Este documento descreve como calcular a área da região sombreada limitada por arcos de circunferência centrados nos vértices de um quadrado. A resolução mostra que a área total é igual à área do quadrado menos duas vezes a área de um quarto de circunferência, que é igual à metade da área do quadrado.

1. (Cesgranrio) Qual é a área da região sombreada na figura,
limitada por arcos de circunferência centrados nos vértices A e C
do quadrado ABCD, de lado 2?
Resolução:
Antes de tudo vamos observar a figura de outro modo.
Esta figura mostra mais coisas, a área do quadrado é a junção de
da circunferência mais uma figura pintada de amarelo,
chamada de região I.
A área da circunferência é então um quarto da
circunferência tem área igual a
(área da região II)
Queremos a área da região I, que vamos representar por
observando a figura notamos que a figura em amarelo é o
quadrado menos a região II (um quarto da circunferência).

2. ( )
Com R=2, pois o lado do quadrado é raio da circunferência cujo
um quarto está pintado de cinza.
Calculemos então
Voltando a figura original, vemos que ela possui duas regiões
iguais a esta de amarelo
Agora podemos atacar diretamente o problema.
Chamemos a área da região solicitada de S. Então temos o
seguinte,
S=área do quadrado – 2.( )
S=4 –  S= ( )