O documento descreve o círculo de Mohr e seu uso para analisar estados de tensão em elementos. Ele introduz as transformações de tensão e deformação, deduz as equações para os componentes principais de tensão e cisalhamento, e mostra como o círculo de Mohr pode ser usado graficamente para determinar tensões principais, planos principais e a máxima tensão de cisalhamento.

1. Capítulo 7
Transformações de Tensão e Deformação
O Círculo de Mohr
Grupo 9:
André P. Santos RA:070166
Edward O. Schaden RA:060316
Pedro G. Rubira RA:073592
Túlio J. Silva RA:072544

2. Transformação do Estado
Plano de Tensão
Para fins de análise das forças e tensões de cisalhamento
adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes
(σz=τxz=τzy=0), assim o plano de tensão Q fica definido a partir
de σx, σy, τxy.
Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z um ângulo θ, definindo o
plano de tensão Q a partir de σx', σy', τx'y'.

3. Transformação do Estado
Plano de Tensão
Através da analise do sistema rotacionado pod-se obster as
tenões msotradas na figura abaixo.

4. Transformação do Estado
Dedução das equações de σx', σy', τx'y'
A partir dos valoros das forças em cada eixo podem-se deduzir as
equações para os coeficientes que caracterizam o plano de tensão.
Resolvendo a primeira equação para σx' e a segunda para τx'y.

5. Transformação do Estado
Dedução das equações de σx', σy', τx'y'
Através de utilização de relaçoes trigonométricas podemos reescrever as
equações como:
Substituíndo-se θ por θ + 90º na primeira equação obtêm-se a equação
para σy':
Somando as equações para σx' e σy' termo a termo obtêm-se a equação:

6. TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA
Com intuito de representar os valores de tensão normal e tensão de
cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano obtemos a seguinte
expressão:
Definindo as variáveis :
Podemos representar essa equação por meio de circunferência

7. TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA
Ponto A: Tensão Normal Máxima
Ponto B: Tensão Normal Mínima

8. TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA
Para os pontos de Tensão Máxima Temos:
Assim obtemos o seguinte parâmetro

9. TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA

10. TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA
A equação define 2 valores 2θp defasados 180 graus portanto θp graus
defasados

11. TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE
CISALHAMENTO MÁXIMA

12. Círculo de Mohr para estado plano tensão
σx, σy e Txy X(σx, -Txy) Y(σy, +Txy)
Ponto C é a intersecção da reta XY com o eixo σ.
A e B: pontos onde o círculo intercepta o eixo σ.
Método gráfico simples para resolver exercícios de estado plano tensão

13. Mesmo círculo pode ser obtido para componentes σx', σy' e Txy'
Mesmo esquema para pontos X' e Y'.
Novamente, mesmo sentido de rotação para o círculo e para os planos de tensão

14. Tensão de cisalhamento máxima para θ = 45°

15. Se T (tensão de cisalhamento) de uma face tenta girar objeto no sentido horário
O ponto X ou Y correspondente a essa fase está acima do eixo σ.
e vice versa.
Convenção para σ tensões normais:
Tração → positiva
Compressão → negativa

16. Exemplo: Construção do
Círculo de Mohr
A tensão normal que atua no eixo x é positiva e a
tensão de cisalhamento tende a girar o elemento
no sentido anti-horário.
Figura 1: Corpo
em estudo

17. (a) Construção do círculo de Mohr
O ponto X será representado à direita do eixo
vertical e abaixo do eixo horizontal. De forma
análoga, o ponto Y que representa a face oposta
deverá ser representado a 180° de X.
Traçando a linha XY, obtemos o centro C do círculo
de Mohr; sua abscissa é
σmédio = (σx + σy) / 2 = ( 50 + (-10) ) / 2 = 20 MPa
Como os lados do triângulo CFX são:
CF = 50 – 20 = 30 MPa e FX = 40 MPa
O raio do círculo é R = CX = sqrt(30^2+40^2) = 50
MPa Figura 2: Diagrama
do círculo

18. (b) Planos principais e tensões principais
As tensões principais são:
σmáx = OA = OC + OA = 20 + 50 = 70 MPa
σmín = OB = OC – BC = 20 – 50 = -30 MPa
Como o ângulo ACX representa 2θp, escrevemos:
tg(2θp) = FX / CF = 40 / 30
2θp = 53,1° (ângulo no circulo)
Θp = 26,6° (ângulo do objeto)
Figura
2:Diagrama
do círculo

19. (c) Tensão de cisalhamento máxima
Com mais uma rotação de 90° no sentido anti-horário faz CA coincidir
com CD na Figura 4, uma rotação adicional de 45° no sentido anti-horário fará
o eixo Oa coincidir com o eixo Od correspondendo à tensão de cisalhamento
máxima na Figura 3.
Nota-se na Figura 4 que Tmáx = R = 50 MPa e que a tensão normal
correspondente é σ' = σméd = 20 MPa. Como o ponto D está localizado acima
do eixo σ na Figura 4, as tensões de cisalhamento que atuam nas faces
perpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenham
a tendência de rodar o elemento no sentido horário.

20. Figura 3 Figura 4

21. FIM