A equação de Bernoulli é aplicada para calcular a vazão de água escoando em um Venturi. A carga total é constante entre as seções de entrada e garganta do Venturi, permitindo relacionar a diferença de pressão medida ao manômetro com a diferença de velocidades nas seções.

1. Mecânica dos Fluidos
Equação de ConservaçãoEquação de Conservação
da Energia
(Regime Permanente)
Prof. M.Sc. Sílvio Diniz

2. Introdução
No capítulo anterior vimos a Eq. da
Continuidade que nos mostra que, para
regime permanente, a massa de fluido que
entra em um tubo de corrente (sistema) é
igual a massa que sai do mesmo.igual a massa que sai do mesmo.
Com base no fato de que a energia não pode
ser criada nem destruída, mas apenas
transformada, é possível construir uma eq. que
permitirá fazer o balanço de energias, como
foi feito para as massas, por meio da eq. da
continuidade.

3. Introdução
A eq. que permite tal balanço chama-se Eq. da
Energia e nos permitirá, associada à eq. da
continuidade, resolver inúmeros problemas
práticos, tais como:
Determinação da potência de máquinasDeterminação da potência de máquinas
hidráulicas;
Cálculo das perdas em escoamento;
Transformação de energia etc.

4. Tipos de energias mecânicas
associadas a um fluido
a) Energia potencial (Ep)
É o estado de energia do sistema devido à
sua posição no campo de gravidade em
relação a um plano horizontal de referência
(PHR).
É medida pelo potencial de realização deÉ medida pelo potencial de realização de
trabalho do sistema.
Seja, por explo., um sistema de peso G =
mg, cujo centro de gravidade está a uma
cota z em relação a um PHR (Figura 4.1)
Figura 4.1

5. Tipos de energias mecânicas
associadas a um fluido
Como: Trabalho = Força x Deslocamento
Então: W = Gz = mgz
Mas, pelo que foi dito antes, Ep = W; logo:
Ep = mgz (Eq. 4.1)
b) Energia cinética (Ec)Energia cinética (Ec)
É o estado de energia determinado pelo
movimento do fluido.
Seja um sistema de massa m e velocidade
v; a energia cinética será dada por:
Ec = mv2/2 (Eq. 4.2)
Figura 4.2

6. Tipos de energias mecânicas
associadas a um fluido
c) Energia de pressão (Epr)
Corresponde ao trabalho potencial das
forças de pressão que atuam no
escoamento do fluido.
Seja, por exemplo, o tubo de corrente da
Figura 4.3Figura 4.3
Figura 4.3

7. Tipos de energias mecânicas
associadas a um fluido
Admitindo que a pressão seja uniforme na
seção, então a força aplicada pelo fluido
externo no fluido do tubo de corrente, na
interface de área A, será F = P.A
No intervalo de tempo dt, o fluido irá se
deslocar de um ds, sob a ação da força F,deslocar de um ds, sob a ação da força F,
produzindo um trabalho:
dW = F.ds = P.A.ds = P.dV
Por definição: dW = dEpr e, portanto:
dEpr = P.dV (Eq. 4.3)

8. Tipos de energias mecânicas
associadas a um fluido
d) Energia mecânica total do fluido (E)
Excluindo-se energias térmicas e levando
em conta apenas efeitos mecânicos, a
energia total de um sistema fluido será:
E = E + E + E (Eq. 4.4)E = Ep + Ec + Epr (Eq. 4.4)
E = mgz + mv2/2 + ∫∫∫∫vPdV (Eq. 4.5)

9. Equação de Bernoulli
Hipóteses simplificadoras:
a) Regime permanente;
b) Sem máquina no trecho do escoamento.
(∀ dispositivo mecânico que forneça ou retirer energia do
fluido, na forma de trabalho. As que doam energia ao fluido
são chamadas ‘bombas’ e as que retiram energia do fluidos,são chamadas ‘bombas’ e as que retiram energia do fluidos,
‘turbinas’;
c) Sem perdas por atrito no escoamento do
fluido ou fluido ideal;
d) Propriedades uniformes nas seções;
e) Fluido incompressível;
f) Sem trocas de calor.

10. Equação de Bernoulli
Pelas hipóteses (b), (c ) e (f) exclui-se que
no trecho do escoamento em estudo seja
fornecida ou retirada energia do fluido.
Seja o tubo de corrente da Fig. (4.4), entre
as seções (1) e (2):
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Figura 4.4

11. Equação de Bernoulli
Deixando passar um intervalo de tepo dt,
uma massa infinitesimal dm1, de fluido a
montante da seção (1) atravessa-a e
penetra no trecho (1) – (2) acrescentando-
lhe energia:
dE1 = dm1gz1 + dm1v1
2/2 + P1dV1
Na seção (2), uma massa dm2 do fluido que
pertence ao trecho (1) – (2) escoa para
fora, levando a sua energia:
dE2 = dm2gz2 + dm2v2
2/2 + P2dV2

12. Equação de Bernoulli
Como pela hipóteses (b), (c ), e (f) não se
fornece nem se retira energia do fluido, para
que o regime seja permanente é necessário
que no trecho (1) – (2) não haja variação de
energia ⇒
dE = dE oudE1 = dE2 ou
dm1gz1+ dm1v1
2/2 + P1dV1 = dm2gz2 + dm2v2
2/2 + P2dV2
Como ρ = dm/dV e portanto dV = dm/ρ,
tem-se:
dm1gz1+ dm1v1
2/2 + (P1/ρρρρ1)dm1 = dm2gz2 + dm2v2
2/2 + (P2/ρρρρ2)dm2

13. Equação de Bernoulli
Como o fluido é incompressível, ρρρρ1 = ρρρρ2 e,
como o regime é permanente, dm1 =dm2,
portanto:
gz1+ v1
2/2 + P1/ρρρρ = gz2 + v2
2/2 + P2/ρρρρ
Dividindo a eq. por g e lembrando que δ =
ρ.g, tem-se:
z1+ v1
2/2g + P1/δδδδ = z2 + v2
2/2 + P2/δδδδ
Eq. (4.6) – Equação de Bernoulli

14. Equação de Bernoulli
A Eq. De Bernoulli permite relacionar cotas,
velocidades e pressões entre duas seções de
escoamento de um fluido.
Veja o significado de cada termo dessa eq.:
z = mgz/mg = E /G = energia potencial por unidade de peso ou
z = mgz/mg = Ep/G
v2/2g = mv2/2gm = mv2/2G = Ec/G
P/δ = PV/δV = PV/G = Epr/G
= energia potencial por unidade de peso ou
energia potencial de uma partícula de peso
unitário
= energia cinética
por unidade de peso
ou energia cinética
de uma partícula de
peso unitário
= energia de pressão por
unidade de peso ou energia de
pressão de uma partícula de
peso unitário

15. Equação de Bernoulli
Note que a Eq. 4.6 expresa que ao penetrar
por (1) uma partícula de peso unitário, à
qual estão associadas as energia z1, v1
2/g e
P1/δ, deverá sair por (2) uma partícula de
peso unitário à qual estejam associadas as
energias z2, v2
2/g e P2/δ, de forma que aenergias z2, v2 /g e P2/δ, de forma que a
soma delas seja idêntica à soma em (1)
para manter a energia constante no volume
entre (1) e (2).

16. Equação de Bernoulli
Note que sendo z uma cota, sua unidade
será uma unidade de comprimento (por
exemplo, metros);
Logo, tanto a v2/g e P/δ também serão
medidos dessa forma.
Não esqueça que, apesar disso, cada umaNão esqueça que, apesar disso, cada uma
das parcelas da Eq. 4.6 tem o significado de
energia por unidade de peso.
Além disso, lembre-se que no capítulo2 a
carga de pressão foi definida como sendo h
= P/ δ.
Logo, a energia de pressão por unidade de
peso é a própria carga de pressão.

17. Equação de Bernoulli
De modo análogo, serão denominadas:
z = carga potencial;
v2/g = carga da velocidade ou carga
cinética;
Observe que a palavra ‘carga’ substitui a
expressão ‘energia por unidade de peso’.expressão ‘energia por unidade de peso’.
Fazendo H =z + v2/g + P/ δ
Onde H = energia total por unidade de peso
numa seção ou carga total na seção.
Com a noção de carga total, a Eq. 4.76
poderá ser escrita :
H1 = H2

18. Equação de Bernoulli
Essa equação poderá ser enunciada da
seguinte forma:
“Se, entre duas seções do escoamento, o
fluido for incompressível, sem atritos, e o
regime permanente, se não houverregime permanente, se não houver
máquina nem troca de calor, então as
cargas totais se manterão constantes em
qualquer seção, hão havendo nem
ganhos nem perdas de carga.”

19. Exercício
1) Água escoa em regime permanente no Venturi da
figura. No trecho considerado, supõe-se as perdas por
atrito desprezíveis e as propriedades uniformes nas
seções. A área (1) é 20 cm2, enquanto que a da
garganta (2) é 10 cm2. Um manômetro cujo fluido
manométrico é mercúrio (δHg = 136.000 N/m3) é ligado
entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostradoentre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado
na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo
Venturi (δH2O = 10.000 N/m3) (figura pág. 89 Livro Brunetti)