1. CONJUNTOS
e
CONJUNTOS NUMÉRICOS
PARTE - 03/04
MATEMÁTICA
Prof. Zico
ww.zicoprofessor.blogspot.com
Março - 2012

2. CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRACIONAIS [I ]
Um novo tipo de número: os Irracionais
Considere um triângulo retângulo cujos catetos sejam iguais a 1
(Figura abaixo). O Teorema de Pitágoras nos diz que:
h2 12 12 h2 2
portanto, podemos expressar que: h 2
Ou seja: h é aproximadamente igual a:
h 1,4 ou h 1,41 ou h 1,414 ou h 1,4142
ou h 1,41421 ou h 1,414213 ou h 1,4142135 ou h 1,41421356
h tivermos ,414213562373095048801688724220097...
se 2 1uma calculadora com 35 digitos:
Ou seja, são números que não podem ser escritos na forma de razões
ou decimais exatos ou, ainda, de dízimas periódicas.
Isto é, a medida h da figura acima ‘deve’ ser escrito assim: h 2

3. 0,203040... 3 1,7320508 ...
1,203040...
3,141592...
2 1,414213 ...
Lembrando: Um número irracional não pode ser escrito como
razão entre dois inteiros.
Uma forma de representar TODOS os números irracionais é:
I x / x é dízima não periódica

4. Quantidade de números IRRACIONAIS na reta
0,1414213... 1,414213...
2
0,203040...
2,236067...
0,203040...
0,7071067...
1,7320508...
5 2 3,141592...
2 0,4714...
2 10 3
2 2
2 1 0 3 2 1 2 3
Quantos números IRRACIONAIS podemos imaginar na reta?
2 2
Onde está localizado o número ? E o número ?
2 3
2 2 2
E o número ? E o número ? E o número ?
4 100 1.000 .000
0,3535... 0,014142... 0,0000014142...

5. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS [IR]
O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto
dos números racionais que engloba não só os inteiros e os
fracionários, positivos e negativos, mas também todos os
números irracionais.
Ou seja:
Todo número natural é número real.
Todo número inteiro é número real.
Todo número racional é número real.
Todo número irracional é número real.

6. IN Z Q IR
IR Q I
I IR Q
Q I
Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em
uma reta que é chamada reta real.
Vamos localizar alguns números reais na reta real.

7. Números Naturais também são números reais…
Veja onde estão estes números reais na reta real
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
Então concluímos que: IN IR IR IN
4 IN 7 IN 2009 IN
4 IR 7 IR 2009 IR

8. Números INTEIROS também são números reais…
Veja onde estão estes números reais na reta real
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
Então concluímos que: Z IR IR Z
4 Z 3 Z 16 Z 198 Z
4 IR 3 IR 16 IR 198 IR

9. Então os Números RACIONAIS também são números reais…
Veja onde estão “ALGUNS” destes números na reta real
1,5
0,9
0,25 0,5 0,75
3 2,00 2,5 2,9
2,0 2
3 9 1 3 29
1 5
2
2 2 1
10
4 0
2 4 1
1,5 2
2
2
10
3
Então concluímos que: Q IR IR Q
Temos aqui números RACIONAIS que3 números reais…
1 NATURAISquesão números reais…
3
Temos aqui números Q
2 Q INTEIROS quesão números reais…
são
Q Q 1
Q
2 2 2 3
Para completar3 conjunto dos REAIS falta o
1 o
IR IR 3
2 IR 2
IR 0, 3 IR
2 conjunto dos IRRACIONAIS.
2

10. Assim, finalmente, os Números IRRACIONAIS também são números reais…
Veja onde estão “ALGUNS” destes números vistos entre os racionais na
reta real
2,236067... 1,7320508...
0,866025... 1,414213...
3,141592...
5 0,2020305...
2
3 2 3
2
1,5 0,25 7 0,5 2,0
0,9 0,75 3 2,5
2,0 2,9
2
2
9
3 1 3 5 29
1
2
2
10
2 4 1,5 2 2
10
2 1 4 0 1 2 3
Todos os números, em destaque, acima são números REAIS.

11. Observe melhor alguns dos números REAIS, na reta real.
2 1 0 1 2 3
Dentre estes números REAIS, estão incluídos:
NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E IRRACIONAIS.

12. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS [IR]
Desigualdade entre números reais
Dados dois números reais a e b, ocorre uma, e somente uma, das
seguintes possibildades:
a b ou a b ou a b
Geometricamente, a desigualdade a < b significa que a está a
esquerda de b na reta real:
a b
a b
Geometricamente, a desigualdade a > b significa que a está a
direita de b na reta real:
a b
b a

13. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS [IR]
,
Exemplos:
2,195... 3,189...
2 2
0,05 0,05
0,06 0,6
2 4

14. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS [IR]
Algebricamente, a < b, se, e somente se, a diferença b – a é um
número positivo.
Exemplos: 3 5 então 5 3 é positivo.
Isto é: 3 5 5 3 0

15. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS [IR]
Então, sempre que tivermos a e b, pertencente aos reais com a b
podemos colocá-los ordenadamente na reta real.
Usamos também as seguintes notações:
a b Lê-se: “a é menor do que ou igual a b”
ou: “a é menor ou igual a b”
b a Lê-se: “b é maior do que ou igual a a”
ou: “b é maior ou igual a a”
Exemplo: x 3 Lê-se: “x é maior do que ou igual a 3”
ou: “x é maior ou igual a 3”

16. FIM da PARTE 03/04
VEJA a PARTE 04/04
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