SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 13
Por: Joana Pinto
São representações esquemáticas
constituídas por conjuntos finitos de pontos
(vértices) e por segmentos (arestas), que
unem os pontos.
No quotidiano, os grafos são utilizados para
encontrar soluções ótimas para
determinadas situações: na definição de
redes de distribuição de mercadorias, na
organização de roteiros, na definição de
horários ou de sequências de tarefas.
 Grafo conexo1 – grafo onde existe sempre uma
sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus
vértices.
 Digrafo (ou grafo orientado)2 – grafo em que as
arestas têm orientações (sentidos) definidas (com
setas).
 Grafo completo3 – grafo em que cada um dos
vértices é adjacente a todos os outros.
Por exemplo, o grafo 3 é de ordem 5 pois tem 5
vértices
1
2 3
 Grau (ou valência) de um vértice é o número de
arestas que nele concorrem. Diz-se que um vértice
tem grau par se nele concorre um número par de
arestas e que tem grau ímpar no caso de esses
números ser ímpar.
 Passeio – sequência de vértices em que cada dois
vértices consecutivos estão ligados por uma
aresta, podendo haver repetição;
 Caminho – passeio em que apenas se passa uma
vez em cada vértice;
 Trajeto (ou trilho) – é um passeio em que apenas
se passa uma vez por cada aresta;
 Circuito (ou ciclo) – é um caminho que começa e
acaba no mesmo vértice.
Trajeto euleriano – percorre todas as arestas e
um grafo uma única vez.
 Regra: Num grafo conexo, podemos encontrar um
trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo,
dois vértices de grau ímpar.
Circuito euleriano – é um trajeto euleriano (ou
seja, percorre todas as arestas do grafo uma
única vez) que começa e acaba no mesmo
vértice
 Regra: Num grafo conexo podemos encontrar um
circuito euleriano se e só se todos os vértices
tiverem grau par.
Problemas eulerianos – problemas que
envolvem as arestas de um grafo.
Eulerização de grafos – eulerizar um grafo
consiste em acrescentar-lhe arestas, por forma a
tornar possível encontrar um circuito euleriano.
Se pretendermos eulerizar um grafo, devemos:
1. Verificar o grau de cada vértice para localizar
os que têm grau ímpar;
2. Adicionar arestas sempre com o objetivo de
que todos os vértices fiquem com grau par.
No entanto, adicionar arestas corretamente significa
que só podemos duplicar uma aresta já existente
entre dois vértices. A melhor eulerização é sempre
aquela que acrescenta o menor número de arestas.
Circuito hamiltoniano é um caminho que
começa e acaba no mesmo vértice
percorrendo todos os vértices uma só
vez. Um grafo diz-se hamiltoniano se
nele se pode encontrar, pelo menos, um
circuito hamiltoniano.
Pesos – número que se atribui a cada
uma das arestas de um grafo. Pode
representar distâncias, custos, tempo,
etc. A um grafo com pesos atribuídos
chamamos grafo ponderado.
Métodos de resolução de problemas
Árvores – grafo conexo e
sem circuitos.
Algoritmo dos mínimos
sucessivos (ou do vizinho
mais próximo)
Algoritmo por ordenação dos
pesos das arestas (ou das
arestas classificadas
(Com valores e totais)
O objetivo é começar o
percurso numa cidade e
seguir sempre para a
cidade mais próxima
ainda não visitada
Ex.: A  B  C (t = 30
km)
1. Começa-se por ordenar as
arestas do grafo por ordem
crescente de distâncias;
2. Escolhe-se sucessivamente
a aresta que corresponde ao
valor mais baixo, tendo em
conta que:
• Um vértice não pode ter
mais de duas arestas
que lhe concorram;
• Não se pode fechar
circuito enquanto
houverem mais vértices
a visitar.
Dica: desenha o grafo à medida
que eliminas as arestas.
 Árvore abrangente (ou árvore geradora)
é uma árvore que contém todos os
vértices de um grafo dado.
 Árvore abrangente mínima – árvore
em que a soma dos pesos das arestas
é mínima.
 Nos tipos de problemas que compreendem
as árvores abrangentes mínimas, não temos
de regressar ao ponto de partida: só temos
de encontrar um percurso que visite todos
os vértices sem criar circuitos. Por isso, os
vértices podem ter tantas retas a concorrer-
lhes quantas necessárias.
Para descobrir a árvore abrangente
mínima num grafo existe o Algoritmo de
Kruskal.
Algoritmo de Kurskal: Vão-se unindo as
arestas do grafo por ordem crescente
dos pesos, desde que não formem
circuitos e se garanta que no final todos
os vértices estão na árvore.
Caminho crítico é uma
sequência de tarefas que
deve ser realizada no tempo
previsto, de forma que
determinado trabalho ou
projeto seja concretizado
dentro do prazo. A sua
duração é aquela que
determina o menor tempo
para a conclusão do projeto e
corresponde à maior duração
global
Tarefa Tempo (dias) Dependências
T1 1 Nenhuma
T2 2 T1
T3 3 T2
T4 4 T2
T5 5 T2
T6 7 T3 e T5
T7 6 T4 e T5
T8 8 T5
T9 9 T8
 Crescimento populacional positivo: há
um aumento da população;
 Crescimento populacional negativo: há
uma diminuição/declínio da população
 Crescimento contínuo – as mudanças
acontecem a todo o instante;
 Crescimento discreto – as mudanças
acontecem de tempos a tempos e
sempre que se dá uma mudança, diz-se
que ocorreu uma transição
Progressão aritmética – sucessão em que a
diferença entre transições é constante, à
qual chamamos razão, r, da progressão.
No caso de crescimento populacional, a
razão representa a taxa de crescimento da
população.
Modelo de crescimento linear discreto: é
um modelo em que a evolução da
população é descrita por uma progressão
aritmética (Pn + 1 – Pn = r)  diferença
entre cada termo e o anterior é constante.
Para um modelo linear discreto:
Pn = P0 + n x r ou y = ax + b

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Capítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António VieiraCapítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António VieiraAlexandra Madail
 
A sociedade no Antigo Regime
A sociedade no Antigo RegimeA sociedade no Antigo Regime
A sociedade no Antigo RegimeSusana Simões
 
Teoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de DescartesTeoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de DescartesElisabete Silva
 
Geografia A 11 ano - Áreas Urbanas
Geografia A 11 ano - Áreas UrbanasGeografia A 11 ano - Áreas Urbanas
Geografia A 11 ano - Áreas UrbanasRaffaella Ergün
 
Cap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geralCap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geralHelena Coutinho
 
As áreas rurais - geografia 11ºano
As áreas rurais - geografia 11ºanoAs áreas rurais - geografia 11ºano
As áreas rurais - geografia 11ºanoRita Pontes
 
As novas oportunidades para as áreas rurais
As novas oportunidades para as áreas ruraisAs novas oportunidades para as áreas rurais
As novas oportunidades para as áreas ruraisIlda Bicacro
 
Valor modal das frases
Valor modal das frasesValor modal das frases
Valor modal das frasesnando_reis
 
Romantismo, Frei Luís de Sousa
Romantismo, Frei Luís de SousaRomantismo, Frei Luís de Sousa
Romantismo, Frei Luís de SousaLurdes Augusto
 
Geografia A 10 ano - Recursos Marítimos
Geografia A 10 ano - Recursos MarítimosGeografia A 10 ano - Recursos Marítimos
Geografia A 10 ano - Recursos MarítimosRaffaella Ergün
 
resumo 12º ano economia c 1º período
resumo 12º ano economia c 1º períodoresumo 12º ano economia c 1º período
resumo 12º ano economia c 1º períodoLia Treacy
 
5 04 a implantação do liberalismo em portugal
5 04 a implantação do liberalismo em portugal5 04 a implantação do liberalismo em portugal
5 04 a implantação do liberalismo em portugalVítor Santos
 
As características da rede urbana
As características da rede urbanaAs características da rede urbana
As características da rede urbanaIlda Bicacro
 
Esquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versosEsquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versosdomplex123
 

Mais procurados (20)

Parlamentarismo inglês
Parlamentarismo inglêsParlamentarismo inglês
Parlamentarismo inglês
 
Capítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António VieiraCapítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António Vieira
Capítulo V Sermão Santo António aos Peixes Padre António Vieira
 
O empirismo de david hume
O empirismo de david humeO empirismo de david hume
O empirismo de david hume
 
A sociedade no Antigo Regime
A sociedade no Antigo RegimeA sociedade no Antigo Regime
A sociedade no Antigo Regime
 
Modelos financeiros
Modelos financeirosModelos financeiros
Modelos financeiros
 
Teoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de DescartesTeoria racionalista de Descartes
Teoria racionalista de Descartes
 
Geografia A 11 ano - Áreas Urbanas
Geografia A 11 ano - Áreas UrbanasGeografia A 11 ano - Áreas Urbanas
Geografia A 11 ano - Áreas Urbanas
 
Comparação entre popper e kuhn
Comparação entre popper e kuhnComparação entre popper e kuhn
Comparação entre popper e kuhn
 
Cap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geralCap iv repreensões geral
Cap iv repreensões geral
 
As áreas rurais - geografia 11ºano
As áreas rurais - geografia 11ºanoAs áreas rurais - geografia 11ºano
As áreas rurais - geografia 11ºano
 
As novas oportunidades para as áreas rurais
As novas oportunidades para as áreas ruraisAs novas oportunidades para as áreas rurais
As novas oportunidades para as áreas rurais
 
Valor modal das frases
Valor modal das frasesValor modal das frases
Valor modal das frases
 
Romantismo, Frei Luís de Sousa
Romantismo, Frei Luís de SousaRomantismo, Frei Luís de Sousa
Romantismo, Frei Luís de Sousa
 
Geografia A 10 ano - Recursos Marítimos
Geografia A 10 ano - Recursos MarítimosGeografia A 10 ano - Recursos Marítimos
Geografia A 10 ano - Recursos Marítimos
 
resumo 12º ano economia c 1º período
resumo 12º ano economia c 1º períodoresumo 12º ano economia c 1º período
resumo 12º ano economia c 1º período
 
Pac
PacPac
Pac
 
5 04 a implantação do liberalismo em portugal
5 04 a implantação do liberalismo em portugal5 04 a implantação do liberalismo em portugal
5 04 a implantação do liberalismo em portugal
 
As características da rede urbana
As características da rede urbanaAs características da rede urbana
As características da rede urbana
 
História A - módulo 3, 4 e 6
História A - módulo 3, 4 e 6História A - módulo 3, 4 e 6
História A - módulo 3, 4 e 6
 
Esquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versosEsquema rimatico e versos
Esquema rimatico e versos
 

Destaque

Crescimento Geometrico
Crescimento GeometricoCrescimento Geometrico
Crescimento Geometricounesp
 
Regulamento criapoesia 2017
Regulamento criapoesia 2017Regulamento criapoesia 2017
Regulamento criapoesia 2017Ebimontargil Pte
 
Concurso regional palavras com história Regulamento
Concurso regional palavras com história RegulamentoConcurso regional palavras com história Regulamento
Concurso regional palavras com história RegulamentoEbimontargil Pte
 
Método de Hondt
Método de HondtMétodo de Hondt
Método de HondtAna César
 
Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...
Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...
Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...Joana Pinto
 

Destaque (6)

Crescimento Geometrico
Crescimento GeometricoCrescimento Geometrico
Crescimento Geometrico
 
Regulamento criapoesia 2017
Regulamento criapoesia 2017Regulamento criapoesia 2017
Regulamento criapoesia 2017
 
Concurso regional palavras com história Regulamento
Concurso regional palavras com história RegulamentoConcurso regional palavras com história Regulamento
Concurso regional palavras com história Regulamento
 
Método de Hondt
Método de HondtMétodo de Hondt
Método de Hondt
 
Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...
Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...
Filosofia 2º teste - argumentação e retórica, lógica informal, falácias infor...
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 

Semelhante a Grafos: conceitos e aplicações

Árvores Espalhadas Mínimas
Árvores Espalhadas MínimasÁrvores Espalhadas Mínimas
Árvores Espalhadas MínimasDiego Cavalca
 
Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade média
Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade médiaCoordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade média
Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade médiaanajaneca
 
Orientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUV
Orientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUVOrientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUV
Orientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUVMarcelo Ipiau
 
Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1carlos132132
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaprofluizgustavo
 
Introdução aos grafos: Principais conceitos
Introdução aos grafos: Principais conceitosIntrodução aos grafos: Principais conceitos
Introdução aos grafos: Principais conceitosssusera0fc94
 
Introdução à Teoria dos Grafos
Introdução à Teoria dos GrafosIntrodução à Teoria dos Grafos
Introdução à Teoria dos GrafosBianca Dantas
 
Graph Theory - Exercises - Chapter 8
Graph Theory - Exercises - Chapter 8Graph Theory - Exercises - Chapter 8
Graph Theory - Exercises - Chapter 8Michel Alves
 
Método de Euler Progressivo
Método de Euler Progressivo Método de Euler Progressivo
Método de Euler Progressivo Rafael Lucas
 
Relatório do projecto computacional grupo 72
Relatório do projecto computacional   grupo 72Relatório do projecto computacional   grupo 72
Relatório do projecto computacional grupo 72Rafael Lucas
 

Semelhante a Grafos: conceitos e aplicações (20)

Grafosv2
Grafosv2Grafosv2
Grafosv2
 
Teoria dos Grafos
Teoria dos GrafosTeoria dos Grafos
Teoria dos Grafos
 
Fluxo a Custo Mínimo
Fluxo a Custo MínimoFluxo a Custo Mínimo
Fluxo a Custo Mínimo
 
Grafos
GrafosGrafos
Grafos
 
Árvores Espalhadas Mínimas
Árvores Espalhadas MínimasÁrvores Espalhadas Mínimas
Árvores Espalhadas Mínimas
 
Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade média
Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade médiaCoordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade média
Coordenadas cartesianas, deslocamento, distância e velocidade média
 
Orientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUV
Orientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUVOrientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUV
Orientação de estudo para a aula de gráficos do MU e do MUV
 
Grafos
GrafosGrafos
Grafos
 
Geometria analítica
Geometria analíticaGeometria analítica
Geometria analítica
 
Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1Apresentaogeometriaanaltica 1
Apresentaogeometriaanaltica 1
 
Apresentação geometria analítica
Apresentação geometria analíticaApresentação geometria analítica
Apresentação geometria analítica
 
Introdução aos grafos: Principais conceitos
Introdução aos grafos: Principais conceitosIntrodução aos grafos: Principais conceitos
Introdução aos grafos: Principais conceitos
 
Grafos_1.pptx
Grafos_1.pptxGrafos_1.pptx
Grafos_1.pptx
 
Introdução à Teoria dos Grafos
Introdução à Teoria dos GrafosIntrodução à Teoria dos Grafos
Introdução à Teoria dos Grafos
 
Geometria analítica2
Geometria analítica2Geometria analítica2
Geometria analítica2
 
Geometria analítica2
Geometria analítica2Geometria analítica2
Geometria analítica2
 
Graph Theory - Exercises - Chapter 8
Graph Theory - Exercises - Chapter 8Graph Theory - Exercises - Chapter 8
Graph Theory - Exercises - Chapter 8
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Método de Euler Progressivo
Método de Euler Progressivo Método de Euler Progressivo
Método de Euler Progressivo
 
Relatório do projecto computacional grupo 72
Relatório do projecto computacional   grupo 72Relatório do projecto computacional   grupo 72
Relatório do projecto computacional grupo 72
 

Último

HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024Sandra Pratas
 
Mesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecas
Mesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecasMesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecas
Mesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecasRicardo Diniz campos
 
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANOInvestimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANOMarcosViniciusLemesL
 
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveAula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveaulasgege
 
Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?
Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?
Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?MrciaRocha48
 
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino FundamentalCartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamentalgeone480617
 
PPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdf
PPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdfPPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdf
PPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdfAnaGonalves804156
 
HABILIDADES ESSENCIAIS - MATEMÁTICA 4º ANO.pdf
HABILIDADES ESSENCIAIS  - MATEMÁTICA 4º ANO.pdfHABILIDADES ESSENCIAIS  - MATEMÁTICA 4º ANO.pdf
HABILIDADES ESSENCIAIS - MATEMÁTICA 4º ANO.pdfdio7ff
 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptx
ÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptxÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptx
ÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptxDeyvidBriel
 
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdfMapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdfangelicass1
 
PRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕES
PRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕESPRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕES
PRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕESpatriciasofiacunha18
 
FCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimir
FCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimirFCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimir
FCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimirIedaGoethe
 
PRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basico
PRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basicoPRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basico
PRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basicoSilvaDias3
 
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfDIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfIedaGoethe
 
Prática de interpretação de imagens de satélite no QGIS
Prática de interpretação de imagens de satélite no QGISPrática de interpretação de imagens de satélite no QGIS
Prática de interpretação de imagens de satélite no QGISVitor Vieira Vasconcelos
 
Educação São Paulo centro de mídias da SP
Educação São Paulo centro de mídias da SPEducação São Paulo centro de mídias da SP
Educação São Paulo centro de mídias da SPanandatss1
 
Slides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdf
Slides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdfSlides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdf
Slides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdfpaulafernandes540558
 
Noções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdf
Noções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdfNoções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdf
Noções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdfdottoor
 
Currículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdf
Currículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdfCurrículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdf
Currículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdfIedaGoethe
 
HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024Sandra Pratas
 

Último (20)

HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO3_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
 
Mesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecas
Mesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecasMesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecas
Mesoamérica.Astecas,inca,maias , olmecas
 
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANOInvestimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
Investimentos. EDUCAÇÃO FINANCEIRA 8º ANO
 
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chaveAula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
Aula - 2º Ano - Cultura e Sociedade - Conceitos-chave
 
Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?
Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?
Empreendedorismo: O que é ser empreendedor?
 
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino FundamentalCartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
Cartilha 1º Ano Alfabetização _ 1º Ano Ensino Fundamental
 
PPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdf
PPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdfPPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdf
PPT _ Módulo 3_Direito Comercial_2023_2024.pdf
 
HABILIDADES ESSENCIAIS - MATEMÁTICA 4º ANO.pdf
HABILIDADES ESSENCIAIS  - MATEMÁTICA 4º ANO.pdfHABILIDADES ESSENCIAIS  - MATEMÁTICA 4º ANO.pdf
HABILIDADES ESSENCIAIS - MATEMÁTICA 4º ANO.pdf
 
ÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptx
ÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptxÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptx
ÁREA DE FIGURAS PLANAS - DESCRITOR DE MATEMATICA D12 ENSINO MEDIO.pptx
 
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdfMapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
Mapas Mentais - Português - Principais Tópicos.pdf
 
PRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕES
PRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕESPRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕES
PRÉ-MODERNISMO - GUERRA DE CANUDOS E OS SERTÕES
 
FCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimir
FCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimirFCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimir
FCEE - Diretrizes - Autismo.pdf para imprimir
 
PRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basico
PRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basicoPRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basico
PRIMEIRO---RCP - DEA - BLS estudos - basico
 
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdfDIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
DIA DO INDIO - FLIPBOOK PARA IMPRIMIR.pdf
 
Prática de interpretação de imagens de satélite no QGIS
Prática de interpretação de imagens de satélite no QGISPrática de interpretação de imagens de satélite no QGIS
Prática de interpretação de imagens de satélite no QGIS
 
Educação São Paulo centro de mídias da SP
Educação São Paulo centro de mídias da SPEducação São Paulo centro de mídias da SP
Educação São Paulo centro de mídias da SP
 
Slides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdf
Slides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdfSlides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdf
Slides criatividade 01042024 finalpdf Portugues.pdf
 
Noções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdf
Noções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdfNoções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdf
Noções de Orçamento Público AFO - CNU - Aula 1 - Alunos.pdf
 
Currículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdf
Currículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdfCurrículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdf
Currículo escolar na perspectiva da educação inclusiva.pdf
 
HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
HORA DO CONTO4_BECRE D. CARLOS I_2023_2024
 

Grafos: conceitos e aplicações

  • 2. São representações esquemáticas constituídas por conjuntos finitos de pontos (vértices) e por segmentos (arestas), que unem os pontos. No quotidiano, os grafos são utilizados para encontrar soluções ótimas para determinadas situações: na definição de redes de distribuição de mercadorias, na organização de roteiros, na definição de horários ou de sequências de tarefas.
  • 3.  Grafo conexo1 – grafo onde existe sempre uma sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus vértices.  Digrafo (ou grafo orientado)2 – grafo em que as arestas têm orientações (sentidos) definidas (com setas).  Grafo completo3 – grafo em que cada um dos vértices é adjacente a todos os outros. Por exemplo, o grafo 3 é de ordem 5 pois tem 5 vértices 1 2 3
  • 4.  Grau (ou valência) de um vértice é o número de arestas que nele concorrem. Diz-se que um vértice tem grau par se nele concorre um número par de arestas e que tem grau ímpar no caso de esses números ser ímpar.  Passeio – sequência de vértices em que cada dois vértices consecutivos estão ligados por uma aresta, podendo haver repetição;  Caminho – passeio em que apenas se passa uma vez em cada vértice;  Trajeto (ou trilho) – é um passeio em que apenas se passa uma vez por cada aresta;  Circuito (ou ciclo) – é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice.
  • 5. Trajeto euleriano – percorre todas as arestas e um grafo uma única vez.  Regra: Num grafo conexo, podemos encontrar um trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar. Circuito euleriano – é um trajeto euleriano (ou seja, percorre todas as arestas do grafo uma única vez) que começa e acaba no mesmo vértice  Regra: Num grafo conexo podemos encontrar um circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par. Problemas eulerianos – problemas que envolvem as arestas de um grafo.
  • 6. Eulerização de grafos – eulerizar um grafo consiste em acrescentar-lhe arestas, por forma a tornar possível encontrar um circuito euleriano. Se pretendermos eulerizar um grafo, devemos: 1. Verificar o grau de cada vértice para localizar os que têm grau ímpar; 2. Adicionar arestas sempre com o objetivo de que todos os vértices fiquem com grau par. No entanto, adicionar arestas corretamente significa que só podemos duplicar uma aresta já existente entre dois vértices. A melhor eulerização é sempre aquela que acrescenta o menor número de arestas.
  • 7. Circuito hamiltoniano é um caminho que começa e acaba no mesmo vértice percorrendo todos os vértices uma só vez. Um grafo diz-se hamiltoniano se nele se pode encontrar, pelo menos, um circuito hamiltoniano. Pesos – número que se atribui a cada uma das arestas de um grafo. Pode representar distâncias, custos, tempo, etc. A um grafo com pesos atribuídos chamamos grafo ponderado.
  • 8. Métodos de resolução de problemas Árvores – grafo conexo e sem circuitos. Algoritmo dos mínimos sucessivos (ou do vizinho mais próximo) Algoritmo por ordenação dos pesos das arestas (ou das arestas classificadas (Com valores e totais) O objetivo é começar o percurso numa cidade e seguir sempre para a cidade mais próxima ainda não visitada Ex.: A  B  C (t = 30 km) 1. Começa-se por ordenar as arestas do grafo por ordem crescente de distâncias; 2. Escolhe-se sucessivamente a aresta que corresponde ao valor mais baixo, tendo em conta que: • Um vértice não pode ter mais de duas arestas que lhe concorram; • Não se pode fechar circuito enquanto houverem mais vértices a visitar. Dica: desenha o grafo à medida que eliminas as arestas.
  • 9.  Árvore abrangente (ou árvore geradora) é uma árvore que contém todos os vértices de um grafo dado.  Árvore abrangente mínima – árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima.  Nos tipos de problemas que compreendem as árvores abrangentes mínimas, não temos de regressar ao ponto de partida: só temos de encontrar um percurso que visite todos os vértices sem criar circuitos. Por isso, os vértices podem ter tantas retas a concorrer- lhes quantas necessárias.
  • 10. Para descobrir a árvore abrangente mínima num grafo existe o Algoritmo de Kruskal. Algoritmo de Kurskal: Vão-se unindo as arestas do grafo por ordem crescente dos pesos, desde que não formem circuitos e se garanta que no final todos os vértices estão na árvore.
  • 11. Caminho crítico é uma sequência de tarefas que deve ser realizada no tempo previsto, de forma que determinado trabalho ou projeto seja concretizado dentro do prazo. A sua duração é aquela que determina o menor tempo para a conclusão do projeto e corresponde à maior duração global Tarefa Tempo (dias) Dependências T1 1 Nenhuma T2 2 T1 T3 3 T2 T4 4 T2 T5 5 T2 T6 7 T3 e T5 T7 6 T4 e T5 T8 8 T5 T9 9 T8
  • 12.  Crescimento populacional positivo: há um aumento da população;  Crescimento populacional negativo: há uma diminuição/declínio da população  Crescimento contínuo – as mudanças acontecem a todo o instante;  Crescimento discreto – as mudanças acontecem de tempos a tempos e sempre que se dá uma mudança, diz-se que ocorreu uma transição
  • 13. Progressão aritmética – sucessão em que a diferença entre transições é constante, à qual chamamos razão, r, da progressão. No caso de crescimento populacional, a razão representa a taxa de crescimento da população. Modelo de crescimento linear discreto: é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética (Pn + 1 – Pn = r)  diferença entre cada termo e o anterior é constante. Para um modelo linear discreto: Pn = P0 + n x r ou y = ax + b