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Deformação de vigas em flexão: equações e exemplos
- 1. Deformação de Vigas em flexão Tradução e adaptação: Victor Franco Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill. Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education. Mecânica dos Materiais
- 2. 9 - 2 Deformação de uma viga sujeita a forças transversais • A relação entre o momento flector e a curvatura, para flexão pura, mantém-se válida para o caso de uma viga em flexão sujeita a forças transversais: EI xM )(1 = ρ • Para a viga encastrada sujeita a uma força concentrada na extremidade, temos: EI Px −= ρ 1 • A curvatura varia linearmente com x : • Na extremidade A, ∞== A A ρ ρ ,0 1 • No apoio B, PL EI B B =≠ ρ ρ ,0 1 x
- 3. 9 - 3 • A curvatura é zero nos pontos em que o momento flector é zero, i.e., nas extremidades e no ponto E. EI xM )(1 = ρ • A deformação da viga é côncava para cima ∪∪∪∪ onde o momento flector é positivo e côncava para baixo ∩∩∩∩ onde o momento flector é negativo. • A curvatura máxima ocorre onde o valor do momento flector é máximo. • A equação da deformação da viga – equação da linha da elástica – é necessária para determinar a deformação máxima (flecha máxima) e a rotação. Deformação de uma viga sujeita a forças transversais
- 4. 9 - 4 Equação da Linha elástica • A seguinte relação é válida (demonstrável através da Análise Matemática): EI M dx yd dx dy dx yd =≈ + = 2 2 23 2 2 2 1 1 ρ • Substituíndo e integrando: ( ) ( ) ( ) 21 00 1 0 2 2 CxCdxxMdxyEI CdxxM dx dy EIEI xM dx yd EI xx x ++= +=≈ = ∫∫ ∫θ Equação da curvatura: Equação das rotações: Equação da linha elástica:
- 5. 9 - 5 Equação da linha elástica ( ) 21 00 CxCdxxMdxyEI xx ++= ∫∫ • As constantes são determinadas a partir das condições de fronteira. • Três casos para vigas estaticamente determinadas: – Viga simplesmente apoiada 0,0 == BA yy – Viga em balanço 0,0 == BA yy – Viga encastrada 0,0 == AAy θ
- 6. 9 - 6 Determinação da equação da linha elástica a partir da força distribuída • Para uma viga sujeita a uma força distribuída, ( ) ( )xw dx dV dx Md xV dx dM −=== 2 2 • A equação para a deformação será ( )xw dx yd EI dx Md dx yd EIxM −==⇒= 4 4 2 2 2 2 )( ( ) ( ) 43 2 22 13 16 1 CxCxCxC dxdxdxdxxwxyEI ++++ −= ∫∫∫∫ • Integrando 4 vezes, obtém-se, • As constantes são calculadas a partir das condições de fronteira.
- 7. 9 - 7 Vigas estaticamente indeterminadas • Considere-se a viga encastrada em A e com um apoio móvel em B. • Condições de equilibrio estático: 000 =∑=∑=∑ Ayx MFF A viga é estaticamente indeterminada. ( ) 21 00 CxCdxxMdxyEI xx ++= ∫∫ • Temos também a equação da deformada, que introduz duas incógnitas adicionais, mas que fornece três equações adicionais a partir das condições de fronteira: 0:00:0 ====θ= yLxyx
- 8. 9 - 8 Exemplo 9.1 Para a parcela AB da viga, calcular (a) A equação da linha elástica, (b) Deformada máxima. Resolução: • Escrever uma expressão para M(x) e para a equação diferencial da linha elástica. • Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada. • Localizar o ponto com tangente nula ou ponto da deformada máxima. Calcular a deformada máxima.
- 9. 9 - 9 Exemplo 9.1 • Expressão para M(x) e equação diferencial da linha elástica. - Reacções: ↑ +=↓= L a PR L Pa R BA 1 - Diagrama de corpo livre para secção AD, ( )Lxx L a PM <<−= 0 x L a P dx yd EIxM dx yd EI −=⇒= 2 2 2 2 )( - Equação diferencial da linha elástica,
- 10. 9 - 10 Exemplo 9.1 PaLCLCL L a PyLx Cyx 6 1 6 1 0:0,em 0:0,0em 11 3 2 =+−=== === • Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as condições de fronteira para obter a equação da deformada: 21 3 1 2 6 1 2 1 CxCx L a PyEI Cx L a P dx dy EI ++−= +−= x L a P dx yd EI −=2 2 −= 32 6 L x L x EI PaL y ⇒+−= −=⇒+−= PaLxx L a PyEI L x EI PaL dx dy PaLx L a P dx dy EI 6 1 6 1 31 66 1 2 1 3 2 2 Substituíndo,
- 11. 9 - 11 Exemplo 9.1 • Localizar o ponto de deformada máxima. −= 32 6 L x L x EI PaL y L L x L x EI PaL dx dy m m 577.0 3 31 6 0 2 ==⇒ −== • Deformada máxima. ( )[ ]3 2 max 577.0577.0 6 −= EI PaL y EI PaL y 6 0642.0 2 max =
- 12. 9 - 12 Exemplo 9.3 Para a viga representada na figura, determinar a reacção em A, obter a equação da linha elástica e determinar a rotação em A. (Notar que a viga é estaticamente indeterminada de primeiro grau)
- 13. 9 - 13 Exemplo 9.3 • Análise de momentos numa secção D: L xw xRM M x L xw xR M A A D 6 0 32 1 0 3 0 2 0 −= =− − =∑ L xw xRM dx yd EI A 6 3 0 2 2 −== • Equação da linha elástica:
- 14. 9 - 14 Exemplo 9.3 L xw xRM dx yd EI A 6 3 0 2 2 −== • Integrando duas vezes: 21 5 03 1 4 02 1206 1 242 1 CxC L xw xRyEI C L xw xREI dx dy EI A A ++−= +−== θ • Aplicar as condições de fronteira: 0 1206 1 :0,em 0 242 1 :0,em 0:0,0em 21 4 03 1 3 02 2 =++−== =+−== === CLC Lw LRyLx C Lw LRLx Cyx A Aθ • Resolver em ordem à reacção em A 0 30 1 3 1 4 0 3 =− LwLRA ↑= LwRA 0 10 1
- 15. 9 - 15 Exemplo 9.3 xLw L xw xLwyEI −− = 3 0 5 03 0 120 1 12010 1 6 1 ( )xLxLx EIL w y 43250 2 120 −+−= • Substituir C1, C2, e RA na equação da linha elástica: ( )42240 65 120 LxLx EIL w dx dy −+−==θ EI Lw A 120 3 0=θ • Diferenciar para calculo das rotações: em x = 0,
- 16. Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: 9 - 16
- 17. Deformadas e rotações de vigas bi-apoiadas: cont. 9 - 17
- 18. Deformadas e rotações de vigas encastradas: 9 - 18
- 19. Deformadas e rotações de vigas encastradas: cont. 9 - 19
- 20. 9 - 20 Método da Sobreposição Principio da Sobreposição: • As deformações de vigas sujeitas a combinações de forças, podem ser obtidas como a combinação linear das deformações causadas pelas forças individuais.
- 21. 9 - 21 Exemplo 9.7 Para a viga sujeita aos carregamentos representados, determine a rotação e a deformada no ponto B. Sobrepondo as deformadas provocadas pelos “Loading I” e “Loading II” como ilustrado, temos:.
- 22. 9 - 22 Exemplo 9.7 Loading I ( ) EI wL IB 6 3 −=θ ( ) EI wL y IB 8 4 −= Loading II ( ) EI wL IIC 48 3 =θ ( ) EI wL y IIC 128 4 = No segmento de viga CB, o momento flector é zero e a linha elástica é uma recta: ( ) ( ) EI wL IICIIB 48 3 == θθ ( ) EI wLL EI wL EI wL y IIB 384 7 248128 434 = +=
- 23. 9 - 23 Exemplo 9.7 ( ) ( ) EI wL EI wL IIBIBB 486 33 +−=+= θθθ ( ) ( ) EI wL EI wL yyy IIBIBB 384 7 8 44 +−=+= EI wL B 48 7 3 =θ EI wL yB 384 41 4 = Combinando as duas soluções:
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- 30. 9 - 30 Aplicação do método da Sobreposição a vigas estaticamente indeterminadas O método da sobreposição pode ser aplicado para determinar as reacções nos apoios de vigas estaticamente indeterminadas: 1. Escolher uma das reacções como redundante e eliminar (ou modificar) o apoio correspondente. 2. Determinar a deformada da viga sem o apoio redundante. 3. Tratar a força de reacção redundante como uma incógnita que, em conjunto com as outras forças deve originar deformações compatíveis com o apoio original.
- 31. 9 - 31 Exemplo 9.8 Para a viga e carregamento representado na figura, determinar a reacção em cada apoio e a rotação na extremidade A. • Libertar a reacção “redundante” em B, e calcular as deformações. • Aplicar a reacção em B, de tal forma que esta força vai “obrigar” uma deformada zero no ponto B.
- 32. 9 - 32 Exemplo 9.8 • Deformada em B devido à força distribuida: ( ) EI wL LLLLL EI w y wB 4 3 34 01132.0 3 2 3 2 2 3 2 24 −= + − −= • Deformada em B devida à força redundante: ( ) EI LRL L EIL R y BB RB 322 01646.0 33 2 3 = = • Para compatibilidade com o apoio B, yB = 0 ( ) ( ) EI LR EI wL yy B RBwB 34 01646.001132.00 +−=+= ↑= wLRB 688.0 • Para equilibrio estático, ↑=↑= wLRwLR CA 0413.0271.0
- 33. 9 - 33 Exemplo 9.8 ( ) EI wL EI wL wA 33 04167.0 24 −=−=θ ( ) EI wLL L L EIL wL RA 32 2 03398.0 336 0688.0 = − =θ ( ) ( ) EI wL EI wL RAwAA 33 03398.004167.0 +−=+= θθθ EI wL A 3 00769.0−=θ Rotação na extremidade A: