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Noções

  1. 1. Noções Básicas de Erros Prof.: Samyr Jácome
  2. 2. Índice • Introdução • Representação de Números • Conversão de Números nos Sistema Decimal e Binário • Representação de Números em uma Máquina • Operações Aritméticas com Ponto Flutuante
  3. 3. Introdução • Métodos numéricos é uma ferramenta matemático- computacional que serve para resolver problemas de diversas áreas da ciência. A resolução desses problemas se divide em várias fases, tais como
  4. 4. Introdução • Em geral, aos nos depararmos com resultados finais provenientes de algum método numérico, é comum que estes resultados não estejam de acordo com o resultados reais. Frequentemente, estes resultados são próximos do esperado. • Os resultados obtidos dependem: – da precisão dos dados de entrada; – da forma como esses resultados são representados no computador; – das operações numéricas efetuadas. • Estudaremos aqui erros provenientes da representação de números em um computador e os erros resultantes das operações numéricas efetuadas.
  5. 5. Representação de Números • Vamos analisar dois casos: CASO 01: Calcular a área de um círculo de raio 100m. RESULTADO 01: a) Usando 3.14 , teremos A 31400m 2 b) Usando 3.1416 , teremos A 31416m 2 c) Usando 3.141592654 , teremos A 31415.92654m2 • Porque a diferença entre os resultados?
  6. 6. Representação de Números CASO 02: Efetuar o somatório abaixo em uma calculadora e em um computador 30000 S xi i 1 para xi 0.5 e para xi 0.11 RESULTADO 02: calculadora : S 15000 i) para xi 0.5 computador : S 15000 calculadora : S 3300 ii) para xi 0.11 computador : S 3299 .99691
  7. 7. Representação de Números • Como justificar a diferença entre os resultados obtidos pela calculadora e pelo computador para xi 0.11 ? RESPOSTA: O erro ocorreu devido a representação numérica no computador. • A representação de um número depende da base escolhida ou disponível na máquina em uso e do número de dígitos da sua representação. • Veremos mais adiante que um número pode ter representação finita em uma base e não-finita em outra.
  8. 8. Conversão de números nos sistemas decimal e binário • Consideremos os seguinte números de modo que possamos reescrevê-los na forma: (347 )10 3 10 2 4 10 1 7 10 0 (406 ,032 )10 4 10 2 0 10 1 6 10 0 0 10 1 3 10 2 2 10 3 (10111 ) 2 1 2 4 0 23 1 2 2 1 21 1 20 (10 ,11) 2 1 21 0 20 1 2 1 1 2 2 • Podemos concluir que um número em qualquer base pode ser escrito na forma acima.
  9. 9. Conversão de números nos sistemas decimal e binário • Em geral, um número real N pode ser escrito numa base qualquer na forma polinomial da seguinte forma N (am ...a2 a1a0 a 1a 2 ...an ) m 2 1 0 1 2 n N am ... a2 a1 a0 a 1 a 2 ... an com (am ...a2 a1a0 a 1a 2 ...an ) , 0 ak e inteiros m 0 n 0 • É possível converter um número de uma base para outra e vice-versa?
  10. 10. Conversão de números nos sistemas decimal e binário Converter número da base 2 para base 10: • A partir da forma polinomial, um número na base 2 pode ser escrito como am 2 m ... a2 2 2 a1 21 a0 2 0 a 12 1 a 22 2 ... an 2 n com ai 0 ou 1 • Para mudar de base 2 para base 10, basta multiplicar o dígito binário por uma potência de 2 apropriada e somá-los. (10111) 2 1 2 4 0 23 1 2 2 1 21 1 20 16 0 4 2 1 (23)10
  11. 11. Conversão de números nos sistemas decimal e binário Converter número da base 2 para base 10: (100,11) 2 1 2 2 0 21 0 20 1 2 1 1 2 2 4 0 0 0,5 0,25 (4,75)10 (101,01) 2 1 2 2 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 4 0 1 0 0,25 (5,25)10
  12. 12. Conversão de números nos sistemas decimal e binário Converter número da base 10 para base 2: • Para converter da base 10 para base 2, aplica-se um processo para parte inteira e outra para parte fracionária. • Parte inteira: nesse caso usamos o método das divisões sucessivas, que consiste em dividir o número por 2, a seguir dividi-se o quociente encontrado por 2, e assim o processo é repetido até que o último quociente seja igual a um. O número binário será, então, formado pela concatenação do último quociente com os restos das divisões lidos no sentido inverso aos que foram obtidos. (Ex. no quadro)
  13. 13. Conversão de números nos sistemas decimal e binário Converter número da base 10 para base 2: • Parte fracionária: nesse caso usamos o método das multiplicações sucessivas, que consiste em: a) multiplicar a parte fracionária do número por 2; b) deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito na base dois e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual a zero. Quando o produto da parte fracionário nunca for zero, teremos uma dízima infinita. (Ex. no quadro)
  14. 14. Representação de Números em uma Máquina • Internamente, um número é representado na máquina de calcular ou num computador digital através de uma sequência de impulsos elétricos que indicam dois estados: 0 ou 1, ou seja, os números são representados na base 2 ou binária. • Cada impulso elétrico é chamado de bit. Sendo assim, como representar no computador um número fracionário se não podemos, por exemplo, armazenar ½ bit ? • Como fazer isso?
  15. 15. Representação de Números em uma Máquina • Vamos considerar um número real x em uma base qualquer de modo que possamos reescrevê-lo como sendo uma soma de frações, cujos denominadores são potências de mesma base , vezes um fator elevado a um expoente. Exemplos: (347 )10 ?
  16. 16. Representação de Números em uma Máquina • Vamos considerar um número real x em uma base qualquer de modo que possamos reescrevê-lo como sendo uma soma de frações, cujos denominadores são potências de mesma base , vezes um fator elevado a um expoente. Exemplos: (347)10 3 102 4 101 7 100 3 4 7 103 101 102 103
  17. 17. Representação de Números em uma Máquina (406 ,032 )10 ? (10111 ) 2 ? (10,11) 2 ?
  18. 18. Representação de Números em uma Máquina (406,032)10 4 102 0 101 6 100 0 10 1 3 10 2 2 10 3 4 0 6 0 3 2 103 101 102 103 104 105 106 (10111) 2 1 2 4 0 23 1 2 2 1 21 1 20 1 0 1 1 1 25 (23)10 21 22 23 24 25 (10,11) 2 1 21 0 20 1 2 1 1 2 2 1 0 1 1 22 2,75 10 21 22 23 24
  19. 19. Representação de Números em uma Máquina • Podemos concluir, portanto, que um número real x pode ser genericamente representado em uma base qualquer por d1 d2 d3 dt E x 1 2 3 ... t onde d1 d2 d3 dt 1 2 3 ... t é chamada de mantissa di são números inteiros contidos no intervalo 0 d i 1 com i 1,2,3,...,t e d1 0 E é o expoente de
  20. 20. Representação de Números em uma Máquina • Podemos simplificar a notação de mantissa colocamos os dígitos significativos entre < >, ou seja, d1 d2 d3 dt E E x 1 2 3 ... t d1d 2 d3 ...dt desta forma teríamos, por exemplo, (347 )10 347 10 3 (406 ,032 )10 406032 10 3 (10111 ) 2 10111 25 (23)10 (10 ,11) 2 1011 22 2,75 10
  21. 21. Representação de Números em uma Máquina • A forma acima definida é conhecida como forma de mantissa. • A forma de mantissa é bastante importante do ponto de vista computacional, pois é uma maneira eficaz de eliminarmos a vírgula dos números com parte fracionária. • A mantissa sempre resulta em um valor normalizado, ou seja, entre 0 e 1, que representa os dígitos significativos e t é quantidade de dígitos significativos do sistema de representação, comumente chamado de precisão da máquina.
  22. 22. Representação de Números em uma Máquina • Quando aplicado a uma máquina binária, ou seja, máquina com armazenamento e operações binárias, a representação na forma de mantissa é conhecida como aritmética de ponto flutuante e recebe algumas restrições devido a limitação da própria máquina. São elas: t quantidade máxima de dígitos significat ivos E o expoente inteiro de que assume valores entre S E S com S inteiro
  23. 23. Representação de Números em uma Máquina • Em uma máquina binária padrão, cada dígito é chamado de bit e a representação dos números é estruturada da seguinte maneira: Um bit para o sinal da mantissa, onde bit = 0 se positivo e bit = 1 se negativo; t bits para a mantissa; Um bit para o sinal do expoente, onde bit = 0 se positivo e bit = 1 se negativo; s bits (s é a quantidade de bits do maior expoente inteiro S na forma binária).
  24. 24. Representação de Números em uma Máquina • Desta forma, em um computador com armazenamento de 32bits possui um bit para o sinal da mantissa, 23 bits para a mantissa, um bit para o sinal do expoente e 7 bits para o valor do expoente. EX 01: Numa máquina de 16 bits de calcular, cujo sistema de representação utilizado tenha =2, t = 10 e S = (15)10 . Como o número 25 na base decimal é representado na máquina? (Resposta no quadro)
  25. 25. Representação de Números em uma Máquina Sinal da Mantissa Sinal expoente de 1 bit de 1 bit Mantissa de 10 bits Expoente de 4 bits
  26. 26. Representação de Números em uma Máquina EX 02: Utilizando a mesma máquina do exemplo anterior, represente o número (3,5)10 . EX 03: Utilizando a mesma máquina do exemplo anterior, represente o número (-7,125)10 . EX 04: Qual o maior e o menor valor em módulo representado nessa máquina? EX 05: Considerando que o número zero seria nessa máquina quando todos os dígitos fossem iguais a zero, quais seriam os dois primeiros números positivos?
  27. 27. Operações Aritméticas com Ponto Flutuante • A operação em aritmética com ponto flutuante requer o alinhamento dos pontos decimais dos dois números. Para isso, a mantissa do número de menor expoente deve se deslocada para a direita. Esse deslocamento deve ser de um número de casa decimais igual a diferença entre os dois expoentes. 2 Ex 01: Dados x 0.937 104 e y 0.1272 10 , obter x y . Qual seria o resultado se essa operação fosse realizada em uma máquina operasse com o número de dígitos significativos igual t 4 . Qual seria o erro absoluto e relativo se no arredondamento e truncamento?

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