Introdução à Detecção de Bordas em Imagens Digitais

Introdução ao
Processamento Digital de
Imagens
Prof. Leonardo Vidal Batista
DI/PPGI/PPGEM
leonardo@di.ufpb.br leovidal@terra.com.br
http://www.di.ufpb.br/leonardo

José Raphael Teixeira Marques – DI/PPGI
jose.raphael.marques@gmail.com
raphaelmarques.wordpress.com

Filtros de suavização

 Média, Moda, Mediana, Gaussiano...
 Vizinhança m x n

Filtros de aguçamento e
detecção de bordas
 Efeito contrário ao de suavização: acentuam
variações de intensidade entre pixels
adjacentes.
 Baseados no gradiente de funções
bidimensionais.
 Gradiente de f(x, y):
 f 
 x   f
2 2 1 / 2
     f 
G[f(x, y)] = G[ f ( x, y )]       
 y 
   x    
 f   
 
 y 

Filtros de detecção de bordas
 g(i, j): aproximação discreta do módulo do
vetor gradiente em f(i, j).
 Aproximações usuais:

g(i, j) = {[f(i,j)-f(i+1,j)]2 + [f(i,j)-f(i,j+1)]2}1/2
g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j)| + |f(i,j)-f(i,j+1)|

Gradiente de Roberts:
g(i,j) = {[f(i,j)-f(i+1,j+1)]2+[f(i+1,j)-f(i,j+1)]2}1/2
g(i, j) = |f(i,j)-f(i+1,j+1)| + |f(i+1,j)-f(i,j+1)|

 Aproximações usuais:

Gradiente de Roberts:

Gradiente de Prewitt:
g(i, j) = |f(i+1,j-1) + f(i+1, j) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - f(i-1, j) - f(i-1, j+1)|
+|f(i-1, j+1) + f(i, j+1) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|
Gradiente de Sobel:
g(i, j) = |f(i+1, j-1) + 2f(i+1, j) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - 2f(i-1, j) - f(i-1, j+1)|
+ |f(i-1,j+1) + 2f(i,j+1) + f(i+1, j+1)
- f(i-1, j-1) - 2f(i, j-1) - f(i+1, j-1)|

Gradiente de Prewitt:

Gradiente de Sobel:

Gradiente de Roberts

Limiares 15, 30 e 60

Processamento de
Histograma
 Se o nível de cinza l ocorre nl vezes em
imagem com n pixels, então
nl
P(l ) 
n

 Histograma da imagem é uma
representação gráfica de nl ou P(l)

Histograma
Histograma
nl

Imagem 7
6
1 0 0 3 3 5
4
0 0 3 3 3
3
1 1 1 3 3 2
1
0
0 1 2 3 l
Imagem 3 x 5 (L = 4) e seu histograma

Histograma
 O histograma representa a distribuição
estatística de níveis de cinza de uma imagem
nl nl nl

0 255 l 0 255 l 0 255 l

Histograma

10000

8000

6000

4000

2000

0
0 50 100 150 200 250

Histograma

1500

1000

500

0

0 50 100 150 200 250

Expansão de Histograma
 Quando uma faixa reduzida de níveis de
cinza é utilizada, a expansão de
histograma pode produzir uma imagem
mais rica.
nl nl nl

A B C

l l l
m0=0 m1 L-1 0 m0 m1 L-1 0 m0 m1=L-1

 Quando uma faixa reduzida de níveis de
cinza é utilizada, a expansão de
histograma pode produzir uma imagem
mais rica:

 r  rmin 
s  T ( r )  round 
r ( L  1) 

 max  rmin 

1500

1000

500

0

0 50 100 150 200 250

1500

1000

500

0
0 50 100 150 200 250

 Expansão é ineficaz nos seguintes casos:

nl nl nl
A B C

l l l
0 L-1 L-1 0 m0 m1 L-1 0 L-1

Equalização de Histograma
 Se a imagem apresenta pixels de valor 0
e L-1 (ou próximos a esses extremos) a
expansão de histograma é ineficaz.
 Nestas situações a equalização de
histograma pode produzir bons
resultados.
 O objetivo da equalização de histograma
é gerar uma imagem com uma
distribuição de níveis de cinza uniforme.

 L 1 r 
s  T (r )  round   nl 
 RC l 0 
1500

1000

500

0

0 50 100 150 200 250

1500

1000

500

0
0 50 100 150 200 250

 Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
nl
l nl
0 790 1200
1 1023 1000
2 850 800
3 656 600
4 329
400
5 245
200
6 122
0
7 81 0 1 2 3 4 5 6 7 l

 Exemplo (cont.):
 r=0s = round(790 x 7 / 4096) =1
 r=1s = round(1813 x 7 / 4096) =3
 r=2s = round(2663 x 7 / 4096) =5
 r=3s = round(3319 x 7 / 4096) =6
 r=4s = round(3648 x 7 / 4096) =6
 r=5s = round(3893 x 7 / 4096) =7
 r=6s = round(4015 x 7 / 4096) =7
 r=7s = round(4096 x 7 / 4096) =7

 Exemplo: imagem 64 x 64, L = 8
l nl nk
0 0
1 790 1200
1000
2 0
800
3 1023
600
4 0
400
5 850
200
6 985
0
7 448 0 1 2 3 4 5 6 7 k

nl Hist. Original nl Hist. Equal. (Ideal) nl Hist. Equal. (Real)

0 L-1 L-1 l 0 m0 m1 L-1 l 0 L-1 l

 Expansão de histograma é pontual ou
local? E equalização de histograma?
 O que ocorre quando uma imagem com
um único nível passa pela operação de
equalização de histograma?
 Melhor fazer equalização seguido por
expansão de histograma, o inverso, ou a
ordem não importa?

Local
 Para cada posição (i,j) de f

• Calcular histograma na vizinhança de
(i,j)
• Calcular s = T(r) para equalização de
histograma na vizinhança
• G(i,j) = s

Controle de contraste
adaptativo
 desvio padrão na 
 (i, j )  
 visinhança do ponto (i,j ) 

 
 média na 
 (i, j )  
 visinhança do ponto (i,j )  
 

 c
 (i, j )  [ f (i, j )   (i, j )]; (i, j )  0
g (i, j )    (i, j )
 f (i, j ); (i, j )  0


Controle de contraste
adaptativo

Original c<σ c>σ

Pseudo-cor
Nível de R G B
cinza
0 15 20 30
1 15 25 40
...
L-1 200 0 0

Outros filtros:
 Curtose, máximo, mínimo etc.
 Filtros de suavização + filtros de
aguçamento
 Laplaciano do Gaussiano (LoG)
 “Emboss”
 Aumento de saturação
 Correção de gama
 ...

Filtros Lineares e Invariantes
ao Deslocamento
 Filtro linear:
T [af1 + bf2] = aT [f1] + bT [f2]
para constantes arbitrárias a e b.
 Filtro invariante ao deslocamento:
Se g[i, j] = T [f[i, j]]
então g[i - a, j – b] = T [f[i - a, j – b]].
 Se i e j são coordenadas espaciais: filtros
espacialmente invariantes.

Dissolve Cruzado
 ht (i, j)= (1 - t) f(i, j) + t g(i, j)
 t é um escalar no intervalo [0, 1]

 http://jose.raphael.marques.googlepage
s.com/PDI_Dissolve.jnlp

Dissolve Cruzado

t = 0,3 t = 0,5 t = 0,7

Dissolve Cruzado Não-
Uniforme
 ht(i, j)= [1 - t(i, j)] f(i, j) + t(i, j) g(i, j)
 t é uma matriz com as mesmas
dimensões de f e g cujos elementos
assumem valores no intervalo [0, 1]

Dissolve Cruzado Não-
Uniforme

t(i,j)=(i+j)/(R+C-2) t(i,j)=j/(C-1) t(i,j)=i/(R-1)

Detecção de Movimento
L  1, se | f1  f 2 | Lt
g
0, caso contrario

f1 f2 g

Redução de Ruído por Média
de Imagens
 f[i, j] imagem sem ruído
 nk(i, j) ruído de média m
 gk[i,j] = f[i,j] + nk(i,j)

M

1
g [i, j ]  g k [i, j ]
M k 1

Redução de Ruído por Média
de Imagens
M

1
g [i, j ]  ( f [i, j ]  nk (i, j ))
M k 1
M

1
g [i, j ]  f [i, j ]  nk (i, j )
M k 1

 Para M grande:

g[i, j ]  f [i, j ]  m

Operações Topológicas

 Rígidas
 Translação
 Rebatimento
 Rotação
 Mudança de Escala
 Não rígidas (Warping)

Rotação
 Rotação em torno de (ic, jc)

i'  (i  ic ) cos   ( j  jc ) sen   ic
j '  (i  ic ) sen   ( j  jc ) cos   jc

 http://jose.raphael.marques.googlep
ages.com/PDI_Rotation.jnlp

Rotação e Rebatimento

Imagem original Rebatimento pela Rotação de 90
diagonal graus em torno
de (R/2,C/2)

Ampliação (Zoom in)
 Por replicação de pixels

Original Ampliação por fator 3

10 10 10 10 10 10 10 10
20 30 10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
20 20 20 30 30 30
20 20 20 30 30 30
20 20 20 30 30 30

 Por interpolação bilinear

10 10 10 10 10 10 10 10
20 30

Interpolação nas linhas
Passos de níveis de cinza:
10 a 10: 0
20 a 30: (30-20)/5 = 2
20 22 24 26 28 30


10 10 10 10 10 10 10 10
20 30 12 12 13 13 14 14
Interpolação nas colunas 14 15 16 16 17 18
Passos de níveis de cinza:
16 17 18 20 21 22
10 a 20: (20-10)/5 = 2
10 a 22: (22-10)/5 = 2.4 18 20 21 23 24 26
... 20 22 24 26 28 30
10 a 30: (30-10)/5 = 4

 passos:
 12/5 = 2.4
 12/9 = 1.333... (dízima)

n  a b
in i
xi  xa    xb  , i  {0..n}
 n  n

 Exemplo: Ampliação por fator 10

Original Replicação Interpolação

Redução (Zoom out)
 Por eliminação de pixel
 Por Média
Original Redução por média
por fator 3
10 10 10 10 10 10
13 14 16 17 18 19
14 18
17 19 21 23 25 28
28 41
20 23 27 30 33 37
23 27 33 37 41 46
27 32 38 43 48 55

Reconstrução de Imagens
 Zoom por fatores não inteiros
 Ex: F = 3,75432
 Operações elásticas, etc.
 Técnicas mais avançadas devem ser
utilizadas
 Uma dessas técnicas é a reconstrução
de imagens

Reconstrução de imagens
 Dados f(i,j), f(i,j+1), f(i+1,j), f(i+1,j+1)
(i, j) (i, y) (i, j+1)
 Reconstrução:
Encontrar f(x,y), (x,y)
x em [i, i+1]
y em [j, j+1]

(i+1, j) (i+1, y) (i+1, j+1)

por interpolação bilinear
 f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]
 f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]
 f(x, y) = f(i, y) + (x – i) [f(i+1, y) - f(i, y)]
(i, j) (i, y) (i, j+1)

(x,y)

(i+1, j) (i+1, y) (i+1, j+1)

 Ex: f(10.5, 15.2)=?

 f(10, 15) = 10
 f(10, 16) = 20
 f(11,15) = 30
 f(11, 16) = 30

Solução:
x = 10.5; y = 15.2 => i = 10; j = 15
f(i, y) = f(i, j)+(y–j)[f(i, j+1)-f(i, j)]
f(10, 15.2)=f(10,15)+(15.2-15)*[f(10,16)-f(10,15)
= 10 + 0.2*[20 – 10] = 12
f(i+1,y)=f(i+1,j)+(y–j)[f(i+1,j+1)-f(i+1, j)]
f(11, 15.2)=f(11,15)+(15.2-15)*[f(11,16)-f(11,15)
=30 + 0.2*[30 – 30] = 30
f(x, y) = f(i, y) + (x–i) [f(i+1, y) - f(i, y)]
f(10.5, 15.2)=12+(10.5-10)*[30-12] =21

Zoom por reconstrução de
imagens
Ex: Ampliação por fator 2.3
Passo para as coordenadas: 1/2.3 = 0.43
x = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04...
y = 0, 0.43, 0. 87, 1.30, 1.74, 2.17, 2.61, 3.04...
g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 0.43);
g(0,2) = f(0, 0.87); g(0,3) = f(0, 1.30);...

Ex: Redução por fator 2.3
x = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8...
y = 0, 2.3, 4.6, 6.9, 9.2, 11.5, 13.8...
g(0,0) = f(0,0); g(0,1) = f(0, 2.3);
g(0,2) = f(0, 4.6); g(0,3) = f(0,6.9);...

Operações Topológicas Não
Rígidas (warping)
 Warping = distorção
 Zoom por fator F(i, j)
 Rotação por ângulo teta(i,j)
 Translação com deslocamento d(i,j)
 Warping especificado pelo usuário

Warping baseado em
Campos
 Entretenimento
 Efeitos especiais, morphing
 Correção de distorções óticas
 Alinhamento de elementos
correspondentes em duas ou mais
imagens (registro)
 Modelagem e visualização de
deformações físicas

Warping baseado em
Campos
1. Características importantes da
imagem são marcados por
segmentos de reta orientados
(vetores de referência)
2. Para cada vetor de referência, um
vetor alvo é especificado, indicando
a transformação que se pretende
realizar

Warping baseado em
Campos
3. Para cada par de vetores
referência-alvo, encontra-se o
ponto X’ para onde um ponto X da
imagem deve migrar, de forma que
as relações espaciais entre X’ e o
vetor alvo sejam idênticas àquelas
entre X e o vetor de referência
4. Parâmetros para as relações
espaciais : u e v

Warping baseado em
Campos
 u: representa o
deslocamento
normalizado de P
até O no sentido
do vetor PQ
(Normalizado:
dividido pelo
módulo de PQ)
 |v|: distância de X
à reta suporte de
PQ

Warping baseado em
Campos
 Se O=P, u = 0
 Se O=Q, u = 1
 Se O entre P e
Q, 0<u<1;
 Se O após Q,
u>1
 Se O antes de
P, u<0

Warping baseado em
Campos
 http://sites.google.com/site/joserap
haelmarques/arquivos/PDI_UV.jnlp

haelmarques/arquivos/PDI_Warping.
jnlp

Warping baseado em
Campos
 Encontrar u e v: norma, produto interno,
vetores perpendiculares, projeção de um
vetor sobre outro.
 Vetores a = (x1, y1) e b = (x2, y2)
 Norma de a:

|| a ||  x  y
2
1
2
1

 Produto interno:
a.b = x1x2 +y1y2

Warping baseado em
Campos
 “Norma” da projeção de a sobre b (o
sinal indica o sentido em relação a b)
a
a.b
|| c || 
|| b ||
b

c

Warping baseado em
Campos
 Vetor b = (x2, y2) perpendicular a a =
(x1, y1) e de norma igual à de a:
b a

 Perpendicularidade: x1x2 +y1y2 = 0
 Mesma norma: x22 + y22 = x12 + y12

Warping baseado em
Campos
 Soluções:
x2 = y1, y2 = -x1
x2 = -y1, y2 = x1

b a

b’

Warping baseado em
Campos
 Parâmetro u:
“norma” da
projeção de PX
sobre PQ, dividido
pela norma de PQ

PX .PQ
u 2
|| PQ ||

Warping baseado em
Campos
 P = (xp,yp), Q =
(xq, yq), X = (x,y)

PX .PQ
u 2
|| PQ ||

u = (x - xp).(xq - xp) + (y -yp)(yq – yp)
(xq-xp)2 + (yq-yp)2

Warping baseado em
Campos
 Parâmetro v:
distância de X à
reta suporte de PQ

PX .  PQ
v
|| PQ ||
 v: vetor
perpendicular a v e
de mesma norma
que este.

Warping baseado em
Campos
 PQ = (Xq-Xp, Yq-Yp)
PQ1 = (Yq–Yp, Xp-Xq)
PQ2 = (Yp–Yq, Xq-Xp)
 Vamos usar PQ1

Q

P

Warping baseado em
Campos
 Parâmetro v:

PX .  PQ
v
|| PQ ||

v = (x-xp)(yq-yp) + (y-yp)(xp–xq)
[(xq-xp)2 + (yq-yp)2]1/2

Warping baseado em
Campos
 Cálculo de X’:

v.  P ' Q'
X '  P'u.P' Q'
|| P' Q' ||

Warping baseado em
Campos

PX .PQ
u 2
|| PQ ||

PX .  PQ
v
|| PQ ||

v.  P ' Q'
X '  P'u.P' Q'
|| P' Q' ||

Warping baseado em
Campos
 Quando há mais de um par de vetores
referência-alvo, cada pixel sofre a
influência de todos os pares de vetores
 Será encontrado um ponto Xi’ diferente
para cada par de vetores referência-alvo.
 Os diferentes pontos para os quais o
ponto X da imagem original seria levado
por cada par de vetores referência-alvo
são combinados por intermédio de uma
média ponderada, produzindo o ponto X’
para onde X será efetivamente levado.

Warping baseado em
Campos
haelmarques/arquivos/PDI_UV2.jnlp

haelmarques/arquivos/PDI_Warping
2.jnlp

Warping baseado em
Campos
 Peso da coordenada definida pelo i-ésimo
par de vetores de referência-alvo:

di: Distância entre X e o segmento PiQi
li: ||Pi Qi||
a, b e p : Parâmetros não negativos

Warping baseado em
Campos
 Relação inversa com a distância entre a
reta e o ponto X
 Parâmetro a : Aderência ao segmento
 a = 0 (Peso infinito ou aderência máxima)

Warping baseado em
Campos
 Parâmetro p controla a importância do
tamanho do segmento
 p = 0: independe do tamanho do
segmento

Warping baseado em
Campos
 Parâmetro b controla a forma como a
influência decresce em função da
distância
 b = 0: peso independe da distância

Warping baseado em
Campos
 Bons resultados são obtidos com:
a entre 0 e 1
b=2
p = 0 ou p = 1.

Warping baseado em
Campos
 Exemplo:
P0 = (40, 10); Q0 = (20, 5)
P0’ = (35, 15); Q0’ = (25, 20) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
P1 = (20, 30); Q1 = (10, 35) 0
Q1’
P1’ = (25, 50); Q1’ = (5, 40) 5
Q1
X = (20, 25) 10

u0 = [(20-40) (20-40) + (25- 15
10)(5-10)] / [(20-40)2+ X
(5-10)2] = 0.76
20 Q0
P1
v0 = [(20-40) (5-10) + (25- 25 Q0’
P1’
10)(40-20)] / [(20-40)2+ 30
(5-10)2]1/2 = 19.40
35
X0’ = (35, 10) + 0.76 (25-35, P0’
20-15) + 19.4 (20-15, 35- 40
P0
X0’
25) / [(25-35)2 + (20- 45
15)2]1/2
X0’ = (36.03, 31.17) 50

Warping baseado em
Campos
 Exemplo (cont):
u1 = [(20-20) (10-20) +
(25-30)(35-30)] / [(10-
20)2+ (35-30)2] = - 0.2 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
v1 = [(20-20) (35-30) + 0
(25-30)(20-10)] / [(10- 5 Q1’
20)2+ (35-30)2]1/2 = - 10
Q1
4,47
15
X1’ = (25, 50) - 0.2 (5-25, X
40-50) -4,47 (40-50, 20 Q0
25-5) / [(25-5)2 + (40- 25 Q0’
P1
50)2]1/2 P1’

X1’ = (25, 50) + (4.6, 2) + 30

(2, -3.99) = (31.6, 35 X1’
48,01) 40
P0’ X0’
P0
45

50

Warping baseado em
Campos
 Exemplo (cont):
Dados a = 0.1; b = 2; p= 0
wi = 1/[0.1+di]2
d0 = v0 = 19.4 => w0 =
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

0.0026
0
5 Q1’
d1 = distância de X a P1 = Q1
[(20-20)2 + (25-30)2]1/2 10
= 5 =>: w1 = 0.0384 15
X’ = [0.0026* (36.03, 20 Q0
X
31.17) + 0.0384*(31.6, P1
48,01)]/( 0.0026+ 25 Q0’
P1’
0.0384) 30 X’
X’ = (31.88, 46,94) X1’
35
P0’ X0’
40
P0
45

50

Warping baseado em
Campos
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
5 Q1 ’
Q1
10

15
X
20 Q0
P1
25 Q0’
P1’
30

35
P0’
40 X0’
P0
45

50

Warping baseado em
Campos
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
5 Q1’
Q1
10

15
X
20 Q0
P1
25 Q0’
P1’
30

35 X1’

P0’
40 X0’
P0
45

50

Warping baseado em
Campos
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
0
5 Q1’
Q1
10

15
X
20 Q0
P1
25 Q0’
P1’
30
X’

35 X1’

P0’
40 X0’
P0
45

50

Warping baseado em
Campos
N.jnlp

N_FixSize.jnlp

Morphing
 Interpolação de formas e cores
entre duas imagens distintas
(f0 e fN-1)
 Encontrar imagens f1, f2, ..., fN-2:
transição gradual de f0 a fN-1
 Efeitos especiais na publicidade e na
indústria cinematográfica; realidade
virtual; compressão de vídeo; etc.

Morphing

Inicial Warping Final

Morphing
Warping I

Inicial Final

Warping F

Morphing
ai
c1i
c2i
c3i
c4i
c5i
c6i
c7i
c8i
c9i
bi

Morphing

Inicial 0 Warping 1 Warping 2 Warping 3 Final 4

Morphing
Warping 1 I Warping 2 I Warping 3 I

Inicial 0 Final 4

Warping 1 F Warping 2 F Warping 3 F

Morphing
 Exemplo:
 http://www.youtube.com/watch?v=
wZurRt0TidI

Técnicas no Domínio da
Freqüência
 Conversão ao domínio da freqüência:
transformadas
 Processamento e análise no domínio da
freqüência
 Fourier, Cosseno Discreta, Wavelets,
etc.

Cosseno Analógico
 f: freqüência x(t )  A cos2ft   
 T=1/f: período A

  : fase
 A: amplitude
 Gráfico para
fase nula e A>0

T

Uma Família de Funções
Cosseno Analógicas
xk (t )  Ak cos2f k t   k , k  0, 1, ..., N  1

 fk: freqüência do k-ésimo cosseno
 Tk =1/fk: período do k-ésimo
cosseno
  k : fase do k-ésimo cosseno
 Ak: amplitude do k-ésimo cosseno

Cosseno Discretas

x k [n]  Ak cos2f k n   k , n  0,1,...,N  1

k = 0,1,...N-1

Cosseno Discretas
1/ 2
2
Ak    ck X k
N
1/2 1/2
 para k  0
ck 
1
 para k  1, 2, ... N - 1
k 2N k
fk  Tk  k 
2N k 2N

1/ 2
2  (2n  1)k 
x k [n ]    c k X k cos  , n  0,1,...,N  1
N  2N 

Cosseno Discretas
1/ 2
2  (2n  1)k 
x k [n ]    c k X k cos  , n  0,1,...,N  1
N  2N 

 f0  0 1/ 2
 2  1
1/ 2
k 0  x0[n]      X 0 , n  0,1,...,N  1
 0  0  N  2

1
k  1  f1   T1  2 N (meio-período em N amostras)
2N
N 1 2N
k  N  1  f N 1   TN 1 
2N N 1

Cosseno Discretas
 xk[n] (N = 64, Xk = 10).
2

1

0

-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

k=1
Meio-ciclo

Cosseno Discretas
2

1
k=2
0
1 ciclo
-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

2

1
k=3 0
1,5 ciclo -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

Cosseno Discretas
2

k=32 1

16 ciclos
0

-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

2

1
Para 0

visualização -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

Cosseno Discretas
2

k=63 1

31,5 ciclos 0

-1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

2

1
Para
0
visualização -1

-2
0 10 20 30 40 50 60 70

Cosseno Discretas
 Amostragem de um sinal periódico não
necessariamente produz um sinal de
mesmo período (ou mesmo periódico).

Somando Cossenos
Discretos
 Criar um sinal x[n] somando-se os sinais
xk[n], k = 0...N-1, amostra a amostra:
N 1
x[n]   x k [n], n 0,1,...,N  1
k 0

1 / 2 N 1
2  (2n  1)k 
x[n ]     ck X k cos  2 N , n  0,1,...,N  1
N k 0  

Somando Cossenos
Discretos
 Exemplo:
 N = 8; X0 = 10; X1 = 5; X2 = 8,5; X3 = 2;
X4 = 1; X5 = 1,5; X6 = 0; X7 = 0,1.

5
1/ 2
11
4 x 0 [n ]    10
22
3 =3.5355
2
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X1 = 5
4 5  (2n  1) 
x1 [n ]  cos 
2
2  16  
0
=2.4520; 2.0787; 1.3889;
-2
0.4877; -0.4877; -1.3889;
-4
0 2 4 6 8
-2.0787; -2.4520
6

4
x0[n]+x1[n]
2

0
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X2 = 8,5
8.5  (2n  1)2 
x 2 [n ] 
4
cos  
2
2  16 
0
= 3.9265; 1.6264; -1.6264;
-2
-3.9265; -3.9265; -1.626;
-4
0 2 4 6 8
1.6264; 3.9265
10

5
x0[n]+x1[n] +x2[n]
0

-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X3 = 2
1 2  (2n  1)3 
x 3 [n ]  cos  
0.5 2  16 
0
= 0.8315; -0.1951; -0.9808;
-0.5
-0.5556; 0.5556; 0.9808;
-1
0 2 4 6 8
0.1951; -0.8315
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0

-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X4 = 1
0.4
1  (2n  1)4 
x 4 [n ]  cos  
 
0.2
2 16
0
= 0.3536; -0.3536; -0.3536;
-0.2
0.3536; 0.3536; -0.3536;
-0.4
0 2 4 6 8
-0.3536; 0.3536
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 +x4[n]
-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X5 = 1,5
1
1.5  (2n  1)5 
x 5 [n ]  cos  
 
0.5
2 16
0

-0.5
= 0.4167 -0.7356 0.1463
0.6236 -0.6236 -0.1463
-1
0 2 4 6 8 0.7356 -0.4167
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 +x4[n]+x5[n]
-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X6 = 0
0  (2n  1)6 
x 6 [n ]  cos 
1

0.5 2  16 

=0
0

-0.5

-1
0 2 4 6 8
15

10

5 x0[n]+x1[n]+x2[n]+x3[n]
0 +x4[n]+x5[n]+x6[n]
-5
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X7 = 0,1
0.1  (2n  1)7 
x 7 [n ] 
0.05
cos  
2  16 
0
= 0.0098; -0.0278; 0.0416;
-0.0490’; 0.0490; -0.0416;
-0.05
0 2 4 6 8
0.0278; -0.0098
15

10

5 x[n]=x0[n]+x1[n]+x2[n]+
0 x3[n] +x4[n]+x5[n]+x6[n]
-5
+x7[n]
0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 X[k] é um sinal digital: X[k]= X0, X1,...XN-1
 Exemplo: X[k]=10;5;8.5;2;1;1.5;0;0.1
 Dado X[k] pode-se obter x[n]
 X[k]: representação alternativa para x[n]

X[k] x[n]
10 15

10

5 5

0

0 -5
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

Somando Cossenos
Discretos
 xk[n]: cosseno componente de x[n],
de freqüência fk = k/2N; ou
 xk[n]: componente de freqüência
fk = k/2N;
 X[k]: Diretamente relacionado com a
amplitude da componente de
freqüência fk = k/2N
 X[k] representa a importância da
componente de freqüência fk = k/2N

Transformada Cosseno
Discreta (DCT)
 DCT de x[n]:
1/ 2 N 1
2  (2n  1)k 
X [k ]    ck  x[n] cos  , k  0,1,...,N  1
N n 0  2N 

 Transformada DCT inversa (IDCT) de
X[k]:
1 / 2 N 1
2  (2n  1)k 
x[n]     ck X [k ] cos  2 N , n  0,1,...,N  1
N k 0  

Discreta (DCT)

 X[k]: coeficientes DCT
 X: representação de x no domínio da
freqüência
 X[0]: coeficiente DC (Direct Current)
 X[1]...X[N-1]: coeficientes AC
(Alternate Current)
 Complexidade
 Algoritmos eficientes: FDCT

DCT – Exemplo 1
g1

0.1

0

-0.1

-0.2
0 20 40 60 80 100 120
g3 g1+ g3
2 2

1 1

0 0

-1 -1
-2
-2
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120

DCT – Exemplo 1 (Cont.)
g10 g1+g3+g10
2 2

1 1

0 0

-1 -1
-2
-2
0 20 40 60 80 100 120
0 20 40 60 80 100 120
g118 g1+g3+g10+g118
+
2
0.1
1

0 0

-0.1 -1

-2
-0.2
0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120

DCT – Exemplo 2
60  1 π 
f1[n]  29.99 cos 2 π n 
40  2N 2N 

20
0
-20
-40
-60
0 10 20 30 40 50 60
60  2 π  150 f1  f 2
f 2 [n]  48.54 cos 2 π n 
40  2N 2N 
100
20
50
0
-20 0

-40 -50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

60  3 π  150 f1  f 2  f 3
f 3 [n]  34.23 cos 2 π n 
40  2N 2N 
100
20
50
0
-20 0

-40 -50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 1000 10 20 30 40 50 60
60  4 π  150 f1  f 2  ...  f 4
f 4 [n]  -35.19 cos 2π n 
40  2N 2N 
100
20
50
0
-20 0

-40 -50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

150
60  5 π  f 1  f 2  ...  f 6
f 5 [n]  -34.55 cos 2π n 
40  2N 2N  100

20 50

0 0
-20
-50
-40
-
-60 100
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60
150
60  6 π  f 1  f 2  ...  f 6
f 6 [n]  -33.29 cos 2 π n 
40  2N 2N  100
20 50
0
0
-20
-50
-40
-60 -
100
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

200
60  7 π  f 1  f 2  ...  f 7
f 7 [n]  -63.42 cos 2π n  150
40  2N 2N 
100
20
50
0
0
-20
-40 -50

-60 -
1000 10 20 30 40 50 60
0 10 20 30 40 50 60
60  8 π  f1  f 2  ...  f 8
f 8 [n]  -42.82 cos 2π n  200
40  2N 2N 
150
20
100
0
50
-20
0
-40
-50
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 100

60  9 π  f1  f 2  ...  f 9
f 9 [n]  -10.31cos 2 π n  200
40  2N 2N 
150
20 100
0 50
-20 0
-40 -50
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 1000 10 20 30 40 50 60
60  10 π  f1  f 2  ...  f10
f10 [n]  7.18 cos 2 π n  200
40  2N 2N 
150
20 100
0 50
-20 0
-40 -50
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 1000 10 20 30 40 50 60

600
60  20 π  f 1  f 2  ...  f 20
f 20 [n]  -62.24 cos 2π n 
40  2N 2N 
400
20
0 200

-20
0
-40
-60
-
0 10 20 30 40 50 60 2000 10 20 30 40 50 60

60  40 π  100 f1  f 2  ...  f 40
f 40 [n]  35.54 cos 2 π n 
40  2N 2N  0
800
20 600
0 400
-20 200
-40 0
-60 -
200
0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60

60  60 π  120 f1  f 2  ...  f 60
f 60 [n]  -6.73 cos 2π n  0
40  2N 2N  100
0800
20
600
0
400
-20 200
-40 0
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 2000 10 20 30 40 50 60
60  63 π  120 f1  f 2  ...  f 63
f 63 [n]  -1.51cos 2 π n 
 2N 2N  0
100
40
0800
20
600
0
400
-20
200
-40 0
-60 -
0 10 20 30 40 50 60 2000 10 20 30 40 50 60

DCT – Exemplo 3
1250
1200

Sinal 1150
1100
eletrocardiográfico, 1050

2048 amostras 1000
950
900
850
0 500 1000 1500 2000
400

DCT do sinal 200

eletrocardiográfico 0
(sem termo DC)
-200

-400
0 500 1000 1500 2000

DCT – Exemplo 4
20

Onda Quadrada 10

0

-10

-20
0 10 20 30 40 50 60
60
40

DCT da Onda 20

Quadrada 0

-20

-40
-60
0 10 20 30 40 50 60

Freqüências em Hz

 Ta = 1/fa (Período de amostragem)
 N amostras ---- (N-1)Ta segundos

1 1 fa
f1  (adimensio nal)  f1   Hz
2N 2( N  1)Ta 2( N  1)

fa fa
f N 1  ( N  1)  Hz
2( N  1) 2

Freqüências em Hz

 Aumentar N melhora a resolução de
freqüência.
 Aumentar fa aumenta a freqüência
máxima digitalizável, em Hz.
 Dualidade com o domínio do tempo

Freqüências em Hz
 Sinal de ECG, N= 2048, fa=360Hz
 Valores em Hz para k = 14, 70, 683 e 2047
14

70 683 2047

Freqüências em Hz

 f1 = fa/[2(N-1)] Hz = 360/(2x2047) =
0,087933561
 f14 = 14f1 = 1,23 Hz
 f70 = 70f1 = 6,16 Hz
 f683 = 683f1 = 60,06 Hz
 f2047 = 2047f1 = 180 Hz

Freqüências em Hz
 Observações
 fa = 360 Hz <=> Ta = 0,002778 Hz
 Tempo total para 2048 amostras = 5,69s
 Um batimento cardíaco: aprox. 0,8 s
 “Freqüência” Cardíaca: aprox. 1,25 bat./s
= 1,25 Hz, ou 75 batimentos/min.
 “Freqüência” Cardíaca aprox. igual a f14

Freqüências em Hz
 Onda quadrada, N = 64, fa = 1Hz
 Valores em Hz para k = 7, 8, 9 e 63
60
40

20

0

-20

-40
-60
0 7 9 63

Freqüências em Hz
 f1 = fa/[2(N-1)] Hz = 1/(2x63) =
0,007936507
 f7 = 7f1 = 0,0556 Hz
 f8 = 8f1 = 0,0625 Hz
 f9 = 9f1 = 0,0714 Hz
 f63 = 63f1 = 0,5 Hz
 Obs:
 Período do sinal = 16 s
 Freqüência da onda = 0,0625

Freqüências e Conteúdo de
Freqüência

 Sinal periódico
 Freqüência
 Freqüências componentes
 Sinal não-periódico:
 Freqüências componentes

Sinais analógicos senoidais

 Representação em freqüência de um sinal
analógico senoidal?

 Sinal analógico senoidal, de freqüência f

 fa mínimo para digitalização adequada?

 Se f não é múltiplo de f1?

Amostragem de Senóides
 Cosseno com f=10Hz, fa=100Hz, N=26
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

 DCT do cosseno com f = 10Hz, fa=100Hz, N=26
4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

 Vazamento de freqüência: mais de uma
componente de freqüência para uma
senóide
 Minimizar vazamento de freqüência:
aumentar N

 Cosseno com f = 30Hz, fa=100Hz, N=26
1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

 Sinal digital obtido a partir do cosseno de
52Hz é idêntico ao obtido a partir do
cosseno de 48 Hz
1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0

-0.2 -0.2

-0.4 -0.4

-0.6 -0.6

-0.8 -0.8

-1 -1
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2 0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

 Sinal digital obtido a partir do cosseno de
70Hz é idêntico ao obtido a partir do
cosseno de 30 Hz
1 1

0.8 0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0

-0.2 -0.2

-0.4 -0.4

-0.6 -0.6

-0.8 -0.8

-1 -1
0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2 0 0.0 0.1 0.1 0.2 0.2
5 5 5 5 5 5

Aliasing

 Na DCT, a maior freqüência é fa/2
 Aliasing: sinais senoidais de
freqüência f > fa/2 são discretizados
como sinais senoidais de freqüência
fd < fa / 2 (fd=fa–f, para fa/2 < f < fa)

Teorema de Shannon-
Nyquist

 Sinal analógico com fmax Hz
(componente)
 Digitalizar com fa Hz, tal que:

fa
 f max  f a  2 f max
2
 2fmax: Freq. de Nyquist

Digitalização de áudio
 Ouvido humano é sensível a freq.
entre 20Hz e 22KHz (aprox.)
 Digitalizar com 44KHz?
 Sons podem ter freqüências
componentes acima de 22KHz
 Digitalização a 44KHz: aliasing.
 Filtro passa-baixas com freqüência
de corte em 22KHz = Filtro anti-
aliasing

Eliminação de pixels
revisitada
 Por que redução de imagens por
eliminação de pixel deve ser evitada?
 Sinal original digitalizado com fa =2fmax
 No. de amostras do sinal digital
reduzido pela metade por eliminação de
amostras -> nova freqüência de
amostragem f’a = fa/2 = fmax ->
freqüência máxima do sinal analógico
digitalizada sem aliasing = f’a/2 = fmax/2

Eliminação de pixels
revisitada
 Por que redução de imagens (ou
outros sinais) por eliminação de
pixel (ou amostras) deve ser
evitada?
 Aliasing!
 Usar filtro passa-baixas!

Filtros no domínio da
freqüência

 Multiplicar o sinal no domínio da freq., S,
pela função de transferência do filtro, H
 Filtros:
 Passa-baixas
 Passa-altas
 Passa-faixa
 Corta-baixas
 Corta-altas
 Corta-faixa (faixa estreita: notch)

Filtros no domínio da freq.
 Ideais H Passa-baixas H Passa-altas
(corta-altas) (corta-baixas)
1 1

fc N-1 fc N-1

H Passa-faixa H corta-faixa

1 1

fc1 fc2 N-1 fc1 fc2 N-1

Filtros no domínio da
freqüência
 Combinação de filtros
 Filtros não-ideais (corte suave,
|H(fc)|=(1/2)1/2 ou |H(fc)|=1/2)

DCT 2-D

 Operação separável
 Complexidade elevada

N 1 N 1
1  (2m  1)k   (2n  1)l 
X [k , l ]  ck cl   x[m, n] cos   cos  2 N 
2N m 0 n 0  2N   

1 N 1N 1  (2k  1)m   (2l  1)n 
x[m, n]    ck cl X [k , l ] cos  2 N  cos  2 N 
2 N k 0 l 0    

DCT 2-D
 Imagem “cosseno na vertical”, 256 x 256,
8 ciclos (k = 16) e sua DCT normalizada

DCT 2-D
 Imagem “cosseno na vertical”, 256 x 256,
16 ciclos (k = 32) e sua DCT normalizada

DCT 2-D
 Imagem “cosseno na horizontal x cosseno
na vertical”, 256 x 256, 16 ciclos (k = 32)
e sua DCT normalizada

DCT 2-D
 Imagem “cosseno na horizontal x cosseno
na vertical”, 256 x 256, 8 x 16 ciclos e
sua DCT normalizada

DCT 2-D
 Imagem “Lena” (256x256) e sua DCT
normalizada

DCT 2-D
 Imagem “Lena” (256x256) e o log(DCT+1)
normalizado

Transformada de Fourier
Discreta (DFT)
N 1 j 2un
1 
 Direta: F [u ] 
N
 s[n]e N
n 0
N 1 j 2un

 Inversa: s[n ]   F [u]e N
u 0

n, u = 0, 1, ..., N-1
j  1

 Fórmula de Euler: e j  cos   j sen 

Duas propriedades
essenciais

F [u  N ]  ?
|F[-u]| = ?

Duas propriedades
essenciais
 DFT é periódica de período N:

F [u  N ]  F (u)

 Espectro de Fourier é função par:

|F[u]| = |F[-u]|

Esboço do Espectro de
Fourier
|F[u]|

u
-N/2 N/2 N-1
 u = 0, N, 2N,...: freq. 0
 u = N/2, 3N/2,...: freq. máxima (N par)
 u = (N-1)/2,...: freq. máxima (N ímpar)

Freqüências em Hz

 Ta = 1/fa (Período de amostragem)
 N amostras ---- (N-1)Ta segundos

1 1 fa
f1  (adimensio nal)  f1   Hz
N ( N  1)Ta N  1

N  1 fa fa
f( N 1) / 2   Hz
2 ( N  1) 2

Fourier 2-D

 Operação separável
 Complexidade elevada
C 1 R 1
1
F [u, v ] 
RC
  s[m, n]e  j 2 ( um / C  vn / R )

m 0n 0

C 1 R 1
s[m, n]    F [u, v]e j 2 ( um / C  vn / R )

u 0 v 0

Exibição do Espectro de
Fourier 2-D

Flog[u, v] = round[(L - 1) log(1+|F[u, v]|)/Fmax2]

Teorema da Convolução
 Se
g[m, n]  s[m, n]  h[m, n]
 Então:
 G[u,v] = H[u,v]F[u,v]
onde
G[u,v]: DFT de g[m,n]
F[u,v]: DFT de s[m,n]
H[u,v]: DFT de h[m,n]

 H[u,v]: Função de transferência do filtro

Filtros: espaço x freqüência
 Projeto de filtro no domínio da freqüência
(Fourier)
 Método imediato: H[k], k = 0..N-1
 Como filtrar sinais no domínio do tempo,
em tempo real?
 Convolução com h[n], n = 0..N-1 pode ser
proibitiva para n grande
 Encontrar ht[n], n = 0..M-1, com M < N,
de modo a obter uma aproximação
adequada para H[k].

Filtros: espaço x freqüência
 Para eficiência computacional e
redução de custos, o número de
coeficientes do filtro deve ser o
menor possível
 Projetar filtros relativamente imunes
ao truncamento

Discreta (DCT)
 DCT de x[n]:
1/ 2 N 1
2  (2n  1)k 
X [k ]    ck  x[n] cos  , k  0,1,...,N  1
N n 0  2N 

 DCT inversa de X[k]
1 / 2 N 1
2  (2n  1)k 
x[n]     ck X [k ] cos  2 N , n  0,1,...,N  1
N k 0  

Discreta (DCT)
 Freqüência: k 1
fk  f k  f k 1 
2N 2N

 Período: Tk 
2N
Tk  Tk 1 
2N
k k (k  1)

 Fase: k 
k   k   k 1 
2N 2N

Convolução
 Convolução de s(t) e h(t):


g (t )  s (t ) * h (t )   s( )h(t   )d


Convolução

 s(n) =
1 2 3 4 5 2 1

 h(n) =
3 2 1 0 1 2

 h(n) espelhado =
2 1 0 1 2 3

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1 2 3

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 3

3

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

1 2 3

3

3

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

0 1 2 3

2 6

3 8

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

1 0 1 2 3

1 4 9

3 8 14

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1 2 3

0 2 6 12

3 8 14 20

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1 2 3

1 0 3 8 15

3 8 14 20 27

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1 2 3

4 3 0 5 4 3

3 8 14 20 27 24 19

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1 2 3

8 5 0 1

3 8 14 20 27 24 19 14 14

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1 2

10 2 0

3 8 14 20 27 24 19 14 14 12

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0 1

4 1

3 8 14 20 27 24 19 14 14 12 5

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

2 1 0

2

3 8 14 20 27 24 19 14 14 12 5 2

Convolução

1 2 3 4 5 2 1

3 2 1 0 1 2

3 8 14 20 27 24 19 14 14 12 5 2

Convolução

g (t )  s (t ) * h (t )   s( )h(t   )d
 h ( )
s(t)

t3 
(0,0)
t0 t1 t 0 t2
h (t   )
h (  )

-t3 -t2 0  
-t3+t -t2+t

Convolução
 Observe que g(t) = 0 para

t  [t0  t2 , t1  t3 ]

Convolução Discreta Linear
 Convolução linear entre s[n] e h[n]

g[n]  s[n ] * h[n]   s[ ]h[n   ]
  
 Se s[n] e h[n] têm N0 e N1 amostras,
respectivamente => extensão com zeros:
N 1
g[n]  s[n] * h[n]   s[ ]h[n   ]
 0

com N = N0 + N1 – 1.

6 s ( ) 6 h ( )

4 4

2 2

0 1 2 3 4 5 
6 0 1 2 3 4 5 

6 h (  ) 6 h(n   )

4 4

2 2


-5 -4 -3 -2 -1 0 1 n 

6 s ( )

4

2

0 1 2 3 4 5 
6

6 h (  )

4
 g[0] = 3
2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 

6 s ( )

4

2

0 1 2 3 4 5 
6

6 h (1   )

4
 g[0] = 3
2


 g[1] = 8
-5 -4 -3 -2 -1 0 1

6 s[n] 6 h[n]

4 4

2 2

0 1 2 3 4 5 6 n 0 1 2 3 4 5 n

30 g[n] = s[n]* h[n]

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n

Características da
Convolução
 Associatividade:
f g  g f
 Distributividade
f  ( g  h)  ( f  g )  ( f  h)
 Associatividade com multiplicação
escalar:
a( f  g )  (af )  g  f  (ag )


s[n] Filtro g[n]
h[n]


g[n]  s[n ] * h[n]   s[ ]h[n   ]
  

Impulso Unitário
 Delta de Dirac ou (t)
impulso unitário 1
contínuo
 Duração = 0
 Área = 1 0 t

[n]
 Delta de Kronecker
ou impulso unitário 1

discreto
0 n

Sinais = somatório de
impulsos
 Delta de Kronecker A[n-n0]

A

0 n0 n

s[n]  s[0] [n]  s[1] [n  1]  .... s[ N  1] [n  ( N  1)]

N 1
s[n]   s[ ] [n   ]
 0

Resposta ao impulso
 Resposta de um filtro a s[n]:
N 1 N 1
g[ n]   s[ ]h[n   ]   h[ ]s[n   ]
 0  0
 Resposta de um filtro ao impulso
N 1 N 1
g[ n]   [ ]h[n  ]   [n   ]h[ ]
 0  0
N 1
h[n]   [n   ]h[ ]
 0

Resposta ao impulso

 h[n]:
 Resposta ao impulso
 Máscara convolucional
 Kernel do filtro
 Vetor de coeficientes do filtro

Convolução Discreta Circular
 Sinais s[n] e h[n] com N0 e N1 amostras,
respectivamente => extensão com zeros:
s[n ], 0  n  N 0 h[n ], 0  n  N1
s e [n ]   he [n ]  
0, N 0  n  N 0, N1  n  N
 Extensão periódica: considera-se que
se[n] e he[n] são períodos de sp[n] e hp[n]
 Convolução circular:
N 1
g p [n]  s[n]  h[n]   s p [ ]h p [n   ]
 0

Convolução Circular x Linear

 Fazendo-se N = N0 + N1 – 1

s[n]  h[n]  s[n] * h[n]

Convolução de Imagens
 f[i, j] (R0xC0) e h[i, j] (R1xC1): extensão
por zeros
R 1 C 1
g[i, j ]  f [i, j ] * h[i, j ]    f [ ,  ]h[i   , j   ]
 0  0

R 1 C 1
g p [i, j ]  f [i, j ]  h[i, j ]    f p [ ,  ]h p [i   , j   ]
 0   0
 Iguais se R=R0+R1–1 e C=C0+C1–1

Máscaras Convolucionais
1 1 1 1 0 -1 -1 -1 -1
0 0 0 1 0 -1 -1 8 -1
-1 -1 -1 1 0 -1 -1 -1 -1

1/9 1/9 1/9 0.025 0.1 0.025

1/9 1/9 1/9 0.1 0.5 0.1

1/9 1/9 1/9 0.025 0.1 0.025

Operador de Bordas de
Kirsch
5 5 5 -3 5 5 -3 -3 5
-3 0 -3 -3 0 5 -3 0 5
-3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 5

-3 -3 -3 -3 -3 -3 ...
-3 0 5 -3 0 -3
-3 5 5 5 5 5
 Filtragem sucessiva com cada máscara
 Pixel de saída recebe o valor máximo

Máscaras Convolucionais
 Em geral:
 Máscaras de integração somam
para 1
 Máscaras de diferenciação somam
para 0

Correlação
 Convolução: 
g[n]  s[n ] * h[n]   s[ ]h[n   ]
  
 Correlação:

g[n]  s[n]  h[n]   s[ ]h[  n]
  

 Quando um dos sinais é par,
correlação = convolução

Correlação

 s(n) =
3 2 4 1 3 8 4

 h(n) =
3 7 5

Correlação

3 2 4 1 3 8 4

7 5

Correlação

3 2 4 1 3 8 4

3 7 5

15

Correlação

3 2 4 1 3 8 4

3 7 5

15 31 43

Correlação

3 2 4 1 3 8 4

3 7 5

15 31 43 39

Correlação

3 2 4 1 3 8 4

3 7

15 31 43 39 34 64 85 52 12

Correlação
 Exemplo:
h[-1] = 3; h[0] = 7; h[1] = 5;
s[0..15] = {3, 2, 4, 1, 3, 8, 4, 0, 3, 8, 0,
7, 7, 7, 1, 2}

 Extensão com zeros

Correlação
 Exemplo:
g[1]  s[0]h[1]  15
1
g[0]   s[ ]h[ ]  s[0]h[0]  s[1]h[1]  31
 0
2
g[1]   s[ ]h[  1]  s[0]h[1]  s[1]h[0]  s[2]h[1]  43
 0
3
g[2]   s[ ]h[  2]  s[1]h[1]  s[2]h[0]  s[3]h[1]  39
 1
...

Correlação
 Exemplo:
g[0..15] = 31, 43, 39, 34, 64, 85, 52, 27,
61, 65, 59, 84, 105, 75, 38, 27
 Observe que g[5] é elevado, pois é
obtido centrando h em s[5] e calculando
a correlação entre (3, 7, 5) e (3, 8, 4)
 Mas g[12] é ainda maior, devido aos
valores elevados de s[11..13]

Correlação Normalizada
 A correlação normalizada elimina a
dependência dos valores absolutos
dos sinais:

 s[ ]h[  n]
g[n]  s[n]  h[n]    
 
 ( s[ ]) 2  (h[  n]) 2
     

 Resultado para o exemplo anterior:
 g[0..15] = .??? .877 .934 .73 .81
.989 .64 .59 .78 .835 .61 .931 .95
.83 .57 .???
 Valor máximo: g[5]

1 1 1 4 5 1 1

1 4 5 1 1 1 1

.02 .04 .07 .15 .35 .43 .56 .70 .97 .65 .30 .11 .02

1 1 1 4 5 1 1

1 4 5 1 1 1 1

.02 .04 .07 .15 .35 .43 .56 .70 .97 .65 .30 .11 .02

central maior

1 1 1 4 5 1 1

1 4 5 1 1 1 1

.02 .04 .07 .15 .35 .43 .56 .70 .97 .65 .30 .11 .02

deslocamento = 2

1 -2 -3 1 -2 -1 0

1 -2 -3 1 -2 -1 0

.0 -.05 .0 .4 .0 .05 1.0 .05 .0 .4 .0 0.05 .0

deslocamento = 2

 Correlação central = 1
 Sinais exatamente iguais

 Correlação central = 0
 Sinais sem nenhuma correlação

 Correlação central = -1
 Sinais invertidos

Questões do PosComp 2002
 51. Histograma de uma imagem com K tons de cinza é :
 a) Contagem dos pixels da imagem.
 b) Contagem do número de tons de cinza que ocorreram na imagem.
 c) Contagem do número de vezes que cada um dos K tons de cinza
ocorreu na imagem.
 d) Contagem do número de objetos encontrados na imagem.
 e) Nenhuma alternativa acima.

 52. filtro da mediana é :
 a) Indicado para detectar bordas em imagens.
 b) Indicado para atenuar ruído com preservação de bordas (i.é rápidas
transições de nível em
 imagens).
 c) Indicado para detectar formas específicas em imagens.
 d) Indicado para detectar tonalidades específicas em uma imagem.
 e) Nenhuma das respostas acima.

 51. Histograma de uma imagem com K tons de cinza é :
 a) Contagem dos pixels da imagem.
 b) Contagem do número de tons de cinza que ocorreram na imagem.
 c) Contagem do número de vezes que cada um dos K tons de
cinza ocorreu na imagem.
 d) Contagem do número de objetos encontrados na imagem.
 e) Nenhuma alternativa acima.

 52. filtro da mediana é :
 a) Indicado para detectar bordas em imagens.
 b) Indicado para atenuar ruído com preservação de bordas (i.é
rápidas transições de nível em
 imagens).
 c) Indicado para detectar formas específicas em imagens.
 d) Indicado para detectar tonalidades específicas em uma imagem.
 e) Nenhuma das respostas acima.

 56) Considerando as declarações abaixo, é incorreto afirmar:
 a) Filtros passa-altas são utilizados para detecção de bordas em imagens
 b) A transformada discreta de Fourier nos permite obter uma representação de
uma imagem no domínio freqüência
 c) Filtragem no domínio espacial é realizada por meio de uma operação chamada
“convolução”
 d) Os filtros Gaussiano e Laplaciano são exemplos de filtro passa-baixas
 e) O filtro da mediana pode ser utilizado para redução de ruído em uma imagem

 58) Identifique a declaração incorreta:
 a) As operações de ajuste de brilho e contraste são operações lineares
 b) A equalização de histograma é uma transformação não-linear e específica
para cada imagem
 c) A transformação necessária para calcular o negativo de uma imagem pode ser
aplicada simultaneamente (i.e., em paralelo) a todos pixels da imagem original
 d) A equalização de histograma pode ser obtida a partir de um histograma
cumulativo da imagem original
 e) O objetivo da equalização de histograma é reduzir o constrastre nas regiões
da imagem que correspondem à porção do histograma com maior concentração
de pixels

 59. O processo de análise de imagens é uma seqüência de etapas que são iniciadas a
partir da definição do problema. A seqüência correta destas etapas é:
 (a) pré-processamento, aquisição, segmentação, representação, reconhecimento.
 (b) aquisição, pré-processamento, segmentação, representação, reconhecimento.
 (c) aquisição, pré-processamento, representação, segmentação, reconhecimento.
 (d) aquisição, representação, pré-processamento, segmentação, reconhecimento.
 (e) pré-processamento, aquisição, representação, segmentação, reconhecimento.

 60. O termo imagem se refere a uma função bidimensional de intensidade de luz,
denotada por f(x; y), onde o valor ou amplitude de f nas coordenadas espaciais (x;
y) representa a intensidade (brilho) da imagem neste ponto. Para que uma imagem
possa ser processada num computador, a função f(x; y) deve ser discretizada tanto
espacialmente quanto em amplitude. Estes dois processos recebem as seguintes
denominações, respectivamente:
 (a) translação e escala.
 (b) resolução e escala.
 (c) resolução e ampliação.
 (d) amostragem e quantização.
 (e) resolução e quantização.

 47. [TE] Considere os filtros espaciais da média (m) e Mediana (M)
aplicados em imagens em níveis de cinza f e g. Qual par de termos ou
expressões a seguir não está associado, respectivamente, a características
gerais de m e M?
 (a) m(f + g) = m(f) + m(g); M(f + g) != M(f) + M(g)
 (b) ruído gaussiano; ruído impulsivo
 (c) convolução; filtro estatístico da ordem
 (d) preservação de pequenos componentes; não preservação de pequenos
componentes
 (e) filtragem com preservação de contornos; filtragem sem preservação de
contornos

 48. [TE] A convolução da máscara [-1 2 -1] com uma linha de uma
imagem contendo uma seqüência de pixels do tipo [... 3 4 5 6 7 8 9 10 ...]
resulta na transformação (sem considerar efeitos de borda):
 (a) [...3 4 5 6 7 8 9 10...] e representa o filtro da média com 2-vizinhos mais
próximos
 (b) [...0 0 0 0 0 0 0 0...] e representa o laplaciano no espaço discreto
 (c) [...0 0 0 0 0 0 0 0...] e representa uma erosão morfológica
 (d) [...1 1 1 1 1 1 1 1...] e é equivalente a um filtro passa-baixas
 (e) [...7 9 11 13 15 17 19...] e é equivalente a um filtro passa-altas

 61. [TE] O realce de imagem tem como objetivo destacar detalhes
finos procurando obter uma representação mais adequada do que
a imagem original para uma determinada aplicação. Dessa forma,
sobre as técnicas utilizadas no realce de imagens, é CORRETO
afirmar que
 (a) o melhor resultado obtido depende do filtro aplicado na imagem.
Normalmente, o mais aplicado é o filtro da mediana.
 (b) o melhor resultado é obtido com a aplicação de filtros passa-
baixas, cujos parâmetros dependem do resultado desejado.
 (c) a aplicação de filtros da média sempre oferece resultado adequado
no realce de imagens.
 (d) o resultado mais adequado no realce de imagens está associado à
aplicação de filtro passa-altas e da interpretação subjetiva do
observador que deverá ter conhecimento a priori da imagem original.
 (e) o resultado mais adequado no realce de imagens está associado à
aplicação de filtro passa-baixas e da interpretação subjetiva do
 62 e 63

 61. [TE] O realce de imagem tem como objetivo destacar detalhes
finos procurando obter uma representação mais adequada do que
a imagem original para uma determinada aplicação. Dessa forma,
sobre as técnicas utilizadas no realce de imagens, é CORRETO
afirmar que
 (a) o melhor resultado obtido depende do filtro aplicado na imagem.
Normalmente, o mais aplicado é o filtro da mediana.
 (b) o melhor resultado é obtido com a aplicação de filtros passa-
baixas, cujos parâmetros dependem do resultado desejado.
 (c) a aplicação de filtros da média sempre oferece resultado adequado
no realce de imagens.
 (d) o resultado mais adequado no realce de imagens está associado à
aplicação de filtro passa-altas e da interpretação subjetiva do
 (e) o resultado mais adequado no realce de imagens está associado à
aplicação de filtro passa-baixas e da interpretação subjetiva do

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