou maior do que 145 e menor do que 151.
29. Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Para as classes seguintes vamos agir da mesma forma, tomando por limite inferior da classe seguinte, o limite superior da classe anterior. Por exemplo: [151, 157[ (151 é o limite superior da classe anterior) [157, 163[ [163, 169[ [169, 175 ] (na última classe inclui-se o limite superior) Nota: Se o limite superior da última classe não fizer parte dos valores observados, é possível também, colocar o intervalo aberto ([) .
30. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Já temos, assim, as 5 classes formadas: [145, 151[ [151, 157[ [157, 163[ [163, 169[ [169, 175] Podemos, então, fazer uma tabela de frequências tendo em conta cada uma das classes.
31. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Tabela de frequências Classes (Altura dos alunos) N.º de alunos % de alunos [145, 151[ 5 21,8% [151, 157[ 3 13,0% [157, 163[ 3 13,0% [163, 169[ 4 17,4% [169, 175] 8 34,8% Total 23 100%
32. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Observando a tabela de frequências podemos verificar que uma das classes têm maior frequência de observações. A classe modal , neste caso, é a classe [169, 175]. Classes (Altura dos alunos) N.º de alunos % de alunos [145, 151[ 5 21,8% [151, 157[ 3 13,0% [157, 163[ 3 13,0% [163, 169[ 4 17,4% [169, 175] 8 34,8%
33. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste caso chamam-se histogramas . Num histograma as barras são contíguas, ou seja, são unidas umas às outras.
34. Estatística Organização e representação de dados Dados Quantitativos Contínuos É também usual traçar-se uma linha que une os pontos médios das barras do histograma. À região limitada por essa linha chama-se polígono de frequências . A linha a vermelho limita o chamado polígono de frequências..
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36. Estatística Organização e representação de dados Exercício - Resolução Variável estatística: X – Peso dos alunos (Trata-se de uma variável quantitativa contínua) n = 15 (dimensão da amostra = n.º total de observações) X min = 44,3 X max = 70,0 45,3 70,0 64,8 60,5 54,2 51,1 60,4 69,8 67,6 44,3 47,9 50,6 65,3 56,9 61,9 n 5 10 25 50 100 200 500 k 2 4 6 8 10 12 15
37. Estatística Organização e representação de dados Exercício - Resolução Tabela de frequências absolutas e relativas: Peso dos alunos Contagem N.º de alunos % de alunos [44,3 ; 50,8[ IIII 4 27% [50,8 ; 57,3[ III 3 20% [57,3 ; 63,8[ III 3 20% [63,8 ; 70,3] IIII 5 33% 45,3 70,0 64,8 60,5 54,2 51,1 60,4 69,8 67,6 44,3 47,9 50,6 65,3 56,9 61,9
38. Estatística Organização e representação de dados Exercício - Resolução Classe modal: A Classe modal é a classe [63,8 ; 70,3] uma vez que é a que tem maior frequência. Peso dos alunos N.º de alunos % de alunos [44,3 ; 50,8[ 4 27% [50,8 ; 57,3[ 3 20% [57,3 ; 63,8[ 3 20% [63,8 ; 70,3] 5 33%
40. Estatística Organização e representação de dados Exercício - Resolução Polígono de frequências (linha a vermelho):
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43. 3. Segundo os meteorologistas, um mês considera-se seco se a precipitação total mensal (P), dada em milímetros, for inferior ao dobro do valor da temperatura média (T) desse mês, dada em graus centígrados (ºC), ou seja: P<2T Observa a tabela, relativa à temperatura e à precipitação, na cidade do Porto, ao longo do ano de 1998. 3.1 Nesse ano o mês de Maio pode ser considerado um mês seco? Explica a tua resposta. 3.2 Qual foi a precipitação média nos meses de Julho, Agosto e Setembro? Meses T- temperatura média mensal (ºC) P- precipitação (mm) Janeiro 8,8 179,3 Fevereiro 9,7 166,9 Março 11,6 144,7 Abril 13,3 92,8 Maio 16,7 87,2 Junho 18 51,6 Julho 19,4 16,5 Agosto 19,7 27,5 Setembro 18,6 61,5 Outubro 15,5 124,6 Novembro 11,9 118,8 Dezembro 9,1 164,3
44. 4. Num clube desportivo, estão a seleccionar jogadores para participarem numa prova de lançamentos de dardos. As regras de selecção estão afixadas no cartaz. O alvo utilizado está representado abaixo. O João e o Vítor inscreveram-se na prova de lançamento de dardos. 4.1 A tabela indica os resultados finais obtidos pelo Vítor. Sabendo que o Vítor acertou sempre no alvo, quantos lançamentos efectuou? 4.2 A tabela indica os resultados obtidos pelo João após dois lançamentos. De seguida, vai efectuar o seu terceiro lançamento. Quantos pontos terá de fazer, neste lançamento, para ficar automaticamente seleccionado? Apresenta todos os cálculos que efectuares e explica a tua resposta. Vítor Pontos Frequência 31 1 32 2 33 1 34 4 35 0 João Pontos Frequência 31 1 32 0 33 0 34 1 35 0
45. 5. O Roberto tem 9 primos. Explica como farias para determinar a mediana das idades dos 9 primos do Roberto. 6. Hoje em dia, é possível ver um programa de televisão através de um computador. Na tabela que se segue, podes observar o número de pessoas (em milhares) que viu televisão num computador, no primeiro trimestre de 2006, em Portugal. 6.1 De Janeiro para Fevereiro, o número de pessoas que viu televisão num computador diminuiu. Determina a percentagem correspondente a essa diminuição. 6.2 A média do número de pessoas que viu televisão, num computador, nos primeiros quatro meses de 2006, foi de 680 (em milhares). Tendo em conta os dados da tabela, quantas pessoas (em milhares) viram televisão num computador, durante o mês de Abril desse ano? Mostra como obtiveste a tua resposta. Mês Janeiro Fevereiro Março N.º de pessoas (em milhares) 680 663 682
