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MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
CURSO DE GESTÃO COMERCIAL
1
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
1. CONCEITUAÇÃO
A Matemática Financeira é um ramo da Matemática e é extremamente importante para
as tomadas de decisões nas empresas. Estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Principais
variáveis envolvidas: Capital, Juro e Taxa de Juro.
CAPITAL INICIAL (C): valor monetário, aplicado em uma operação financeira ou emprestado a
outra pessoa, durante certo período de tempo. Outras denominações: Principal, Valor Presente (PV
= present valere) ou Valor Atual.
JURO (J): remuneração do capital (para o aplicador)
custo do empréstimo (tomador)
TAXA DE JURO (i): índice (coeficiente) referido a um intervalo de tempo (a.m. , a.a. , a.s.),
através do qual se calcula o juro.
Forma unitária Forma percentual
0,02 2% a.s.
0,005 0,5% a.m.
0,1 10% a.a
NOTA: Sempre transformar a forma percentual em unitária.
FLUXO DE CAIXA EM UMA OPERAÇÃO
Representação esquemática do fluxo (entrada ou saída) de dinheiro num determinado período
(tempo).
Diagrama do Fluxo de Caixa, do ponto de vista do aplicador
Diagrama do Fluxo de Caixa, do ponto de vista do banco
2
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
2. JUROS SIMPLES
É aquele que incide somente sobre o Capital. Seja C o Capital inicial aplicado ou
principal, i a Taxa de juros e n o número de períodos (tempo de aplicação).
A fórmula básica para o cálculo de juros simples é dada por:
J = C . i . n
onde, o prazo de aplicação (n) deve estar na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa (i).
Exemplo1: Suponha que a quantia de R$ 3.527,00 seja emprestada, pelo prazo de 2 anos,
a uma taxa de juros de 10% a.a. Qual será o valor pago como juro?
Resolução: C = R$ 3.527,00,00
i = 10% a.a. ou 0,1 a.a.
n = 2 anos
J = ?
Então: J = C . i . n
J = R$ 3.527,00 × 0,1 × 2 = R$ 705,40
Resposta: O valor pago como juro será de R$ 705,40.
Exemplo2: Quanto rende um principal de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 5% ao
semestre e por um prazo de 2 anos?
Resolução: C = 1.000,00
i = 5% a.s. ou 0,05 a.s.
n = 2 anos (4 semestres)
J = ?
Então: J = C . i . n
J = R$ 1.000,00 × 0,05 × 4 = R$ 200,00
Resposta: Esse principal rende R$ 200,00.
3. MONTANTE
Define-se como montante (M) de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n
períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial.
Assim: M = C + J , onde J = C . i . n, logo:
M = C + C . i . n
3
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
A fórmula para o cálculo do montante é dada por:
M = C . (1 + i.n)
Exemplo1: Qual é o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 8% a.a.
pelo prazo de 2 anos?
Resolução: C = 1.000,00
i = 8% a.a. ou 0,08 a.a.
n = 2 anos
Como: J = C . i . n
J = 1.000,00 × 0,08 × 2 = R$ 160,00.
Então: M = C + J
M= 1.000,00 + 160,00 = R$ 1.160,00
OU
Sendo: M = C . (1 + i.n), tem-se:
M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,08 × 2)
M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,16)
M = R$ 1.000,00 . (1,16)
M = R$ 1.160,00
Resposta: O Montante é R$ 1.160,00.
Exemplo2: Qual o montante de uma aplicação de R$ 13.729,51, à taxa de 2,5% a.m.
durante 2 anos?
Resolução: C = 13.729,51
i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m.
n = 2 anos (24 meses)
Sendo: M = C (1 + i.n), tem-se:
M = R$ 13.729,51. (1 + 0,025 × 24)
M = R$13.729,51 . (1,6)
M = R$ 21.967,22
Resposta: O Montante é R$ 21.967,22.
Exemplo3: “A” empresta a “B” R$ 1.000,00, à taxa de juros simples de 20% a.a., pelo
prazo de 1 ano. Suponhamos que no final do oitavo mês, “B” resolve saldar sua dívida. Quanto
deverá pagar?
4
CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
Resolução: C = 1.000,00
i = 20% a.a. ou 0,2 a.a.
n = 8 meses ou 8/12 ano ou 0,666666667 ano
M = ?
Sendo: M = C (1 + i.n), tem-se:
M = R$ 1.000,00. (1 + 0,2 × 0,666666667)
M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,133333333)
M = R$ 1.000,00 . 1,133333333
M = R$ 1.133,33
Resposta: O Montante é R$ 1.133,33.
Exemplo4: Determine o juro e o montante de um capital de R$ 1.000,00 que é aplicado
à taxa de juros simples de 12% a.s., pelo prazo de 5 anos e 9 meses.
Resolução: C = 1.000,00
i = 12% a.s. ou 0,12 a.s.
n = 5 anos e 9 meses (69 meses) ou 11,5 semestre
J = ?
M = ?
Como: J = C . i . n
J = R$ 1.000,00 . 0.12 . 11,5
J = R$ 1.380,00
Sendo: M = C + J, tem-se:
M = R$ 1.000,00 + R$ 1.380,00
M = R$ 2.380,00
Resposta: O Juro é R$ 1.380,00 e o Montante é R$ 2.380,00.
4. TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, a juros simples, quando aplicadas a um mesmo
capital durante um mesmo período de tempo (n), produzirem montantes iguais.
Assim:
2
1
2
1
n
n
i
i
=
Exemplo1: Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é
equivalente (ou proporcional).
Resolução: i1 = taxa trimestral n1 = 3 meses
i2 = 10% a.s. n2 = 6 meses
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Como:
6
3
10
1
=
i
Tem-se: i1 =
6
30
= 5% a.t.
Resposta: A taxa trimestral equivalente a 10% a.s. é 5% a.t.
Exemplo2: Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à
taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são
equivalentes.
Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 × 0,02 × 24 = R$ 4.800,00
Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por 2 anos, teremos um juro igual a:
J2 = 10.000,00 × 0,24 × 2 = R$ 4.800,00
Resposta: A taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a. (juros iguais nas duas hipóteses).
5. VALOR NOMINAL, VALOR ATUAL E VALOR FUTURO
5.1. Valor nominal
É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento, ou seja: uma pessoa que
aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por R$ 20.000,00 daqui a 12 meses, o valor nominal (N)
da aplicação será de R$ 20.000,00 no mês 12. É um valor a vencer ou vencível.
5.2. Valor atual
É o valor (V) que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento.
Seu cálculo pressupõe que já exista um compromisso que vença numa data futura.
Assim: Uma pessoa aplicou hoje certa quantia, a uma taxa de 5% a.m. e recebeu pela
aplicação um título que irá valer R$ 24.000,00 no mês 12. Qual será o valor atual aplicado?
Sendo: M = C . (1 + i.n), pode-se escrever:
N = V . (1 + i.n)
N = 24.000
i = 5% a.m. ou 0,05 a.m.
n = 12 meses
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Profª. Maria Helena Pinedo
Nestas condições:
24.000 = V (1 + 0,05 x 12)
24.000 = V (1 + 0,60)
24.000 = V (1,60)
24.000 = V
1,60
V = 15.000
Uma vez aplicado, o valor atual corresponde ao capital inicial, com o valor nominal especificado e a
taxa de juros utilizada na operação.
5.3 Valor futuro
É o mesmo que montante (M), quando a data considerada for o vencimento da
aplicação, ou seja: uma pessoa hoje possui a quantia de R$ 10.000,00, logo, o valor futuro dessa
quantia, daqui a 3 meses, com uma taxa de 5% a.m. será de R$ 11.500,00.
Demonstração:
Sendo: M = C (1 + i.n) M = 10.000,00 (1 + 0,05 x 3)
C = 10.000 M = 10.000,00 (1 + 0,15)
i = 5% a.m. ou 0,05 M = 10.000,00 (1,15)
n = 3 meses M = 11.500,00
Portanto, o valor futuro é o montante de R$ 11.500,00.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Por quantos dias, um indivíduo pagou uma dívida de R$ 1.000,00, a uma taxa de 10% a.a.
sabendo-se que no final do período, a quantia inicial passou para R$ 1.200,00?
2. Qual o juro simples devido ao capital de R$ 10.000,00, colocado a taxa de juros de 6% a.s.
durante 5 anos e 9 meses?
3. Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840, 00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros
equivalente trimestral?
4. Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por R$ 1.800,00, sendo R$
200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada?
5. Em quantos semestres, um montante produzido por um capital de R$ 1.920,00 aplicado a 25% a.a.
se iguala ao montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a? Admitir que ambos,
tenham sido investidos na mesma data.
6. Quantos meses, deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras?
Capital inicial Montante Taxa de juros
a) R$ 800,00 R$ 832,00 16% a.a.
b) 1.200,00 R$ 2.366,00 22% a.a.
7. O valor nominal de uma Nota Promissória é de R$ 4.770,00. Qual é seu valor atual 3 meses antes
do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.?
8. Certa pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da
data do vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser
pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a na ocasião da transferência?
9. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor nominal for
de R$ 20.000,00, e se eu quiser ganhar 30% a.a?
10. Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de
R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu?
11. Um capital empregado a 24% a.a. rendeu em 1 ano, 2 meses e 15 dias; o juro de R$ 7.830,00.
Qual foi esse capital aplicado?
12. Quantos anos, meses e dias, um capital de R$ 96.480,00 rende um Montante de R$ 175.875,00,
a uma taxa de mercado de 25% a.a.?
RESPOSTAS
1. 720 dias 2. R$ 6.900,00 3. 5,25 % a.t 4. 38,46 % a.a.
5. 8 semestres 6. a) 3 meses b) 53 meses 7. R$ 4.500,00 8. R$ 11.558,58
9. R$ 17.391,30 10. 10 % a.s. 11. R$ 27.000,00 12. 3 anos, 3 meses e 15 dias
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CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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1. CONCEITUAÇÃO
Quando o juro gerado pela aplicação se incorpora a mesma e passa a participar da
geração de juros no período seguinte.
Exemplo: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 20% a.a. por um período de 4 anos a
juros simples e juros compostos.
Diferença entre os regimes de Capitalização (vide tabela)
OBS: A formação do Montante em juros simples é linear, enquanto que em juros compostos é
exponencial.
2. MONTANTE
Considere o exemplo acima para recalcular o Montante sob a notação linear:
M1 = C0 (1 + i) = 1.000 (1,2) = 1.200
M2 = C1 (1 + i) = 1.200 (1,2) = 1.440 ou M2 = C (1 + i)2
M3 = C2 (1 + i) = 1.440 (1,2) = 1.728 M3 = C (1 + i)3
M4 = C3 (1 + i) = 1.728 (1,2) = 2.074 M4 = C (1 + i)4
... (n períodos, à taxa i de juros),
tem-se:
Mn = C . (1 + i)n
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CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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Exemplo: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de
10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?
Resolução: C = R$ 1.000,00
i = 2% a.m. ou 0,02 a.m.
n = 10 meses
Tem-se que: Mn = C (1 + i)n
Logo: M10 = C (1 + i)10
M10 = R$ 1.000,00 (1 + 0,02)10
M10 = R$ 1.000,00 (1 + 0,02)10
M10 = R$ 1.000,00 (1,02)10
M10 = R$ 1.000,00 (1,218994)
M10 = R$ 1.218,99
Resposta: O montante a ser devolvido é de R$ 1.218,99
3. CÁLCULO DO JURO COMPOSTO
Sabe-se que: Jn = M – C por n períodos, à taxa i de juros. Portanto, para se determinar
o juro composto, basta determinar o Montante e subtrair do Capital inicial.
Exemplo: Calcule o juro pago por um empréstimo realizado por João, de R$ 4.000,00 à
taxa de juros compostos de 25% a.a. por um período de 18 meses.
Resolução: C = R$ 4.000,00
i = 25% a.a. ou 0,25 a.a.
n = 18 meses ou 1,5 anos
M = ?
J = ?
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n
Logo: Mn = R$ 4.000,00 . (1 + 0,25)1,5
Mn = R$ 4.000,00 . 1,397542486
Mn = R$ 5.590,17
Como Jn = Mn - C
Jn = R$ 5.590,17 – R$ 4.000,00
Jn = R$ 1.590,17
Resposta: O juro pago será de R$ 1.590,17.
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CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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3.1. CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL (C)
Para se determinar o Capital inicial (C), conhecendo-se o Montante (M), a taxa de juros
(i) e o prazo (n), deve-se isolar a variável C na equação: Mn = C . (1 + i)n
.
Exemplo: João aplicou certa quantia, no regime de juros compostos, à taxa de 25% a.a.,
por um período de 18 meses e obteve um montante de R$ 5.590,17. Determine o valor do Capital
aplicado.
Resolução: M = R$ 5.590,17
n = 18 meses ou 1,5 anos
i = 25% a.a.
C = ?
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n
Logo: 5.590,17 = C. (1 + 0,25)1,5
5.590,17 = C. (1,25)1,5
5.590,17 = C. (1,397542486)
397542486,1
17,590.5
= C
4.000 = C
Resposta: O valor do Capital aplicado é de R$ 4.000,00
3.2. CÁLCULO DA TAXA (i)
Para se determinar a taxa de juros (i), conhecendo-se o Capital Inicial (C), o Montante
(M) e o prazo (n), deve-se extrair a raiz n-ésima, na equação: Mn = C . (1 + i)n
, ou seja:
i
C
Mn +=1
Exemplo: João aplicou R$ 4.000,00 no regime de juros compostos e após 18 meses,
verificou que o montante importava em R$ 5.590,17. Qual foi o valor da taxa anual de aplicação?
Resolução: C = R$ 4.000,00
M = R$ 5.590,17
n = 18 meses ou 1,5 anos
i = ?
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n
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Logo: 5.590,17 = 4.000,00 . (1 + i)1,5
00,000.4
17,590.5
= (1 + i)1,5
1,39754250 = (1 + i)1,5
5,1
39754250,1 = 1 + i
1,25 = 1 + i
1,25 – 1 = i
0,25 (x 100) = i
25% = i
Resposta: O valor da taxa de aplicação foi de 25% a.a.
3.3. CÁLCULO DO PRAZO (n)
Para se determinar o prazo (n), conhecendo-se o Capital Inicial (C), o Montante (M) e a
taxa de juros (i), pode-se aplicar o logaritmo nos dois membros da equação Mn = C . (1 + i)n
, ou
seja:
Log Mn = Log C . (1 + i)n
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, determine o prazo (em meses) da aplicação,
do capital de R$ 4.000,00, que gerou um montante de R$ 5.590,17, a uma taxa de juros compostos
de 25% a.a.
Resolução: C = R$ 4.000,00 i = 25% a.a.
M = R$ 5.590,17 n = ?
Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n
Logo: 5.590,17 = 4.000,00 . (1 + 0,25)n
00,000.4
17,590.5
= (1 + 0,25)n
1,39754250 = (1,25)n
Log 1,39754250 = Log (1,25)n
0,145365023 = n . Log 1,25
0,145365023 = 0,096910013 . n
096910013,0
145365023,0
= n
1,5 (anos) = n ou n = 18 meses
Resposta: O tempo de aplicação será de 1,5 anos ou 18 meses.
12
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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4. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL
Seja M o montante de um capital C aplicado na data zero, à taxa de juros compostos (i),
após n períodos, isto é: Mn = C (1 + i)n
.
O valor atual corresponde ao valor do compromisso em uma data inferior ao seu
vencimento, e o valor nominal (a vencer), corresponde ao valor do compromisso na data do seu
vencimento.
No regime de juros compostos tem-se:
V → valor atual na data zero (C0) e N → valor nominal na data n (Mn)
Então: N = V(1 + i)n
(valor nominal)
Logo:
V = N (valor atual)
(1 + i)n
Exemplo1: Por quanto devo comprar, hoje, um título, vencível daqui a 5 meses, com
valor nominal de R$ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.?
Resolução: N = R$ 1.131,40
i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m.
n = 5 meses
Temos que: V = N (valor atual)
(1 + i)n
V = 1.131,40 ⇒ 1.131,40 ⇒ V = R$ 999,99
(1 + 0,025)5
1,1314082
Resposta: Na data de hoje, o título vale R$ 999,99.
Exemplo2: Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor
nominal de R$ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro vencível daqui a 3 meses
e no valor de R$ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m. quer saber-se,
se a troca é vantajosa.
Resolução: N1 = R$ 1.344,89 n1 = 1 ano ou 12 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m.
N2 = R$ 1.080,00 n2 = 3 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m.
V1 = N ⇒ 1.344,89 ⇒ 1.344,89 ∴ V1 = R$ 1.000,00
(1 + i)n
(1 + 0,025)12
1,3448888
V2 = N ⇒ 1.080,00 ⇒ 1.080,00 ∴ V2 = R$ 1.002,89
(1 + i)n
(1 + 0,025)3
1,07689062
Resposta: A troca é vantajosa.
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CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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5. TAXAS EQUIVALENTES
Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo
capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. A fórmula que determina a taxa de juros
compostos equivalente é:
iq =
q
i+1 - 1
Exemplo1: Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros
compostos, equivalente mensal.
Resolução: iq =
q
i+1 - 1
Sendo que: q = 3 meses
i = 9,2727% a.t. (taxa trimestral)
Portanto: i3 = 3
092727,01+ - 1
i3 = 3
092727,1 - 1
i3 = 1,03 – 1
∴ i3 = 0,03 a.m. ou i3 = 3% a.m. (taxa mensal)
Resposta: A taxa mensal equivalente a 9,2727 a.t. é de 3% a.m.
Por outro lado, para se obter o inverso, pode-se utilizar uma outra fórmula, do tipo:
iq = (1 + i)q
- 1
Exemplo2: Dada a taxa de juros de 3% ao mês, determinar a taxa de juros compostos,
equivalente trimestral.
Resolução: iq = (1 + i)q
- 1
Sendo: q = 3 meses
i = 3% a.m. (taxa mensal)
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CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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Portanto: i3 = (1 + 0,03)3
– 1
i3 = (1,03)3
– 1
∴ i3 = 0,092727 a.t. ou i3 = 9,2727% a.t. (taxa trimestral)
Resposta: A taxa trimestral equivalente a 3% a.m. é de 9,2727 a.t.
Exemplo3: Verificar se i e iq , são taxas equivalentes, considerando, C0 = R$ 1.000,00;
iq = 2% a.m.; i = 26,824% a.a. e n = 1 ano.
Resolução: O montante em 1 ano para a taxa i é:
M1 = 1.000,00 . (1 + 0,26824)1
M1 = 1.000,00 . (1,26824)1
M1 = R$ 1.268,24
O montante em 1 ano ou 12 meses para a taxa iq é:
M12 = 1.000,00 . (1 + 0,02)12
M12 = 1.000,00 . (1,02)12
M12 = 1.000,00 . (1,26824) → M12 = R$ 1.268,24
Resposta: Como M1 = M12, pode-se concluir que, a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de
26,824% a.a.
Exemplo4: Se um capital de R$ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos
de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação.
Resolução: O capital disponível à taxa de 10% a.a. por 3 anos é:
C3 = 1.000,00 . (1 + 0,1)3
C3 = 1.000,00 . (1,1)3
C3 = 1.000,00 . (1,331)
C3 = R$ 1.331,00
O capital disponível à taxa de 33,1% ao triênio por 1 triênio é:
C1 = 1.000,00 . (1 + 0,331)1
C1 = 1.000,00 . (1,331)1
C1 = 1.000,00 . (1,331)
C1 = R$ 1.331,00
Resposta: Como a taxa de 10% a.a. é equivalente à taxa de 33,1% ao triênio, é indiferente aplicar
em qualquer uma das taxas.
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CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses a seguir:
Taxa Prazo
a) 5% a.s. 3 anos e meio
b) 2,5 % a.m. 1 ano
2. Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.500,00 aplicado segundo as hipóteses abaixo:
Taxa Prazo
a) 8% a.t. 18 meses
b) 1 % à semana 2 meses
3. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, quanto devo aplicar hoje para que
daqui a 2 anos possua tal valor? Considere as seguintes taxas de aplicação:
a) 2,5% a.m. b) 10% a.s. c) 20% a.a.
4. Qual a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 1.000,00 e resgata os
montantes, segundo as hipóteses abaixo:
a) R$ 1.076,89 – 3 meses b) R$ 1.125,51 – 4 meses
5. Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e após 1 ano recebeu R$ 8.728,87 de juros. Qual foi a taxa de
juros mensal paga pela financeira, onde o dinheiro foi aplicado?
6. Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o
montante de R$ 45.666,57, sendo R$ 25.666,57 referente a juros?
7. Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período de
tempo, ele recebeu R$ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital
investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado?
8. Um apartamento é vendido à vista, por R$ 220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma
única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$ 61.618,59 de juros, pois quer
ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima?
9. Calcular a taxa equivalente anual, dadas as seguintes taxas por período:
a) 1% a.m.
b) 2% a.t.
c) 5% a.q.
d) 10% a.s.
10. Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., conforme solicitado abaixo:
a) taxa semestral
b) taxa quadrimestral
c) taxa trimestral
d) taxa mensal
16
CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada –
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11. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o
investidor souber de uma alternativa diferente, com a qual possa ganhar 9% a.t., qual será sua
escolha?
12. A Casa Armando, vende uma mercadoria por R$ 2.000,00, podendo ser financiada em até 3
meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo-limite para efetuar o pagamento. Caso opte
por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado
(concorrentes) é de 40% a.a., vale a pena comprar a prazo, nesta loja?
RESPOSTAS
1. a) R$ 14.071,00 b) R$ 13.448,89
2. a) R$ 880,31 b) R$ 124,28
3. a) R$ 33.172,52 b) R$ 40.980,81 c) R$ 41.666,67
4. a) 2,5% a.m. b) 3% a.m.
5. 3,9% a.m.
6. 3,5% a.m.
7. 12 meses
8. 10 meses
9. a) i ≅ 12,68% a.a. c) i ≅ 15,76% a.a.
b) i ≅ 8,24% a.a. d) i ≅ 21% a.a.
10. a) i ≅ 9,54% a.s. c) i ≅ 4,66% a.t.
b) i ≅ 6,26% a.q. d) i ≅ 1,53% a.m.
11. A segunda alternativa é a melhor (9% a.t.).
12. Não vale a pena comprar a prazo (52,42% a.a. é superior a taxa dos concorrentes, 40% a.a.).
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DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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1. INTRODUÇÃO
A chamada operação de desconto em geral, é realizada quando se conhece o valor
futuro de um título (valor nominal ou de resgate) e se pretende determinar o seu valor atual.
O desconto deve ser entendido como sendo a diferença entre o valor nominal e o seu
valor atual na data da operação. Desse modo:
D = N - V
em que:
D: representa o Valor monetário do Desconto
N: representa o Valor futuro ou Valor nominal
V: representa o Valor atual ou creditado
Juros e Descontos são critérios diferentes. No cálculo de juros, a taxa incide sobre o
capital inicial ou PV, enquanto que, no cálculo do DESCONTO, a taxa do período incide sobre o
seu montante ou FV.
De modo análogo aos juros, os DESCONTOS são também classificados em simples e
composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e cálculos exponenciais, no
caso do desconto composto.
Destaca-se nesse estudo o DESCONTO COMERCIAL SIMPLES e COMPOSTO.
2. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES
Nesse caso a taxa de desconto i, incide sobre o valor nominal do título, descontado n
períodos antes do vencimento. Logo, o desconto comercial simples pode ser calculado da seguinte
forma:
Dc = N . i . n
Uma expressão para o valor descontado comercial (valor liberado), obtido com o
desconto, pode ser escrita por:
Vc = N - Dc
Esta expressão, chamada de valor atual comercial, também pode ser escrita por:
Vc = N . (1 – i . n)
18
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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EXEMPLOS:
1. Qual o valor do desconto simples (comercial) de um título de R$ 2.000,00 com
vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m.? Determine o valor atual do título.
Solução:
N = R$ 2.000,00
n = 90 dias ou 3 meses
i = 2,5% a.m. ou 0,25
Dc = ?
Vc = ?
a) Como,
Dc = N . i . n
Então:
Dc = 2.000 x 0,25 x 3 = R$ 150,00
∴ Dc = R$ 150,00
b) Vc = N - Dc
Vc = 2.000,00 – 150 = R$ 1.850,00
∴ Vc = R$ 1.850,00
2. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros
de 30% a.a., quantos dias faltariam para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$
20.000,00?
Solução:
Dc = R$ 750,00
i = 30% a.a. ou 0,30
N = R$ 20.000,00
n = ?
Dc = N . i . n
750 = 20.000 x 0,3 x n
anosn 125,0
3,0000.20
750
=
×
=
Em termos de dias:
1 ano - - - - - - - - - - 360 dias
0,125 ano - - - - - - - - - - X dias
Logo: X = 0,125 x 360 = 45 dias ∴ X = 45 dias
19
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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2.1. TAXA EFETIVA LINEAR
A taxa efetiva de desconto é aquela que é realmente cobrada na operação de desconto.
No desconto comercial, a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de produzir o valor
nominal a partir do valor liberado.
Portanto, é necessário distinguir entre taxa de desconto fornecida pelo banco (taxa
contratada) e taxa de desconto efetiva da operação.
EXEMPLOS:
1. Uma pessoa pretende saldar (descontar) um título no valor de R$ 5.500,00, 3 meses
antes do seu vencimento. Sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação, uma taxa de
desconto comercial de 40% a.a., qual seria o valor atual a ser pago? Determine o valor da taxa de
desconto, efetiva da operação.
Solução:
N = R$ 5.500,00
n = 3 meses ou 0,25 ano
i = 40% a.a. ou 0,40
Vc = ?
a) Como: Dc = N . i . n
Então:
Dc = 5.500 x 0,40 x 0,25 = R$ 550,00 ∴ Dc = R$ 550,00
Vc = N - Dc
Vc = 5.500,00 – 550 = R$ 4.950,00 ∴ Vc = R$ 4.950,00
Nota: Observe que, se o valor atual a ser pago (R$ 4.950,00) fosse aplicado à taxa de
40% a.a., durante o prazo da operação (3 meses ou 0,25 ano); ter-se-ia o seguinte montante:
M = C . (1 + i . n)
M = 4.950 (1 + 0,40 x 0,25) = R$ 5.445,00 (menor que o valor nominal do título).
Logo, no desconto comercial a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de
produzir o valor nominal.
b) A taxa cobrada de fato na operação pode ser calculada, considerando que em três
meses, o banco ganha R$ 550,00 sobre um valor de R$ 4.950,00.
aaouta
V
D
i
c
c
f .%44,44..1111,0
4950
550
===
Nota: Observe que, se o valor atual a ser pago (R$ 4.950,00) fosse aplicado à taxa de
44,44% a.a., ou 11,11% a.t., durante o prazo da operação (3 meses ou 1 trimestre); ter-se-ia o
seguinte montante:
M = C . (1 + i . n)
M = 4.950 (1 + 0,1111 x 1) = R$ 5.500,00 (igual ao valor nominal do título).
∴ if = 44,44% a.a. ou 11,11% a.t.
20
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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2. Determine o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de R$
7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8% a.a. e o prazo de antecipação do resgate, como
sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está sendo cobrada?
Solução:
N = R$ 7.500,00
n = 50 dias ou ano
360
50
i = 28,8% a.a. ou 0,288
Dc = ? Vc = ?
if = ?
a) Como: Dc = N . i . n
Então:
00,300$
360
50
288,0500.7 RDc =××= ∴ Dc = R$ 300,00
Vc = N - Dc
Vc = 7.500,00 – 300 = R$ 7.200,00 ∴ Vc = R$ 7.200,00
b) A taxa cobrada de fato na operação pode ser calculada, considerando que em 50 dias,
o banco ganha R$ 300,00 sobre um valor de R$ 7.200,00.
aaou
V
D
i
c
c
f .%30
50
360
041667,0
7200
300
×===
NOTA:
M = C . (1 + i . n)
M = 7.200 (1 + 0,30 x
360
50
) = R$ 7.500,00 (igual ao valor nominal do título).
∴ if = 30% a.a.
3. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO
Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou
valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior.
É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente não é utilizado em nenhum
país do mundo.
No caso do desconto comercial simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor
futuro dos títulos, tantas vezes quantas forem os períodos unitários.
Assim: Dc = N . i . n
21
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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Como Vc = N - Dc , deduz-se que: Vc = N - (N . i . n)
Logo: Vc = N . (1 – i . n)
Já, no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide,
da seguinte forma:
V1 = N . (1 – i )
V2 = N . (1 – i ) (1 – i ) = N . (1 – i )2
V3 = N . (1 – i ) (1 – i ) (1 – i ) = N . (1 – i )3
M M
Vn = N . (1 – i )n-1
(1 – i )n
= N . (1 – i )n
Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários, calculado
com base no desconto composto, é dado pela expressão:
Vn = N . (1 – i )n
O desconto comercial composto é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido
correspondente.
Dc = N - Vn
EXEMPLOS:
1. Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias para o seu vencimento, é
descontada a uma taxa de 2,5% a.m., de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o
valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.
Solução:
N = R$ 28.800,00
n = 120 dias ou 4 meses
i = 2,5% a.m. ou 0,025
Vc = ?
Dc = ?
Como: Vn = N . (1 – i )n
Então: V4 = 28.800 ( 1 – 0,025)4
= 26.026,21 ∴ V4 = R$ 26.026,21
Dc = 28.800 – 26.026,21 = 2.773,79 ∴ Dc = R$ 2.773,79
22
DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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2. Um título com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% a.m., produzindo um
desconto composto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.
Solução:
Dc = R$ 1.379,77
i = 3% a.m. ou 0,03
n = 90 dias ou 3 meses
N = ?
Como: Dc = N - Vn e Vn = N . (1 – i )n
Então: Dc = N - N . (1 – i )n
ou
Dc = N [ 1 - (1 – i )n
]
( )[ ]3
03,01177,379.1 −−= N
087327,077,379.1 ×= N
N=
087327,0
77,379.1
800.15=N ∴ N = R$ 15.800,00
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DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada –
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Determine o valor nominal de um título, cujo desconto comercial simples foi de R$ 750,00; 45
dias antes do seu vencimento. Considere a taxa de juros adotada nessa transação de 30% a.a.
Resposta: R$ 20.000,00
2. Se o valor descontado comercial simples de uma Nota Promissória for de R$ 14.195,00 e o prazo
de antecipação for de 270 dias, qual será o valor da nota no vencimento, considerando-se uma taxa
de 22% a.a.?
Resposta: R$ 17.000,00
3. Uma duplicata de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por
um banco à taxa comercial simples de 2,70% a.m. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao
cliente. Determine a taxa efetiva da operação.
Resposta: R$ 64.330,00; 2,94% a.m.
4. Calcular o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 100.000,00, com 115 dias a
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m. Ainda, qual é a taxa cobrada de fato?
Resposta: R$ 11.500,00; 3,39% a.m.
5. Determinar o valor nominal de um título, com 144 dias para seu vencimento, que descontado à
taxa comercial simples de 48% a.a. proporcionou um valor atual de R$ 38.784,00.
Resposta: R$ 48.000,00
6. Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de câmbio, com vencimento para 180 dias e renda
fixada em 5% a.m. de juros simples.
a) Determine o valor nominal do título.
b) Se o título for descontado 150 dias antes do seu vencimento, quanto o investidor receberá por ele,
se o desconto for comercial simples, à taxa de 5% a. m.?
c) E se o desconto for comercial composto, considerando o mesmo prazo (150 dias) e a mesma taxa?
Respostas: a) R$ 65.000,00 b) R$ 48.750,00 c) R$ 50.295,76 (valor maior, por estar no
regime de juros compostos)
7. Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 4 meses a
vencer, sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 3,25% a.m.
Resposta: R$ 78.858,12
8. Calcular o valor do desconto comercial composto concedido num Certificado de Depósito
Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu
vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8 a.m.
Resposta: R$ 21.944,57
9. Uma Nota Promissória no valor nominal de R$ 16.800,00 foi descontada no regime composto
por R$ 15.000,00. Uma vez que a taxa considerada fora de 33% a.a. determine o prazo, em dias, de
antecipação do resgate. Resposta: 102 dias
24
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
1. CONCEITUAÇÃO
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma única vez, ou
através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.
São exemplos de rendas ou anuidades:
- quando o objetivo é saldar uma dívida (amortização)
- quando o pagamento se faz pelo uso, sem amortização (aluguel)
As rendas podem ser:
a) Rendas certas: aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não
dependendo de condições externas.
Os diversos parâmetros (taxa de juros, prazo de duração, valor dos termos, etc.) são
fixos e imutáveis. Este tipo de renda é estudado pela Matemática Financeira.
b) Rendas aleatórias: os valores dos pagamentos ou recebimentos e os prazos não são
pré-determinados, podem ser variáveis.
Ex: seguros de vida (os valores das mensalidades são certos, sendo aleatório o valor do
seguro a receber e a data de recebimento).
Este tipo de renda é estudado pela Matemática Atuarial.
OBS: Neste tópico, serão abordadas somente as rendas certas ou anuidades, no regime
de juros compostos.
2. DEFINIÇÕES
Consideremos a seqüência de capitais referidos às respectivas datas:
R1 → n1
R2 → n2
R3 → n3
. .
. .
. .
Rm → nm
Este quadro com os capitais R1, R2, R3 ... Rm referidos às respectivas datas n1, n2, n3, ...
nm e a uma taxa de juros i, caracteriza uma anuidade ou renda certa.
Ainda:
- os valores das prestações (R1 , R2 ... Rm) são os termos da renda.
- o intervalo de tempo entre dois termos chama-se período.
- a soma dos períodos define a duração da renda.
25
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
3. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES
2.1 Quanto ao prazo
a) Temporárias: quando a duração for limitada.
b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada.
2.2 Quanto ao valor dos termos
a) Constante: se todos os termos são iguais.
b) Variável: se os termos não são iguais entre si.
2.3 Quanto à forma de pagamento ou de recebimento
a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1° período.
1) Postecipadas: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos.
2) Antecipadas: quando os termos são exigíveis no início dos períodos.
b) Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o 1° período.
1) Postecipadas: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos.
2) Antecipadas: quando os termos são exigíveis no início dos períodos.
2.4 Quanto à periodicidade
a) Periódicas: quando todos os períodos são iguais.
b) Não-periódicas: quando todos os períodos não são iguais entre si.
4. MODELO BÁSICO DE ANUIDADE
Entende-se por modelo básico de anuidade as anuidades que são simultaneamente:
- temporárias;
- constantes;
- imediatas e postecipadas;
- periódicas.
Ainda, que a taxa de juros “i” seja referida ao mesmo período.
Exemplo: Carlos compra um carro, em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24, sem
entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou
estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Qual será o preço do carro à vista?
Resolução: O preço do carro à vista, corresponde à soma dos valores atuais das prestações, na data
focal zero, à taxa de 2% a.m.
P = R + R + R + R ⇒
(1,02)1
(1,02)2
(1,02)3
(1,02)4
P = R
( )⎢
⎣
⎡
02,1
1
+
( )2
02,1
1
+
( )3
02,1
1
+
( )4
02,1
1
⎥
⎦
⎤
⇒
26
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
P = R [0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845] ⇒
P = R [3,807728]
Como R = R$ 2.626,24, tem-se:
P = R$ 2.6926,24 x 3,807728
P ≅ R$ 10.000,00
Neste caso, o valor 3,807728 é uma constante numérica, que depende do número de períodos e da
taxa de juros adotada.
4.1 VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO
Seja um principal (valor atual) P a ser pago em termos iguais a R, imediatos,
postecipados e periódicos. Seja também a taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos.
A soma do valor atual dos termos na data focal zero é:
P = R + R + R + ... + R .
(1+ i) (1+ i)2
(1+ i)3
(1+ i)n
Colocando-se R em evidência, tem-se:
P = R
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+ n
iiii 1
1
...
1
1
1
1
1
1
32
Colocando-se a soma entre colchetes como sendo an⎤ i :
an⎤ i =
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+ n
iiii 1
1
...
1
1
1
1
1
1
32
Obtemos, portanto:
P = R . an⎤ i
(lê-se: preço a vista, é igual a prestação vezes “a, n cantoneira i”)
O valor de an⎤ i é obtido através da soma dos termos de uma progressão geométrica, de razão
i+1
1
;
donde surge a fórmula:
an⎤ i = n
n
ii
i
)1(
1)1(
+×
−+
27
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
Exemplo1: Carlos compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$
2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o
vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Qual será o preço do
carro à vista?
Resolução: P = R . an⎤ i
an⎤ i = (1 + i)n
- 1 i = 2% a.m. (0,02 a.m.)
i (1 + i)n
n = 4 m.
R = 2.626,24 P =?
a4⎤ 2 = (1 + 0,02)4
- 1 ⇒ (1,02)4
- 1 ≅ 3,807729
0,02 (1 + 0,02)4
0,02 (1,02)4
P = R . an⎤ i
P = R$ 2.626,24 x 3,807729 ≅ R$ 10.000,00
∴ P = R$ 10.000,00
Exemplo2: Um televisor em cores custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode ser financiado
sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo
comprador.
Resolução: R = P n = 10 m.
an⎤ i
P = 5.000,00 i = 3% a.m. (0,03 a.m.)
a10⎤ 3 = (1 + 0,03)10
- 1 ⇒ (1,03)10
- 1 ≅ 8,530203
0,03 (1 + 0,03)10
0,03 (1,03)10
R = P ⇒ R = 5.000,00 = R$ 586,15
an⎤ i 8,530203
∴ R = R$ 586,15
Exemplo3: Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas seguintes
condições: R$ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de R$ 1.225,48. Sabendo-se que o
juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço à vista.
Resolução: P = E + R . an⎤ i
E = 1.500,00 i = 2,5% a.m. (0,025 a.m.)
R = 1.225,48 n = 3 meses
P = ? a3⎤ 2,5 = ?
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RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
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a3⎤ 2,5 = (1 + 0,025)3
- 1 ⇒ (1,025)3
- 1 ≅ 2,856024
0,025 (1 + 0,025)3
0,025 (1,025)3
Logo: P = E + R . an⎤ i
P = R$ 1.500,00 + R$ 1.225,48 x 2,856024
P = R$ 1.500,00 + R$ 3.500,00
∴ P = R$ 5.000,00
5. ANUIDADES PERPÉTUAS
São aquelas de duração ilimitada, ou seja, o prazo é infinito (n = ∞). Sendo P um
principal a ser pago em infinitos termos iguais a R, isto é, constantes, postecipados, imediatos e
periódicos, a uma taxa de juros i, referida a um mesmo período dos termos, tem-se:
P = R . a∝⎤ i
P = R . 1
i
P = R
i
Ou seja, o Principal (Capital inicial) é obtido dividindo-se o valor do termo (valor da
prestação) pela taxa de juros correspondente.
Nota Importante: Para se fazer uma avaliação rápida de imóveis, pode-se utilizar a fórmula acima,
desde que o imóvel tenha um horizonte de aproveitamento infinito e que renda um aluguel
constante. Este aluguel seria o pagamento pela utilização de um capital (valor do imóvel), pagando-
se os juros, mas sem devolução do capital, visto que, o imóvel nunca pertencerá ao locatário.
Exemplo1: Levi possui um apartamento alugado por R$ 500,00 por mês e se a taxa da
melhor aplicação no mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor
do imóvel?
Resolução: Admitindo-se a hipótese de duração ilimitada do apartamento e de ser o aluguel
constante, tem-se: P = R
i
P = 500,00
0,01
P = R$ 50.000,00
∴ Numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em R$ 50.000,00.
29
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
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Exemplo2: O proprietário de um imóvel deseja alugá-lo por R$ 15.000,00 mensais
exigindo, contudo, que o aluguel seja pago com um mês de antecedência. Sabendo-se que a taxa de
juros vigente é de 2,5% a.m., qual o valor aproximado deste imóvel?
Resolução: Admitindo-se a hipótese de duração ilimitada do apartamento, de ser o aluguel
constante, e da exigência do pagamento de um mês de antecedência, tem-se: P = E + R
i
P = 15.000,00 + 15.000,00
0,025
P = R$ 615.000,00
∴ O imóvel seria avaliado aproximadamente, em R$ 615.000,00.
30
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, que deve ser paga em 24 meses a
uma taxa de juros de 1% a.m.?
2. Determine o preço à vista de uma mercadoria, que foi comprada em 36 meses de R$ 300,00 cada,
a uma taxa de 3% a.m.
3. Uma revendedora de veículo oferece, em lançamento, um carro nas seguintes condições: R$
20.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais de R$ 1.000,00. Qual é o preço a vista do carro,
uma vez que a taxa de mercado é de 3% a.m.?
4. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestações mensais
de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do
crédito pessoal é de 2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador?
5. Um carro está à venda por R$ 10.000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de R$ 2.236,51.
Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de R$ 1.613,16, sendo neste caso exigida
uma entrada de R$ 12.000,00. Qual é a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de mercado
for de 3% a.m.?
6. Uma loja vende a geladeira X por R$ 2.000,00 à vista ou financiada em 18 meses, a juros de
3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação
vencer após 1 mês?
7. Numa agência de automóveis o preço de um carro à vista é de R$ 50.000,00. Qual é o valor da
prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses, sem entrada, e a taxa de juros contratada
for de 3% a.m.?
8. A loja de confecções Roupa Certa Ltda, vende um terno por R$ 3.000,00. No crediário é exigida
uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5 % a.m. Qual será o valor das
prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais?
9. Rony é gerente de uma imobiliária especializada na venda de apartamentos usados. Coloca à
venda uma “kitchenette” por R$ 120.000,00 a vista ou em 5 anos a prazo, com uma entrada de R$
30.000,00. Qual é o valor da prestação mensal, se a taxa considerada for de 1% a.m.?
10. Marlene vendeu seu sítio na seguinte situação: entrada de R$ 50.000,00 mais 24 prestações
trimestrais de R$ 3.500,00. Qual é o preço a vista do sítio, se nesta operação for utilizada uma taxa
de 2% a.t.?
11. Um apartamento é alugado por R$ 5.000,00 por mês. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de
mercado é de 2% a.m., qual é o valor aproximado deste imóvel?
31
RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada –
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12. Um imóvel é avaliado em R$ 1.000.000,00. Seu proprietário está disposto a alugá-lo por R$
15.000,00 mensais, contudo, exige um mês de aluguel antecipadamente. Que taxa de juros ao mês,
está cobrando?
13. Uma chácara foi avaliada em R$ 350.000,00, a uma taxa corrente de mercado de 2,54% a.m.
Qual seria o valor do aluguel mensal, se o proprietário exigisse dois meses de antecedência?
RESPOSTAS
1. R$ 21.243,39
2. R$ 6.549,68
3. R$ 41.832,25
4. O melhor sistema é a 1ª alternativa
5. A 2ª alternativa
6. R$ 151,63
7. R$ 2.952,37
8. R$ 354,63
9. R$ 2.002,00
10. R$ 116.198,74
11. R$ 250.000,00
12. 1,52% a.m.
13. R$ 8.460,22
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EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
1. CONCEITUAÇÃO
Em termos financeiros a dívida surge quando uma dada importância é emprestada por
um determinado prazo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos,
no prazo estipulado.
Segundo as práticas habituais os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e
de longo prazo.
Os empréstimos de curto ou de médio prazo caracterizam-se, em geral, por serem
saldados em até 3 anos (anuidades).
Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial, pois existem várias
modalidades de tratamento de restituição do principal e juros.
As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização.
Nos sistemas de amortização a serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo
devedor (regime de juros compostos).
2. DEFINIÇÕES
Alguns termos, de uso corrente, devem ser explicitados para maior clareza posterior:
- Mutuante ou credor: aquele que dá o empréstimo.
- Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo.
- Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as partes.
- Prazo de utilização: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é
transferido do credor para o devedor.
- Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e
o pagamento da primeira amortização.
- Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja,
do capital emprestado.
- Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as
amortizações.
- Prestação: é a soma da amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em
um dado período.
- Planilha: é um quadro, padronizado ou não, colocados os valores referentes ao
empréstimo.
- Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de
amortização.
- Saldo devedor: é o estado da dívida, ou débito, em um determinado instante de tempo.
- Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações.
3. CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO
Os principais sistemas de amortização são os seguintes:
a) Sistema de amortização constante (SAC)
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada período,
multiplicando-se a taxa de juros contratada (forma unitária), pelo saldo devedor existente no
período anterior.
33
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
b) Sistema francês (SF)
As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e
a outra o principal. A dívida fica completamente saldada na última prestação.
Este sistema, acrescida certa peculiaridade de cálculo, é também conhecido como
Sistema Price.
c) Sistema misto (SAM)
Criado em 1979, pelo BNH, e pelo próprio nome, constitui-se num misto entre o
Sistema Francês (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante.
d) Sistema americano
Após, certo prazo o devedor paga, em única parcela, o capital emprestado. A
modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência.
3.1. Sistema de amortização constante (SAC)
Por esse sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo
os juros sobre o saldo devedor. Como n amortizações iguais devem saldar a dívida PV, então, para
calcular cada uma, basta dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas:
n
PV
A =
Em seguida, são calculados os juros (J1, J2, J3,..., Jn) para cada período e só então,
calcula-se o valor de cada prestação (P1, P2, P3,..., Pn), que representa a soma dos juros com a
amortização correspondente ao período.
Exemplo1: Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00, que o banco entrega no ato.
Sabendo-se que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. pelo prazo de 4
anos, através do SAC, construir a planilha:
Resolução:
A amortização anual é: 000.25
4
000.100
===
n
PV
A
000.75000.25000.100
000.35000.10000.25
000.1010,0.000.100.
1
11
1
=−=−=
=+=+=
===
APVSD
JAP
iPVJ
000.50000.25000.75
500.32500.7000.25
500.710,0.000.75.
12
22
12
=−=−=
=+=+=
===
ASDSD
JAP
iSDJ
34
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
000.25000.25000.50
000.30000.5000.25
000.510,0.000.50.
23
33
23
=−=−=
=+=+=
===
ASDSD
JAP
iSDJ
0000.25000.25
500.27500.2000.25
500.210,0.000.25.
34
44
34
=−=−=
=+=+=
===
ASDSD
JAP
iSDJ
Admita que o principal fora emprestado no início do primeiro ano e que as prestações e
os juros sejam pagos no fim de cada ano.
Tem-se:
(R$)
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
Total
-
35.000,00
32.500,00
30.000,00
27.500,00
125.000,00
-
10.000,00
7.500,00
5.000,00
2.500,00
25.000,00
-
25.000,00
25.000,00
25.000,00
25.000,00
100.000,00
100.000,00
75.000,00
50.000,00
25.000,00
0,00
-
Observa-se que no SAC os pagamentos das prestações são decrescentes, uma vez que,
são a soma de amortizações iguais com juros cada vez menores.
Exemplo2: Considerando-se o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00, que o banco
entrega no ato. Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos
anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que o principal será amortizado (SAC) em 4
parcelas anuais, construir a planilha:
Resolução:
A amortização anual é: 000.25
4
000.100
===
n
PV
A
Do mesmo modo, que o exemplo anterior, admita que o principal fora emprestado no
início do primeiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim de cada ano.
Tem-se:
(R$)
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
6
Total
-
10.000,00
10.000,00
35.000,00
32.500,00
30.000,00
27.500,00
145.000,00
-
10.000,00
10.000,00
10.000,00
7.500,00
5.000,00
2.500,00
45.000,00
-
-
-
25.000,00
25.000,00
25.000,00
25.000,00
100.000,00
100.000,00
100.000,00
100.000,00
75.000,00
50.000,00
25.000,00
0
-
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EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
3.2. Sistema francês de amortização (SF)
Por esse sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em
prestações iguais entre si e periódicas; incluindo em cada, uma amortização parcial do empréstimo e
os juros sobre o saldo devedor.
Neste caso, tem-se que resolver dois problemas para a construção da planilha: como
calcular a prestação e como separar a amortização dos juros. Admita-se que a taxa de juros seja
referida ao período de amortização.
As prestações iguais são calculadas como se fossem os termos de uma anuidade, de
acordo com o modelo básico:
P = R . an⎤ i ou
R = P
an⎤ i
Em seguida, são calculados os juros (J1, J2, J3,..., Jn) para cada período, que incide sobre
o saldo devedor do período anterior, e só então, calcula-se o valor de cada amortização (A1, A2, A3,...,
An), que representa a diferença entre a prestação e o juro correspondente ao período. Por sua vez, o
saldo devedor do período (SD1, SD2, SD3,..., SDn) será calculado como sendo a diferença entre o
saldo devedor do período anterior e a amortização no período.
Exemplo3: Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato sem prazo de carência.
Sabendo que o banco utiliza o SF, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a
devolução em 5 prestações, construir a planilha:
Resolução:
Se o principal PV vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, tem-se uma
anuidade que se conforma ao modelo básico:
P = R . an⎤ i ou seja:
100.000,00 = R . a5⎤ 10
100.000,00 = R . 3,790787
790787,3
00,000.100
= R ou R ≅ R$ 26.379,75 (prestação anual)
25,620.8375,379.16000.100
75,379.16000.1075,379.26
000.1010,0.000.100.
101
11
1
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iPVJ
53,602.6572,017.1825,620.83
72,017.1803,362.875,379.26
03,362.810,0.25,620.83.
212
22
12
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
36
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
03,783.4550,819.1953,602.65
50,819.1925,560.675,379.26
25,560.610,0.53,602.65.
323
33
23
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
58,981.2345,801.2103,783.45
45,801.2130,578.475,379.26
30,578.410,0.03,783.45.
434
44
34
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
00,058,981.2358,981.23
58,981.2316,398.275,379.26
16,398.210,0.58,981.23.
545
55
45
=−=−=
=−=−=
===
ASDSD
JRA
iSDJ
Tem-se então, a planilha:
(R$)
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
Total
-
26.379,75
26.379,75
26.379,75
26.379,75
26.379,75
131.898,74
-
10.000,00
8.362,03
6.560,25
4.578,30
2.398,16
31.898,74
-
16.379,75
18.017,72
19.819,50
21.801,45
23.981,58
100.000,00
100.000,00
83.620,25
65.602,53
45.783,03
23.981,58
0,00
-
Nota: Fez-se um pequeno acerto na última prestação para zerar o SD.
Exemplo4: Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato, com 3 anos de
carência. Sabendo que o banco utiliza o SF, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco
quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha, no caso do mutuário pagar os juros devidos
durante a carência.
Resolução:
O procedimento para o período de carência é o mesmo já visto para o SAC, ou seja, os
juros são calculados sobre o saldo devedor.
O cálculo das prestações e a separação entre amortizações e juros se processa como no
exemplo anterior.
Se o principal PV vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, tem-se uma
anuidade que se conforma ao modelo básico: P = R . an⎤ i ou seja:
100.000,00 = R . a5⎤ 10
100.000,00 = R . 3,790787
R ≅ R$ 26.379,75 (prestação anual)
37
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
Tem-se a planilha:
(R$)
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
6
7
Total
-
10.000,00
10.000,00
26.379,75
26.379,75
26.379,75
26.379,75
26.379,75
151.898,74
-
10.000,00
10.000,00
10.000,00
8.362,03
6.560,25
4.578,30
2.398,16
51.898,74
-
-
-
16.379,75
18.017,72
19.819,50
21.801,45
23.981,58
100.000,00
100.000,00
100.000,00
100.000,00
83.620,25
65.602,53
45.783,03
23.981,58
0,00
-
Nota: Fez-se um pequeno acerto na última prestação para zerar o SD.
3.2.1. Sistema Price
Este sistema também é conhecido como “tabela price” e é um caso particular do sistema
francês, com as seguintes características:
a) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Na prática esta taxa é dada em
termos anuais.
b) As prestações têm período menor que aquele a que se refere à taxa. Em geral, as
amortizações são feitas em base mensal.
c) No cálculo, é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação,
calculada a partir da taxa nominal.
Exemplo5: Um banco emprestou R$ 100.000,00 entregues no ato, sem prazo de carência.
Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a
devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha.
Resolução:
Se o sistema adotado é “tabela Price” e sendo de 12% a.a. a taxa, tem-se que,a taxa
proporcional mensal é:
i12 = 01,0
12
12,0
= a.m. ou i12 = 1% a.m.
Como são 8 prestações iguais e postecipadas, calcula-se a8⎤1 e aplica-se a fórmula:
P = R . an⎤ i
a8⎤1 ≅ 7,651678 e R =
651678,7
000.100
≅ R$ 13.069,03 (prestações mensais)
38
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
Tem-se a planilha:
(R$)
Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Total
-
13.069,03
13.069,03
13.069,03
13.069,03
13.069,03
13.069,03
13.069,03
13.069,03
104.552,24
-
1.000,00
879,31
757,41
634,30
509,95
384,36
257,51
129,40
4.552,24
-
12.069,03
12.189,72
12.311,62
12.434,73
12.559,08
12.684,67
12.811,52
12.939,63
100.000,00
100.000,00
87.930,97
75.741,25
63.429,63
50.994,90
38.435,82
25.751,15
12.939,63
0,00
-
39
EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Elabore um plano de pagamento com base no SAC, correspondente a um empréstimo de R$
300.000,00, à taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 10 prestações mensais.
2. Um empréstimo de R$ 120.000,00 é feito pelo SAC, à taxa de 2% a.m., devendo ser devolvido
em 8 prestações mensais. Sabendo que houve um prazo de carência de 3 meses, elabore uma
planilha de pagamento.
3. Construa uma planilha referente a um empréstimo pelo SF de R$ 85.000,00, à taxa de 1,5% a.m.,
para ser liquidado em 10 prestações mensais.
4. Um financiamento de R$ 400.000,00 é feito à taxa de 18% a.a. (Tabela Price) para liquidação em
6 meses. Elabore o plano de pagamento.
5. Um empréstimo feito pelo sistema Price, de R$ 20.000,00 é concedido para ser pago em 20
prestações trimestrais. Sabendo que a taxa de juros é de 40% a.a., calcule o saldo devedor após o
pagamento da décima prestação.
6. Um apartamento é comprado por R$ 150.000,00, sendo R$ 30.000,00 de entrada e o restante a
ser pago pelo SF, em 12 prestações mensais, à taxa de 2% a.m., com 4 meses de carência. Construa
a planilha para pagamento dos juros devidos.
40
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
1. INTRODUÇÃO
A análise de investimento envolve decisões de aplicação de recursos, a longo prazo
(maiores que um ano), a fim de propiciar expectativas na viabilidade de investimentos.
Existem diversas técnicas, métodos e critérios decisórios utilizados, em geral, que
asseguram uma tomada de decisão em investimentos de projetos financeiros.
Propõem-se neste estudo, dois métodos mais usuais na análise econômico-financeira:
Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR).
2. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS
2.1. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
O cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) ou Net Present Value (NPV), uma das
técnicas consideradas sofisticadas em análise de projetos, leva em conta o valor do dinheiro no
tempo atual. Retorna o valor líquido atual de um investimento, baseado em uma taxa de desconto e
em uma série de pagamentos futuros e de recebimentos. Portanto, todas as entradas e saídas de
caixa são tratadas no tempo presente.
É obtido, calculando-se o valor presente de uma série de fluxos de caixa (pagamento ou
recebimento), iguais ou diferentes, baseado em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou
estimada, e subtraindo-se o investimento inicial.
Escreve-se:
VPL = ∑=
−
+
n
j
j
j
FC
i
FC
1
0
)1(
ou
VPL = 04
4
3
3
2
2
1
1
)1(
...
)1()1()1()1(
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
n
n
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+
+
+
Em que, FCj representa os valores dos Fluxos de Caixa de ordem “j”, com j = 1, 2, 3,..., n; FC0
representa o valor do Fluxo Inicial e “i ”a taxa de juros da operação financeira.
2.1.1. CRITÉRIOS DE DECISÃO
Quando usamos o VPL para tomar decisões de aceitação-rejeição, os critérios são os
seguintes:
• Se o VPL for maior ou igual a $0, aceitar o projeto.
• Se o VPL for menor que $0, rejeitar o projeto.
Em termos de análise serão consideradas interessantes as alternativas de ação, cujo VPL
seja positivo, sendo tanto mais interessante quanto maior for o VPL, porque esse valor positivo
representará a quantidade de dinheiro que teremos ganhado, em dinheiro de hoje, além da
expectativa.
41
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
Por outro lado, um resultado de VPL negativo para um Fluxo de Caixa que tenha
receitas e despesas envolvidas significará que aquele negócio possui uma remuneração aquém da
expectativa, ou ainda, que aquele negócio paga aquela quantidade de dinheiro, em dinheiro de hoje,
a menos do que gostaríamos.
Finalmente, um resultado do VPL nulo para a somatória dos valores na data zero,
demonstrará que aquele investimento paga exatamente a Taxa Mínima de Atratividade (TMA),
portanto, também poderá ser considerado um investimento interessante.
2.1.2. EXEMPLOS
Exemplo1: Uma empresa transportadora está analisando a conveniência da compra de
um caminhão, no valor de R$ 103 milhões. Segundo os técnicos dessa empresa, a utilização desse
veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em R$ 30, R$ 35, R$ 32,
R$ 28 e R$ 20 milhões; respectivamente. Sabendo-se que no final do 5º ano se espera vender esse
caminhão por R$ 17 milhões, verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno fixadas em
15% e 18% ao ano.
Fluxo de Caixa, esquematicamente.
Observação: Fluxo de Caixa no 5º ano é representado pelo preço de venda do caminhão mais
receita do ano, ou seja: R$ 17 + R$ 20 = R$ 37 milhões.
a) Solução para taxa de retorno de 15% a.a.
VPL = ∑=
−
+
n
j
j
j
FC
i
FC
1
0
)1(
VPL = 00,103
)15,01(
37
)15,01(
28
)15,01(
32
)15,01(
35
)15,01(
30
54321
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
VPL = 26,09 + 26,47 + 21,04 + 16,01 + 18,40 – 103,00
VPL = 108,01 – 103,00
VPL = R$ 5,01 (milhões)
∴ Como o VPL é superior a zero (R$ 5,01 milhões), significa que se todas as entradas forem
trazidas para a data focal zero, elas cobrem o investimento inicial de R$ 103 milhões e ainda, geram
um adicional de R$ 5,01 milhões, tornando assim, o projeto viável.
42
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
b) Solução para taxa de retorno de 18% a.a.
VPL = ∑=
−
+
n
j
j
j
FC
i
FC
1
0
)1(
VPL = 00,103
)18,01(
37
)18,01(
28
)18,01(
32
)18,01(
35
)18,01(
30
54321
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
VPL = 25,42 + 25,14 + 19,48 + 14,44 + 16,17 – 103,00
VPL = 100,65 – 103,00
VPL = R$ – 2,35 (milhões)
∴ Como nesta hipótese o VPL é negativo (– R$ 2,35 milhões), significa que se todas as entradas
forem trazidas para a data focal zero, elas NÃO cobrem o investimento inicial de R$ 103 milhões e
ainda, geram um prejuízo de R$ 2,35 milhões, tornando assim, o projeto inviável.
Exemplo2: Um televisor LCD 50 polegadas, é financiado em 18 prestações mensais
iguais e sucessivas de R$ 325,00 e mais três prestações semestrais (prestação-reforço) de R$ 775,00;
R$ 875,00 e R$ 975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela Financeira
foi de 8,7% a.m.
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa
Observação: Os valores dos fluxos do 6º, 12º e 18º meses são iguais, ao valor das prestações
mensais acrescidos dos respectivos valores das prestações semestrais.
VPL = 00,0
)087,01(
975
)087,01(
875
)087,01(
775
)087,01(087,0
1)087,01(
325 1812618
18
−
+
+
+
+
+
+
+×
−+
×
43
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
VPL = 2.903,42 + 469,81 + 321,55 + 217,21 – 0,00
VPL = R$ 3.911,99
∴ Portanto, o valor financiado do televisor foi de R$ 3.911,99, isto é, considerando-se o Fluxo
inicial igual a R$ 0,00; o valor do financiamento pode ser determinado através do cálculo do VPL.
Exemplo3: Um apartamento foi colocado à venda, pelo valor de R$ 3 milhões a vista, ou
em dois anos de prazo, com R$ 800.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de R$
180.000,00 e mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que você esteja interessado em adquiri-lo e
que tenha recursos para comprá-lo até mesmo a vista, qual seria sua decisão? Utilize nesta análise,
taxas de 6% a.m., 8% a.m. e 10% a.m.
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa
a) Solução para taxa de 6% a.a.
VPL= 00,0
)06,01(
1
)06,01(06,0
1)06,01(
860.281
)06,01(06,0
1)06,01(
000.180000.800 1212
12
12
12
−
+
×
+×
−+
×+
+×
−+
×+
VPL= 800.000 + 1.509.091,91 + 1.174.373,52 – 0,00
VPL= R$ 3.483.465,43
∴ Do ponto de vista econômico, é mais viável comprar a vista, uma vez que, o VPL que representa
o valor presente dos pagamentos realizados a prazo; é maior que os R$ 3 milhões pedidos a vista.
b) Solução para taxa de 8% a.a.
VPL= 00,0
)08,01(
1
)08,01(08,0
1)08,01(
860.281
)08,01(08,0
1)08,01(
000.180000.800 1212
12
12
12
−
+
×
+×
−+
×+
+×
−+
×+
44
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
VPL= 800.000 + 1.356.494,04 + 843.516,86 – 0,00
VPL= R$ 3.000.010,90
∴ Do ponto de vista econômico, é indiferente comprar a vista ou a prazo; uma vez que, o VPL é
praticamente igual ao valor a vista.
c) Solução para taxa de 10% a.a.
VPL= 00,0
)10,01(
1
)10,01(10,0
1)10,01(
860.281
)10,01(10,0
1)10,01(
000.180000.800 1212
12
12
12
−
+
×
+×
−+
×+
+×
−+
×+
VPL= 800.000 + 1.226.464,53 + 611.932,77 – 0,00
VPL= R$ 2.638.397,30
∴ Neste caso, é mais aconselhável comprar a prazo, uma vez que, o VPL que representa o valor
presente dos pagamentos realizados a prazo; é menor que os R$ 3 milhões pedidos a vista.
2.2. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
A Taxa Interna de Retorno (TIR) ou Internal Rate of Return (IRR) de um fluxo de
caixa, é a taxa que iguala o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor
presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como em geral, tem-se o fluxo inicial
(valor do investimento, ou empréstimo, ou financiamento) e diversos fluxos futuros de caixa
(valores das receitas ou prestações), a equação que dá a Taxa Interna de Retorno (TIR) pode ser
escrita a seguir:
0
)1(
...
)1()1()1()1(
04
4
3
3
2
2
1
1
=−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
++
+
+
+
+
+
+
+
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
i
FC
n
n
0
)1(
0
1
=−
+
∑=
FC
i
FCn
j
j
j
De onde se deduz que:
∑= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0
)1(
45
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
Em que “ i ” representa a Taxa Interna de Retorno, “FC0” o Fluxo Inicial, no momento zero e
“∑= +
n
j
j
j
i
FC
1 )1(
”a soma dos valores futuros de Fluxos de Caixa.
2.2.1. CRITÉRIOS DE DECISÃO
Quando usamos a TIR para tomar decisões de aceitação-rejeição, os critérios são os
seguintes:
• Se a TIR for maior ou igual à TMA, aceitar o projeto.
• Se a TIR for menor que a TMA, recusar o projeto.
Esses critérios garantem que a empresa receba, pelo menos, o retorno requerido. Tal
resultado deve aumentar seu valor de mercado, portanto, a riqueza de seus proprietários.
O método da TIR é aquele que nos permite encontrar a remuneração do investimento
em termos percentuais, ou seja, o percentual exato de remuneração que o investimento oferece.
A utilização exclusiva da TIR como ferramenta de análise, poderá levar ao equívoco de
se aceitar projetos que não remuneram adequadamente o capital investido, por isso, deve ser uma
ferramenta complementar à análise de investimentos.
2.2.2. EXEMPLOS
Exemplo1: Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$
1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00.
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa
Solução: Utilizando-se a fórmula 0
)1(
0
1
=−
+
∑=
FC
i
FCn
j
j
j
ou ∑= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0
)1(
, tem-se:
( ) ( ) 321
)1(
400
1
500
1
300
000.1
iii +
+
+
+
+
=
46
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
Observação: O cálculo do valor da taxa interna de retorno “ i ” é extremamente complexo e pode
ser resolvido por “tentativa e erro”, utilizando-se o processo de interpolação linear. Neste estudo
deve-se optar pelo uso de calculadoras adequadas ou do Microsoft Excel.
Portanto, tem-se no Exemplo1, que TIR = 9,26% a.m. ou TIR = 9,265% a.m. Ainda, se
for feito um cálculo do Valor Presente dos três pagamentos citados, à taxa de 9,265% a.m.; obtém-
se um valor de R$ 999,99 (diferença de R$ 0,01); correspondente ao empréstimo de R$ 1.000,00.
Exemplo2: Um equipamento no valor de R$ 70 milhões é integralmente financiado, para
pagamento em sete parcelas mensais; as três primeiras de R$ 10 milhões, as duas seguintes de R$
15 milhões, a 6ª de R$ 20 milhões e a 7ª de R$ 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno
dessa operação.
Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa
Solução: Utilizando-se a fórmula 0
)1(1
0 =
+
− ∑=
n
j
j
j
i
FC
FC ou ∑= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0
)1(
, tem-se:
( ) ( ) 76543
3
)1(
30
)1(
20
)1(
15
1
15
1
1)1(
1070
iiiiii
i
+
+
+
+
+
+
+
+
+×
−+
×=
Portanto, tem-se no Exemplo2, que TIR = 10,40% a.m. ou TIR = 10,397% a.m. Ainda,
se for feito um cálculo do Valor Presente das sete prestações mencionadas, à taxa de 10,397% a.m.;
obtém-se um valor de R$ 70 milhões; correspondente ao financiamento do equipamento.
Exemplo3: Um consumidor adquire um eletrodoméstico pelo sistema de crediário para
pagamento em seis prestações mensais de R$ 735,70. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$
2.450,00 e que a primeira prestação será paga no final do 5º mês (4 meses de carência); determinar
a taxa de juros cobrada pela loja.
47
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
A seguir, a representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa da operação.
Solução: Utilizando-se a fórmula 0
)1(1
0 =
+
− ∑=
n
j
j
j
i
FC
FC ou ∑= +
=
n
j
j
j
i
FC
FC
1
0
)1(
, tem-se:
( ) 46
6
)1(
1
1
1)1(
70,735450.2
iii
i
+
×
+×
−+
×=
Portanto, tem-se no Exemplo3, que TIR = 8,30% a.m. ou TIR = 8,2997% a.m. Ainda, se
for feito um cálculo do Valor Presente das seis prestações mencionadas, com 4 meses de carência à
taxa de 8,2997% a.m.; obtém-se um valor de R$ 2.449,99 (diferença de R$ 0,01); correspondente ao
financiamento do eletrodoméstico de R$ 2.450,00.
48
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um investimento proposto custando $60.000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa
após o imposto de renda durante um período de sete anos:
Ano Valor
1 10.000
2 15.000
3 15.000
4 20.000
5 15.000
6 10.000
7 5.000
a) Calcule o VPL a 10% e 16% ao ano.
b) Determine a TIR da preposição.
c) Se os fluxos de caixas anuais fossem $13.000 por ano durante sete anos, qual seria o VPL a 10%
ao ano?
2. Um investimento proposto custando $1.000.000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa
após o imposto de renda, durante um período de sete anos:
Ano Valor
1 100.000
2 100.000
3 350.000
4 400.000
5 200.000
6 150.000
7 100.000
a) Calcule o VPL a 5% e 12% ao ano.
b) Determine a TIR da preposição.
c) Se os fluxos de caixas anuais fossem $200.000,00 por ano, durante sete anos, qual seria o VPL a
3%ao ano?
3. Cristina precisa avaliar um novo investimento, que segundo suas estimativas, vai gerar os
seguintes fluxos de caixa anual: $7.000; $6.000; $5.000; $4.000; $3.000; $2.000; $1.000. O
investimento será de $18.000 e ele trabalha com uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano.
a) Monte a Diagrama de Fluxo de Caixa da operação.
b) Qual o VPL e a TIR do projeto?
c) O que significa um VPL positivo para o projeto?
d) O projeto é viável?
49
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
4. Jurema precisa avaliar um novo negócio com investimento inicial de $8.000 e vida útil de 3 anos.
Ela fez as seguintes estimativas para o fluxo de caixa anual: $2.000; $3.500; $5.000. A taxa mínima
de atratividade é de 15% ao ano.
a) Monte a Diagrama de Fluxo de Caixa da operação.
b) Qual o VPL e a TIR do projeto?
c) O que significa um VPL negativo para o projeto?
d) Utilize o VPL e a TIR para justificar a inviabilidade do projeto.
e) Qual o valor máximo para o investimento inicial, que torna o projeto viável?
5. Necessito de R$ 150.000,00 para investir num projeto, que tem a seguinte previsão de fluxos
líquidos de caixa:
• R$ 22.000,00 no final do primeiro ano;
• R$ 30.000,00 no final do segundo;
• R$ 48.000,00 no final do terceiro;
• R$ 52.000,00 no final do quarto;
• R$ 70.000,00 no final do quinto;
• R$ 150.000,00 no final do sexto.
• TIR = 23,91% a.a.
Se meu capital tiver um custo de 2,3% ao mês, devo realizá-lo? (Sugestão: Encontre taxa anual, 2 casas
decimais, equivalente a 2,3% a.m.)
a) Monte a Diagrama de Fluxo de Caixa da operação.
b) Utilize o VPL e a TIR para analisar o investimento.
6. Calcular o VPL de um investimento em uma franquia, com as seguintes características:
• Investimento de R$ 30.000,00 no ponto comercial, na data zero;
• R$ 30.000,00 de taxa de franquia, na data zero;
• Recebimento mensal de R$ 1.300,00 de realização de marketing, durante todo o projeto;
• Receitas mensais de R$ 3.100,00, durante 60 meses.
a) Supondo a taxa de juros efetiva de 20% a.a., é viável investir na franquia? (Sugestão: Encontre taxa
mensal, duas casas decimais, equivalente a 20% a.a.).
b) Supondo a taxa de juros efetiva de 25% a.a. é viável investir na franquia? (Sugestão: Encontre taxa
mensal, duas casas decimais, equivalente a 25% a.a.).
7. A Harris Company está avaliando a proposta de aquisição de uma empilhadeira. O preço básico
da máquina é de R$ 107.500,00 e seriam necessários mais R$ 12.500,00 em modificações,
adequando-a ao uso específico na empresa. A máquina seria vendida por R$ 55.000,00 após 36
meses. A compra da empilhadeira não teria nenhum efeito sobre as receitas, mas espera-se que ela
represente para a empresa uma economia mensal em termos de custos operacionais brutos de
impostos da ordem de R$ 4.000,00 principalmente, de mão-de-obra. A alíquota marginal de
imposto de renda da Harris é de 35%. Despreze a depreciação.
a) Elabore o Diagrama de Fluxo de Caixa da operação de compra da máquina.
b) Calcule o VPL e a TIR.
c) Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 12% ao ano, capitalizada no regime de juros simples,
mensalmente, você acha que a máquina deveria ou não ser adquirida? Por quê?
50
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
8. Um casal pretende investir em uma franquia, com as seguintes características:
• Investimento de R$ 60.000,00 no ponto comercial, na data zero;
• R$ 100.000,00 de taxa de franquia, na data zero;
• Pagamento mensal de royalties de R$ 1.500,00, durante todo o projeto;
• Receitas mensais de R$ 5.500,00, durante 72 meses.
• Taxa Mínima de Atratividade de 2,03 % a.m. e TIR igual a 1,82% a.m.
Determine:
a) VPL
b) Justificativa da viabilidade da franquia, utilizando o VPL e a TIR.
9. Encontre o VPL e a TIR do fluxo de caixa genérico expresso abaixo, sob forma de tabela,
sabendo que a taxa de juros é de 12,68% ao ano. (Sugestão: Encontre taxa mensal, quatro casas decimais,
equivalente a 12,68% a.a.).
51
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada –
Profª. Maria Helena Pinedo
RESPOSTAS
1. a) R$ 3.941,94 e – R$ 6.560,91 c) R$ 3.289,44
b) 12,06% a.a e 12,06% a.a.
2. a) R$ 157.070,87 e – R$ 92.949,62 c) R$ 246.056,59
b) 9,11% a.a. e 9,11% a.a.
3. b) $930,54 e 17,26 % a.a.
c) Significa que o investimento inicial de $18.000 SERÁ remunerado a 15% ao ano e gerará um ganho extra,
calculado na data zero, de $930,54. Ainda, a TIR (17,26% a.a.) complementa a viabilidade do investimento, pois é
MAIOR que a TMA (15% a.a.). Portanto, o projeto tem rentabilidade. d) Sim
4. b) VPL = – $326,78 e TIR = 12,85% a.a.
c) Significa que o projeto não é viável.
d) O projeto com investimento inicial de $8.000 NÃO será remunerado a 15% ao ano e gerará um prejuízo,
calculado na data zero, de $326,78. Ainda, a TIR (12,85% a.a.) complementa a inviabilidade do projeto, pois é MENOR
que a TMA (15% a.a.) e, portanto, o projeto tem rentabilidade inferior. e) $7.673,22
5. b) Não deve realizá-lo, pois o VPL é negativo ( – R$ 30.167,52), ou seja, o investimento inicial de R$ 150.000,00;
não será remunerado à taxa de 31,37% ao ano, além, do projeto gerar uma perda de – R$ 30.167,52 (se calculada na
data zero). Ainda, a TIR (23,91% a.a.) é MENOR que a TMA (31,37% a.a.), complementando a inviabilidade do
projeto.
6. a) VPL = R$ 16.064,47
b) VPL = R$ 20.479,60
7. a)
b) VPL = – R$ 3.279,61 e TIR = 0,8816 % a.m.
c) Com o VPL negativo (– R$ 3.279,00) e a TIR menor que TMA (0,8816% a.m. < 1%a.m.), pode-se concluir que
não é um bom investimento. Sendo assim, a empilhadeira não deve ser adquirida dessa maneira.
8. a) VPL= – R$ 9.317,02
b) A franquia não é viável, pois o investimento inicial de $160.000,00 NÃO será remunerado a 2,03% a.m. e gerará
um prejuízo, calculado na data zero, de $9.317,02. Ainda, a TIR (1,82% a.m.) sendo MENOR que a TMA (2,03 a.m.),
vem complementar a inviabilidade do negócio.
9. VPL = R$ 18.849,69 e TIR = 2,28 % a.m.

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Apostila mat financ_aplicada

  • 2. 1 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 1. CONCEITUAÇÃO A Matemática Financeira é um ramo da Matemática e é extremamente importante para as tomadas de decisões nas empresas. Estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Principais variáveis envolvidas: Capital, Juro e Taxa de Juro. CAPITAL INICIAL (C): valor monetário, aplicado em uma operação financeira ou emprestado a outra pessoa, durante certo período de tempo. Outras denominações: Principal, Valor Presente (PV = present valere) ou Valor Atual. JURO (J): remuneração do capital (para o aplicador) custo do empréstimo (tomador) TAXA DE JURO (i): índice (coeficiente) referido a um intervalo de tempo (a.m. , a.a. , a.s.), através do qual se calcula o juro. Forma unitária Forma percentual 0,02 2% a.s. 0,005 0,5% a.m. 0,1 10% a.a NOTA: Sempre transformar a forma percentual em unitária. FLUXO DE CAIXA EM UMA OPERAÇÃO Representação esquemática do fluxo (entrada ou saída) de dinheiro num determinado período (tempo). Diagrama do Fluxo de Caixa, do ponto de vista do aplicador Diagrama do Fluxo de Caixa, do ponto de vista do banco
  • 3. 2 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 2. JUROS SIMPLES É aquele que incide somente sobre o Capital. Seja C o Capital inicial aplicado ou principal, i a Taxa de juros e n o número de períodos (tempo de aplicação). A fórmula básica para o cálculo de juros simples é dada por: J = C . i . n onde, o prazo de aplicação (n) deve estar na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa (i). Exemplo1: Suponha que a quantia de R$ 3.527,00 seja emprestada, pelo prazo de 2 anos, a uma taxa de juros de 10% a.a. Qual será o valor pago como juro? Resolução: C = R$ 3.527,00,00 i = 10% a.a. ou 0,1 a.a. n = 2 anos J = ? Então: J = C . i . n J = R$ 3.527,00 × 0,1 × 2 = R$ 705,40 Resposta: O valor pago como juro será de R$ 705,40. Exemplo2: Quanto rende um principal de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos? Resolução: C = 1.000,00 i = 5% a.s. ou 0,05 a.s. n = 2 anos (4 semestres) J = ? Então: J = C . i . n J = R$ 1.000,00 × 0,05 × 4 = R$ 200,00 Resposta: Esse principal rende R$ 200,00. 3. MONTANTE Define-se como montante (M) de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de n períodos, como sendo a soma do juro mais o capital inicial. Assim: M = C + J , onde J = C . i . n, logo: M = C + C . i . n
  • 4. 3 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo A fórmula para o cálculo do montante é dada por: M = C . (1 + i.n) Exemplo1: Qual é o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 8% a.a. pelo prazo de 2 anos? Resolução: C = 1.000,00 i = 8% a.a. ou 0,08 a.a. n = 2 anos Como: J = C . i . n J = 1.000,00 × 0,08 × 2 = R$ 160,00. Então: M = C + J M= 1.000,00 + 160,00 = R$ 1.160,00 OU Sendo: M = C . (1 + i.n), tem-se: M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,08 × 2) M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,16) M = R$ 1.000,00 . (1,16) M = R$ 1.160,00 Resposta: O Montante é R$ 1.160,00. Exemplo2: Qual o montante de uma aplicação de R$ 13.729,51, à taxa de 2,5% a.m. durante 2 anos? Resolução: C = 13.729,51 i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. n = 2 anos (24 meses) Sendo: M = C (1 + i.n), tem-se: M = R$ 13.729,51. (1 + 0,025 × 24) M = R$13.729,51 . (1,6) M = R$ 21.967,22 Resposta: O Montante é R$ 21.967,22. Exemplo3: “A” empresta a “B” R$ 1.000,00, à taxa de juros simples de 20% a.a., pelo prazo de 1 ano. Suponhamos que no final do oitavo mês, “B” resolve saldar sua dívida. Quanto deverá pagar?
  • 5. 4 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Resolução: C = 1.000,00 i = 20% a.a. ou 0,2 a.a. n = 8 meses ou 8/12 ano ou 0,666666667 ano M = ? Sendo: M = C (1 + i.n), tem-se: M = R$ 1.000,00. (1 + 0,2 × 0,666666667) M = R$ 1.000,00 . (1 + 0,133333333) M = R$ 1.000,00 . 1,133333333 M = R$ 1.133,33 Resposta: O Montante é R$ 1.133,33. Exemplo4: Determine o juro e o montante de um capital de R$ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% a.s., pelo prazo de 5 anos e 9 meses. Resolução: C = 1.000,00 i = 12% a.s. ou 0,12 a.s. n = 5 anos e 9 meses (69 meses) ou 11,5 semestre J = ? M = ? Como: J = C . i . n J = R$ 1.000,00 . 0.12 . 11,5 J = R$ 1.380,00 Sendo: M = C + J, tem-se: M = R$ 1.000,00 + R$ 1.380,00 M = R$ 2.380,00 Resposta: O Juro é R$ 1.380,00 e o Montante é R$ 2.380,00. 4. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, a juros simples, quando aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo período de tempo (n), produzirem montantes iguais. Assim: 2 1 2 1 n n i i = Exemplo1: Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é equivalente (ou proporcional). Resolução: i1 = taxa trimestral n1 = 3 meses i2 = 10% a.s. n2 = 6 meses
  • 6. 5 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Como: 6 3 10 1 = i Tem-se: i1 = 6 30 = 5% a.t. Resposta: A taxa trimestral equivalente a 10% a.s. é 5% a.t. Exemplo2: Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J1 = 10.000,00 × 0,02 × 24 = R$ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a., por 2 anos, teremos um juro igual a: J2 = 10.000,00 × 0,24 × 2 = R$ 4.800,00 Resposta: A taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a. (juros iguais nas duas hipóteses). 5. VALOR NOMINAL, VALOR ATUAL E VALOR FUTURO 5.1. Valor nominal É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento, ou seja: uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por R$ 20.000,00 daqui a 12 meses, o valor nominal (N) da aplicação será de R$ 20.000,00 no mês 12. É um valor a vencer ou vencível. 5.2. Valor atual É o valor (V) que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. Seu cálculo pressupõe que já exista um compromisso que vença numa data futura. Assim: Uma pessoa aplicou hoje certa quantia, a uma taxa de 5% a.m. e recebeu pela aplicação um título que irá valer R$ 24.000,00 no mês 12. Qual será o valor atual aplicado? Sendo: M = C . (1 + i.n), pode-se escrever: N = V . (1 + i.n) N = 24.000 i = 5% a.m. ou 0,05 a.m. n = 12 meses
  • 7. 6 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Nestas condições: 24.000 = V (1 + 0,05 x 12) 24.000 = V (1 + 0,60) 24.000 = V (1,60) 24.000 = V 1,60 V = 15.000 Uma vez aplicado, o valor atual corresponde ao capital inicial, com o valor nominal especificado e a taxa de juros utilizada na operação. 5.3 Valor futuro É o mesmo que montante (M), quando a data considerada for o vencimento da aplicação, ou seja: uma pessoa hoje possui a quantia de R$ 10.000,00, logo, o valor futuro dessa quantia, daqui a 3 meses, com uma taxa de 5% a.m. será de R$ 11.500,00. Demonstração: Sendo: M = C (1 + i.n) M = 10.000,00 (1 + 0,05 x 3) C = 10.000 M = 10.000,00 (1 + 0,15) i = 5% a.m. ou 0,05 M = 10.000,00 (1,15) n = 3 meses M = 11.500,00 Portanto, o valor futuro é o montante de R$ 11.500,00.
  • 8. 7 CAPITALIZAÇÃO E JUROS SIMPLES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Por quantos dias, um indivíduo pagou uma dívida de R$ 1.000,00, a uma taxa de 10% a.a. sabendo-se que no final do período, a quantia inicial passou para R$ 1.200,00? 2. Qual o juro simples devido ao capital de R$ 10.000,00, colocado a taxa de juros de 6% a.s. durante 5 anos e 9 meses? 3. Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840, 00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros equivalente trimestral? 4. Uma loja vende um gravador por R$ 1.500,00 a vista. A prazo, vende por R$ 1.800,00, sendo R$ 200,00 de entrada e o restante após 1 ano. Qual é a taxa de juros anual cobrada? 5. Em quantos semestres, um montante produzido por um capital de R$ 1.920,00 aplicado a 25% a.a. se iguala ao montante de um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a? Admitir que ambos, tenham sido investidos na mesma data. 6. Quantos meses, deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam verdadeiras? Capital inicial Montante Taxa de juros a) R$ 800,00 R$ 832,00 16% a.a. b) 1.200,00 R$ 2.366,00 22% a.a. 7. O valor nominal de uma Nota Promissória é de R$ 4.770,00. Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.? 8. Certa pessoa aplicou R$ 10.000,00 à taxa de 29% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data do vencimento, esta pessoa propôs a transferência da aplicação a um amigo. Quanto deverá ser pago pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% a.a na ocasião da transferência? 9. Por quanto posso comprar um título com vencimento daqui a 6 meses, se seu valor nominal for de R$ 20.000,00, e se eu quiser ganhar 30% a.a? 10. Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu? 11. Um capital empregado a 24% a.a. rendeu em 1 ano, 2 meses e 15 dias; o juro de R$ 7.830,00. Qual foi esse capital aplicado? 12. Quantos anos, meses e dias, um capital de R$ 96.480,00 rende um Montante de R$ 175.875,00, a uma taxa de mercado de 25% a.a.? RESPOSTAS 1. 720 dias 2. R$ 6.900,00 3. 5,25 % a.t 4. 38,46 % a.a. 5. 8 semestres 6. a) 3 meses b) 53 meses 7. R$ 4.500,00 8. R$ 11.558,58 9. R$ 17.391,30 10. 10 % a.s. 11. R$ 27.000,00 12. 3 anos, 3 meses e 15 dias
  • 9. 8 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 1. CONCEITUAÇÃO Quando o juro gerado pela aplicação se incorpora a mesma e passa a participar da geração de juros no período seguinte. Exemplo: Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 20% a.a. por um período de 4 anos a juros simples e juros compostos. Diferença entre os regimes de Capitalização (vide tabela) OBS: A formação do Montante em juros simples é linear, enquanto que em juros compostos é exponencial. 2. MONTANTE Considere o exemplo acima para recalcular o Montante sob a notação linear: M1 = C0 (1 + i) = 1.000 (1,2) = 1.200 M2 = C1 (1 + i) = 1.200 (1,2) = 1.440 ou M2 = C (1 + i)2 M3 = C2 (1 + i) = 1.440 (1,2) = 1.728 M3 = C (1 + i)3 M4 = C3 (1 + i) = 1.728 (1,2) = 2.074 M4 = C (1 + i)4 ... (n períodos, à taxa i de juros), tem-se: Mn = C . (1 + i)n
  • 10. 9 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Exemplo: Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m. pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido? Resolução: C = R$ 1.000,00 i = 2% a.m. ou 0,02 a.m. n = 10 meses Tem-se que: Mn = C (1 + i)n Logo: M10 = C (1 + i)10 M10 = R$ 1.000,00 (1 + 0,02)10 M10 = R$ 1.000,00 (1 + 0,02)10 M10 = R$ 1.000,00 (1,02)10 M10 = R$ 1.000,00 (1,218994) M10 = R$ 1.218,99 Resposta: O montante a ser devolvido é de R$ 1.218,99 3. CÁLCULO DO JURO COMPOSTO Sabe-se que: Jn = M – C por n períodos, à taxa i de juros. Portanto, para se determinar o juro composto, basta determinar o Montante e subtrair do Capital inicial. Exemplo: Calcule o juro pago por um empréstimo realizado por João, de R$ 4.000,00 à taxa de juros compostos de 25% a.a. por um período de 18 meses. Resolução: C = R$ 4.000,00 i = 25% a.a. ou 0,25 a.a. n = 18 meses ou 1,5 anos M = ? J = ? Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n Logo: Mn = R$ 4.000,00 . (1 + 0,25)1,5 Mn = R$ 4.000,00 . 1,397542486 Mn = R$ 5.590,17 Como Jn = Mn - C Jn = R$ 5.590,17 – R$ 4.000,00 Jn = R$ 1.590,17 Resposta: O juro pago será de R$ 1.590,17.
  • 11. 10 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 3.1. CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL (C) Para se determinar o Capital inicial (C), conhecendo-se o Montante (M), a taxa de juros (i) e o prazo (n), deve-se isolar a variável C na equação: Mn = C . (1 + i)n . Exemplo: João aplicou certa quantia, no regime de juros compostos, à taxa de 25% a.a., por um período de 18 meses e obteve um montante de R$ 5.590,17. Determine o valor do Capital aplicado. Resolução: M = R$ 5.590,17 n = 18 meses ou 1,5 anos i = 25% a.a. C = ? Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n Logo: 5.590,17 = C. (1 + 0,25)1,5 5.590,17 = C. (1,25)1,5 5.590,17 = C. (1,397542486) 397542486,1 17,590.5 = C 4.000 = C Resposta: O valor do Capital aplicado é de R$ 4.000,00 3.2. CÁLCULO DA TAXA (i) Para se determinar a taxa de juros (i), conhecendo-se o Capital Inicial (C), o Montante (M) e o prazo (n), deve-se extrair a raiz n-ésima, na equação: Mn = C . (1 + i)n , ou seja: i C Mn +=1 Exemplo: João aplicou R$ 4.000,00 no regime de juros compostos e após 18 meses, verificou que o montante importava em R$ 5.590,17. Qual foi o valor da taxa anual de aplicação? Resolução: C = R$ 4.000,00 M = R$ 5.590,17 n = 18 meses ou 1,5 anos i = ? Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n
  • 12. 11 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Logo: 5.590,17 = 4.000,00 . (1 + i)1,5 00,000.4 17,590.5 = (1 + i)1,5 1,39754250 = (1 + i)1,5 5,1 39754250,1 = 1 + i 1,25 = 1 + i 1,25 – 1 = i 0,25 (x 100) = i 25% = i Resposta: O valor da taxa de aplicação foi de 25% a.a. 3.3. CÁLCULO DO PRAZO (n) Para se determinar o prazo (n), conhecendo-se o Capital Inicial (C), o Montante (M) e a taxa de juros (i), pode-se aplicar o logaritmo nos dois membros da equação Mn = C . (1 + i)n , ou seja: Log Mn = Log C . (1 + i)n Exemplo: Considerando o exemplo anterior, determine o prazo (em meses) da aplicação, do capital de R$ 4.000,00, que gerou um montante de R$ 5.590,17, a uma taxa de juros compostos de 25% a.a. Resolução: C = R$ 4.000,00 i = 25% a.a. M = R$ 5.590,17 n = ? Tem-se que: Mn = C . (1 + i)n Logo: 5.590,17 = 4.000,00 . (1 + 0,25)n 00,000.4 17,590.5 = (1 + 0,25)n 1,39754250 = (1,25)n Log 1,39754250 = Log (1,25)n 0,145365023 = n . Log 1,25 0,145365023 = 0,096910013 . n 096910013,0 145365023,0 = n 1,5 (anos) = n ou n = 18 meses Resposta: O tempo de aplicação será de 1,5 anos ou 18 meses.
  • 13. 12 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 4. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL Seja M o montante de um capital C aplicado na data zero, à taxa de juros compostos (i), após n períodos, isto é: Mn = C (1 + i)n . O valor atual corresponde ao valor do compromisso em uma data inferior ao seu vencimento, e o valor nominal (a vencer), corresponde ao valor do compromisso na data do seu vencimento. No regime de juros compostos tem-se: V → valor atual na data zero (C0) e N → valor nominal na data n (Mn) Então: N = V(1 + i)n (valor nominal) Logo: V = N (valor atual) (1 + i)n Exemplo1: Por quanto devo comprar, hoje, um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de R$ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.? Resolução: N = R$ 1.131,40 i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. n = 5 meses Temos que: V = N (valor atual) (1 + i)n V = 1.131,40 ⇒ 1.131,40 ⇒ V = R$ 999,99 (1 + 0,025)5 1,1314082 Resposta: Na data de hoje, o título vale R$ 999,99. Exemplo2: Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a 1 ano, com valor nominal de R$ 1.344,89. Foi-lhe proposta a troca daquele título por outro vencível daqui a 3 meses e no valor de R$ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é de 2,5% a.m. quer saber-se, se a troca é vantajosa. Resolução: N1 = R$ 1.344,89 n1 = 1 ano ou 12 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. N2 = R$ 1.080,00 n2 = 3 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 a.m. V1 = N ⇒ 1.344,89 ⇒ 1.344,89 ∴ V1 = R$ 1.000,00 (1 + i)n (1 + 0,025)12 1,3448888 V2 = N ⇒ 1.080,00 ⇒ 1.080,00 ∴ V2 = R$ 1.002,89 (1 + i)n (1 + 0,025)3 1,07689062 Resposta: A troca é vantajosa.
  • 14. 13 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 5. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. A fórmula que determina a taxa de juros compostos equivalente é: iq = q i+1 - 1 Exemplo1: Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros compostos, equivalente mensal. Resolução: iq = q i+1 - 1 Sendo que: q = 3 meses i = 9,2727% a.t. (taxa trimestral) Portanto: i3 = 3 092727,01+ - 1 i3 = 3 092727,1 - 1 i3 = 1,03 – 1 ∴ i3 = 0,03 a.m. ou i3 = 3% a.m. (taxa mensal) Resposta: A taxa mensal equivalente a 9,2727 a.t. é de 3% a.m. Por outro lado, para se obter o inverso, pode-se utilizar uma outra fórmula, do tipo: iq = (1 + i)q - 1 Exemplo2: Dada a taxa de juros de 3% ao mês, determinar a taxa de juros compostos, equivalente trimestral. Resolução: iq = (1 + i)q - 1 Sendo: q = 3 meses i = 3% a.m. (taxa mensal)
  • 15. 14 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Portanto: i3 = (1 + 0,03)3 – 1 i3 = (1,03)3 – 1 ∴ i3 = 0,092727 a.t. ou i3 = 9,2727% a.t. (taxa trimestral) Resposta: A taxa trimestral equivalente a 3% a.m. é de 9,2727 a.t. Exemplo3: Verificar se i e iq , são taxas equivalentes, considerando, C0 = R$ 1.000,00; iq = 2% a.m.; i = 26,824% a.a. e n = 1 ano. Resolução: O montante em 1 ano para a taxa i é: M1 = 1.000,00 . (1 + 0,26824)1 M1 = 1.000,00 . (1,26824)1 M1 = R$ 1.268,24 O montante em 1 ano ou 12 meses para a taxa iq é: M12 = 1.000,00 . (1 + 0,02)12 M12 = 1.000,00 . (1,02)12 M12 = 1.000,00 . (1,26824) → M12 = R$ 1.268,24 Resposta: Como M1 = M12, pode-se concluir que, a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 26,824% a.a. Exemplo4: Se um capital de R$ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, determinar a melhor aplicação. Resolução: O capital disponível à taxa de 10% a.a. por 3 anos é: C3 = 1.000,00 . (1 + 0,1)3 C3 = 1.000,00 . (1,1)3 C3 = 1.000,00 . (1,331) C3 = R$ 1.331,00 O capital disponível à taxa de 33,1% ao triênio por 1 triênio é: C1 = 1.000,00 . (1 + 0,331)1 C1 = 1.000,00 . (1,331)1 C1 = 1.000,00 . (1,331) C1 = R$ 1.331,00 Resposta: Como a taxa de 10% a.a. é equivalente à taxa de 33,1% ao triênio, é indiferente aplicar em qualquer uma das taxas.
  • 16. 15 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 sob as hipóteses a seguir: Taxa Prazo a) 5% a.s. 3 anos e meio b) 2,5 % a.m. 1 ano 2. Qual é o juro auferido de um capital de R$ 1.500,00 aplicado segundo as hipóteses abaixo: Taxa Prazo a) 8% a.t. 18 meses b) 1 % à semana 2 meses 3. Se eu quiser comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, quanto devo aplicar hoje para que daqui a 2 anos possua tal valor? Considere as seguintes taxas de aplicação: a) 2,5% a.m. b) 10% a.s. c) 20% a.a. 4. Qual a taxa de juros mensal recebida por um investidor que aplica R$ 1.000,00 e resgata os montantes, segundo as hipóteses abaixo: a) R$ 1.076,89 – 3 meses b) R$ 1.125,51 – 4 meses 5. Uma pessoa aplicou R$ 15.000,00 e após 1 ano recebeu R$ 8.728,87 de juros. Qual foi a taxa de juros mensal paga pela financeira, onde o dinheiro foi aplicado? 6. Qual a taxa de juros mensal paga por uma instituição onde o aplicador recebeu, após 2 anos, o montante de R$ 45.666,57, sendo R$ 25.666,57 referente a juros? 7. Um investidor aplicou R$ 25.000,00 em uma instituição que paga 3% a.m. Após certo período de tempo, ele recebeu R$ 35.644,02, estando neste valor incluídos os juros creditados e o capital investido. Quanto tempo ficou o dinheiro aplicado? 8. Um apartamento é vendido à vista, por R$ 220.000,00. Caso o comprador opte por pagar em uma única parcela após certo período de tempo, o vendedor exige R$ 61.618,59 de juros, pois quer ganhar 2,5% a.m. Qual é o prazo de financiamento na hipótese acima? 9. Calcular a taxa equivalente anual, dadas as seguintes taxas por período: a) 1% a.m. b) 2% a.t. c) 5% a.q. d) 10% a.s. 10. Calcular as taxas equivalentes a 20% a.a., conforme solicitado abaixo: a) taxa semestral b) taxa quadrimestral c) taxa trimestral d) taxa mensal
  • 17. 16 CAPITALIZAÇÃO E JUROS COMPOSTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 11. Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% a.a. Se o investidor souber de uma alternativa diferente, com a qual possa ganhar 9% a.t., qual será sua escolha? 12. A Casa Armando, vende uma mercadoria por R$ 2.000,00, podendo ser financiada em até 3 meses, ou seja, o comprador tem 3 meses como prazo-limite para efetuar o pagamento. Caso opte por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10%. Sabendo-se que a taxa de mercado (concorrentes) é de 40% a.a., vale a pena comprar a prazo, nesta loja? RESPOSTAS 1. a) R$ 14.071,00 b) R$ 13.448,89 2. a) R$ 880,31 b) R$ 124,28 3. a) R$ 33.172,52 b) R$ 40.980,81 c) R$ 41.666,67 4. a) 2,5% a.m. b) 3% a.m. 5. 3,9% a.m. 6. 3,5% a.m. 7. 12 meses 8. 10 meses 9. a) i ≅ 12,68% a.a. c) i ≅ 15,76% a.a. b) i ≅ 8,24% a.a. d) i ≅ 21% a.a. 10. a) i ≅ 9,54% a.s. c) i ≅ 4,66% a.t. b) i ≅ 6,26% a.q. d) i ≅ 1,53% a.m. 11. A segunda alternativa é a melhor (9% a.t.). 12. Não vale a pena comprar a prazo (52,42% a.a. é superior a taxa dos concorrentes, 40% a.a.).
  • 18. 17 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 1. INTRODUÇÃO A chamada operação de desconto em geral, é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (valor nominal ou de resgate) e se pretende determinar o seu valor atual. O desconto deve ser entendido como sendo a diferença entre o valor nominal e o seu valor atual na data da operação. Desse modo: D = N - V em que: D: representa o Valor monetário do Desconto N: representa o Valor futuro ou Valor nominal V: representa o Valor atual ou creditado Juros e Descontos são critérios diferentes. No cálculo de juros, a taxa incide sobre o capital inicial ou PV, enquanto que, no cálculo do DESCONTO, a taxa do período incide sobre o seu montante ou FV. De modo análogo aos juros, os DESCONTOS são também classificados em simples e composto, envolvendo cálculos lineares no caso do desconto simples e cálculos exponenciais, no caso do desconto composto. Destaca-se nesse estudo o DESCONTO COMERCIAL SIMPLES e COMPOSTO. 2. DESCONTO COMERCIAL SIMPLES Nesse caso a taxa de desconto i, incide sobre o valor nominal do título, descontado n períodos antes do vencimento. Logo, o desconto comercial simples pode ser calculado da seguinte forma: Dc = N . i . n Uma expressão para o valor descontado comercial (valor liberado), obtido com o desconto, pode ser escrita por: Vc = N - Dc Esta expressão, chamada de valor atual comercial, também pode ser escrita por: Vc = N . (1 – i . n)
  • 19. 18 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXEMPLOS: 1. Qual o valor do desconto simples (comercial) de um título de R$ 2.000,00 com vencimento para 90 dias, à taxa de 2,5% a.m.? Determine o valor atual do título. Solução: N = R$ 2.000,00 n = 90 dias ou 3 meses i = 2,5% a.m. ou 0,25 Dc = ? Vc = ? a) Como, Dc = N . i . n Então: Dc = 2.000 x 0,25 x 3 = R$ 150,00 ∴ Dc = R$ 150,00 b) Vc = N - Dc Vc = 2.000,00 – 150 = R$ 1.850,00 ∴ Vc = R$ 1.850,00 2. O desconto comercial de um título foi de R$ 750,00, adotando-se uma taxa de juros de 30% a.a., quantos dias faltariam para o vencimento do título, se seu valor nominal fosse de R$ 20.000,00? Solução: Dc = R$ 750,00 i = 30% a.a. ou 0,30 N = R$ 20.000,00 n = ? Dc = N . i . n 750 = 20.000 x 0,3 x n anosn 125,0 3,0000.20 750 = × = Em termos de dias: 1 ano - - - - - - - - - - 360 dias 0,125 ano - - - - - - - - - - X dias Logo: X = 0,125 x 360 = 45 dias ∴ X = 45 dias
  • 20. 19 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 2.1. TAXA EFETIVA LINEAR A taxa efetiva de desconto é aquela que é realmente cobrada na operação de desconto. No desconto comercial, a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de produzir o valor nominal a partir do valor liberado. Portanto, é necessário distinguir entre taxa de desconto fornecida pelo banco (taxa contratada) e taxa de desconto efetiva da operação. EXEMPLOS: 1. Uma pessoa pretende saldar (descontar) um título no valor de R$ 5.500,00, 3 meses antes do seu vencimento. Sabendo-se que o Banco está cobrando nessa operação, uma taxa de desconto comercial de 40% a.a., qual seria o valor atual a ser pago? Determine o valor da taxa de desconto, efetiva da operação. Solução: N = R$ 5.500,00 n = 3 meses ou 0,25 ano i = 40% a.a. ou 0,40 Vc = ? a) Como: Dc = N . i . n Então: Dc = 5.500 x 0,40 x 0,25 = R$ 550,00 ∴ Dc = R$ 550,00 Vc = N - Dc Vc = 5.500,00 – 550 = R$ 4.950,00 ∴ Vc = R$ 4.950,00 Nota: Observe que, se o valor atual a ser pago (R$ 4.950,00) fosse aplicado à taxa de 40% a.a., durante o prazo da operação (3 meses ou 0,25 ano); ter-se-ia o seguinte montante: M = C . (1 + i . n) M = 4.950 (1 + 0,40 x 0,25) = R$ 5.445,00 (menor que o valor nominal do título). Logo, no desconto comercial a taxa de desconto fornecida pelo banco não é capaz de produzir o valor nominal. b) A taxa cobrada de fato na operação pode ser calculada, considerando que em três meses, o banco ganha R$ 550,00 sobre um valor de R$ 4.950,00. aaouta V D i c c f .%44,44..1111,0 4950 550 === Nota: Observe que, se o valor atual a ser pago (R$ 4.950,00) fosse aplicado à taxa de 44,44% a.a., ou 11,11% a.t., durante o prazo da operação (3 meses ou 1 trimestre); ter-se-ia o seguinte montante: M = C . (1 + i . n) M = 4.950 (1 + 0,1111 x 1) = R$ 5.500,00 (igual ao valor nominal do título). ∴ if = 44,44% a.a. ou 11,11% a.t.
  • 21. 20 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 2. Determine o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros de 28,8% a.a. e o prazo de antecipação do resgate, como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está sendo cobrada? Solução: N = R$ 7.500,00 n = 50 dias ou ano 360 50 i = 28,8% a.a. ou 0,288 Dc = ? Vc = ? if = ? a) Como: Dc = N . i . n Então: 00,300$ 360 50 288,0500.7 RDc =××= ∴ Dc = R$ 300,00 Vc = N - Dc Vc = 7.500,00 – 300 = R$ 7.200,00 ∴ Vc = R$ 7.200,00 b) A taxa cobrada de fato na operação pode ser calculada, considerando que em 50 dias, o banco ganha R$ 300,00 sobre um valor de R$ 7.200,00. aaou V D i c c f .%30 50 360 041667,0 7200 300 ×=== NOTA: M = C . (1 + i . n) M = 7.200 (1 + 0,30 x 360 50 ) = R$ 7.500,00 (igual ao valor nominal do título). ∴ if = 30% a.a. 3. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido em função de cálculos exponenciais e praticamente não é utilizado em nenhum país do mundo. No caso do desconto comercial simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes quantas forem os períodos unitários. Assim: Dc = N . i . n
  • 22. 21 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Como Vc = N - Dc , deduz-se que: Vc = N - (N . i . n) Logo: Vc = N . (1 – i . n) Já, no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, da seguinte forma: V1 = N . (1 – i ) V2 = N . (1 – i ) (1 – i ) = N . (1 – i )2 V3 = N . (1 – i ) (1 – i ) (1 – i ) = N . (1 – i )3 M M Vn = N . (1 – i )n-1 (1 – i )n = N . (1 – i )n Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários, calculado com base no desconto composto, é dado pela expressão: Vn = N . (1 – i )n O desconto comercial composto é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido correspondente. Dc = N - Vn EXEMPLOS: 1. Uma duplicata no valor de R$ 28.800,00 com 120 dias para o seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% a.m., de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. Solução: N = R$ 28.800,00 n = 120 dias ou 4 meses i = 2,5% a.m. ou 0,025 Vc = ? Dc = ? Como: Vn = N . (1 – i )n Então: V4 = 28.800 ( 1 – 0,025)4 = 26.026,21 ∴ V4 = R$ 26.026,21 Dc = 28.800 – 26.026,21 = 2.773,79 ∴ Dc = R$ 2.773,79
  • 23. 22 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 2. Um título com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% a.m., produzindo um desconto composto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título. Solução: Dc = R$ 1.379,77 i = 3% a.m. ou 0,03 n = 90 dias ou 3 meses N = ? Como: Dc = N - Vn e Vn = N . (1 – i )n Então: Dc = N - N . (1 – i )n ou Dc = N [ 1 - (1 – i )n ] ( )[ ]3 03,01177,379.1 −−= N 087327,077,379.1 ×= N N= 087327,0 77,379.1 800.15=N ∴ N = R$ 15.800,00
  • 24. 23 DESCONTO COMERCIAL – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine o valor nominal de um título, cujo desconto comercial simples foi de R$ 750,00; 45 dias antes do seu vencimento. Considere a taxa de juros adotada nessa transação de 30% a.a. Resposta: R$ 20.000,00 2. Se o valor descontado comercial simples de uma Nota Promissória for de R$ 14.195,00 e o prazo de antecipação for de 270 dias, qual será o valor da nota no vencimento, considerando-se uma taxa de 22% a.a.? Resposta: R$ 17.000,00 3. Uma duplicata de R$ 70.000,00 com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa comercial simples de 2,70% a.m. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. Determine a taxa efetiva da operação. Resposta: R$ 64.330,00; 2,94% a.m. 4. Calcular o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é de 3% a.m. Ainda, qual é a taxa cobrada de fato? Resposta: R$ 11.500,00; 3,39% a.m. 5. Determinar o valor nominal de um título, com 144 dias para seu vencimento, que descontado à taxa comercial simples de 48% a.a. proporcionou um valor atual de R$ 38.784,00. Resposta: R$ 48.000,00 6. Um capitalista investe R$ 50.000,00 em letras de câmbio, com vencimento para 180 dias e renda fixada em 5% a.m. de juros simples. a) Determine o valor nominal do título. b) Se o título for descontado 150 dias antes do seu vencimento, quanto o investidor receberá por ele, se o desconto for comercial simples, à taxa de 5% a. m.? c) E se o desconto for comercial composto, considerando o mesmo prazo (150 dias) e a mesma taxa? Respostas: a) R$ 65.000,00 b) R$ 48.750,00 c) R$ 50.295,76 (valor maior, por estar no regime de juros compostos) 7. Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 4 meses a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto composto é de 3,25% a.m. Resposta: R$ 78.858,12 8. Calcular o valor do desconto comercial composto concedido num Certificado de Depósito Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8 a.m. Resposta: R$ 21.944,57 9. Uma Nota Promissória no valor nominal de R$ 16.800,00 foi descontada no regime composto por R$ 15.000,00. Uma vez que a taxa considerada fora de 33% a.a. determine o prazo, em dias, de antecipação do resgate. Resposta: 102 dias
  • 25. 24 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 1. CONCEITUAÇÃO Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma única vez, ou através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos. São exemplos de rendas ou anuidades: - quando o objetivo é saldar uma dívida (amortização) - quando o pagamento se faz pelo uso, sem amortização (aluguel) As rendas podem ser: a) Rendas certas: aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros (taxa de juros, prazo de duração, valor dos termos, etc.) são fixos e imutáveis. Este tipo de renda é estudado pela Matemática Financeira. b) Rendas aleatórias: os valores dos pagamentos ou recebimentos e os prazos não são pré-determinados, podem ser variáveis. Ex: seguros de vida (os valores das mensalidades são certos, sendo aleatório o valor do seguro a receber e a data de recebimento). Este tipo de renda é estudado pela Matemática Atuarial. OBS: Neste tópico, serão abordadas somente as rendas certas ou anuidades, no regime de juros compostos. 2. DEFINIÇÕES Consideremos a seqüência de capitais referidos às respectivas datas: R1 → n1 R2 → n2 R3 → n3 . . . . . . Rm → nm Este quadro com os capitais R1, R2, R3 ... Rm referidos às respectivas datas n1, n2, n3, ... nm e a uma taxa de juros i, caracteriza uma anuidade ou renda certa. Ainda: - os valores das prestações (R1 , R2 ... Rm) são os termos da renda. - o intervalo de tempo entre dois termos chama-se período. - a soma dos períodos define a duração da renda.
  • 26. 25 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 3. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES 2.1 Quanto ao prazo a) Temporárias: quando a duração for limitada. b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada. 2.2 Quanto ao valor dos termos a) Constante: se todos os termos são iguais. b) Variável: se os termos não são iguais entre si. 2.3 Quanto à forma de pagamento ou de recebimento a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do 1° período. 1) Postecipadas: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos. 2) Antecipadas: quando os termos são exigíveis no início dos períodos. b) Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o 1° período. 1) Postecipadas: quando os termos são exigíveis no fim dos períodos. 2) Antecipadas: quando os termos são exigíveis no início dos períodos. 2.4 Quanto à periodicidade a) Periódicas: quando todos os períodos são iguais. b) Não-periódicas: quando todos os períodos não são iguais entre si. 4. MODELO BÁSICO DE ANUIDADE Entende-se por modelo básico de anuidade as anuidades que são simultaneamente: - temporárias; - constantes; - imediatas e postecipadas; - periódicas. Ainda, que a taxa de juros “i” seja referida ao mesmo período. Exemplo: Carlos compra um carro, em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Qual será o preço do carro à vista? Resolução: O preço do carro à vista, corresponde à soma dos valores atuais das prestações, na data focal zero, à taxa de 2% a.m. P = R + R + R + R ⇒ (1,02)1 (1,02)2 (1,02)3 (1,02)4 P = R ( )⎢ ⎣ ⎡ 02,1 1 + ( )2 02,1 1 + ( )3 02,1 1 + ( )4 02,1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⇒
  • 27. 26 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo P = R [0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845] ⇒ P = R [3,807728] Como R = R$ 2.626,24, tem-se: P = R$ 2.6926,24 x 3,807728 P ≅ R$ 10.000,00 Neste caso, o valor 3,807728 é uma constante numérica, que depende do número de períodos e da taxa de juros adotada. 4.1 VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO Seja um principal (valor atual) P a ser pago em termos iguais a R, imediatos, postecipados e periódicos. Seja também a taxa de juros i, referida ao mesmo período dos termos. A soma do valor atual dos termos na data focal zero é: P = R + R + R + ... + R . (1+ i) (1+ i)2 (1+ i)3 (1+ i)n Colocando-se R em evidência, tem-se: P = R ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + + + + n iiii 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 32 Colocando-se a soma entre colchetes como sendo an⎤ i : an⎤ i = ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + + + + n iiii 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 32 Obtemos, portanto: P = R . an⎤ i (lê-se: preço a vista, é igual a prestação vezes “a, n cantoneira i”) O valor de an⎤ i é obtido através da soma dos termos de uma progressão geométrica, de razão i+1 1 ; donde surge a fórmula: an⎤ i = n n ii i )1( 1)1( +× −+
  • 28. 27 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Exemplo1: Carlos compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Qual será o preço do carro à vista? Resolução: P = R . an⎤ i an⎤ i = (1 + i)n - 1 i = 2% a.m. (0,02 a.m.) i (1 + i)n n = 4 m. R = 2.626,24 P =? a4⎤ 2 = (1 + 0,02)4 - 1 ⇒ (1,02)4 - 1 ≅ 3,807729 0,02 (1 + 0,02)4 0,02 (1,02)4 P = R . an⎤ i P = R$ 2.626,24 x 3,807729 ≅ R$ 10.000,00 ∴ P = R$ 10.000,00 Exemplo2: Um televisor em cores custa R$ 5.000,00 à vista, mas pode ser financiado sem entrada em 10 prestações mensais à taxa de 3% a.m. Calcular a prestação a ser paga pelo comprador. Resolução: R = P n = 10 m. an⎤ i P = 5.000,00 i = 3% a.m. (0,03 a.m.) a10⎤ 3 = (1 + 0,03)10 - 1 ⇒ (1,03)10 - 1 ≅ 8,530203 0,03 (1 + 0,03)10 0,03 (1,03)10 R = P ⇒ R = 5.000,00 = R$ 586,15 an⎤ i 8,530203 ∴ R = R$ 586,15 Exemplo3: Uma aparelhagem de som estereofônico está anunciada nas seguintes condições: R$ 1.500,00 de entrada e 3 prestações mensais iguais de R$ 1.225,48. Sabendo-se que o juro cobrado nas lojas de som é de 2,5% a.m., calcular o preço à vista. Resolução: P = E + R . an⎤ i E = 1.500,00 i = 2,5% a.m. (0,025 a.m.) R = 1.225,48 n = 3 meses P = ? a3⎤ 2,5 = ?
  • 29. 28 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo a3⎤ 2,5 = (1 + 0,025)3 - 1 ⇒ (1,025)3 - 1 ≅ 2,856024 0,025 (1 + 0,025)3 0,025 (1,025)3 Logo: P = E + R . an⎤ i P = R$ 1.500,00 + R$ 1.225,48 x 2,856024 P = R$ 1.500,00 + R$ 3.500,00 ∴ P = R$ 5.000,00 5. ANUIDADES PERPÉTUAS São aquelas de duração ilimitada, ou seja, o prazo é infinito (n = ∞). Sendo P um principal a ser pago em infinitos termos iguais a R, isto é, constantes, postecipados, imediatos e periódicos, a uma taxa de juros i, referida a um mesmo período dos termos, tem-se: P = R . a∝⎤ i P = R . 1 i P = R i Ou seja, o Principal (Capital inicial) é obtido dividindo-se o valor do termo (valor da prestação) pela taxa de juros correspondente. Nota Importante: Para se fazer uma avaliação rápida de imóveis, pode-se utilizar a fórmula acima, desde que o imóvel tenha um horizonte de aproveitamento infinito e que renda um aluguel constante. Este aluguel seria o pagamento pela utilização de um capital (valor do imóvel), pagando- se os juros, mas sem devolução do capital, visto que, o imóvel nunca pertencerá ao locatário. Exemplo1: Levi possui um apartamento alugado por R$ 500,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado financeiro é de 1% a.m., qual seria uma primeira estimativa do valor do imóvel? Resolução: Admitindo-se a hipótese de duração ilimitada do apartamento e de ser o aluguel constante, tem-se: P = R i P = 500,00 0,01 P = R$ 50.000,00 ∴ Numa primeira aproximação, o imóvel seria avaliado em R$ 50.000,00.
  • 30. 29 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Exemplo2: O proprietário de um imóvel deseja alugá-lo por R$ 15.000,00 mensais exigindo, contudo, que o aluguel seja pago com um mês de antecedência. Sabendo-se que a taxa de juros vigente é de 2,5% a.m., qual o valor aproximado deste imóvel? Resolução: Admitindo-se a hipótese de duração ilimitada do apartamento, de ser o aluguel constante, e da exigência do pagamento de um mês de antecedência, tem-se: P = E + R i P = 15.000,00 + 15.000,00 0,025 P = R$ 615.000,00 ∴ O imóvel seria avaliado aproximadamente, em R$ 615.000,00.
  • 31. 30 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, que deve ser paga em 24 meses a uma taxa de juros de 1% a.m.? 2. Determine o preço à vista de uma mercadoria, que foi comprada em 36 meses de R$ 300,00 cada, a uma taxa de 3% a.m. 3. Uma revendedora de veículo oferece, em lançamento, um carro nas seguintes condições: R$ 20.000,00 de entrada, mais 36 prestações mensais de R$ 1.000,00. Qual é o preço a vista do carro, uma vez que a taxa de mercado é de 3% a.m.? 4. Uma loja vende um tapete em 12 prestações mensais de R$ 97,49 ou em 24 prestações mensais de R$ 61,50. Nos dois casos, o cliente não dará entrada alguma. Sabendo-se que a taxa de juros do crédito pessoal é de 2,5% a.m., pergunta-se: Qual é o melhor sistema para o comprador? 5. Um carro está à venda por R$ 10.000,00 de entrada mais 24 prestações mensais de R$ 2.236,51. Como opção, a agência vende em 36 prestações mensais de R$ 1.613,16, sendo neste caso exigida uma entrada de R$ 12.000,00. Qual é a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de mercado for de 3% a.m.? 6. Uma loja vende a geladeira X por R$ 2.000,00 à vista ou financiada em 18 meses, a juros de 3,5% a.m. Qual será a prestação mensal, se não for dada entrada alguma e a primeira prestação vencer após 1 mês? 7. Numa agência de automóveis o preço de um carro à vista é de R$ 50.000,00. Qual é o valor da prestação mensal, se o carro for financiado em 24 meses, sem entrada, e a taxa de juros contratada for de 3% a.m.? 8. A loja de confecções Roupa Certa Ltda, vende um terno por R$ 3.000,00. No crediário é exigida uma entrada de 40% do valor da mercadoria e são cobrados juros de 5 % a.m. Qual será o valor das prestações, se um cliente optar por 6 prestações mensais? 9. Rony é gerente de uma imobiliária especializada na venda de apartamentos usados. Coloca à venda uma “kitchenette” por R$ 120.000,00 a vista ou em 5 anos a prazo, com uma entrada de R$ 30.000,00. Qual é o valor da prestação mensal, se a taxa considerada for de 1% a.m.? 10. Marlene vendeu seu sítio na seguinte situação: entrada de R$ 50.000,00 mais 24 prestações trimestrais de R$ 3.500,00. Qual é o preço a vista do sítio, se nesta operação for utilizada uma taxa de 2% a.t.? 11. Um apartamento é alugado por R$ 5.000,00 por mês. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 2% a.m., qual é o valor aproximado deste imóvel?
  • 32. 31 RENDAS CERTAS OU ANUIDADES – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 12. Um imóvel é avaliado em R$ 1.000.000,00. Seu proprietário está disposto a alugá-lo por R$ 15.000,00 mensais, contudo, exige um mês de aluguel antecipadamente. Que taxa de juros ao mês, está cobrando? 13. Uma chácara foi avaliada em R$ 350.000,00, a uma taxa corrente de mercado de 2,54% a.m. Qual seria o valor do aluguel mensal, se o proprietário exigisse dois meses de antecedência? RESPOSTAS 1. R$ 21.243,39 2. R$ 6.549,68 3. R$ 41.832,25 4. O melhor sistema é a 1ª alternativa 5. A 2ª alternativa 6. R$ 151,63 7. R$ 2.952,37 8. R$ 354,63 9. R$ 2.002,00 10. R$ 116.198,74 11. R$ 250.000,00 12. 1,52% a.m. 13. R$ 8.460,22
  • 33. 32 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 1. CONCEITUAÇÃO Em termos financeiros a dívida surge quando uma dada importância é emprestada por um determinado prazo. Quem assume a dívida obriga-se a restituir o principal mais os juros devidos, no prazo estipulado. Segundo as práticas habituais os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e de longo prazo. Os empréstimos de curto ou de médio prazo caracterizam-se, em geral, por serem saldados em até 3 anos (anuidades). Os empréstimos de longo prazo sofrem um tratamento especial, pois existem várias modalidades de tratamento de restituição do principal e juros. As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização. Nos sistemas de amortização a serem estudados, os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor (regime de juros compostos). 2. DEFINIÇÕES Alguns termos, de uso corrente, devem ser explicitados para maior clareza posterior: - Mutuante ou credor: aquele que dá o empréstimo. - Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo. - Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as partes. - Prazo de utilização: corresponde ao intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor para o devedor. - Prazo de carência: corresponde ao período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. - Parcelas de amortização: corresponde às parcelas de devolução do principal, ou seja, do capital emprestado. - Prazo de amortização: é o intervalo de tempo, durante o qual são pagas as amortizações. - Prestação: é a soma da amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em um dado período. - Planilha: é um quadro, padronizado ou não, colocados os valores referentes ao empréstimo. - Prazo total do financiamento: é a soma do prazo de carência com o prazo de amortização. - Saldo devedor: é o estado da dívida, ou débito, em um determinado instante de tempo. - Período de amortização: é o intervalo de tempo existente entre duas amortizações. 3. CLASSIFICAÇÃO DAS MODALIDADES DE AMORTIZAÇÃO Os principais sistemas de amortização são os seguintes: a) Sistema de amortização constante (SAC) As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada (forma unitária), pelo saldo devedor existente no período anterior.
  • 34. 33 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo b) Sistema francês (SF) As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. A dívida fica completamente saldada na última prestação. Este sistema, acrescida certa peculiaridade de cálculo, é também conhecido como Sistema Price. c) Sistema misto (SAM) Criado em 1979, pelo BNH, e pelo próprio nome, constitui-se num misto entre o Sistema Francês (Tabela Price) e o Sistema de Amortização Constante. d) Sistema americano Após, certo prazo o devedor paga, em única parcela, o capital emprestado. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante a carência. 3.1. Sistema de amortização constante (SAC) Por esse sistema o credor exige a devolução do principal em n parcelas iguais, incidindo os juros sobre o saldo devedor. Como n amortizações iguais devem saldar a dívida PV, então, para calcular cada uma, basta dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas: n PV A = Em seguida, são calculados os juros (J1, J2, J3,..., Jn) para cada período e só então, calcula-se o valor de cada prestação (P1, P2, P3,..., Pn), que representa a soma dos juros com a amortização correspondente ao período. Exemplo1: Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00, que o banco entrega no ato. Sabendo-se que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. pelo prazo de 4 anos, através do SAC, construir a planilha: Resolução: A amortização anual é: 000.25 4 000.100 === n PV A 000.75000.25000.100 000.35000.10000.25 000.1010,0.000.100. 1 11 1 =−=−= =+=+= === APVSD JAP iPVJ 000.50000.25000.75 500.32500.7000.25 500.710,0.000.75. 12 22 12 =−=−= =+=+= === ASDSD JAP iSDJ
  • 35. 34 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 000.25000.25000.50 000.30000.5000.25 000.510,0.000.50. 23 33 23 =−=−= =+=+= === ASDSD JAP iSDJ 0000.25000.25 500.27500.2000.25 500.210,0.000.25. 34 44 34 =−=−= =+=+= === ASDSD JAP iSDJ Admita que o principal fora emprestado no início do primeiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim de cada ano. Tem-se: (R$) Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 1 2 3 4 Total - 35.000,00 32.500,00 30.000,00 27.500,00 125.000,00 - 10.000,00 7.500,00 5.000,00 2.500,00 25.000,00 - 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 100.000,00 100.000,00 75.000,00 50.000,00 25.000,00 0,00 - Observa-se que no SAC os pagamentos das prestações são decrescentes, uma vez que, são a soma de amortizações iguais com juros cada vez menores. Exemplo2: Considerando-se o mesmo empréstimo de R$ 100.000,00, que o banco entrega no ato. Sabendo-se que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% a.a. e que o principal será amortizado (SAC) em 4 parcelas anuais, construir a planilha: Resolução: A amortização anual é: 000.25 4 000.100 === n PV A Do mesmo modo, que o exemplo anterior, admita que o principal fora emprestado no início do primeiro ano e que as prestações e os juros sejam pagos no fim de cada ano. Tem-se: (R$) Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 6 Total - 10.000,00 10.000,00 35.000,00 32.500,00 30.000,00 27.500,00 145.000,00 - 10.000,00 10.000,00 10.000,00 7.500,00 5.000,00 2.500,00 45.000,00 - - - 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 75.000,00 50.000,00 25.000,00 0 -
  • 36. 35 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 3.2. Sistema francês de amortização (SF) Por esse sistema, o mutuário obriga-se a devolver o principal mais os juros em prestações iguais entre si e periódicas; incluindo em cada, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor. Neste caso, tem-se que resolver dois problemas para a construção da planilha: como calcular a prestação e como separar a amortização dos juros. Admita-se que a taxa de juros seja referida ao período de amortização. As prestações iguais são calculadas como se fossem os termos de uma anuidade, de acordo com o modelo básico: P = R . an⎤ i ou R = P an⎤ i Em seguida, são calculados os juros (J1, J2, J3,..., Jn) para cada período, que incide sobre o saldo devedor do período anterior, e só então, calcula-se o valor de cada amortização (A1, A2, A3,..., An), que representa a diferença entre a prestação e o juro correspondente ao período. Por sua vez, o saldo devedor do período (SD1, SD2, SD3,..., SDn) será calculado como sendo a diferença entre o saldo devedor do período anterior e a amortização no período. Exemplo3: Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato sem prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o SF, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha: Resolução: Se o principal PV vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, tem-se uma anuidade que se conforma ao modelo básico: P = R . an⎤ i ou seja: 100.000,00 = R . a5⎤ 10 100.000,00 = R . 3,790787 790787,3 00,000.100 = R ou R ≅ R$ 26.379,75 (prestação anual) 25,620.8375,379.16000.100 75,379.16000.1075,379.26 000.1010,0.000.100. 101 11 1 =−=−= =−=−= === ASDSD JRA iPVJ 53,602.6572,017.1825,620.83 72,017.1803,362.875,379.26 03,362.810,0.25,620.83. 212 22 12 =−=−= =−=−= === ASDSD JRA iSDJ
  • 37. 36 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 03,783.4550,819.1953,602.65 50,819.1925,560.675,379.26 25,560.610,0.53,602.65. 323 33 23 =−=−= =−=−= === ASDSD JRA iSDJ 58,981.2345,801.2103,783.45 45,801.2130,578.475,379.26 30,578.410,0.03,783.45. 434 44 34 =−=−= =−=−= === ASDSD JRA iSDJ 00,058,981.2358,981.23 58,981.2316,398.275,379.26 16,398.210,0.58,981.23. 545 55 45 =−=−= =−=−= === ASDSD JRA iSDJ Tem-se então, a planilha: (R$) Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 Total - 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 131.898,74 - 10.000,00 8.362,03 6.560,25 4.578,30 2.398,16 31.898,74 - 16.379,75 18.017,72 19.819,50 21.801,45 23.981,58 100.000,00 100.000,00 83.620,25 65.602,53 45.783,03 23.981,58 0,00 - Nota: Fez-se um pequeno acerto na última prestação para zerar o SD. Exemplo4: Um banco empresta R$ 100.000,00, entregues no ato, com 3 anos de carência. Sabendo que o banco utiliza o SF, que a taxa contratada foi de 10% a.a. e que o banco quer a devolução em 5 prestações, construir a planilha, no caso do mutuário pagar os juros devidos durante a carência. Resolução: O procedimento para o período de carência é o mesmo já visto para o SAC, ou seja, os juros são calculados sobre o saldo devedor. O cálculo das prestações e a separação entre amortizações e juros se processa como no exemplo anterior. Se o principal PV vai ser devolvido em 5 prestações iguais e postecipadas, tem-se uma anuidade que se conforma ao modelo básico: P = R . an⎤ i ou seja: 100.000,00 = R . a5⎤ 10 100.000,00 = R . 3,790787 R ≅ R$ 26.379,75 (prestação anual)
  • 38. 37 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Tem-se a planilha: (R$) Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 6 7 Total - 10.000,00 10.000,00 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 26.379,75 151.898,74 - 10.000,00 10.000,00 10.000,00 8.362,03 6.560,25 4.578,30 2.398,16 51.898,74 - - - 16.379,75 18.017,72 19.819,50 21.801,45 23.981,58 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 83.620,25 65.602,53 45.783,03 23.981,58 0,00 - Nota: Fez-se um pequeno acerto na última prestação para zerar o SD. 3.2.1. Sistema Price Este sistema também é conhecido como “tabela price” e é um caso particular do sistema francês, com as seguintes características: a) A taxa de juros contratada é dada em termos nominais. Na prática esta taxa é dada em termos anuais. b) As prestações têm período menor que aquele a que se refere à taxa. Em geral, as amortizações são feitas em base mensal. c) No cálculo, é utilizada a taxa proporcional ao período a que se refere a prestação, calculada a partir da taxa nominal. Exemplo5: Um banco emprestou R$ 100.000,00 entregues no ato, sem prazo de carência. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 12% a.a., tabela Price, e que a devolução deve ser feita em 8 meses, construir a planilha. Resolução: Se o sistema adotado é “tabela Price” e sendo de 12% a.a. a taxa, tem-se que,a taxa proporcional mensal é: i12 = 01,0 12 12,0 = a.m. ou i12 = 1% a.m. Como são 8 prestações iguais e postecipadas, calcula-se a8⎤1 e aplica-se a fórmula: P = R . an⎤ i a8⎤1 ≅ 7,651678 e R = 651678,7 000.100 ≅ R$ 13.069,03 (prestações mensais)
  • 39. 38 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Tem-se a planilha: (R$) Ano Prestação Juros Amortização Saldo Devedor 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Total - 13.069,03 13.069,03 13.069,03 13.069,03 13.069,03 13.069,03 13.069,03 13.069,03 104.552,24 - 1.000,00 879,31 757,41 634,30 509,95 384,36 257,51 129,40 4.552,24 - 12.069,03 12.189,72 12.311,62 12.434,73 12.559,08 12.684,67 12.811,52 12.939,63 100.000,00 100.000,00 87.930,97 75.741,25 63.429,63 50.994,90 38.435,82 25.751,15 12.939,63 0,00 -
  • 40. 39 EMPRÉSTIMOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Elabore um plano de pagamento com base no SAC, correspondente a um empréstimo de R$ 300.000,00, à taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 10 prestações mensais. 2. Um empréstimo de R$ 120.000,00 é feito pelo SAC, à taxa de 2% a.m., devendo ser devolvido em 8 prestações mensais. Sabendo que houve um prazo de carência de 3 meses, elabore uma planilha de pagamento. 3. Construa uma planilha referente a um empréstimo pelo SF de R$ 85.000,00, à taxa de 1,5% a.m., para ser liquidado em 10 prestações mensais. 4. Um financiamento de R$ 400.000,00 é feito à taxa de 18% a.a. (Tabela Price) para liquidação em 6 meses. Elabore o plano de pagamento. 5. Um empréstimo feito pelo sistema Price, de R$ 20.000,00 é concedido para ser pago em 20 prestações trimestrais. Sabendo que a taxa de juros é de 40% a.a., calcule o saldo devedor após o pagamento da décima prestação. 6. Um apartamento é comprado por R$ 150.000,00, sendo R$ 30.000,00 de entrada e o restante a ser pago pelo SF, em 12 prestações mensais, à taxa de 2% a.m., com 4 meses de carência. Construa a planilha para pagamento dos juros devidos.
  • 41. 40 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 1. INTRODUÇÃO A análise de investimento envolve decisões de aplicação de recursos, a longo prazo (maiores que um ano), a fim de propiciar expectativas na viabilidade de investimentos. Existem diversas técnicas, métodos e critérios decisórios utilizados, em geral, que asseguram uma tomada de decisão em investimentos de projetos financeiros. Propõem-se neste estudo, dois métodos mais usuais na análise econômico-financeira: Valor Presente Líquido (VPL) e Taxa Interna de Retorno (TIR). 2. MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS 2.1. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) ou Net Present Value (NPV), uma das técnicas consideradas sofisticadas em análise de projetos, leva em conta o valor do dinheiro no tempo atual. Retorna o valor líquido atual de um investimento, baseado em uma taxa de desconto e em uma série de pagamentos futuros e de recebimentos. Portanto, todas as entradas e saídas de caixa são tratadas no tempo presente. É obtido, calculando-se o valor presente de uma série de fluxos de caixa (pagamento ou recebimento), iguais ou diferentes, baseado em uma taxa de custo de oportunidade conhecida ou estimada, e subtraindo-se o investimento inicial. Escreve-se: VPL = ∑= − + n j j j FC i FC 1 0 )1( ou VPL = 04 4 3 3 2 2 1 1 )1( ... )1()1()1()1( FC i FC i FC i FC i FC i FC n n −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + + + + + + Em que, FCj representa os valores dos Fluxos de Caixa de ordem “j”, com j = 1, 2, 3,..., n; FC0 representa o valor do Fluxo Inicial e “i ”a taxa de juros da operação financeira. 2.1.1. CRITÉRIOS DE DECISÃO Quando usamos o VPL para tomar decisões de aceitação-rejeição, os critérios são os seguintes: • Se o VPL for maior ou igual a $0, aceitar o projeto. • Se o VPL for menor que $0, rejeitar o projeto. Em termos de análise serão consideradas interessantes as alternativas de ação, cujo VPL seja positivo, sendo tanto mais interessante quanto maior for o VPL, porque esse valor positivo representará a quantidade de dinheiro que teremos ganhado, em dinheiro de hoje, além da expectativa.
  • 42. 41 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Por outro lado, um resultado de VPL negativo para um Fluxo de Caixa que tenha receitas e despesas envolvidas significará que aquele negócio possui uma remuneração aquém da expectativa, ou ainda, que aquele negócio paga aquela quantidade de dinheiro, em dinheiro de hoje, a menos do que gostaríamos. Finalmente, um resultado do VPL nulo para a somatória dos valores na data zero, demonstrará que aquele investimento paga exatamente a Taxa Mínima de Atratividade (TMA), portanto, também poderá ser considerado um investimento interessante. 2.1.2. EXEMPLOS Exemplo1: Uma empresa transportadora está analisando a conveniência da compra de um caminhão, no valor de R$ 103 milhões. Segundo os técnicos dessa empresa, a utilização desse veículo nos próximos cinco anos deverá gerar receitas líquidas estimadas em R$ 30, R$ 35, R$ 32, R$ 28 e R$ 20 milhões; respectivamente. Sabendo-se que no final do 5º ano se espera vender esse caminhão por R$ 17 milhões, verificar qual a decisão da empresa para taxas de retorno fixadas em 15% e 18% ao ano. Fluxo de Caixa, esquematicamente. Observação: Fluxo de Caixa no 5º ano é representado pelo preço de venda do caminhão mais receita do ano, ou seja: R$ 17 + R$ 20 = R$ 37 milhões. a) Solução para taxa de retorno de 15% a.a. VPL = ∑= − + n j j j FC i FC 1 0 )1( VPL = 00,103 )15,01( 37 )15,01( 28 )15,01( 32 )15,01( 35 )15,01( 30 54321 − + + + + + + + + + VPL = 26,09 + 26,47 + 21,04 + 16,01 + 18,40 – 103,00 VPL = 108,01 – 103,00 VPL = R$ 5,01 (milhões) ∴ Como o VPL é superior a zero (R$ 5,01 milhões), significa que se todas as entradas forem trazidas para a data focal zero, elas cobrem o investimento inicial de R$ 103 milhões e ainda, geram um adicional de R$ 5,01 milhões, tornando assim, o projeto viável.
  • 43. 42 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo b) Solução para taxa de retorno de 18% a.a. VPL = ∑= − + n j j j FC i FC 1 0 )1( VPL = 00,103 )18,01( 37 )18,01( 28 )18,01( 32 )18,01( 35 )18,01( 30 54321 − + + + + + + + + + VPL = 25,42 + 25,14 + 19,48 + 14,44 + 16,17 – 103,00 VPL = 100,65 – 103,00 VPL = R$ – 2,35 (milhões) ∴ Como nesta hipótese o VPL é negativo (– R$ 2,35 milhões), significa que se todas as entradas forem trazidas para a data focal zero, elas NÃO cobrem o investimento inicial de R$ 103 milhões e ainda, geram um prejuízo de R$ 2,35 milhões, tornando assim, o projeto inviável. Exemplo2: Um televisor LCD 50 polegadas, é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de R$ 325,00 e mais três prestações semestrais (prestação-reforço) de R$ 775,00; R$ 875,00 e R$ 975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela Financeira foi de 8,7% a.m. Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa Observação: Os valores dos fluxos do 6º, 12º e 18º meses são iguais, ao valor das prestações mensais acrescidos dos respectivos valores das prestações semestrais. VPL = 00,0 )087,01( 975 )087,01( 875 )087,01( 775 )087,01(087,0 1)087,01( 325 1812618 18 − + + + + + + +× −+ ×
  • 44. 43 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo VPL = 2.903,42 + 469,81 + 321,55 + 217,21 – 0,00 VPL = R$ 3.911,99 ∴ Portanto, o valor financiado do televisor foi de R$ 3.911,99, isto é, considerando-se o Fluxo inicial igual a R$ 0,00; o valor do financiamento pode ser determinado através do cálculo do VPL. Exemplo3: Um apartamento foi colocado à venda, pelo valor de R$ 3 milhões a vista, ou em dois anos de prazo, com R$ 800.000,00 de entrada, mais 12 prestações mensais de R$ 180.000,00 e mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que você esteja interessado em adquiri-lo e que tenha recursos para comprá-lo até mesmo a vista, qual seria sua decisão? Utilize nesta análise, taxas de 6% a.m., 8% a.m. e 10% a.m. Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa a) Solução para taxa de 6% a.a. VPL= 00,0 )06,01( 1 )06,01(06,0 1)06,01( 860.281 )06,01(06,0 1)06,01( 000.180000.800 1212 12 12 12 − + × +× −+ ×+ +× −+ ×+ VPL= 800.000 + 1.509.091,91 + 1.174.373,52 – 0,00 VPL= R$ 3.483.465,43 ∴ Do ponto de vista econômico, é mais viável comprar a vista, uma vez que, o VPL que representa o valor presente dos pagamentos realizados a prazo; é maior que os R$ 3 milhões pedidos a vista. b) Solução para taxa de 8% a.a. VPL= 00,0 )08,01( 1 )08,01(08,0 1)08,01( 860.281 )08,01(08,0 1)08,01( 000.180000.800 1212 12 12 12 − + × +× −+ ×+ +× −+ ×+
  • 45. 44 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo VPL= 800.000 + 1.356.494,04 + 843.516,86 – 0,00 VPL= R$ 3.000.010,90 ∴ Do ponto de vista econômico, é indiferente comprar a vista ou a prazo; uma vez que, o VPL é praticamente igual ao valor a vista. c) Solução para taxa de 10% a.a. VPL= 00,0 )10,01( 1 )10,01(10,0 1)10,01( 860.281 )10,01(10,0 1)10,01( 000.180000.800 1212 12 12 12 − + × +× −+ ×+ +× −+ ×+ VPL= 800.000 + 1.226.464,53 + 611.932,77 – 0,00 VPL= R$ 2.638.397,30 ∴ Neste caso, é mais aconselhável comprar a prazo, uma vez que, o VPL que representa o valor presente dos pagamentos realizados a prazo; é menor que os R$ 3 milhões pedidos a vista. 2.2. TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) A Taxa Interna de Retorno (TIR) ou Internal Rate of Return (IRR) de um fluxo de caixa, é a taxa que iguala o valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente de um ou mais recebimentos (entradas de caixa). Como em geral, tem-se o fluxo inicial (valor do investimento, ou empréstimo, ou financiamento) e diversos fluxos futuros de caixa (valores das receitas ou prestações), a equação que dá a Taxa Interna de Retorno (TIR) pode ser escrita a seguir: 0 )1( ... )1()1()1()1( 04 4 3 3 2 2 1 1 =−⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ++ + + + + + + + FC i FC i FC i FC i FC i FC n n 0 )1( 0 1 =− + ∑= FC i FCn j j j De onde se deduz que: ∑= + = n j j j i FC FC 1 0 )1(
  • 46. 45 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Em que “ i ” representa a Taxa Interna de Retorno, “FC0” o Fluxo Inicial, no momento zero e “∑= + n j j j i FC 1 )1( ”a soma dos valores futuros de Fluxos de Caixa. 2.2.1. CRITÉRIOS DE DECISÃO Quando usamos a TIR para tomar decisões de aceitação-rejeição, os critérios são os seguintes: • Se a TIR for maior ou igual à TMA, aceitar o projeto. • Se a TIR for menor que a TMA, recusar o projeto. Esses critérios garantem que a empresa receba, pelo menos, o retorno requerido. Tal resultado deve aumentar seu valor de mercado, portanto, a riqueza de seus proprietários. O método da TIR é aquele que nos permite encontrar a remuneração do investimento em termos percentuais, ou seja, o percentual exato de remuneração que o investimento oferece. A utilização exclusiva da TIR como ferramenta de análise, poderá levar ao equívoco de se aceitar projetos que não remuneram adequadamente o capital investido, por isso, deve ser uma ferramenta complementar à análise de investimentos. 2.2.2. EXEMPLOS Exemplo1: Determinar a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 400,00. Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa Solução: Utilizando-se a fórmula 0 )1( 0 1 =− + ∑= FC i FCn j j j ou ∑= + = n j j j i FC FC 1 0 )1( , tem-se: ( ) ( ) 321 )1( 400 1 500 1 300 000.1 iii + + + + + =
  • 47. 46 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo Observação: O cálculo do valor da taxa interna de retorno “ i ” é extremamente complexo e pode ser resolvido por “tentativa e erro”, utilizando-se o processo de interpolação linear. Neste estudo deve-se optar pelo uso de calculadoras adequadas ou do Microsoft Excel. Portanto, tem-se no Exemplo1, que TIR = 9,26% a.m. ou TIR = 9,265% a.m. Ainda, se for feito um cálculo do Valor Presente dos três pagamentos citados, à taxa de 9,265% a.m.; obtém- se um valor de R$ 999,99 (diferença de R$ 0,01); correspondente ao empréstimo de R$ 1.000,00. Exemplo2: Um equipamento no valor de R$ 70 milhões é integralmente financiado, para pagamento em sete parcelas mensais; as três primeiras de R$ 10 milhões, as duas seguintes de R$ 15 milhões, a 6ª de R$ 20 milhões e a 7ª de R$ 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação. Representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa Solução: Utilizando-se a fórmula 0 )1(1 0 = + − ∑= n j j j i FC FC ou ∑= + = n j j j i FC FC 1 0 )1( , tem-se: ( ) ( ) 76543 3 )1( 30 )1( 20 )1( 15 1 15 1 1)1( 1070 iiiiii i + + + + + + + + +× −+ ×= Portanto, tem-se no Exemplo2, que TIR = 10,40% a.m. ou TIR = 10,397% a.m. Ainda, se for feito um cálculo do Valor Presente das sete prestações mencionadas, à taxa de 10,397% a.m.; obtém-se um valor de R$ 70 milhões; correspondente ao financiamento do equipamento. Exemplo3: Um consumidor adquire um eletrodoméstico pelo sistema de crediário para pagamento em seis prestações mensais de R$ 735,70. Sabendo-se que o valor financiado foi de R$ 2.450,00 e que a primeira prestação será paga no final do 5º mês (4 meses de carência); determinar a taxa de juros cobrada pela loja.
  • 48. 47 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo A seguir, a representação esquemática ou Diagrama do Fluxo de Caixa da operação. Solução: Utilizando-se a fórmula 0 )1(1 0 = + − ∑= n j j j i FC FC ou ∑= + = n j j j i FC FC 1 0 )1( , tem-se: ( ) 46 6 )1( 1 1 1)1( 70,735450.2 iii i + × +× −+ ×= Portanto, tem-se no Exemplo3, que TIR = 8,30% a.m. ou TIR = 8,2997% a.m. Ainda, se for feito um cálculo do Valor Presente das seis prestações mencionadas, com 4 meses de carência à taxa de 8,2997% a.m.; obtém-se um valor de R$ 2.449,99 (diferença de R$ 0,01); correspondente ao financiamento do eletrodoméstico de R$ 2.450,00.
  • 49. 48 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Um investimento proposto custando $60.000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa após o imposto de renda durante um período de sete anos: Ano Valor 1 10.000 2 15.000 3 15.000 4 20.000 5 15.000 6 10.000 7 5.000 a) Calcule o VPL a 10% e 16% ao ano. b) Determine a TIR da preposição. c) Se os fluxos de caixas anuais fossem $13.000 por ano durante sete anos, qual seria o VPL a 10% ao ano? 2. Um investimento proposto custando $1.000.000,00 deve resultar nas seguintes entradas de caixa após o imposto de renda, durante um período de sete anos: Ano Valor 1 100.000 2 100.000 3 350.000 4 400.000 5 200.000 6 150.000 7 100.000 a) Calcule o VPL a 5% e 12% ao ano. b) Determine a TIR da preposição. c) Se os fluxos de caixas anuais fossem $200.000,00 por ano, durante sete anos, qual seria o VPL a 3%ao ano? 3. Cristina precisa avaliar um novo investimento, que segundo suas estimativas, vai gerar os seguintes fluxos de caixa anual: $7.000; $6.000; $5.000; $4.000; $3.000; $2.000; $1.000. O investimento será de $18.000 e ele trabalha com uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano. a) Monte a Diagrama de Fluxo de Caixa da operação. b) Qual o VPL e a TIR do projeto? c) O que significa um VPL positivo para o projeto? d) O projeto é viável?
  • 50. 49 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 4. Jurema precisa avaliar um novo negócio com investimento inicial de $8.000 e vida útil de 3 anos. Ela fez as seguintes estimativas para o fluxo de caixa anual: $2.000; $3.500; $5.000. A taxa mínima de atratividade é de 15% ao ano. a) Monte a Diagrama de Fluxo de Caixa da operação. b) Qual o VPL e a TIR do projeto? c) O que significa um VPL negativo para o projeto? d) Utilize o VPL e a TIR para justificar a inviabilidade do projeto. e) Qual o valor máximo para o investimento inicial, que torna o projeto viável? 5. Necessito de R$ 150.000,00 para investir num projeto, que tem a seguinte previsão de fluxos líquidos de caixa: • R$ 22.000,00 no final do primeiro ano; • R$ 30.000,00 no final do segundo; • R$ 48.000,00 no final do terceiro; • R$ 52.000,00 no final do quarto; • R$ 70.000,00 no final do quinto; • R$ 150.000,00 no final do sexto. • TIR = 23,91% a.a. Se meu capital tiver um custo de 2,3% ao mês, devo realizá-lo? (Sugestão: Encontre taxa anual, 2 casas decimais, equivalente a 2,3% a.m.) a) Monte a Diagrama de Fluxo de Caixa da operação. b) Utilize o VPL e a TIR para analisar o investimento. 6. Calcular o VPL de um investimento em uma franquia, com as seguintes características: • Investimento de R$ 30.000,00 no ponto comercial, na data zero; • R$ 30.000,00 de taxa de franquia, na data zero; • Recebimento mensal de R$ 1.300,00 de realização de marketing, durante todo o projeto; • Receitas mensais de R$ 3.100,00, durante 60 meses. a) Supondo a taxa de juros efetiva de 20% a.a., é viável investir na franquia? (Sugestão: Encontre taxa mensal, duas casas decimais, equivalente a 20% a.a.). b) Supondo a taxa de juros efetiva de 25% a.a. é viável investir na franquia? (Sugestão: Encontre taxa mensal, duas casas decimais, equivalente a 25% a.a.). 7. A Harris Company está avaliando a proposta de aquisição de uma empilhadeira. O preço básico da máquina é de R$ 107.500,00 e seriam necessários mais R$ 12.500,00 em modificações, adequando-a ao uso específico na empresa. A máquina seria vendida por R$ 55.000,00 após 36 meses. A compra da empilhadeira não teria nenhum efeito sobre as receitas, mas espera-se que ela represente para a empresa uma economia mensal em termos de custos operacionais brutos de impostos da ordem de R$ 4.000,00 principalmente, de mão-de-obra. A alíquota marginal de imposto de renda da Harris é de 35%. Despreze a depreciação. a) Elabore o Diagrama de Fluxo de Caixa da operação de compra da máquina. b) Calcule o VPL e a TIR. c) Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 12% ao ano, capitalizada no regime de juros simples, mensalmente, você acha que a máquina deveria ou não ser adquirida? Por quê?
  • 51. 50 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo 8. Um casal pretende investir em uma franquia, com as seguintes características: • Investimento de R$ 60.000,00 no ponto comercial, na data zero; • R$ 100.000,00 de taxa de franquia, na data zero; • Pagamento mensal de royalties de R$ 1.500,00, durante todo o projeto; • Receitas mensais de R$ 5.500,00, durante 72 meses. • Taxa Mínima de Atratividade de 2,03 % a.m. e TIR igual a 1,82% a.m. Determine: a) VPL b) Justificativa da viabilidade da franquia, utilizando o VPL e a TIR. 9. Encontre o VPL e a TIR do fluxo de caixa genérico expresso abaixo, sob forma de tabela, sabendo que a taxa de juros é de 12,68% ao ano. (Sugestão: Encontre taxa mensal, quatro casas decimais, equivalente a 12,68% a.a.).
  • 52. 51 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS – Matemática Financeira Aplicada – Profª. Maria Helena Pinedo RESPOSTAS 1. a) R$ 3.941,94 e – R$ 6.560,91 c) R$ 3.289,44 b) 12,06% a.a e 12,06% a.a. 2. a) R$ 157.070,87 e – R$ 92.949,62 c) R$ 246.056,59 b) 9,11% a.a. e 9,11% a.a. 3. b) $930,54 e 17,26 % a.a. c) Significa que o investimento inicial de $18.000 SERÁ remunerado a 15% ao ano e gerará um ganho extra, calculado na data zero, de $930,54. Ainda, a TIR (17,26% a.a.) complementa a viabilidade do investimento, pois é MAIOR que a TMA (15% a.a.). Portanto, o projeto tem rentabilidade. d) Sim 4. b) VPL = – $326,78 e TIR = 12,85% a.a. c) Significa que o projeto não é viável. d) O projeto com investimento inicial de $8.000 NÃO será remunerado a 15% ao ano e gerará um prejuízo, calculado na data zero, de $326,78. Ainda, a TIR (12,85% a.a.) complementa a inviabilidade do projeto, pois é MENOR que a TMA (15% a.a.) e, portanto, o projeto tem rentabilidade inferior. e) $7.673,22 5. b) Não deve realizá-lo, pois o VPL é negativo ( – R$ 30.167,52), ou seja, o investimento inicial de R$ 150.000,00; não será remunerado à taxa de 31,37% ao ano, além, do projeto gerar uma perda de – R$ 30.167,52 (se calculada na data zero). Ainda, a TIR (23,91% a.a.) é MENOR que a TMA (31,37% a.a.), complementando a inviabilidade do projeto. 6. a) VPL = R$ 16.064,47 b) VPL = R$ 20.479,60 7. a) b) VPL = – R$ 3.279,61 e TIR = 0,8816 % a.m. c) Com o VPL negativo (– R$ 3.279,00) e a TIR menor que TMA (0,8816% a.m. < 1%a.m.), pode-se concluir que não é um bom investimento. Sendo assim, a empilhadeira não deve ser adquirida dessa maneira. 8. a) VPL= – R$ 9.317,02 b) A franquia não é viável, pois o investimento inicial de $160.000,00 NÃO será remunerado a 2,03% a.m. e gerará um prejuízo, calculado na data zero, de $9.317,02. Ainda, a TIR (1,82% a.m.) sendo MENOR que a TMA (2,03 a.m.), vem complementar a inviabilidade do negócio. 9. VPL = R$ 18.849,69 e TIR = 2,28 % a.m.