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Capítulo Juros Simples Matemática Financeira Adriano Leal Bruni [email_address]
Para saber mais ... <ul><li>Todo o conteúdo dos slides pode ser visto nos meus livros de  Matemática Financeira , publicad...
Para aprender ainda mais ... CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 2
Para conhecer meus livros e minhas aulas
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Três objetivos do capítulo <ul><li>Entender operações com juros simples </li></ul><ul><li>Saber usar a proporcionalidade d...
Conceito de juros simples <ul><li>Juros sempre incidem sobre o  VALOR PRESENTE </li></ul>
Preste atenção!!! <ul><li>Empréstimo </li></ul><ul><li>Valor atual na data zero igual a $100,00 </li></ul><ul><li>Taxa igu...
Juros simples 0 - 100,00 VF=VP 1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP 10% x $100 2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP  + i.VP 10% x $100 n i.V...
Fórmula dos juros simples VF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n
Abreviaturas nas taxas  Abreviatura Significado a.d.  ao dia a.d.u. ao dia  útil a.m.  ao mês a.m.o. ao mês  over a.b.  ao...
Cuidado com os anos <ul><li>ano civil ou exato </li></ul><ul><ul><li>formado por 365 dias; </li></ul></ul><ul><li>ano come...
Exemplo A <ul><li>Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resg...
Características dos juros simples <ul><li>Valor uniforme dos juros períodicos </li></ul><ul><li>Valor futuro cresce linear...
Exercícios de … <ul><li>Sala! </li></ul>
Exemplo B <ul><li>Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Cons...
Exemplo C <ul><li>Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente n...
Exemplo D <ul><li>A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,0...
Importante!!! <ul><li>Taxas são sagradas!!! </li></ul>
Exemplo E <ul><li>Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. </li></ul>Taxa anual !!! n em ...
Alterando o prazo … VF=VP (1+ i.n) VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00
Descontando em … <ul><li>Juros simples por dentro </li></ul>
Desconto Racional Simples  <ul><li>Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente </li></ul><ul><li>De...
Da fórmula dos juros simples <ul><li>VF = VP (1 + i.n) </li></ul><ul><li>Como se deseja obter VP </li></ul>(1+in)
Exemplo F <ul><li>Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, ...
Taxa efetiva <ul><li>É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização.  </li></ul>
Exemplo G <ul><li>Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. ...
Taxa efetiva no DFC! $10.000,00 0 1 -$15.000,00   Desconto = 1/3 de $15.000,00 Desconto = $5.000,00 Por fora =33,3333% Por...
Equivalência de Capitais <ul><li>“ Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se...
Constatação importante … <ul><li>Dinheiro  tem custo no  tempo!!! </li></ul>Deve ser somado apenas em mesma data!
A operação de equivalência -4.000,00 1.000,00 1.000,00 2.000,00 X? 0 1 2 3 4
Exemplo H <ul><li>Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. </li></ul><ul><li>Pagará uma...
Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X $22.000,00 $23.320,00 $14.420,00 $8.900,00 Capitalizando...
Exemplo I <ul><li>Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X....
Resolução … -X -X $500,00 0 1 2 i = 4% a.m. (JS) Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) ...
Exemplo J <ul><li>Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma...
Solução do Exemplo J $1.800,00 0 3 -$800,00   -$1.150,00   $1.000,00 0 3 -$1.150,00   VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i...
Exemplo K <ul><li>Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 ...
DFC e cálculos do Exemplo K 0 3 X +$15.000,00   8 +$20.000,00   Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = ...
Proporcionalidade de taxas <ul><li>Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização...
Fórmula da equivalência <ul><li>ia = ib.(nb/na) </li></ul>Em juros simples, vale usar regra de três!!! Em juros simples!!!
Exemplo L <ul><li>I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês. </li></ul><...
Solução do Exemplo L <ul><li>I.  </li></ul><ul><li>3% a.m. = [__] % a.s. </li></ul><ul><li>1 semestre = 6 meses </li></ul>...
Solução do Exemplo L <ul><li>II. Cálculo de taxas mensais </li></ul><ul><li>a) 1 semestre = 6 meses </li></ul><ul><li>90% ...
Três resultados do capítulo <ul><li>Entendemos operações com juros simples </li></ul><ul><li>Sabemos usar a proporcionalid...
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  1. 1. Capítulo Juros Simples Matemática Financeira Adriano Leal Bruni [email_address]
  2. 2. Para saber mais ... <ul><li>Todo o conteúdo dos slides pode ser visto nos meus livros de Matemática Financeira , publicados pela Editora Atlas. </li></ul><ul><li>Para saber ainda mais, visite: </li></ul><ul><li>www.MinhasAulas.com.br </li></ul><ul><li>www.EditoraAtlas.com.br </li></ul>
  3. 3. Para aprender ainda mais ... CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 2
  4. 4. Para conhecer meus livros e minhas aulas
  5. 5. www. MinhasAulas.com.br <ul><li>O site MinhasAulas.com.br foi criado para dar suporte às minhas aulas e aos meus livros </li></ul><ul><li>Uma grande variedade de planilhas, slides e recursos ajudarão você nas suas aulas! </li></ul><ul><li>Visite-o sempre! </li></ul>
  6. 6. Três objetivos do capítulo <ul><li>Entender operações com juros simples </li></ul><ul><li>Saber usar a proporcionalidade de taxas </li></ul><ul><li>Compreender as operações com equivalência de capitais </li></ul>
  7. 7. Conceito de juros simples <ul><li>Juros sempre incidem sobre o VALOR PRESENTE </li></ul>
  8. 8. Preste atenção!!! <ul><li>Empréstimo </li></ul><ul><li>Valor atual na data zero igual a $100,00 </li></ul><ul><li>Taxa igual a 10% a.p. </li></ul><ul><li>Considere juros simples </li></ul>
  9. 9. Juros simples 0 - 100,00 VF=VP 1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP 10% x $100 2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP 10% x $100 n i.VP VF VF=VP (1+ i.n) Juros simples sempre incidem sobre valor presente n Juros VF Fórmula
  10. 10. Fórmula dos juros simples VF=VP (1+ i.n) Devem estar em uma mesma base!!! Como a taxa é sagrada, ajusta-se o valor de n
  11. 11. Abreviaturas nas taxas Abreviatura Significado a.d. ao dia a.d.u. ao dia útil a.m. ao mês a.m.o. ao mês over a.b. ao bimestre a.t. ao trimestre a.q. ao quadrimestre a.s. ao semestre a.a. ao ano a.a.o. ao ano over
  12. 12. Cuidado com os anos <ul><li>ano civil ou exato </li></ul><ul><ul><li>formado por 365 dias; </li></ul></ul><ul><li>ano comercial </li></ul><ul><ul><li>formado por 360 dias. </li></ul></ul>
  13. 13. Exemplo A <ul><li>Uma aplicação de $500,00 foi feita por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate? </li></ul>VF -500 8 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+in) VF = 500 (1+0,05 x 8) VF = 700
  14. 14. Características dos juros simples <ul><li>Valor uniforme dos juros períodicos </li></ul><ul><li>Valor futuro cresce linearmente </li></ul><ul><li>Capitalização Linear </li></ul>Valor Futuro Tempo VP
  15. 15. Exercícios de … <ul><li>Sala! </li></ul>
  16. 16. Exemplo B <ul><li>Sabina precisará de $1.200,00 em dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am </li></ul>1.200,00 -VP 10 meses 0 i = 5% a.m. VF = VP (1+in) 1200 = VP (1+0,05 x 10) VP = 800
  17. 17. Exemplo C <ul><li>Neco aplicou $8.000,00 por seis meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação? </li></ul>10.400,00 -8000 6 meses 0 i = ? VF = VP (1+in) 10400 = 8000 (1+i x 6) i = 5%
  18. 18. Exemplo D <ul><li>A aplicação de $9.000,00 a uma taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação? </li></ul>11.700,00 -9000 n=? 0 i = 6% a.m. VF = VP (1+in) 11700 = 9000 (1+0,06 x n) n = 5
  19. 19. Importante!!! <ul><li>Taxas são sagradas!!! </li></ul>
  20. 20. Exemplo E <ul><li>Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24 meses a 8% a.a. </li></ul>Taxa anual !!! n em anos X 24 meses = 2 anos 2 anos -$500,00 0 24 VF
  21. 21. Alterando o prazo … VF=VP (1+ i.n) VF=500 (1+ 0,08.2) VF=$580,00
  22. 22. Descontando em … <ul><li>Juros simples por dentro </li></ul>
  23. 23. Desconto Racional Simples <ul><li>Aplicar a fórmula dos juros simples para calcular o valor presente </li></ul><ul><li>Descontar significa extrair os juros do valor futuro para obter o valor presente </li></ul>Cuidado!!! Depois veremos o desconto COMERCIAL
  24. 24. Da fórmula dos juros simples <ul><li>VF = VP (1 + i.n) </li></ul><ul><li>Como se deseja obter VP </li></ul>(1+in)
  25. 25. Exemplo F <ul><li>Uma empresa precisa descontar racionalmente ou por dentro uma duplicata com valor nominal de $4.400,00, 2 meses antes do vencimento, a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o desconto? </li></ul>VP 0 2 -$4.400,00 Valor Presente Juros VP = VF/ (1+i.n) VP = 4400/(1+0,05.2) VP = 4000 D = 4400-4000 D = 400 Valor Futuro
  26. 26. Taxa efetiva <ul><li>É aquela que incide sobre o valor presente no processo de capitalização. </li></ul>
  27. 27. Exemplo G <ul><li>Ao antecipar em 30 dias o recebimento de uma conta a receber no valor de $15.000,00, a Cia Cava Cava S. A. sofreu um desconto igual a 1/3 (33,3333%) do valor nominal. Calcule a taxa efetiva mensal da operação. </li></ul>Taxa por fora = 33,3333%
  28. 28. Taxa efetiva no DFC! $10.000,00 0 1 -$15.000,00 Desconto = 1/3 de $15.000,00 Desconto = $5.000,00 Por fora =33,3333% Por dentro =50% VF = VP (1+i.n) 15000 = 10000 (1+i.1) i = 50% a.m.
  29. 29. Equivalência de Capitais <ul><li>“ Dois ou mais capitais nominais, supostos com datas de vencimento determinadas, dizem-se equivalentes quando, descontados para uma data focal, à mesma taxa de juros, e em idênticas condições, produzem valores iguais”. </li></ul>
  30. 30. Constatação importante … <ul><li>Dinheiro tem custo no tempo!!! </li></ul>Deve ser somado apenas em mesma data!
  31. 31. A operação de equivalência -4.000,00 1.000,00 1.000,00 2.000,00 X? 0 1 2 3 4
  32. 32. Exemplo H <ul><li>Pedro pensa em comprar um carro novo, com preço a vista igual a $30.000,00. </li></ul><ul><li>Pagará uma entrada de $8.000,00 </li></ul><ul><li>Pagará $14.000,00 em 30 dias </li></ul><ul><li>Pagará X em 60 dias </li></ul><ul><li>Taxa simples igual a 3% a.m. </li></ul><ul><li>Calcule o valor de X </li></ul>$30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X Use a data focal 60 dias 0 30 60 dias
  33. 33. Taxa simples igual a 3% a.m. $30.000,00 -$8.000,00 -$14.000,00 -X $22.000,00 $23.320,00 $14.420,00 $8.900,00 Capitalizando $22.000,00 VF = VP (1+in) VF = 22000 (1+0,03.2) VF = $23.320,00 Capitalizando $14.000,00 VF = VP (1+in) VF = 14000 (1+0,03.1) VF = $14.420,00 0 1 2 meses
  34. 34. Exemplo I <ul><li>Uma loja anuncia um microondas a vista por $500,00 ou em duas parcelas mensais, sem entrada, iguais a X. Sabendo que a loja cobra juros simples , iguais a 4%, calcule o valor de X. </li></ul>Use a data focal zero
  35. 35. Resolução … -X -X $500,00 0 1 2 i = 4% a.m. (JS) Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.1) VP = 0,9615.X Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = X / (1+0,04.2) VP = 0,9259.X Como a soma a valor presente é igual a $500,00, 500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X X = 500/1,8874 = $264,91 $264,91 $264,91
  36. 36. Exemplo J <ul><li>Um refrigerador é vendido à vista por $ 1.800,00 ou então a prazo mediante $800,00 de entrada e mais uma parcela de $ 1.150,00 após 90 dias. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? </li></ul>
  37. 37. Solução do Exemplo J $1.800,00 0 3 -$800,00 -$1.150,00 $1.000,00 0 3 -$1.150,00 VF = VP (1+in) 1150 = 1000 (1+i.3) i = [(1150/1000) – 1] / 3) i = 5%
  38. 38. Exemplo K <ul><li>Uma empresa comercial, para efetuar o pagamento de suas encomendas, deve dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e $20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto, deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe permita retirar as quantias necessárias nas datas devidas, ficando sem saldo no final. Se a aplicação for feita a juro simples, à taxa de 4% ao mês, qual deverá ser o valor de X? </li></ul>Use a data focal zero
  39. 39. DFC e cálculos do Exemplo K 0 3 X +$15.000,00 8 +$20.000,00 Descapitalizando X 1 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = 15000 / (1+0,04.3) VP = 13.392,86 Descapitalizando X 2 VF = VP (1+in) VP = VF / (1+in) VP = 20000 / (1+0,04.8) VP = 15.151,52 Soma = 13.392,86 + 15.151,52 = $28.544,38
  40. 40. Proporcionalidade de taxas <ul><li>Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a períodos diferentes no regime de capitalização ou dos juros simples são proporcionais quando resultam no mesmo montante, ou juro, no fim do prazo da operação, tendo incidido sobre o mesmo principal. </li></ul>
  41. 41. Fórmula da equivalência <ul><li>ia = ib.(nb/na) </li></ul>Em juros simples, vale usar regra de três!!! Em juros simples!!!
  42. 42. Exemplo L <ul><li>I. Determinar as taxas semestral e anual proporcionais à taxa de juros simples de 3% ao mês. </li></ul><ul><li>II. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8% ao ano; c) 96% ao biênio. </li></ul>
  43. 43. Solução do Exemplo L <ul><li>I. </li></ul><ul><li>3% a.m. = [__] % a.s. </li></ul><ul><li>1 semestre = 6 meses </li></ul><ul><li>3% x 6 = 18% a.s. </li></ul><ul><li>3% a.m. = [__] % a.a. </li></ul><ul><li>1 ano = 12 meses </li></ul><ul><li>3% x 12 = 36% a.a. </li></ul>
  44. 44. Solução do Exemplo L <ul><li>II. Cálculo de taxas mensais </li></ul><ul><li>a) 1 semestre = 6 meses </li></ul><ul><li>90% a.s. ÷ 6 = 15% a.m. </li></ul><ul><li>b) 1 ano = 12 meses </li></ul><ul><li>220,8% a.a. ÷ 12 = 18,4% a.m. </li></ul><ul><li>c) 1 biênio = 24 meses </li></ul><ul><li>96% ÷ 24 = 4% a.m. </li></ul>
  45. 45. Três resultados do capítulo <ul><li>Entendemos operações com juros simples </li></ul><ul><li>Sabemos usar a proporcionalidade de taxas </li></ul><ul><li>Compreendemos as operações com equivalência de capitais </li></ul>
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