Este documento discute métodos para calcular áreas sob curvas, incluindo o método de exaustão de Arquimedes e a definição matemática de integral definida. O documento também cobre propriedades e o teorema fundamental do cálculo.

1. Métodos de Cálculo II
Aula - 3

2.  Integral Definida
 Determinar uma área sob a curva de uma função (que se traduz
na operação conhecida como integral definida), é um
procedimento que guarda estreitas relações com a operação de
desvendar a primitiva de uma função (integral indefinida).
 Vamos procurar entender o procedimento que possibilita este
cálculo.
 Na antiguidade o cálculo da área de certas figuras era obtido por
aproximação. A área de uma figura mais complexa era
determinada a partir do cálculo de áreas de figuras mais simples.
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3.  Método de Exaustão de Arquimedes
 Por volta de 400 a.C. Eudoxo geometrizou a técnica que
Arquimedes chamou de método de exaustão.
 O método consiste em exaurir (preencher) a figura que se quer
calcular a área com polígonos regulares.
 Quanto maior for número de lados do polígono, maior será a
convergência entre a área do polígono e a da figura.
 Vamos aplicar esse método para calcular a área do círculo.
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5. Método de Exaustão de Arquimedes
Para um polígono de n=4 lados Para um polígono de n=6 lados Para um polígono de n=8 lados
...
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6. Método de Exaustão de Arquimedes
 Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n.At;
2
.h
b
At 
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7. Método de Exaustão de Arquimedes
 O perímetro do polígono é pn=n.b;
 A área total é dada por:
2
.
2
.
.
.
h
p
h
b
n
A
n
A n
t
n 


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8. Método de Exaustão de Arquimedes
 No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n,
o polígono Pn vai se aproximando cada vez mais do círculo;
 Enquanto o perímetro Pn se aproxima do comprimento do círculo
(que é 2r), a altura hn vai se aproximando do raio r.
 Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte
maneira:
2
2
.
2
lim r
r
r
An
n






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9. Área sob uma curva
 Para determinar a área de uma figura plana qualquer, procedemos
de modo análogo.
 Considere então o problema de definir a área de uma região plana
S, delimitada pelo gráfico de uma função contínua, conforme o
gráfico abaixo:
S
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10. Área sob uma curva
 Especificado o intervalo [a,b], procedemos a divisão em n
subintervalos onde os pontos a=x0 e b=xn.
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11. Área sob uma curva
 xi=xi-xi-1 é o comprimento de cada intervalinho [xi-1, xi].
 Esse intervalo pode ser tão pequeno quanto se queira e o ponto
médio desse intervalo é definido por ci.
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12. Área sob uma curva
 A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn, é
dada por:
 Também neste caso, podemos observar que a medida que n
cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma das
áreas retangulares aproxima-se da área sob a curva da função
y=f(x).
 Em termos matemáticos, traduzimos isto, assim:
i
n
i
i
n
n
n x
c
f
x
c
f
x
c
f
x
c
f
S 







 

).
(
)
(
...
).
(
).
(
1
2
2
1
1
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13. Área sob uma curva
 Seja y=f(x) uma função contínua no intervalo [a,b]. A área sob a
curva de f(x) é definida por:
 A integral definida está associada ao limite da definição acima.
Definição
 Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e P uma partição
qualquer de [a,b]. A integral definida de “a” até “b” denota-se
por:






n
i
i
i
x
x
c
f
A
i
1
0
).
(
lim

 




n
i
i
i
b
a
x
x
c
f
dx
x
f
i
1
0
)
(
lim
)
(
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14. Área sob uma curva
 Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].
 Quando a função f é contínua e não-negativa em [a,b], a
definição da integral definida coincide com a definição da área.
Portanto, neste caso, a integral definida é a área da
região sob o gráfico de f de “a” até “b”.
 Observação: sempre que utilizamos [a,b] supomos a < b.
 Se a>b, então se a integral à direita existir;
 Se a=b e f(a) existir, então,

b
a
dx
x
f )
(

b
a
dx
x
f )
(

 

a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
0
)
( 

a
a
dx
x
f
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15. Propriedades
 1) k.f(x) é integrável em [a,b] e
 2)
 3)
 4) f(x) + g(x) é integrável e
 5)
 6) Se f(x)  g(x) e a  b, então
 

b
a
b
a
dx
x
f
k
dx
x
f
k )
(
.
)
(
.
 
a
a
dx
x
f 0
)
(
 


b
a
a
b
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
 
 


b
a
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f )
(
)
(
)]
(
)
(
[
  


b
a
c
a
b
c
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f )
(
)
(
)
(
 

b
a
a
b
dx
x
g
dx
x
f )
(
)
(
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16. Teorema Fundamental do Cálculo
 Se F(x) é uma primitiva de f no intervalo [a,b], então:
)
(
)
(
)
(
)
( a
F
b
F
x
F
dx
x
f
b
a
b
a 



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17. Exemplo
 Calcule a área da região sob o gráfico da função f(x)=x-x2.
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18. Uma vez que f(x)0 no intervalo [0,1], a área A da região sob seu
gráfico é dada por:
Além disso a função é contínua nos reais e, portanto, possui
primitiva, que neste caso é:
Pelo TFC, temos então que:
 
1
0
2
]
[ dx
x
x
3
2
)
(
3
2
x
x
x
F 

6
1
3
1
2
1
3
2
]
[
1
0
1
0
3
2
2












 
x
x
dx
x
x
A
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19.  Bibliografia utilizada:
 Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992.
 Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.
São Paulo, 2006.
 Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
 Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-
Verlag. New York, 1979.
 Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
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